規律問題

2025年中考數學壓軸題專題訓練

1.（1）【觀察猜想】

112

第1個等式：i-3=（2-l）（2+l）J

119

第2個等式：3-5=（4-1）（4+1）J

1]2

第3個等式：5-7=（6-1）（6+1）,

第4個等式：①;

第"個等式：②；

（2）【應用遷移】

、+管1?1?1?+_______1_______

計算:（2-1）（2+1）+（4-1）（4+1）+（6-1）（6+1）++（2024-1）（2024+1）

2.如圖，下列圖案均由長度相同的小棒按一定的規律拼搭而成：第1個圖案需要7根小棒，第2個圖案需要13

根小棒，第3個圖案需要18根小棒，第4個圖案需要23根小棒，…，依此規律擺放.

m?EiJHIi-

第1個第2個第3個第4個

(1)則第5個圖案需要根小棒；

(2)用含〃的代數式表示第〃(心2且〃為整數)個圖案中小捧的數量；(結果化為最簡形式)

(3)如果小明共有688根小棒，按上面的規律擺出一個圖案，那么他可以擺出第幾個圖案.

3.觀察算式，找規律:

尸=1；

13+23=9；

13+23+33=36；

試卷第1頁，共8頁

13+23+33+43=100；

33333

⑴由以上算式可知：1+2+3+4+5=

(2)計算：113+123+133+143++203.

4.點Z從數軸上表示+2的點開始移動，第一次先向左移動1個單位，再向右移動2個單位，第二次先向左移動

3個單位長度，再向右移動4個單位；第三次先向左移動5個單位，再向右移動6個單位…

(1)寫出第一次移動后這個點在數軸上表示的數為;

(2)寫出第四次移動后這個點在數軸上表示的數為；

(3)如果第〃次移動后這個點在數軸上表示的數為168,求”的值.

5.先觀察，再解題:

因為1一;=±，11_11

2~3~2^33~43^4

所以

⑴*

(2)請接著完成下面的計算:

----1-----1FLH=1—|+||+|+L+------

1x22x33x4-----49x5012)(23)(34J(4950

⑶參照上述解法計算卷+白+*++布焉.

試卷第2頁，共8頁

6.閱讀下列解題過程:

￡

2

2

3

(2)按照你所發現的規律，猜想:；(〃為正整數)

(3)計算:

7.觀察下列等式：

第1個等式：a1=1+1^2=2'

第2個等式：*

第3個等式：％，七七;

第4個等式：-1+白粽;

根據以上規律解答以下問題：

(1)寫出第5個等式：；寫出第〃個等式：；

(2)由分式性質可知：M：+i)，試求6+%+%+…+聯-2023的值.

8.觀察下列三行數：

—2,4,—8,16,—32,64,...；①

—1,5,—7,17,—31,65,...；②

試卷第3頁，共8頁

-g,1,—2,4,—8,16,....③

(1)直接寫出第②行第七個數是，第③行第七個數是

(2)取每行的第8個數，計算這三個數的和.

9.從2開始，連續的偶數相加，它們的和的情況如下表:

加數m的個數和S

12=1x2

22+4=6=2X3

32+4+6=12=3x4

42+4+6+8=20=4x5

52+4+6+8+10=30=5x6

(1)按這個規律，當加=6時，和S為；

⑵從2開始，加個連續偶數相加，它們的和S與加之間的關系，用公式表示出來為：s=

(3)應用上述公式計算：

①2+4+6+8+...+100

(2)1002+1004+1006+...+1100

10.觀察以下等式：

第1個等式：氐加4

第2個等式:《號《T

第3個等式：裊*冷)

第4個等式：木=?(〉》

試卷第4頁，共8頁

按照以上規律，解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：_；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：_（用含正整數"的等式表示），并加以證明;

⑶若人+*+0+…+（2”+3）；2”+5）的值為9求正整數"的值?

