章節綜合訓練五四邊形

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形

CDFG中，CF,DG的延長線分別交4E,48于點跖N,貝！UFME的度數是（）

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形內角和問題，熟記正多邊形的內角的計算方法是解題的關鍵.

根據正五邊形的內角的計算方法求出NCDE、NE,根據正方形的性質分別求出NCDF、乙CFD,根據四邊形

內角和等于360。計算即可.

【詳解】解：?五邊形力BCDE是正五邊形，

乙CDE=NE=（5-2）：80。=1os。，

,/四邊形CDFG為正方形，

：.ACDF=90°,ACFD=45°,

Z.FDE=108°-90°=18°,乙DFM=180°-45°=135°,

J./.FME=360°-18°-135°-108°=99°,

故選：B.

2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||b,矩形48CD的頂點A在直線6上，若42=41。，則N1的度

數為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質，平行線的判定和性質，過點B作BEIIa,得到BEIIaIIb,推出4BC=Zl+Z2,

進行求解即可.

【詳解】解：?..矩形4BCD,

J.^LABC=90°,

過點8作BE||a,

VaIIb,

：.BE||a||b,

Z1=Z.ABE,z2=Z-CBE,

/.Z-ABC=Z.ABE+Z.CBE=Z1+Z2,

VZ2=41°,

Azi=90°-41°=49°；

故選C.

3.（2024?山西?中考真題）在四邊形ABC。中，點E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，EG,FH交于

點。.若四邊形2BCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

【答案】A

【分析】本題主要考查了中點四邊形、菱形的判定與性質及三角形的中位線定理，根據題意畫出示意圖，

得出中點四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關系即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示，

連接8D,AC,

2

??,點H和點E分別是4。和48的中點,

???HE是△4BD的中位線，

HE=^BD,HE\\BD.

同理可得，GF=^BD,GF\\BD,

???HE=GF,HEWGF,

???四邊形HEFG是平行四邊形.

???HE=-BD,HG=-AC,且4C=BD,

22

???HE=HG,

???平行四邊形HEFG是菱形，

EG與HF互相垂直平分.

故選：A.

4.（2024.山東濟南?中考真題）如圖，在正方形A8CD中，分別以點A和B為圓心，以大于148的長為半徑作

弧，兩弧相交于點E和F,作直線EF,再以點A為圓心，以4D的長為半徑作弧交直線EF于點G（點G在正方

形4BCD內部），連接0G并延長交BC于點K.若BK=2,則正方形4BCD的邊長為（）

C3+V5

C.--------D.V3+1

2

【答案】D

【分析】連接4G,設EF交AB于點X,正方形邊長為2%,由作圖知，AG=AD=2x,EF垂直平分4B,得

到4"=BH=x,乙AHG=90°,由勾股定理得到GH=V3x,證明4。||GH||BC,推出DG=GK,推出GH=

x+1,得到V^r=x+1,即得2X=A/5+L

【詳解】連接4G,設EF交4B于點H,正方形邊長為2光,

由作圖知，AG=AD=lx,EF垂直平分48,

3

：.AH=BH=-AB=%,AAHG=90°,

2

GH=y/AG2-AH2=V3x,

VA.BAD=90°,

：.AD||GH,

*：AD||BC,

：.AD||GH||BC,

.DGAHy

??——1,

GKHB

：.DG=GK,

?：BK=2,

：.GH=^AD+BK)=x+l,

V3x=%+1,

???x-V3-+1,

2%=V3+1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合.熟練掌握正方形性質，線段垂直平分線性質，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質，是解決問題的關鍵.

5.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，4ABe=60°,E是CD的中點，則sin/EBC的值為（）

4

【答案】c

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助

線，構造直角三角形求解.

延長BC,過點E作延長線的垂線，垂足為點H,設BC=CD=x,易得乙ABC=乙DCH=60。,貝=|CD=

-x,進而得出EH=CE-sin60o=3K,CH=CE-cos60o=Lx,再得出8H=BC+CH=最后根據

2444

sinZFBC=―BE,即可解答.

