第8章實數（單元測試?培優卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分洪30分,每小題均有四個選項，其中

只有一項符合題目要求）

（24-25八年級上?甘肅蘭州?期末）

1.下列各數中，是無理數的是（）

A.-6B.3.14C.V3D.V16

（24-25八年級上?甘肅天水?階段練習）

2.下列各數中一定沒有平方根的是（）

A.-mB.m+2C.-m2-6D.-m2

（23-24八年級上?重慶?期末）

3.若|。一2|+7^=0貝ijab的立方不艮為（）

A.4B.2C.-2D.8

（24-25八年級上?河南洛陽?期末）

4.已知一個數的立方根等于它本身，則這個數是（）

A.1B.-1C.0D.-1或0或1

（2025七年級下?全國?專題練習）

5.現對實數。力定義一種運算：族b=ab'-a-b.則J正※師等于（）

A.-6B.-2C.2D.6

⑵?24八年級上?四川宜賓?期中）

6.已知Jx-2010+/=-2了-1,則x+V+9的值為（）

A.-1B.1C.4019D.4021

（2025七年級下?全國?專題練習）

7.已知正整數加，〃滿足加＜＜機+＜麗＜”+1,則加+〃的值為（）

A.4B.5C.6D.9

（2024七年級上?浙江?專題練習）

8.如圖：數軸上表示1、石的對應點分別為4B,且點/為線段3c的中點，則點C表

示的數是（）

試卷第1頁，共4頁

CAB

——?-----------i—i-------------------1------------------1--------------1-------------＞

-1?012/53

A.V5-1B.1-V5C.V5-2D.2-石

（2025七年級下?全國?專題練習）

_一分1111?1?1

9.已知外為頭數，規定運算：。2=1-----,。3=1------,。4=1------，。5=1------，…，

%a2a3a4

?1i----------

見=1——，按上述方法，當為=3時，河:的值等于（）

an-\

21八

A.—B.—C.—1D.0

32

（24-25七年級下?全國?課后作業）

10.對于實數a,b,定義min{〃,6}：當時，min{a,b}=〃；當時，

min{a,b}=b.例如：min{l,-2}=-2.已知min{V^,〃}=a,min{V^,b}=,且q和b

為兩個連續正整數，則審的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25七年級下?全國?課后作業）

11.已知/=225,（爐石＞=2,則孫的值是.

（24-25八年級上?江蘇揚州?期中）

12.一個正數的兩個平方根分別是2x-4與x-5,則這個正數是.

（2025七年級下?全國?專題練習）

13.已知Wx-1=x-l,則的值是.

（24-25七年級下?全國?課后作業）

14.若a,6為實數，且滿足（/+白［+仄與=0,則J7=.

（24-25八年級上?湖南衡陽?階段練習）

15.有一列數按一定規律排列：鼻，-旦叵，-亙，，-叵……，則第〃個數是___.

24681012

（24-25八年級上?河北秦皇島?期中）

16.若"為整數，且〃＜而＜〃+1,則〃=，機是而的小數部分，貝I

試卷第2頁，共4頁

|n-yfl3|-m=.

(24-25七年級上?浙江溫州?期中)

17.在草稿紙上計算：①"，②"百，③出+23+33,…,觀察你計算的結果，用你

發現的規律直接寫出下面式子的值：713+23+33+43=—，Vl3+23+33+---+263=—.

(24-25九年級上?河北邢臺?期中)

18.如下所示可將、=叵口轉化為方程》2+》-1=0,我們規定：方程/+工-1=0稱為

2

X=亞二1的還原方程.

2

x=去分母，2x=V5-l

移項，2x+l=y/5

兩邊平方，4x2+4x+1=5

整理，x2+x-l=0

則的還原方程是.

2

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

(22-23八年級上?江蘇宿遷?期末)

19.求下列各式中的x

(1)(X-1)2-16=0

⑵64+(1-2療=0

(24-25七年級下?全國?單元測試)

20.計算：

(1)716-1-2721+^=64；

(2)而57+(-3)2-V25+|V3-2|+(V3)2.

