求二次函數解析式

；X改&T式

I'―”一，,,二一…“J

二次函數的解析式

(1)三種解析式：

①一般式：y=ax2+bx+c；

②頂點式：y=a(x-h)2+k(aW0),其中二次函數的頂點坐標是(h,k);

③交點式：y=a(x-xi)(x-X2),其中xi,X2為拋物線與x軸交點的橫坐標.

(2)待定系數法：巧設二次函數的解析式；根據已知條件，得到關于待定系數的方程(組)；

解方程(組)，求出待定系數的值，從而求出函數的解析式.

1.己知拋物線y-ax2-lax-3(a0)經過點A(-l,0).

(1)求拋物線的函數表達式和頂點坐標；

(2)若拋物線上有一動點尸(x,y),當-2烈2時，y的最大值是機，最小值是〃，求機-w的值；

【分析】(1)直接把A點坐標代入>=辦2一2辦-3中求出a,從而得到拋物線解析式，然后把一般式化為

頂點式得到拋物線的頂點坐標；

(2)根據題意得到尤的范圍為-2都r2,再分別計算出x=2和x=-2所對應的函數值，則根據二次函數的

性質得到對應的y的范圍，從而得到："、〃的值，然后計算機-”的值.

【解答】解：(1)把4-1,0)代入拋物線解析式得a+2a-3=0,

解得a=l>

解析式為y=x2—2x—3；

-y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

頂點坐標為(1,-4)；

(2),點尸(x,y)到y軸的距離不大于2,

,-2軸2,

一彳=一2時，y-x2-2x-3-5；x=2時，y=x2-2x-3=-3；x=l時，y有最小值T,

.?.當-2烈2時，-4麴，5,

即〃=T,m=5,

m—n—5—(Y)=9.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.也考查了二次函數的性質.

2.在平面直角坐標系中，二次函數>=依2+法-1("0)，經過點8(1,4),C(-2,l).

(1)求二次函數的解析式；

(2)求此函數的頂點坐標；

(3)當-1麴k0時，求y的取值范圍.

【分析】(1)把點B(l,4)和C(-2,l)代入二次函數y=依2+^;_l("0)得關于a,6的方程組，解方程組,

求出Q,Z?即可;

(2)根據二次函數的解析式，利用頂點公式，求出頂點坐標即可；

(3)求出％=0和％=1時的函數值，如何根據二次函數的最小值，求出y的取值范圍即可.

【解答】解：(1)把點5(1,4)和以-2』)代入二次函數)=加+二-13n0)得：

[a+b-l=A

[4a-2b-l=l，

解得：仁，

.?.二次函數的解析式為：J=2X2+3X-1；

(1)?,?二次函數：>=2X2+3X-1,

a=2,b=3,c=—lJ

_b____3___3

2a2x24

4ac-t>2_4X2X(1)-32__17_

4a4x28

二次函數頂點坐標為：;

48

(3)?.,當x=-=Q時，y有最小值為一1三7，

當x=0時，y=2x02+3x0-l=-l；

當x=-l時，y=2x(-l)2+3x(-l)-l=-2；

.?.當一啜腺0時，y的取值范圍為：一?強中-1.

【點評】本題主要考查了二次函數的性質和利用待定系數法求二次函數的解析式，解題關鍵是熟練掌握利

用待定系數法求二次函數的解析式.

3.已知二次函數的圖象經過A(4,0),3(0,-4),C(2,-4)三點，求這個函數的表達式.

【分析】用待定系數法可解得答案.

【解答】解：設函數的表達式為y=6i?+法+c,

把4(4,0),8(0,-4),C(2,Y)坐標代入得:

16〃+4。+c=0

vc=-4

4。+2b+c=-4

解得＜b=-\,

c=-4

，這個函數的表達式為y=^x2-x-4.

【點評】本題考查用待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握待定系數法，能一次解方程組.

4.已知某二次函數圖象經過(0,-3),(-3,0),(1,0)三點，求該二次函數的頂點坐標.

【分析】設二次函數解析式為y=^2+bx+c,然后將(0,-3),(-3,0),(1,0)三點代入解方程組即可.