11.若干個有規律的數，排列如下：

第一行1

第二行-1-3

第三行139

第四行-1-3-9-27

第五行1392781

試探究：

（1）第2012個數在第幾行？這個數是多少？（每行的數都是從左往右數）

⑵寫出第〃行第a個數的代數式；（用含〃，4的式子表示）

（3）求第2012個數所在行的所有數之和S.

12.將連續的奇數1,3,5,7,9,……排成如圖所示的數表.

⑴寫出數表所表示的規律；（至少寫出4個）

（2）若將方框上下左右移動，可框住另外的9個數.若9個數之和等于297,求方框里中間數是多少？

試卷第5頁，共8頁

13.規律探究：

15x15=1x2x100+25=225；

25x25=2x3x100+25=625；

35x35=3x4x100+25=1225；

⑴第4行為」

(2)用含n的式子表示規律并證明.

14.先閱讀材料，再解決問題.

喬=&=1；

Jr+2^=用=3；

713+23+33=V6r=6;

1/13+23+33+43=屈'=10;

根據上面的規律，解決問題：

(1)Vl3+23+33+43+53+63=___=____;

(2)求JF+23+33+—+/(用含"的代數式表示).

15.觀察下列等式，探究其中的規律并解答問題:

1=12

2+3+4=32

3+4+5+6+7=52

4+5+6+7+8+9+10=產

(1)第4個等式中，k=；

試卷第6頁，共8頁

(2)寫出第5個等式：；

(3)寫出第〃個等式：(其中”為正整數)

16.觀察下列等式，并按其中規律解答問題:

下列等式：P=12；

p+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

(1)填空：13+23+33+43+53=.p+23+33+43+53+63=.

(2)求P+23+33+43+...+然的值(用含〃的式子表示，"為正整數).

17.探究規律：觀察下面三行數

①一2,4,—8,16,-32,64,...；

②0,6,—6,18,-30,66,...；

③一1,2,—4,8,—16,32,...；

(1)第①行第8個數是」第②行第8個數是一；第③行第8個數是

(2)第①行第〃個數是二(用字母〃表示)；若設第①行第〃個數是為。，則第②，③行第〃個數分別為是一，

(用含。的式子表示)；

(3)第③行中是否存在連續的三個數的和為一192,若存在，求出這三個數；若不存在，說明理由.

試卷第7頁，共8頁

18.(1)觀察下列單項式：“3/,-5?,73-9x5,寫出第"個單項式.

請認真閱讀下面的解題思路

請注意：①一④小題不需作答：

①這組單項式中不變的是什么？直接寫下來；②這組單項式中系數的符號規律是什么？

③這組單項式中系數的絕對值規律是什么？④這組單項式的次數的規律是什么？

探究：

⑤根據上面的歸納，猜想出第"個單項式是_(只用7個含〃的式子表示，

"是正整數).

⑥第2019個單項式是「第2020個單項式是，

拓展：

(2)請先觀察下面的等式：

①32-f=8=8xl；②5-32=16=8x2;③72-52=24=8x3;④95=32=8*4;....按上面的規律填空：第⑥個等式

是「第⑨個等式是「第"個等式二

(3)請你用(2)的規律計算20212-2019。的值.

試卷第8頁，共8頁

參考答案

1小、11=21______1.21012

1,79（8-1）（8+1）J212n+l（2n-l）（2?+l）;2025

【分析】本題主要考查了數字變化的規律及有理數的混合運算；

（1）根據所給等式，發現各部分的變化規律即可解決問題.

（2）根據（1）中發現的規律進行計算即可.