(24-25八年級上?福建泉州?期中)

21.已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術平方根是4,c是后的整數部分.

⑴求。，b,c的值；

(2)求3a-b+c的算術平方根.

試卷第3頁，共4頁

(2025七年級下?全國?專題練習)

22.如下圖，一只蝸牛從點/沿數軸向右爬行2個單位長度后到達點8,點/表示-6.

設點2所表示的數為%

1A!IB1]

-2-1012

(1)實數冽的值為；

⑵求帆+1|+|機-1|的值；

(3)若在數軸上還有C,。兩點分別表示實數c和d,且有|2c+4|與互為相反數.求

2c+3"的立方根.

(24-25七年級下?全國?周測)

23.新定義：若無理數"(T為正整數)的被開方數滿足"2<7<("+1)2("為正整數)，則

稱無理數"的“青一區間”為(〃,"+1),同理規定無理數-"的“青一區間”為例

如:因為F<2<22,所以及的“青一區間”為(1,2),-0的“青一區間”為(-2,-1).

(1)717的“青一區間”為，-V23的“青一區間”為\

(2)實數三〉滿足關系式五三+12025+(y-4月=2025,求舊的“青一區間”.

(24-25八年級上?河北保定?階段練習)

24.如圖1,由5個邊長為1的小正方形組成的長方形，通過剪拼可以拼成一個正方形

ABCD.

圖1圖2

(1)求正方形的邊長，并求出的長在哪兩個連續整數之間；

(2)如圖2,紙片上有數軸，把圖1中的正方形/BCD放到數軸上，使得點/與-1重合，求

點。在數軸上表示的數；

(3)在(2)的基礎上以數1對應的點為折點，將數軸向右對折，則點。與數對應的

點重合.

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】本題主要考查無理數，熟練掌握無理數的定義是解題的關鍵.根據無理數就是無限

不循環小數進行計算即可.

【詳解】解：無理數就是無限不循環小數，G是無限不循環小數，

故選c.

2.C

【分析】此題考查了平方根，一個正數有兩個平方根，且互為相反數，0的平方根是0.據

此進行解答即可.

【詳解】A.當加<0時，-俏>0,有平方根，故選項不符合題意；

B.當加2-2時，機+220,有平方根，故選項不符合題意；

C.-m2-6<-6<0,則-加2-6一定沒有平方根，故選項符合題意；

D.當機=0時，-m2=0,有平方根，故選項不符合題意；

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了非負數的性質、求立方根，根據非負數的性質求出。=2,6=-4,再

求出ab的值，最后根據立方根的定義計算即可得出答案.

【詳解】解：|?—2|+y/b+4-0,|a—2|>0,“+420,

a—2=0,Z)+4=0,

???〃=2,b=-4,

：.ab=2x(-4)=—8,

■■ab的立方根為"=-2,

故選：C.

4.D

【分析】本題考查立方根，掌握一個數x的立方等于0,那么x叫。的立方根，表示為》=折

是解題的關鍵.

根據立方根的定義求解即可.

【詳解】解：設這個數是x,則

Vx=X

答案第1頁，共11頁

O3=0,I3=1,(-1)3=-l,

???x=0或x=±1,

故選：D.

5.B

【分析】此題考查了實數的混合運算，先計算J痛=4,/=-2,再依據新定義規定的運

算抹6=〃6+。-6計算可得.

【詳解】解：屈※0

=4※(-2)

=4x(-2)+4-(-2)

=一8+4+2

=-2,

故選：B.

6.A

【分析】本題考查了完全平方公式，算術平方根的非負性，代數式求值.熟練掌握完全平方

公式，算術平方根的非負性，代數式求值是解題的關鍵.

由題意知人一2010+5+1)2=0,即x-2010=0,.v+l=0,計算求出無，V的值，最后代值

求解即可.

【詳解】解：?.?Vx-2010+y=-2^-1,

??,Vx-2010+(^+l)2=0,

x—2010=0,歹+1=0,

解得，x=2010,y=-lf

.e.x+jV+xy=2010—1+2010x^—=—1,

故選：A.