【解答】解：設二次函數解析式為＞=0^+云+。，

由(0,-3),(-3,0),(1,0),

c=-3

貝乂9Q-3Z?+c=0,

a+b+c=0

a=1

解得：＜b=2,

c二-3

則解析式：y=xL+2x-3,

化為頂點式可得：＞=(X+1)2-4,

.?.頂點坐標

【點評】本題考查待定系數法求二次函數解析式、會將二次函數化為頂點式是解決問題的關鍵.

5.己知一個拋物線經過點(3,0),(-1,0)和(2,-6).

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)求這個二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸.

【分析】(1)用待定系數法求解即可；

(2)根據頂點坐標公式求解即可.

(解答］解：⑴設y=a{x-3)(x+1)，

將(2,-6)代入，貝1」。=2,

y=2(%-3)(x+1)=2x2-4.r-6,

cb14ac-b2

(2)x=---=1,y------=—8，

2a"4a

頂點坐標為(1，-8)；對稱軸為直線x=l.

【點評】本題考查了待定系數法求函數解析式，以及二次函數的圖象和性質，對于二次函數丁=依2+方尤+c(°,

b,c為常數，。*0),其對稱軸是直線龍=-2,其頂點坐標是(-2,4-—62).

2a2a4a

6.已知一條拋物線的頂點坐標為(-2,T),且經過點(0,4),求拋物線的表達式.

【分析】根據頂點坐標設拋物線解析式為y=a(x+2)2-4,代入已知點坐標計算即可.

【解答】解：,拋物線的頂點坐標為(-2,7),

設拋物線表達式為y=a(x+2)2-4,

?拋物線經過點(0,4),

X各(0,4)代入y=a(x+2)--4,

得：4a—4=4,

..a—2,

y-2(尤+2)2—4.

【點評】本題考查二次函數函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握相關知識的靈

活運用.

7.二次函數圖象的頂點為(-1,2),圖象經過(0,1).

(1)求該二次函數的表達式；

(2)結合圖象，直接寫出當-2就Jr3時y的取值范圍.

【分析】(1)設頂點式y=a(x+l)2+2,然后把已知點的坐標代入求出。即可；

(2)先利用(1)中的解析式計算出自變量為-2和3所對應的自變量的范圍，再根據二次函數的性質得到

x=—l時，y有最大值2,然后結合圖象求解.

【解答】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+iy+2,

把(0,1)代入得l=ax(0+l)2+2,

解得67=—1,

拋物線解析式為y=-(X+1)2+2；

(2)當x=—2,y=—(―2+1)~+2=1,

當x=3,y=-(3+l)2+2=-14,

而x=-l時，y有最大值2,

.-.-2gijc3時，-141^2.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.也考查了二次函數的性質和二次函數圖

象上點的坐標特征.

8.根據下列條件，求二次函數的解析式.

(1)其圖象經過(0,2),(-1,0),(2,0)三點；

(2)其圖象頂點為(-1,4),且經過(2,-5).

【分析】(1)設出二次函數的一般式y=?x2+bx+c,再把點(-1,7),(1,1),(2,-5)代入求解即可；

(2)由頂點坐標(1,4)設出頂點式y=a(無-I)?+4,再把點(-2,-5)代入求解即可.

【解答】解：(1)設，=辦2+云+°,

2=c

把點(0,2),(-1,0),(2,0)代入得：\o=a-b+c,

0=4。+2b+c

a=-1

解得<Z?=1,

c=2

二.二次函數的解析式為>=-爐+x+2；

(2)..頂點為(—1,4),

設y=Q(X+1)2+4,

又.過點(2,-5),

.?/(2+1)2+4=-5,

/.CL——1，

二次函數的解析式為y=-(x+l)2+4,即y=-jc-2x+3.

【點評】本題考查了求二次函數的解析式，根據條件設出合適的解析式是解題的關鍵.

9.已知二次函數y=f+6無+c的圖象經過點A(l,-2)和5(0,-5).

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標；

(2)當-2熟k3時，求y的取值范圍.

【分析】(1)將點4(1,-2)和8(0,-5)代入y=/+6x+c解方程后化為頂點式即可；

(2)根據(1)中解析式確定對稱軸，確定開口方向后，根據增減性即能確定范圍.