112

【詳解】解：⑴①第1個等式：丁廠（2-1）（2+1），

112

第2個等式：3-5=（4-l）（4+l）J

119

第3個等式：5-7=（6-1）（6+1）,

112

第4個等式：7-9=（8-1）（8+1）;

112

第〃個等式：2n-l~2n+l=（2n-l）（2n+l）;

11_21______1_2

故口木為：7-9-（8-1）（8+1）?2九一2八+1一（2.—1）（21+1）；

0、百葉」222_______2_______

⑵原式一萬（2-1）（2+1）+（4-1）（4+1）+（6-1）（6+1）++（2024-1）（2024+1）

=平一駕—+□_一_q

2113355720232025；

斗2（，2025J）

12024

=—x----

22025

1012

~2025,

2.（1）28

⑵第"個圖案所需小棒的根數為廊+3）（“22且”為正整數）根

⑶他可以擺出第137個圖案

【分析】本題考查了規律題一圖形的變化類，一元一次方程的應用；

（1）根據已知的前四個圖案即可得到第五個圖案需要根小棒；

（2）根據前四個圖案所需小棒的根數變式，即可得到"個圖案所需小棒的根數;

（3）將已知的688根小棒代入（2）,列出方程，解方程求解即可.

【詳解】（1）解：第1個圖案需要7根小棒，第2個圖案需要13根小棒，

第3個圖案需要13+5=18根小棒，

第4個圖案需要18+5=23根小棒，

則第5個圖案需要23+5=28根小棒，

故答案為：28；

（2）解：由所給圖形可知，第1個圖案所需小棒的根數為：7；

第2個圖案所需小棒的根數為：13=5x2+3；

第3個圖案所需小棒的根數為：18=5x3+3；

第4個圖案所需小棒的根數為：23=5x4+3；

答案第1頁，共U頁

由此可見，從第2個圖案開始，所需小棒的根數依次增加5,

所以第〃個圖案所需小棒的根數為(5"+3)(W2且，，為正整數)根.

(3)解：由(2)可得5"+3=688,

解得"=137,

所以他可以擺出第137個圖案.

3.(1)225

(2)41075

【分析】本題考查數字的變化規律.

(1)仿照前面的算式即可得出結果.

(2)根據數據可分析出規律為：從1開始，連續"個數的立方和等于(1+2+.+”*根據1「+1級+13，+卬++20=

(13+23+33++20)-(f+23+3,+-+10)計算即可.

【詳解】(1)解：通過觀察：

f=『=1,

13+23=(1+2)2=32=9,

13+23+33=(1+2+3)2=62=36,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=10。=100,

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225,

故答案為：225；

(2)解：通過觀察，可得：從1開始，連續〃個數的立方和等于。+2++4，

gpi3+23+33++n3=(l+2+3++n)2,

據止匕可得：13+23+33++20=0+2+3++201=[(1]20)X22；=44100,

13+23+33+..+103=(1+2+3++]0『=3025,

/.113+123+133+143++203=44100-3025=41075.

4.(1)+3;

(2)+6;

(3)166.

【分析】(1)直接利用點平移的性質得出對應的數字；

(2)直接利用點平移的性質得出對應的數字；

(3)根據前兩問得出平移規律，進而求解.

【詳解】(1)解：從數軸上表示+2的點開始移動，

，第一次先向左平移1個單位，再向右移動2個單位，

答案第2頁，共11頁

第一次移動后這個點在數軸上表示的數為2T+2=3；

(2)解：第二次先向左移動3個單位長度，再向右移動4個單位，

第二次移動后這個點在數軸上表示的數為3-3+4=4；

..?第三次先向左移動5個單位，再向右移動6個單位，

...第三次移動后這個點在數軸上表示的數為："5+6=5,

???第四次先向左移動7個單位，再向右移動8個單位，

???第四次移動后這個點在數軸上表示的數為：5-7+8=6；

(3)解：由以上可得：第〃次移動結果這個點在數軸上表示的數為："+2.

〃+2=168,

解得："=166.

【點睛】此題主要考查了數軸以及點的平移，正確得出平移規律是解題的關鍵.

【分析】(1)根據所給的等式的形式進行求解即可;

(2)利用所給的等式的形式進行求解即可；

(3)仿照(2)的解答方式進行求解即可

【詳解】(1)解：由題意得：息1J，

故答案為：

JO

(2)解：—+—+—+

川十1x22x33x449x50

”+仕—+L+—]

(2八23J(34J(4950J

,11111,11

223344950

=1-±

50

_49

~50；

⑶解：=+—十篇1

213)2(35J2157)2(4951,1

2<335574951J

150

=-X——

251

25

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規律.