7.B

【分析】本題主要考查了無理數的估算，熟練掌握無理數估算是關鍵.根據

V8<VH)<V27,A/9<710<716,即可得a=2,”=3,再相加得解.

答案第2頁，共11頁

【詳解】解：?.■我〈痂（防:，次〈而<加,

.■.2<V10<3,3<VK)<4,

又,；m<V10<m+\,n<V10<w+1,

m=2,n=3,

.\m+n=2+3=5,

故選：B.

8.D

【分析】本題考查的是實數與數軸，設。點表示的數為x,再根據中點坐標公式求出x的值

即可.

【詳解】解：設C點表示的數為x,則

X+A/51

-----=],

2

解得：x=2-V5.

故選：D.

9.C

II2

【分析】本題考查了數字規律題，求一個數的立方根，當〃1=3時，則電=1-一=1-T=T,

%33

=1_1=_1?

的一2一3,“4一1一，?5=1--=-,則有見以三個數為一組，不斷循環,

-----33

32

從而有的>25=%=-:，然后代入求出立方根即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：當為=3時，

112

=1*3

????2=1------T=T,

ax33

111

的二1一L，

3

%=1一十=3,

~2

答案第3頁，共11頁

.??凡以三個數為一組循環，

.-.2025-3=675,

1

.?.囁5=〃3=-葭

=

?,?曰2a2025jx1j=V-1=-1，

故選：C.

10.C

【分析】本題主要考查了無理數的估算，新定義下的實數運算，正確根據題意得到

Q＜同＜6,并且估算出4＜而＜5是解題的關鍵.

根據新定義可得同＜b,再估算出4＜同＜5,根據。和b為兩個連續正整數得到

a=4,6=5,由此即可得到答案.

【詳解】解：*/min{^20,a}=a,min{^20,b}=^20,

/.a＜^20＜b，

v16＜20＜25,

/.4＜V20＜5,

???。和b為兩個連續正整數，

a=4,b=5,

.a+b=3

3'

故選：C.

11.75或-75

【分析】本題考查了平方根的定義，解題的關鍵是掌握平方根的定義.根據平方根的定義求

出X、y的值，即可求解.

【詳解】解：；/=225,（6三）2=2,

x=±V225=±15,歹-3=2,

??V=5,

當x=15時，中=15x5=75,

當工=一15時，町=-15x5=-75,

答案第4頁，共11頁

故答案為：75或-75.

12.4

【分析】本題考查平方根的性質，根據正數的平方根互為相反數求出x值是解題的關鍵.

由正數的平方根互為相反數，可得2x-4+x-5=0,即可求得x的值，再根據平方根的概念

求解即可.

【詳解】解：???一個正數的兩個平方根分別是2%-4與x-5,

2x—4+x—5—0

解得：x=3,

■■.2x-4-2x3-4-2

??.這個正數是22=4.

故答案為：4.

13.0或2##2或0

【分析】本題考查立方根的性質，根據立方根等于它本身的數是。或±1,即可求出x的值,

然后代入代數式求值即可.

【詳解】解：?.?—[=x-l,

.,?x-l=0或±1,

二元=1或無=2或無=0,

當x=l時，x2-x=12-1=0；

當x=2時，x2-x=22-2=2；

當x=0時，%2-%=02-0=0；

綜上，/-x的值是0或2,

故答案為：0或2.

14.工

3

【分析】本題考查非負性，求一個數的立方根和算術平方根，根據非負性求出。力的值，再

根據乘方運算法則和算術平方根的定義，進行求解即可.

【詳解】解：???(/+白：+新=1=0,

R8

???"+—=0,6—2=0,

27

答案第5頁，共11頁

27

2

【分析】本題考查規律探索問題，根據題干中的數據總結規律可知第〃個數的符號為

(-if1,分母為2〃，分子為后二L即可得出答案.