【詳解】解：延長BC,過點E作BC延長線的垂線，垂足為點H,

,/四邊形4BCD是菱形，

：.BC=CD,ABWCD,

:.乙ABC=乙DCH=60°,

設BC=CD=x,

是CD的中點，

：

.CE=-2CD=-2x,

■:EH1BH,

：.EH=CE-sin60°=-x,CH=CE-cos60°^-x,

44

：.BH=BC+CH=%

BE=JBH2+EH2=—x

故選：C.

6.（2024?山東東營?中考真題）如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，從①AC=BD,②力C1BD,③ZB=BC,

這三個條件中任意選取兩個，能使回ABC。是正方形的概率為（）

5

A

7(J\

-------------------^c

211S

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解題的關鍵.

根據從①4C=BD,②③4B=BC,這三個條件中任意選取兩個，共有①②、①③、②③，3種

方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形.再根據概率公式求解

即可.

【詳解】解：從①AC=BD,②4c1BD,③4B=BC,這三個條件中任意選取兩個，共有①②、①③、②③，

3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形.

A^\ABCD,從①4C=BD,@ACLBD,③AB=BC,這三個條件中任意選取兩個，能使團2BCD是正方形

的概率為|.

故選：A.

7.(2023?四川綿陽?中考真題)黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛.攝影中有一種

拍攝手法叫黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形4BCD的底邊BC取中點E,以E為圓心，線段DE為半

徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點R這樣就把正方形4BCD延伸為矩形2BFG,稱其為黃金矩形.若CF=

4a,貝MB=()

A.(V5-l)aB.(2逐一2)aC.(V5+l)aD.(275+2)a

【答案】D

【分析】本題主要考查了黃金分割點、正方形的性質、勾股定理、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握

相關知識并靈活運用是解題關鍵.

設4B=2x,根據題意得出CE=x,DE=x+4a,在RtACDE中，由勾股定理，nl^CE2+CD2=DE2,代

入數值并求解，即可獲得答案.

【詳解】解：設=2%,

6

?..四邊形4BC0是正方形,

???AB=BC=CD=2x/BCD=90°,

:點E為BC中點,

1

?

?.CE=BE=-2BC=%,

又,：CF=4a,

DE=FE=EC+CF=x+4a,

...在Rt△￡1￡>￡1中，由勾股定理，可得CE?+CD?=

即一+(2久A=(%+4a尸,

整理可得/_2ax-4a2=o,

解得：力=(V5+l)a,x2=(1-V5)a(舍去),

AB—lx—(2A/5+2)a,

故選：D.

8.（2024.山東日照.中考真題）如圖，在菱形4BCD中，力B=2,AB=120。，點。是對角線AC的中點，以點

。為圓心，。4長為半徑作圓心角為60。的扇形。EF,點。在扇形0E尸內，則圖中陰影部分的面積為（）

A716

A.-------B.TT---------D.無法確定

244

【答案】A

【分析】連接。D,將。。繞點。順時針旋轉60。得到00'.證明△MD。三AND'OSSA）,推出S四邊形“。加

^△DD,O,利用S陰影=S扇形EOF—SADO”即可求解。

【詳解】解：如圖，連接。D,將。。繞點。順時針旋轉60。得到。

4MOD+乙DON=乙NOD'+乙DON=60°,

???乙MOD=乙NOD',

7

?.?在菱形4BC0中，點。是對角線4C的中點，ZB=120°,

???Z4DC=AB=120°,OD1AC,

：.AMDO=乙COD=-Z.ADC=60°,

2

???(DOD'=60°,

???乙DD，O=60°,

??.A.DD'0=AMDO=60°,

OD=OD,

???AMDO三△NO'O(ASA),

???S四邊形"UNO=S^DDrO-

???UDO=60°,

DO=CD-coszCDO=-CD=-AB=1,AO=CO=CD-sinzCDO=—CD=—AB=V3,

2222

Q_QQ_QQ_60ITX（V3）2_V3y12_1TV3

J'3陰影=3扇形EOF-3四邊形MONO=?扇形EOF——DOD，=~而=T1=2~T'

故選：A.

【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形全等的判定與性質，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，

構造二角形全等，利用S陰影=S扇形EOF—SADOD，是解題的關鍵?