【解答】解：⑴把點4(1,一2)和3(0,-5)代入產f+foc+c,

jl+b+c=-2

|c=-5

解得.?["=2,

[c=-5

故解析式為：y=x2+2x-5,

化為頂點式為：y=(x+l)2-6,

所以頂點：(-1,-6)；

(2)由(1)知：y=(x+l)2-6,

二對稱軸為x=-l,

Q=1>0,

.,.當x=-l時，y取最小值為-6,

當x>-l時，y隨尤的增大而增大，

當x<-1時，y隨尤的增大而減小，

由于當3時，則x=3,y取最大值為：10,

所以：-6麴，10.

【點評】本題考查二次函數的圖象和性質以及待定系數法求二次函數解析式，屬于基礎題，細心就好.

10.已知拋物線的頂點為(1,5),且圖象過點(2,7),求拋物線的解析式.

【分析】先設拋物線的解析式為：y=a(x-l)2+5,然后把點(2,7)代入>=〃(無-1)2+5,得關于。的方程,

求出a即可.

2

【解答】解：設拋物線的解析式為：y=a(X-l)+5,

把點(2,7)代入>=a(x-l)2+5得：

(2-1)%+5=7,

a+5=79

a=2,

，拋物線的解析式為：y=2(x-ir+5.

【點評】本題主要考查了利用待定系數法求拋物線的解析式，解題關鍵是熟練掌握利用待定系數法求拋物

線的解析式.

11.已知二次函數丫=辦2+云+3的圖象經過點(-3,0),(2,-5).

(1)求該二次函數的表達式；

(2)求該二次函數的頂點坐標.

【分析】(1)將(-3,0)和(2,-5)代入函數解析式即可.

(2)由(1)中的解析式即可解決問題.

【解答】解：(1)將(-3,0)和(2,-5)代入函數解析式得，

9。―3b+3=0

4〃+2b+3=—5

所以二次函數的表達式為y=-f-2X+3.

(2)因為y=-d-2x+3=-(x+l)2+4,

所以該二次函數的頂點坐標為(-1,4).

【點評】本題考查待定系數法求二次函數解析式，熟知待定系數法是解題的關鍵.

12.二次函數>=辦2+&+。圖象的頂點是A(2,l),且經過點2(1,0),求此函數的解析式.

【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，知道二次函數的頂點式是解題的關鍵.

【解答】解：設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+l,

將8(1,0)代入y=a(x-2r+l得，0=a+l,

a——1，

函數解析式為、=-5-2)2+1,

所以該拋物線的函數解析式為y=-/+4x-3.

【點評】本題考查了待定系數法求函數解析式，知道二次函數的頂點式是解題的關鍵.

13.已知二次函數的圖象的頂點坐標為(1,-6),且經過點(2,-8),求二次函數的解析式.

【分析】根據拋物線的頂點坐標設出，拋物線的解析式為：y=a(x-l)2-6,再把(2,-8)代入，求出。的值，

即可得出二次函數的解析式.

【解答】解：設拋物線的解析式為：>=a(x-l)2-6,

把(2,-8)代入解析式得a=-2,

則拋物線的解析式為：y=-2(x-l)2-6.

【點評】本題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，在已知拋物線頂點坐標的情況下，通常用頂點

式設二次函數的解析式.

14.已知二次函數的圖象頂點為知(2,-3),且經過點N(0,l).求這個二次函數的表達式.

【分析】設拋物線的頂點式，y=a(x-hy+k,由頂點為(2,-3),可得〃、％的值，再把(0,1)代入求出。即

可.

【解答】解：設拋物線的關系式為了=。(工-02+左，

由二次函數的圖象的頂點為(2,-3),可得，h=2,k=-3,

：.拋物線的關系式為y=a(尤-2)2-3,

把(0,1)代入得，4a-3=1,

..CL—1,

這個二次函數的表達式為y=(x-2)2-3.

【點評】考查待定系數法求函數的關系式，可以根據已知條件，確定設拋物線的頂點式、交點式，還是一

般式.

15.已知拋物線的頂點為(1,-3),且與y軸交于點(0,1),求這個二次函數的解析式.

【分析】根據題意可設頂點式為y=a(無-講-3,然后再進行求解即可.

【解答】解：設二次函數的解析式為y=a(x-l)2-3,則把點(0,1)代入得：

a—3=l,

.'.a=4,

.?.該二次函數的解析式為＞=4(x-l)2-3.