6.(1)!

答案第3頁，共U頁

v7100

【分析】(1)利用算術平方根的意義解答即可；

(2)利用式子的規律解答即可；

(3)利用上面的規律將每個算術平方根化簡，再利用分數的乘法的法則運算即可.

【詳解】(1)解：樣

6

~7；

(2)解：依據上述運算的規律可得：

f2n+l_n

\(n+1)2~~n+l；

⑶解:原式《衿。爵

1

-100,

【點睛】本題主要考查了實數的運算，數式規律探究，發現數字運算的規律并熟練應用是解題的關鍵.

|311+1

7?(1)%=1+嬴=元，a-=l+^l)=?(?+!)；

⑵-〉

【分析】(1)類比給出的4個等式，寫出第5個等式即可，進而得出第〃個等式;

(2)利用得到的規律將原式變形，再計算即可.

【詳解】⑴解：%=1+/=條

a_t11_n(n+l)+l_

n〃(九+1)〃(九+1)'

(2)解：JM^,=1+—+1+—+1+—+--+1+-----1---------2023

陽，不|x22x33x42022x2023

2023,

【點睛】此題考查數字的變化規律，從簡單情形入手，找出一般規律，利用規律解決問題.

8.(1)-127,-32

(2)這三個數的和為577

【分析】(1)根據觀察，第②行第n個數為(-i)'x2”+i由此規律即可得到第七個數；

根據觀察第③行，第n個數為(-1)隈2"-2由此規律即可得到第七個數；

(2)根據觀察，第①行第n個數為(-1)隈2"由此規律即可得出第八個數，再將每行的第八個數相加即可得到答

案.

【詳解】(1)根據觀察，第②行第n個數為(-1),*2”+1,則第七個數為一127；

根據觀察第③行，第n個數為(-1)隈2一，則第七個數為-32.

故答案為：一127；-32.

(2)第①行第n個數為I)"x2,由此規律即可得出第八個數，

答案第4頁，共11頁

.??第①行第8個數是256,

第②行第8個數是256+1=257,

第③行第8個數是-32x(-2)=64,

這三個數的和為：256+257+64=577.

【點睛】本題考查了數字的變化規律探究、有理數的混合運算，仔細觀察，得出每行數字的變化規律是解答

的關鍵.

9.(1)(1)42；

(2)m(m+1)；

(3)①2550；②52550.

【分析】(1)根據表格中的數據，可以計算出力=6時，S的值；

(2)根據表格中的數據，可以計算出S=2+4+6+...+2"的值；

(3)根據(2)中的規律進行求解，加數不是從2開始的，我們可以先按從2開始進行計算，然后再減去前

面多加的數即可.

【詳解】(1)由題意得：當機=6時，8=2+4+6+8+10+12=6x7=42,

故答案為：42；

(2)由題意可得：

S=2+4+6+...+2m=m(m+1),

故答案為：m(m+1)；

(3)①2+4+6+...+100

八

=1-0-0x(z—10-0+1)

22

=50x51

=2550；

②1002+1004+1006+...+1100

=2+4+6+...+1100-(2+4+6+...+1000)

=550x551-500x501

=303050-250500

=52550；

【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律解決問題.

■.⑴熹《哈》

(2)(2i；(2"+Ex(/r/T)'證明見解析

(3)7

【分析】(1)根據前四個式子的規律，寫出第5個式子，即可求解；

(2)由(1)中的式子得到規律，即可求解；

答案第5頁，共u頁

（3）根據題意把原式變形為;*（1一斗白（:一!]+*!一;）+.+入伍乜一3目，可得

2v5J2^35J^\5772\2n+5Zn+jJ

白口《+（4+!-）+...+■-/],再化簡可得到4一三），然后得到關于〃的方程，即可求解.