9.（2024.黑龍江大慶?中考真題）如圖，在矩形48CD中，AB=10,BC=6,點M是48邊的中點，點N是

4。邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N1則△M8N，周長的最小值為（）

AND

W

_1c

A.15B.5+5V5C.10+5V2D.18

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理，確定點N，的軌跡是解題的關鍵.由旋轉的性質

結合AAS證明AAMN三△GMN，，推出MG=4M=5,得到點M在平行于AB,且與的距離為5的直線上

運動，作點M關于直線EF的對稱點Ml連接交直線EF于點N，，此時△M8N，周長取得最小值，由勾股

定理可求解.

【詳解】解：過點“作EFII2B,交4。、8C于E、F,過點M作MG1EF垂足為G,

8

：.AB\\CD,

：.AB\\EF\\CD,

：.四邊形力MGE和BMGF都是矩形，

.?.乙4=Z.MGN'=90°,

由旋轉的性質得NNM"=90°,MN=MN',

J./-AMN=90°-4NMG=4GMN「

：.△AMN=△GMN'（AAS）,

：.MG=AM=5,

...點M在平行于AB,且與4B的距離為5的直線上運動，

作點M關于直線E尸的對稱點連接交直線EF于點N"此時△周長取得最小值，最小值為8M+

BM',

,:BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

：.BM+BM'=5+V52+102=5+5V5,

故選：B.

10.（2024?山東東營.中考真題）如圖，在正方形A8CD中，AC與交于點。，X為48延長線上的一點，且

BH=BD,連接分別交AC,BC于點E,F,連接BE,則下列結論：①仁=坐；②tan/H=舊—1；

BF2

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE-DH.

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

9

【分析】根據正方形的性質結合勾股定理可知，AB=BD=CD=AD=a,BD=<2AB=V2a,AB||CD,

AC與BD互相垂直且平分，進而可求得AH=(企+l)a,根據正切值定義即可判斷②；由48||CD,可知△

DCF八HBF,由相似三角形的性質即可判斷①；由BH=BD,可求得N"=乙BDH=22.5°,再結合4c與BD

互相垂直且平分，得DE=BE,可知乙D8E=NBDE=22.5。，進而可判斷③；MffiAB￡)F-LHDB,即可

判斷④.

【詳解】解：在正方形48CD中，48||CD,AB=BD=CD=AD=a,/.BAD=90°,zXBD=乙CBD=/.DAC=

ABAC=45°,AC與BD互相垂直且平分，

則BD=yjAB2+AD2=也AB=缶，

"：BH=BD=42a,貝!M"=(V2+l)a,

tan/7=*=(=y/2—1,故②不正確；

AH(y2+l)a

9CAB||CD,則ZH=乙CDF,乙DCF=乙HBF,

：.△DCF八HBF,

.CF_CDa_y/2故①不正確;

'*BFBHV2a-2

?：BH=BD,

:?乙H=(BDH,

■:(H+乙BDH=匕ABD=45°,

：.Z.H=Z.BDH=22.5°,

又???AC與BD互相垂直且平分，

：.DE=BE,

:?乙DBE=乙BDE=22.5°,貝！J/CBE=乙CBD一乙DBE=22.5°,

:.乙DBE=乙CBE,

；?BE平分乙CBD,故③正確；

由上可知，Z.DBE=ZH=22.5°,

A△BDE~>HDB,

則BD?=DE

DHBD

又,：BD=迎AB,

：.2AB2=DE?DH,故④正確；

綜上，正確的有③④，共2個，

故選：B.

10

【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握

相關圖形的性質是解決問題的關鍵.

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?四川巴中?中考真題）五邊形從某一個頂點出發可以引一條對角線.

【答案】2

【分析】本題考查多邊形的對角線，根據對角線定義，一個五邊形從某一頂點出發，除去它自己及與它相

鄰的左右兩邊的點外，還剩下2個頂點可以與這個頂點連成對角線，熟記對角線定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：五邊形從某一個頂點出發可以引2條對角線，

故答案為：2.

12.（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，以點4為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC

邊于點E,連接4E,AB=1,=60°,則近的長I=（結果保留it）.

【分析】本題考查弧長的計算，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是判定A4BE是等邊三

角形，得到NB2E=60。.

由平行四邊形的性質推出NB=AD=60°,判定△4BE是等邊三角形，得到NB4E=60°,由弧長公式即可

求出BE的長.