【點評】本題主要考查二次函數的解析式，熟練掌握利用待定系數法求解函數解析式是解題的關鍵.

16.已知二次函數的圖象經過(-6,0),(2,0),(0,-6)三點.

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)求這個二次函數的頂點坐標.

【分析】(1)利用待定系數法求得即可；

(2)把(1)中的解析式配成頂點式，然后根據二次函數的性質即可得到二次函數圖象的頂點坐標.

【解答】解：(1)設二次函數的解析式為y=a(x-2)(尤+6)(430),

?圖象過點(0,-6),

—12tz=―6,

，二次函數的解析式為y=：(x+6)(x-2)；

(2)y=g(x+6)(尤-2)=；f+2元一6=<(x+2)-8,

拋物線的頂點坐標為(-2,-8).

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選

擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂

點式來求解；當已知拋物線與無軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數的

性質.

17.已知拋物線>=2/+bx+c過點(1,3)和(0,4),求該拋物線的解析式.

【分析】將(0,4),(1,3)代入y=2/+云+。求得6,c的值，得到此函數的解析式.

【解答】解：-拋物線y=2x2+fec+c過點(1,3)和(0,4),

J2+6+c=3

[c=4

解得

[c=4

所以，該二次函數的解析式為y=2尤2-3x+4.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，得到兩個關于6、c的方程是解題的關鍵，也是本題的

難點.

18.(1)解方程：/+2n=0.

(2)已知二次函數圖象的頂點坐標為(-1,3),且經過點(0,2),求該二次函數的解析式.

【分析】(1)利用因式分解法解即可；

(2)利用待定系數法即可求出該二次函數的解析式.

【解答】解：(1)分解因式，得x(x+2)=0,

;.x=0,或x+2=0,

解得占=0,x,=—2；

(2)設拋物線的解析式為y=a(x+l)2+3,

將(0,2)代入得：2=a(0+1),+3,

解得o=-1,

拋物線的解析式為y=-(尤+1)?+3(或一尤2—2x+2).

【點評】本題考查因式分解法解一元二次方程，待定系數法求二次函數解析式，掌握一元二次方程的解法,

待定系數法求函數解析式的方法是解題的關鍵.

19.已知二次函數y=-無2+Zzx+c.

(1)當6=4,c=3時，

①求該函數圖象的頂點坐標；

②當-掇Ik3時，求y的取值范圍；

(2)當時，y的最大值為2；當x>0時，y的最大值為3,求二次函數的表達式.

【分析】(1)先把解析式進行配方，再求頂點；

(2)根據函數的增減性求解；

(3)根據函數的圖象和系數的關系，結合圖象求解.

【解答】解：(1)①：b=4,c=3時，

y=-x?+4.x+3——(無-2)~+7,

頂點坐標為(2,7).

②:3中含有頂點(2,7),

.?.當x=2時，y有最大值7,

-2-(-1)>3-2,

.?.當x=—l時，y有最小值為：-2,

.?.當-1麴上3時，-2麴，7.

(2)%,0時，y的最大值為2；x>0時，y的最大值為3,

.?.拋物線的對稱軸x=g在y軸的右側，

:.b>0,

?拋物線開口向下，用,0時，y的最大值為2,

.,.c=2,

又4x(-l)xc、2=

4x(-1)

:.b=±2,

b>0,

:.b=2.

二次函數的表達式為>=-尤2+2尤+2.

【點評】本題考查了二次函數的性質，掌握數形結合思想是解題的關鍵.

20.已知拋物線的頂點是(1,-3),與y軸交于點(0,-1),求該拋物線的解析式.

【分析】先設該拋物線的解析式為：y=a(x-l)2-3,然后把點(0,-1)代入函數解析式，求出。值即可.

【解答】解：設該拋物線的解析式為：y=a(x-1),-3,

把點(0,-1)代入y=q(xT)2-3得：

(0-1)2?-3=-1,

CL—3=-1,

4=2,

.?.該拋物線的解析式為：>=2(x-l)2-3.

【點評】本題主要考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，解題關鍵是熟練掌握利用待定系數法求二

次函數的解析式.

21.如圖,已知拋物線>=/+云+。經過4-1,0)5(3,0)兩點.

(1)求拋物線的函數表達式和頂點坐標；

(2)當—3<x<2時.，求y的取值范圍.