【詳解】解：第1個數：

22x1

第2個數：一1=(_1)3*正亙；

42x2

第3個數：立=(一ipxYIHIH；

62x3

—

第〃個數是(-1)用x----------

2n

故答案為:

16.30

【分析】此題考查了無理數的估算和實數的混合運算.根據無理數的估算得到而的整數部

分”=3,小數部分加=”^-3,代入||-m求值即可.

【詳解】解：-v13<16,

3<VB<4,

的整數部分〃=3,小數部分機=/百-3,

|/7-VB|-OT=|3-V13|-(713-3)=(713-3)-(V13-3)=0,

故答案為：3,0

17.10351

【分析】本題考查了算術平方根與數字變化規律題，解題關鍵是得出

答案第6頁，共11頁

々+23+33+...+“3=1+2+3+...+”.先計算出前4個式子，進而得出規律，再計算即可.

【詳解】解："=&=1，

+2、=J1+8=y/9=3,

Vl3*5+23+33=J1+8+27=底=6,

713+23+33+43=Jl+8+27+64=V100=10)

觀察發現JE+23+33+...+/=I+2+3+?..+”,

r.JF+23+33+...+263=1+2+3+…+26=°+I?*如=351,

故答案為：10,351.

18.x*2—3x+1=0

【分析】本題考查了算術平方根的性質，完全平方公式.依照例題計算即可求解;

【詳解】解：x=

2

去分母，2》=6+3,

移項，2x-3=#),

兩邊平方，4X2-12X+9=5,

整理，X2-3X+1=0,

故答案為：X2-3X+1=0.

=

19.(l)-^i5,X2=-3

5

(2)X=5

【分析】本題考查利用平方根及立方根解方程，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

(1)利用平方根的定義解方程即可；

(2)利用立方根的定義解方程即可.

【詳解】(1)解：(X-1)2-16=0,

移項得：(X-1)2=16,

開平方得：x-l=±4,

答案第7頁，共11頁

-

解得：匹=5,X2=3.

(2)解：64+(l-2x)3=0,

移項得：(1-2x)3=-64,

開立方得：l-2x=-4,

解得：x=>

2

20.(1)-2>/2

⑵4-G

【分析】本題考查實數的運算，熟練掌握絕對值的性質和立方根、平方根的定義是解題關鍵.

(1)先根據絕對值的性質，算術平方根及立方根的定義進行化簡，再合并即可；

(2)根據算術平方根和立方根的定義及絕對值的性質進行化簡，再計算即可.

【詳解】⑴解：原式=4一2a-4，

=-272;

(2)解：原式=-5+9-5+2-。+3

=4-V3.

21.(l)a=5,b=2,c=3

(2)4

【分析】此題考查立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法代數式求值等知識

點.

(1)利用立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法，求出。、6、c的值；

(2)將0、6、c的值代入代數式求出值后，進一步求得算術平方根即可.

【詳解】(1)解：???5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術平方根是4,

5a+2=27,3。+6-1=16,

■■a=5,b=2,

?；c是而的整數部分，32<V13<42,

???。=3；

(2)解：將Q=5,b=2,c=3代入得：3Q—b+c=3x5—2+3=16,

???3〃-A+c的算術平方根是4.

答案第8頁，共11頁

22.(1)2-V3

(2)\m+l|+|w-l|=2

⑶2c+3d的立方根為2

【分析】本題考查數軸，非負數及二次根式的運算，解題關鍵是熟練掌握絕對值與平方根的

意義.

(1)通過A,3在數軸上表示的數進行運算.

(2)化簡絕對值進行運算.

(3)根據非負數的意義進行解答.

【詳解】(1)解：???點8在點A右側2個單位處，

，點3所表示的數加為：-百+2,即2-君.

故答案為：2-月.

(2)解：,:m=2—G,貝!]"7+1>0,m—1<0,

/.|m+l\+\m-\\=m+l+l-m=2.

|s+1|+|加T|的值為2.

(3)解：?』2C+4|與病。互為相反數,

|2c+4|+Jd-4=0,

.'-I2c+4|