【詳解】解：?,?四邊形2BCD是平行四邊形，

???Z.B—Z.D—60°,

由題意得：AB=AEf

???△4BE是等邊三角形，

???^BAE=60°,

???AB=1,

,6O7TX11

???L=----=-71.

1803

故答案為：加

13.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片力BCD沿邊EF折疊，使點。在邊BC中點M處.若2B=

4,BC=6,貝！］CF=.

11

【答案】1/0.875

8

【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，關鍵是由勾股定理列出關于光的方程.由矩形的性

質推出CD=48=4,NC=90。，由線段中點定義得到CM=18C=3,由折疊的性質得到：MF=DF,設

FC=x,由勾股定理得到(4-%)2=32+/,求出x=；,得到FC的值.

8

【詳解】解：?.?四邊形力BCD是矩形,

ACD=AB=4,ZC=90°,

是BC中點，

11

ACM=-BC=-x6=3,

22

由折疊的性質得到：MF=DF,

設"=%,

：.FD=4-x,

：.MF=4-x,

VMF2=MC2+FC2,

：.(4-%)2=32+x2,

故答案為：

o

14.(2024?山東淄博?中考真題)如圖，在邊長為10的菱形4BCD中，對角線力C,BD相交與點。，點E在BC延

長線上，。￡與CD相交與點F.若乙4CD=2NOEC,1,則菱形力BCD的面積為________.

FE6

12

【分析】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識.作。HIIBC交CD于點X,

貝lU。。“sADBC,求得0H=1BC=5,再證明△。FH-△EFC,求得EC=6,再證明NOEC=/COE,則

OC=EC=6,利用勾股定理求得0B的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案.

【詳解】解：作。HIIBC交CO于點X,則ADOH“ADBC,

?.,四邊形4BCD是邊長為10的菱形，對角線4C,8。相交于點。，

：.BC=10,OD=OB=-BD,OA=OC,AC1BD,

2

A—=—=i,^BOC=90°,

BCBD2

1

：.OH=-BC=5,

2

Op5

FE6

△OFHfEFC,

,OH_OF_5

?.EC-FE-6’

：.EC=-OH=-x5=6,

55

???四邊形/BCD是菱形，且乙4CD=2NOEC,

^ACB=乙ACD=2Z,OEC=乙COE+Z.OEC,

：.^OEC=乙COE,

：.OC=EC=6,

：.OB=VBC2-OC2=V102-62=8,

：.BD=2OB=16,AC=2OC=12,

'S菱形MCD=3BD-AC=|x16x12=96,

故答案為：96.

15.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在內△ABC中，乙4cB=90。，AC=BC=5.正方形DERG的邊長為

V5,它的頂點。，E,G分別在△ABC的邊上，貝UBG的長為.

13

A

【答案】3V2

［分析］過點G作GH1AC,易得△4”G為等腰直角三角形，設=HG=x,得到CH=AC-AH=5-x,

證明△G”。三△DCE,得到CD=G"，進而得到CD=%,DH=5—2x,在RtZkOHG中，利用勾股定理求

出久的值，根據平行線分線段成比例，求出BG的長即可.

【詳解】解：過點G作GH1AC,貝lj：^AHG=乙GHD=90°,

工乙DGH+乙HDG=90°,

VZ.ACB=90°,AC=BC=5,

：.AB='近/A=LB=45°,

:,乙AGH=45°=乙4,

：.AH=HG,

設/H=HG=K,貝！J：CH=AC-AH=S-x,

??,正方形OEFG,

：.DG=DE/GDE=90°,

:?乙HDG+乙CDE=90°,

AZ-HGD=乙CDE,

VZC=Z.GHD=90°,

△GHD=^DCE,

：.CD=GH=x.

14

：.DH=CH-CD=5-2x,

在RtZkGH。中，由勾股定理，得：GD2=DH2+GH2,

2

(V5)=(5-2x)2+/,解得：x=2,

：.AH=2,CH=3,

VzC=UHD=90°,

：.HG||BC,

.AG_AH_2

"BG~CH~

：.BG=JAB=|x5V2=3返；

故答案為：3夜.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正方形的性質，平行

線分線段成比例，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形.