【分析】(1)將A(T,0)8(3,0)兩點代入y=d+6無+c求出6、c即可;

(2)根據函數圖象，結合-3<x<2,寫出函數值取值范圍即可.

【解答】解：(1).拋物線>=/+6尤+。經過4-1,0)、3(3,0)兩點,

\—b+c=0b=-2

,解得

9+3b+c=0c=-3

拋物線解析式為y=--2x-3,

y=x2-2x-3^(x-l)2-4,

頂點坐標為(1,-4)；

(2)?,y=(x-l)2-4,

拋物線開口向上，對稱軸為x=l,

.一.當x<l時，y隨x的增大而減小，當x>l時，y隨x的增大而增大，

當x=-3時，函數值y=12,

當l<x<2時，當x=3時，y有最大值為0,當x=l時，y有最小值為Y,

.,.當一3<x<2時，-4?y<12.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，

綜合性較強，難度適中.

22.已知二次函數圖象經過點A(l,0),S(-3,0),C(0,-3).

(1)求該二次函數的表達式.

(2)求該拋物線頂點坐標.

【分析】(1)設二次函數的表達式為：y=ax2+bx+c(a^0),然后把A,B,C三點坐標代入表達式，得

到一個三元一次方程組，求出加b,c的值即可；

(2)把(1)中所求函數表達式化成頂點式，從而求出頂點坐標.

【解答】解：(1)設二次函數的表達式為：y=ax2+bx+c(a^0),

把A(l,0),8(-3,0),<?(0,-3)代入〉=。/+次+。(。力0)得：

a+b+c=0

<9〃一3b+c=0,

c=-3

a=1

解之得：<b=2,

c二一3

，該二次函數的表達式為：y=d+2x-3；

(2)y=f+2x-3,

y=x?+2尤+1—4,

y=(無+1)2-4,

.?.二次函數的頂點坐標為

【點評】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式，解題關鍵是熟練掌握利用待定系數法求二次

函數的解析式.

23.若二次函數>=52+法一3的圖象經過(-1,0)和(3,0)兩點，求此二次函數的表達式，并指出其頂點坐標

和對稱軸.

【分析】利用待定系數法求二次函數的解析式，把點(-1,0)和(3,0)代入解析式，得出關于“，b的二元一次

方程組，求出a,b的值，得出二次函數的解析式，化成頂點式，即可求出頂點坐標和對稱軸.

【解答】解：.二次函數了=爾+6尤-3的圖象經過(-1,0)和(3,0)兩點，

(a-b-3=0

"[9a+3b-3=0,

解得a=l>6=—2,

二二次函數的表達式為y=f-2x-3=(x-l)2-4,頂點坐標為(1,-4),對稱軸為x=l.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析，拋物線的頂點坐標和對稱軸.熟練掌握待定系數法和

配犯法是解本題的關鍵.

24.已知，二次函數圖象經過點(2,0),(0,4),(-2,0),求二次函數的解析式.

【分析】設二次函數的解析式為>=0^+云+°(。/0),用待定系數法求解即可.

【解答】解：設二次函數的解析式為y=??+6x+c(aw0),

4a+2b+c=0

把(2,0),(0,4),(—2,0)代入解析式得：1=4,

4a—2b+c=0

a=-1

解得<Z?=0,

c=4

，二次函數的解析式為y=-x2+4.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握二次函數解析式的三種形式解題的關鍵.

25.如圖，拋物線分別經過點A(-2,0),8(3,0),C(l,6).

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)求當y>4時，自變量》的取值范圍.

【分析】(1)設交點式y=a(尤+2)(x-3),然后把C點坐標代入其。即可；

(2)結合函數圖象，寫出拋物線在直線y=4上方所對應的自變量的范圍即可.

【解答】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=aX3x(-2),解得a=-l,

所以拋物線的解析式為y=-(x+2)(x-3),

即y——x2+x+6；

(2)把y=4代入>=-/+x+6得，4=-爐+尤+6,

解得無=2或x=-1,

二.交點為(2,4),(-1,4),

拋物線y=-f+x+6開口向下，

.?.當y>4時，自變量x的取值范圍為

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=??+6x+c(a,b,c是常數，a*0)與x軸的

交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.