2v33D3/2n+5Zn+j）2\Zn+jJ

【詳解】（1）解：根據題意得：第1個等式：^=1x（l-l）

第2個等式:白=河+

第3個等式:裊鴻今

第4個等式：木=5（9》

第5個等式:焉=拜帶

故答案為:

（2）由⑴得：第〃個等式：（2"一，（2〃+1）=3+一*）

證明：右邊=.x（2.+l）（2.—l）

2

-「2X(2n+l)(2?-l)

1

-(2H+1)(2W-1)

=左邊；

111]

—+—+—+

(3)1x33x55x7（2〃+3）（2〃+5）

乂1-撲？￡）+乂泊卜+乂熹-*）

1(111111_______

—X1----1-------1-------F

2I335572n+32n+5)

+(2〃+3)(2〃+5)的值為V>

11

整理得:2m+5-19

解得：?=7,

檢驗：當〃=7時，2"+5wO,

，"=7是原方程的解.

【點睛】本題主要考查了分式的規律性問題，分式加減的應用，解分式方程，明確題意，準確得到規律是解

題的關鍵.

11.⑴第63行，這個數為358；

⑵（-1）/3口；

3l

（3）T.

【分析】每一行的數的個數和行數都是相同的，奇數行的數字都是3鼠/,偶數行的數字都是（-3）統

一為（-1）力

（1）設第2012個數在第"行，貝|1+2+3+...+〃=約羅，估算得出答案即可；

（2）有以上分析直接寫出即可；

（3）寫出第2012個數所在行的所有數，進一步求和即可.

答案第6頁，共11頁

【詳解】(1)解：???每一行的數的個數和行數都是相同的，奇數行的數字都是3nL偶數行的數字都是(-3)

n'1,設行數為"，數字個數為尢,

—1+2+3+...+"=

62x(62+1)

當n=62時,=1953；

2

當〃=63時，=2016；

.62x(62+1)_1953<2012<63x(63+1)=2016,

…2一2

所以第2012個數在第63行，從左往右數第2012-1953=59個，這個數為3$8；

(2)解：由以上分析可直接寫出為(-1)3k4

(3)解：VS=l+3+32+...+362@

???3S=3+32+...+362+363②

由②-①得2s=363-1

l+3+32+..,+362=—.

2

【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的聯系，得出規律，解決問題.

12.(1)見解析

(2)方框里中間數是33

【分析】(1)觀察所給的數表即可得；

(2)設方框里中間數為X,則另外8個數為X-2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,x+8,由題意得，

%-2+x-2+%—lO+x+10+x—12+x+12+%-8+%+8+%=297

進行計算即可得.

【詳解】(1)解：規律有：①第一列個位數都是1,②每行只有5個奇數，③每行相鄰兩個數的和是2的倍數,

④每列相鄰的兩個數相差10.

(2)解：設方框里中間數為X,則另外8個數為x-2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,x+8,

吳網，意^,X—2+x—2+x—lO+x+10+x—12+%+12+x—8+x+8+x=297

9%=297,

%=33,

則方框里中間數是33.

【點睛】本題考查了數字規律，一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，掌握一元一次方程的應用.

13.(1)45x45=4x5x100+25=2025

(2)(10?+5)2=100"(n+1)+25,證明見解析

【分析】(1)從給出的數據分析得，這些得出的結果最后兩位都為25,百位以上2=1x2,6=2x3,12=3“4,…，

依此類推得出規律：百位為松(〃+1).

(2)直接利用已知數據變化規律進而得出符合題意的公式.

【詳解】(1)解：根據數據可分析出規律，個位數位5的整數的平方運算結果的最后2位一定是25,百位以

上結果則為"X(〃+1),

答案第7頁，共U頁

.?.第4個算式應為45x45=4x5x100+25=2025.

(2)規律:(10n+5)2=100〃(?+1)+25,

證明：?.,左邊=100/+100"+25,

右邊=100/+100〃+25,

二左邊=右邊，

(10n+5)2=100〃(n+1)+25.