16.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標為(3,0),

A(MB是等邊三角形，點8坐標是(1,0),△tMB在正方形。MNP內部緊靠正方形。MNP的邊(方向為。-M-

N-P-OfM-…)做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為4的坐標是(2,0)；第二次滾

動后，&的對應點記為4，4的坐標是(2,0);第三次滾動后，4的對應點記為4,4的坐標是(3-今0；

【分析】本題考查了點的坐標變化規律，正方形性質，等邊三角形性質，根據三角形的運動方式，依次求

出點A的對應點41，A2,……，a]2的坐標，發現規律即可解決問題.

【詳解】解：???正方形。MNP頂點M的坐標為(3,0),

OM=MN=NP=OP=3,

???△04B是等邊三角形，點5坐標是(1,0),

等邊三角形高為彳，

15

由題知,

①的坐標是(2,0)；

4的坐標是(2,0)；

久的坐標是(3m；

繼續滾動有，心的坐標是(3,2);

久的坐標是⑶2);

A6的坐標是(|,3—；

4的坐標是(1,3)；

4的坐標是(1,3)；

的坐標是(日，D；

4o的坐標是(0,1)；

41的坐標是(0,1);

412的坐標是&苧)；

a3的坐標是(2,0)；……不斷循環，循環規律為以4，A2,……,42，12個為一組，

???2024-M2=168……8,

4024的坐標與&的坐標一樣為(1,3),

故答案為：(1,3).

三.解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.(2024?山東德州?中考真題)如圖，團力BCD中，對角線4C平分NB4D.

(1)求證：團力BCD是菱形；

(2)若AC=8,Z.DCB=74°,求菱形4BCD的邊長.(參考數據：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【答案】(1)見解析

(2)5

16

【分析】此題考查平行四邊形性質和菱形的判定和性質，等腰三角形的判定，解直角三角形.

(1)根據平行四邊形性質得出=再結合角平分線的定義及等腰三角形的判定即可得出

^DAC=^ACD,AD=CD,根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進而得出結論；

(2)連接BD,由菱形性質可知ZCOB=90°,OA=OC=^AC=4,乙4cB=|z￡)CF=37°,在利用余弦

求出BC長即可.

【詳解】(1)證明：?..四邊形48CD是平行四邊形，

：.AB||CD.

J.A.BAC=^ACD.

「AC平分NBA。，

：.^DAC=ABAC.

：./.DAC=^ACD.

：.AD=CD.

四邊形2BC0是菱形.

(2)連接B。，交2C于點O,

:四邊形ABC。是菱形.AC=8,Z.DCB=74°,

11

C.Z-COB=90°,OA=OC=-AC=4,乙ACB=-Z,DCB=37°,

22

?DC0C44_

cosZ.ACBcos37°0.8

即菱形4BCD的邊長為5.

18.(2024?西藏?中考真題)在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”

的探究作業.如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30。；格桑在2處測得山頂C的仰角為45。.已知兩人

所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度4M=30米，8處距地面的垂直高度BN=20米,

點F,N在同一條直線上，求小山CF的高度.(結果保留根號)

17

【答案】（100百一70）米

【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，解直角三角形的應用，證明四邊形和四邊形BNFE為矩

形，得出。F=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,設CO=x,貝l|CE=CD+DE=(x+10)

米,解直角三角形得出4。=1=言=耳，BE=5=等=x+10,根據MN=21。米，得出岳+

3

%+10=210,求出x=100/一100,最后得出答案即可.

【詳解】解：根據題意可得：^AMF=乙DFM=^ADF=90°,乙BEF=乙EFN=乙BNF=90°,

四邊形4MFD和四邊形BNFE為矩形,

=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,

：.DE=DF-EF=30-20=10(米),

設CD=x,貝UCE=CO+DE=(x+10)米,

?.240=30°,"DC=90°,

VzCBE=45°,乙CEB=90°,

=/=等=x+l。，

：.MF=AD=V3x,FN=BE=x+10,

,:MN=210米,

V3x+x+10=210,

解得：x=100V3-100,

CF=CD+DF=100A/3-100+30=(100A/3-70)米.