26.二次函數圖象的頂點坐標是(3,5),且拋物線經過點A(l,3).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)寫出它的開口方向，對稱軸、最值.

【分析】(1)設頂點式y=a(尤-3y+5,然后把A點坐標代入求出。即可得到拋物線的解析式;

(2)根據(1)中解析式，由函數的性質得出結論.

【解答】解：(1)設拋物線的解析式為y=a(x-3)2+5,

將A(l,3)代入上式得3=°(1-3)2+5,

解得°=」，

2

拋物線的解析式為y=-3(尤-3)2+5；

(2)y=-1(x-3)2+5,

拋物線開口向下，對稱軸為直線x=3,當x=3時函數的最大值為5.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.

27.在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=d+依+6過點A(-2,0),3(-1,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線的頂點C的坐標.

【分析】(1)將點3，C的坐標代入解析式得出關于。，6的方程組，解之可得；

(2)將拋物線解析式配方成頂點式得出點C的坐標，再根據兩點間的距離公式求出=io,oc2=10,

BC2=20,從而依據勾股定理逆定理求解可得.

【解答】解：⑴?拋物線y=f+辦+6經過點A(_2,0),8(—1,3),

14-2。+力=0

[1-〃+Z?=-3

解得"，

/.y=x2+6%+8.

(2)y=+6x+8=(x+3)~—1,

頂點C坐標為(-3,-1),

【點評】本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵是根據題意靈活設出函數解析式，并

熟練掌握二次函數的性質與勾股定理逆定理.

28.已知拋物線了=尤2+樂+。經過4-1,0)、8(3,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)當尤為何值時，y隨尤的增大而增大？

(3)當0<x<3時，求y的取值范圍.

【分析】(1)把人(-1,0)、3(3,0)代入解析式，由待定系數法即可求解;

(2)根據函數的性質即可求解；

(3)根據對稱軸在0~3之間，求出對應的y的值，結合函數圖象即可求解.

l-b+c=0

【解答】解：(1)把4-1,0)、<8(3,0)代入〉=尤2+法+。得

9+3Z?+c=0

所以拋物線解析式為y=V-2尤一3=(無-1)2-4,

頂點的坐標為(1,-4)；

(2)由(1)知，拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線開口向上，

.?.當x>l時，y隨x的增大而增大；

(3)?拋物線的對稱軸為直線x=l,

:?當x=T時，力.=-4，

當x=0時，y=-3；

當x=3時，y=0,

.?.當0<x<3時，y的取值范圍是-4,,”0.

【點評】此題主要考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，掌握待定系數法是解本題的關鍵.

29.已知二次函數圖象的頂點為(1,2),與y軸的交點為(0,3).求該二次函數的解析式.

【分析】由于已知頂點坐標，則可設頂點式y=a(x-l)2+2,然后把(0,3)代入求出。的值即可得到拋物線

解析式.

【解答】解：設拋物線解析式為了=。5-1)2+2,

把(0,3)代入得3=。(0-1)2+2,

解得a=l,

y=(x—1)-+2=—2x+3.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選

擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂

點式來求解；當已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.

30.已知拋物線y=f-6x+c經過點A(-l,0),5(3,0),求拋物線的解析式.

【分析】利用待定系數法即可求解.

【解答】解：將A(-LO),3(3,0)代入y=f一版+c得：

O=l+Z?+cb=2

,解得:

0=9-3/?+c

二拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

【點評】本題考查了待定系數法，熟練掌握其待定系數法求函數解析是解題的關鍵.

31.二次函數的圖象經過點4-2,0),8(3,0),C(l,6).

(1)求二次函數解析式；

(2)求當y>4時，自變量x的取值范圍.

【分析】(1)設交點式y=a(x+2)(x-3),然后把C點坐標代入其。即可；

(2)結合函數圖象，寫出拋物線在直線y=4上方所對應的自變量的范圍即可.

【解答】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=ax3x(—2),解得a=—1,

所以拋物線的解析式為y=-(x+2)(尤-3),

即y=-x2+x+6；

(2)把y=4代入y=-f+%+6得，4=-x2+x+6,

解得x=2或x=-1,

交點為(2,4),(-1,4),

■拋物線？=-爐+%+6開口向下，

.一.當y>4時，自變量x的取值范圍為

y

八

7JT

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數>=52+云+c(“，b,c是常數，awO)與x軸的

交點坐標問題轉化為解關于尤的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.