【點睛】本題考查規律型中的數字變化問題，本題的規律為個位數位5的整數的平方運算結果的最后2位一

定是25,百位以上結果則為"*(〃+1),難度一般.

14.(1)用,21；(2)

【分析】(1)觀察各個等式中最左邊的被開方數中各個幕的底數的和與最右邊的結果的關系即可得到結論；

(2)利用(1)發現的規律解答即可.

【詳解】解：々+23=五=3中,1+2=3,

值標于=病=6中，1+2+3=6,

7i3+23+33+43=^/101=10中，1+2+3+4=10,

???等式中最左邊的被開方數中各個幕的底數的和=右邊的結果.

,??1+2+3+4+5+6=21,

(1)Vl3+23+33+43+53+63==21.

故答案為：亞F,21；

(2)由(1)中發現的規律可得：

Vl3+23+33++n3=?+2+3++.)2=1+2+3+???+〃=.

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，本題是規律型題目，發現數字間的變化的規律是解題的關

鍵.

15.(1)7；(2)s+(s+l)+(s+2)+...+(3s—2)=(2s—I)2；(3)〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃一2)=(2〃-I)2

【分析】(1)根據前三個式子得出規律：結果是奇數的平方即可解答；

(2)根據前三個式子的規律：每一行的第一個數是行數，后面是奇數個連續整數的和，右邊是奇數的平方,

據此即可寫出結果；

(3)根據(2)中規律直接寫出結果即可.

【詳解】解：(1)由前三個等式知，第4個等式為：4+5+6+7+8+9+10=72,

47,

故答案為：7；

(2)由所給等式可知，

第s個等式為：s+(s+l)+(s+2)+...+(3s—2)=(2s—Ip,

故答案為：s+(s+l)+(s+2)+...+(3s-2)=(2s—Ip；

答案第8頁，共11頁

(3)由(2)知，第"個等式為:"+(〃+1)+(〃+2)+...+(3?-2)=(2?-1)2,

故答案為："個等式為:〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3?—2)=(2〃一I)2.

【點睛】本題考查數字類規律探究，理解題意，找到等式的規律是解答的關鍵.

16.(1)152,212;(2)F+23+33+43+K+/=(l+2+3+4+K,)2=["(；+1)]

【分析】(1)根據13^1)2=12,P+23=(I+2)2=32,F+23+33=(1+2+3)2=62,F++33+4?=(1+2+3+葉=及進行求解即可；

(2)由(1)得至I」的規律可得13+23+3、43+K+〃3=(I+2+3+4+K〃)2,再由I+2+3+4+K+〃=攻詈,由此即可得到答

案.

【詳解】解：(1)V13=(1)2=12

13+23=(1+2)2=32,

F+23+33=0+2+3)2=62,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212；

故答案為：夕，212;

(2)V13=(1)2=12

13+23=(1+2)2=32,

13+23+33=(1+2+3)2=62,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,

...l3+23+33+43+K+W3=(1+2+3+4+K?)2,

???l+2+3+4+K+〃中，第1個數和最后一個數的和為〃+1,第二個數和倒數第二個數的和也為"+1,即一共有]個

n+\,

1+2+3+4+K+“=^1,

l3+23+33+43+K+n3=(l+2+3+4+K二["(丁)；.

【點睛】本題主要考查了數字類的規律問題，解題的關鍵在于能夠根據題意找到規律進行求解.

17.(1)256,258,128；(2)(-2)"；。+2和;°；(3)存在，-64,128,-256

【分析】(1)根據題意得出第①行的每個數為-2的序數次幕，第②行每個數比第1行相應的數大2及第③行

的每個數是第1行相應數的一半，據此可得；

(2)根據(1)得出的規律即可求解；

(3)表示出連續的三個數，求出相應的〃個值，即可求解.

【詳解】解：(1)第①行：：第1個數-2=(-2%第2個數4=(-2)2,第3個數-8=(-2)3,…

第8個數為(-2)8=256；

第②行：第8個數為：256+2=258；

答案第9頁，共u頁

第③行：第8個數為：256+2=128