19.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）在RtAACB中，乙4c8=90。，BC=12,AC=8,以BC為邊向AZCB外

作有一個內角為60。的菱形8CDE,對角線BD,CE交于點O,連接請用尺規和三角板作出圖形，并直

接寫出44。。的面積.

【答案】圖形見解析，AAOC的面積為12或36.

【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質以及勾股定理.分兩種情況討論，作。F1BC,垂足為

F,利用直角三角形的性質以及勾股定理分別求得CF的長，再利用三角形面積公式即可求解.

18

【詳解】解：當4CBE=60。時，所作圖形如圖，作垂足為F,

???菱形BCDE,A.CBE=60°,

：.Z.COB=90°,Z.CBO=30°,^OCB=60°,

?；BC=12,

OC=-BC=6,

2

■:乙OCB=60°,

C.Z-COF=30°,

：.CF=-OC=3,

2

...△力。C的面積為］x8x3=12；

當乙BCD=60。時，所作圖形如圖，作OF1BC,垂足為尸,

."COB=90。，NBC。=30。，

,:BC=12,

。8=匏。=6,OC=yjBC2-OB2=6V3,

：.OF=-OC=38，CF=VOC2-OF2=9,

2

△a。。的面積為］x8x9=36；

綜上，AAOC的面積為12或36.

20.（2024.山東日照?中考真題）如圖，以回4BCD的頂點B為圓心，48長為半徑畫弧，交BC于點E,再分別

19

以點力，E為圓心，大于巳/lE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線BF,交AD于點G,交CD的延長線于點

H.

(1)由以上作圖可知，N1與42的數量關系是

(2)求證：CB=CH

(3)若48=4,AG=2GD,乙ABC=60°,求小BCH的面積.

【答案】⑴41=42

(2)證明見解析

(3)973

【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質，

解直角三角形，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關鍵.

(1)根據作圖可知，BF為乙4BC的角平分線，即可得到答案；

(2)根據平行四邊形的性質可知=NH,結合N1=N2,從而推出N2=N”,即可證明；

(3)過點H作BC的垂線交的延長線于點M,根據平行四邊形的性質48=CD=4,Z.HCM=Z.ABC=60°,

—,結合4G=2GD,推出從而得到CH,8C,=CH-sinzWCM,最后由"BCH=~BC-HM

DHGD22

計算即可.

【詳解】(1)解：由作圖可知，BF為4aBe的角平分線

zl=Z.2

故答案為：41=/2

(2)證明：???四邊形4BCD為平行四邊形

AB||CD

zl=乙H

???zl=Z2

???Z2=Z.H

??.CB=CH

(3)解：如圖，過點H作BC的垂線交8c的延長線于點M

20

H

???AB||CD,AB=CD=4

??.Z.HCM=Z.ABC=60°,△ABGDHG

AB_AG

"~DH~'GD

又???AG=2GD

AG

???—=2

GD

ABAG

----=—=2

DHGD

11

DH=-AB=-x4=2

22

??.CH=DH+CD=6

.?.BC=CH=6

V3L

???HM=CH-sinzWCM=CH-sin60°=6X—=3V3

S^BCH=1BC-HM=|x6x3V3=9A/3.

21.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形力BCD中，AD||BC,S.AD=DC=\BC,E是BC的中點.下

面是甲、乙兩名同學得到的結論：

甲：若連接4E,則四邊形4DCE是菱形；

乙：若連接4C，則△力BC是直角三角形.

請選擇一名同學的結論給予證明.

【答案】見解析

【分析】選擇甲：由E是BC的中點.得從而得四邊形4DCE是平行四邊

形，再根據4。=CD,即可證明結論成立；選擇乙：連接4E、DE,DE交4c于0,分別證明四邊形2BED是

平行四邊形，四邊形4DCE是菱形，得ACLDE,DE||AB,再根據平行線的性質及垂線定義即可得證.

21

【詳解】證明：選擇甲：如圖1,

圖1

'：AD=DC=^BC,E是BC的中點.

ACE^-BC=AD,

2

\'AD||BC,

，四邊形40CE是平行四邊形，

"：AD=CD,

，四邊形2DCE是菱形；

選擇乙：如圖2,連接4E、DE,DE交4C于。,

圖2

\'AD=DC=1BC,E是BC的中點.