32.已知二次函數y=x2+Z的圖象經過點(-2,3),求二次函數的解析式.

【分析】用待定系數法求出函數解析式即可.

【解答】解：把點(-2,3)代入y=f+左得:3=(-2)2+k,

解得：k=—l>

二次函數的解析式為y=W-i.

【點評】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，求出左的值.

33.已知二次函數y=依?+c的圖象經過點(2,3)和(-1,-3).

(1)求此二次函數的解析式.

(2)x取何值時，y隨x的增大而減小？

【分析】⑴將點(2,3)和(-1,-3)坐標代入即可解決問題.

(2)根據(1)中所得二次函數的增減性即可解決問題.

【解答】解(1)由題知，

將點(2,3)和(-1,-3)坐標代入函數解析式得，

卜〃+c=3

|。+c=—3

a=2

解得

所以二次函數的解析式為y=2尤2一5.

(2)因為二次函數y=2元2-5的圖象開口向上,

且對稱軸為直線x=0,

所以當x<0時，y隨x的增大而減小.

【點評】本題考查待定系數法求二次函數解析式及二次函數的圖象和性質，熟知待定系數法及二次函數的

圖象和性質是解題的關鍵.

34.在平面直角坐標系xOy中，二次函數>=尤2-2"四+5機的圖象經過點(1,-2).

(1)求二次函數的表達式；

(2)求二次函數圖象的對稱軸.

【分析】(1)把點(1,-2)代入函數關系式進行計算即可；

(2)根據對稱軸公式進行計算即可.

【解答】解：(1),二次函數>=無2-2,加+5加的圖象經過點(1,-2),

2=1—2m+5m,

解得m=—l.

二.二次函數的表達式為y=x2+2x-5；

(2)a=1,b=2,

…la2x1'

二次函數圖象的對稱軸直線為：x=—1.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特

征，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

35.已知：二次函數y=/一座+加+1的圖象經過(0,5)

(1)求此二次函數的表達式；

(2)用配方法將其化為》=〃(％-")2+左的形式.

【分析】(1)把已知點的坐標代入y—如+機+i中求出租的值，從而得到拋物線解析式；

(2)利用配方法把一般式配成頂點式.

【解答】解：(1)把(0,5)代入y=/一如+用+1得根+1=5,

解得m=4，

所以二次函數解析式為了=%2一4%+5；

(2)丫=尤2-4工+5=>=%2-4無+4+1=(無一2)2+1.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.

36.已知二次函數>=辦2+笈-3的圖象經過4(1,0),B(2,5).

(1)求此二次函數的表達式；

(2)畫出該函數圖象；

(3)結合圖象，寫出當-2<x<2時，y的取值范圍.

【分析】(1)把點A、3的坐標代入〉=。｛+法-3得到關于。、6的方程組，然后解方程組即可；

(2)先確定拋物線與坐標軸的交點坐標和頂點坐標，然后利用描點法畫出二次函數的圖象；

(3)由于當x=-2,y=-3；x-2,y=5,由于x=-l時，y有最小值T,從而可確定當-2<x<2時,

y的取值范圍.

【解答】解：(1)把4(1,0),3(2,5)分另1」代入丁=。/+法一3得/‘+"13二°,

4。+28一3=5

.?.此二次函數的表達式為y=爐+2尤一3；

(2)當x=0時，了=丁+2彳-3=-3,則拋物線與y軸的交點坐標為(0,-3),

當y=0時，尤2+2了_3=0,解得占=-3,x2=l,則拋物線與x軸的交點坐標為(一3,0),(1,0),

:y=龍？+2尤一3=(x+1)?—4,

拋物線的頂點坐標為(-1,-4),

如圖,

y

而x=-l時，y有最小值T,

所以當-2<x<2時，y的取值范圍為T,y<5.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題

目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.也考查了二次函數的性質.

37.拋物線y=a(x+〃y的對稱軸是直線x=-2,且過點(1,-3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線的頂點坐標.

【分析】(1)由對稱軸可求得〃的值，再把(1,-3)代入可求得a的值，再求拋物線的解析式;

(2)由頂點式可求得拋物線的頂點坐標.

【解答】解：(1)