：.BE=CE=-BC=AD,

2

,：AD||BC,

???四邊形4DCE是平行四邊形，四邊形/BED是平行四邊形，

\9AD=CD,

???四邊形4DCE是菱形；

：.AC1DE,

:,乙EOC=90°,

???四邊形/BED是平行四邊形，

：.DE||AB

：.￡.BAC=乙EOC=90°,

是直角三角形.

【點睛】本題主要考查了菱形、平行四邊形的判定及性質、垂線定義、平行線的性質，熟練掌握菱形、平

22

行四邊形的判定及性質是解題的關鍵.

22.（2024?山東濟南?中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

（一）拓展探究

如圖1,在AABC中，ZXCB=90°,CD1AB,垂足為D.

???Z.ACB=90°Z-A+/-B=90°

???CD1AB???Z.A=Z-A???△ABCACD

???^ADC=90°??.-=②______

AC

???"+Z.ACD=90°：.AC2=AD-AB

???Z-B=?______

請完成填空：①;②;

（2）如圖2,9為線段CD上一點，連接4F并延長至點E,連接CE,當〃CE=NAFC時，請判斷ZMEB的形

狀，并說明理由.

（二）學以致用

（3）如圖3,AdBC是直角三角形，AACB=90°,AC=2,BC=2顯平面內一點D,滿足AD=AC,連接CD

并延長至點E,且NCE8=Z_C8D,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

【答案】⑴①乙4CD；②笫⑵UEB是直角三角形，證明見解析；⑶2V15

【分析】（1）根據余角的性質和三角形相似的性質進行解答即可；

（2）證明△4CFAEC,得出”=—,證明△力尸。八ABE,得出乙4OF=乙4EB=90°,即可得出答案；

AFAC

（3）證明△CEB八CBD,得出黑=霽,求出CD-CE=CB2=（2V6）2=24,以點4為圓心,2為半徑作O4

貝都在。4上，延長C4至UE。，使CE。=6,交04于連接E（）E,證明AECEo-△￡?OCD,得出NCDD。=

NC&）E=90。，說明點E在過點&）且與CE。垂直的直線上運動，過點8作垂足為E',連接CE',根

據垂線段最短，得出當點E在點◎處時，8E最小，根據勾股定理求出結果即可.

23

【詳解】解：（1）VAACB=90°,

???Z.A+Z.B=90°,

vCD1AB,

???乙ADC=90°,

.??乙4+乙4co=90°,

Z.B=Z-ACD,

???Z.A=Z-A,

：.^ABC八ACD,

AB_AC

??AC~AD9

AC2=AD-AB；

（2）AAEB是直角三角形；理由如下：

???^ACE=AAFC,/.CAE=AFAC

ACF?&AEC,

tAC_AE

??AF~AC9

/.AC2=AF-AE,

由⑴得/。2=AD-AB,

AF-AE=AD-AB,

.AF_AD

ABAE

???Z-FAD=Z-BAE,

AFDABE,

^ADF=^LAEB=90°,

??.△ZEB是直角三角形.

（3）???乙CEB=乙CBD,乙ECB=乙BCD,

???△CEBCBD,

.CE_CB

,?=9

CBCD

2

???CD-CE=CB2=（2V6）=24,

如圖，以點力為圓心，2為半徑作。4則C,D都在04上，延長C4到E。，使CE°=6,交04于％,連接E（）E,

24

則CDo=4,

??PDo為。4的直徑，

Z-CDDQ=90。，

???CD0?CEQ=24=CD-CE,

.CDQ_CD

??=~~~,

CECE0

???Z-ECE0=Z-DQCD,

ECEQDQCD,

???Z.CDDQ=Z-CEQE=90。，

.,.點E在過點&）且與CE。垂直的直線上運動，

過點B作BE，_LEoE,垂足為。，連接CE',

??,垂線段最短，

，當點E在點E'處時，8E最小，

即BE的最小值為BE'的長，

/LCEOE'=Z.E0CB=Z.BE'E0=90°,

.??四邊形CE°E，B是矩形，

.".BE'=CE0=6,

在RtACE。。中根據勾股定理得：CE，=J（2V6）2+62=2V15,

即當線段BE的長度取得最小值時，線段CE的長為2后.

【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，圓周角定理，矩形的判定和性質，勾股定理，垂線段

最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

23.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在矩形2BCD中，AB>2AD,點E,F分別在邊AB,CD上.將△力DF

沿4F折疊，點D的對應點G恰好落在對角線4c上；將ACBE沿CE折疊，點B的對應點“恰好也落在對角線2C

上.連接GE,FH.

25

DFC

求證：

（l）AXFHSACFG-,

（2）四邊形EGFH為平行四邊形.

【答案】（1）證明見解析；

⑵證明見解析.

【分析】（1）由矩形的性質可得4。=BC,48=ND=90。，ABWCD,即得4瓦4口=NfCG,由折疊的性質

可得力G=AD,CH=CB,Z.CHE=NB=90°,^AGF=ND=90°,即得CH=AG,乙AHE=乙CGF=90°,

進而得4H=CG,即可由ASA證明△AEH三△CFG；

（2）由（1）得41HE=NCGF=90。，^AEH=△CFG,即可得到EHIIFG,EH=FG,進而即可求證；

本題考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，掌握矩形和折疊

的性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：???四邊形2BCD是矩形，

：.AD=BC,=Z.D=90°,AB\\CD,

J.LEAH=Z.FCG,

由折疊可得，AG=AD,CH=CB,ACHE=ZB=90°,^AGF=z￡）=90°,

:.CH=AG,4AHE=乙CGF=90°,

：.AH=CG,

在△2￡7/和4CFG中，

'LEAH=乙FCG

AH=CG,

./.AHE="GF=90°

?.AAEHSACFG（ASA）；

（2）證明：由（1）知NAME=ZCGF=90°,AAEHm4CFG,

：.EH\\FG,EH=FG,

...四邊形EGFH為平行四邊形.

24.（2024?廣東?中考真題）【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點B,。是直線丫=4X6>0）上第一象限內的兩個動點（0。>。8）,以線段

BD為對角線作矩形4BCD,4D||x軸.反比例函數y=：的圖象經過點A.

26

【構建聯系】

(1)求證：函數y=§的圖象必經過點C.

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點8的坐標為(1,2)時，

求上的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為￡.當點E,A重合時，連接4C交BD于點P.以點

。為圓心，4C長為半徑作O0.若。P=3或,當。。與AaBC的邊有交點時，求左的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)k=￡；(3)6<fc<8

【分析】⑴設80n,ma),則4加甫)，用含山水的代數式表示出C(看，叫)，再代入丫=等證即可得解;

(2)先由點8的坐標和上表示出DC=k—2,再由折疊性質得出2如圖，過點。作DHly軸，過點

BE

2作BF_Ly軸，證出△￡)"￡'sAEFB,由比值關系可求出HF=2+%最后由HF=DC即可得解；

(3)當。。過點B時，如圖所示，過點D作。H||x軸交y軸于點求出人的值，當。。過點A時，根據

A,C關于直線。。對軸知，。。必過點C,如圖所示，連4。，CO,過點。作||x軸交y軸于點H,求出

左的值，進而即可求出左的取值范圍.

【詳解】(1)設B(m,zna),則4(犯§,

V4D||x軸，

點的縱坐標為士

m

?,?將y=石代入y=a%中得：—=a%得，

mm

27

AC

工將第=總代入y=g中得出y=am,

???函數y=§的圖象必經過點C；

(2)???點3(1,2)在直線丁=。％上，

??6Z—2,

Ay=2%,

，A點的橫坐標為1,。點的縱坐標為2,

?..函數y=B的圖象經過點A，C,

/?eg,2),X(l,fc),

/,Z)(2,fe),

:?DC=k-2,

??,把矩形4BCD沿BD折疊，點C的對應點為E,

k

：.BE=BC=--1,2BED=乙BCD=90°,

2

?DCk-2仁DE

??—T-Z—,

BCJBE

2

如圖，過點。作軸，過點B作軸,

:.H,A,。三點共線，

:?乙HED+乙BEF=90°,乙BEF+乙EBF=90°,

;,乙HED=Z.EBF,

■:乙DHE=乙EFB=90°,

28

A△DHE?AEFB,

.DHHEDE仁

??—=—=—=2,

EFBFBE