2025年九年級中考數學二輪復習專題之分類討論思想訓練

一、選擇題

1.已知等腰三角形的一內角度數為40°,則它的頂角的度數為（）

A.40°B.80°C.100°D.40°或10C

2.若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,那么x-y的值是（）

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12

CLbcCLIJC

3.如果a,b,c是非零有理數，那么而+而+而+的的所有可能的值為（）

A.-4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

4.若實數a、b滿足/-8。+5=0,廬-86+5=0,則——+——的值是（）

A.-20C.2或-20

5.若數軸上點A表示的數是-3,則與點A相距4個單位長度的點表示的數是（）

A.±4B.±1C.-7或1D.-1或7

6.若一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）

A.7B.14C.25D.7或25

7.二次函數y=-（尤-1）2+5,當機WxW〃且時，y的最小值為5加，最大值為5”，

則m+n的值為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

8.如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點.已知A、2是兩格點，如果《一

也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是（）]

A.6個B.7個C.8個D.9個

9.當1WXW3時，一次函數>=（〃計1）X+渥+1有最大值4,則實數機的值為（）

A.-2或0B.0或1C.-2或-3D.-3或1

10.△ABC中，AB^AC,A2邊的中垂線與直線AC所成的角為50°,則N2等于（）

A.70°B.20°或70°C.40°或70°D.40°或20°

二、解答題

11.如圖，已知直線y=-x+2與x軸交于點A,與y軸交于點2,P,。為線段AB上的

兩個動點(尸在0的右側)，且始終滿足NPOQ=45°.

(1)求證：AAOQS^BPO；

(2)記點尸的橫坐標為"z,。的縱坐標為〃，試判斷：P,。兩點在移動的過程中，動

點M(相，”)是否始終在一個確定的反比例函數上；若是，求出反比例函數的解析式;

若不是，也請說明理由；

(3)在(2)的情況下：

①請判斷：以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的形狀，并給出理由；

②若△AOQ與的面積相等時，記t—tanZAOP,當/WxW器時，拋物線-

x+2mn(a<0)的最小值恰好等于以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的面積，求該拋物

線二次項系數a的值.

12.定義：如果一條直線與一條曲線有且只有一個交點，且曲線位于直線的同旁，稱之為直

線與曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點叫做切點.

(1)如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，以點A(0,-3)為圓心，5為半

徑作圓A,交x軸的負半軸于點2,求過點B的圓A的切線的解析式；

(2)若拋物線y=a7(aWO)與直線>=區+6(AWO)相切于點(2,2),求直線的解析

式；

(3)若函數y-^x2+Cn-k-1)x+m+k-2的圖象與直線y=-無相切，且當-1W/W2

時，機的最小值為左，求左的值.

13.【定義】若二次函數>=以2+法+。的頂點在直線y=日上，則此二次函數叫做直線>=履

的開心函數.例如：二次函數>=/-2x+2的頂點為(1,1)在直線y=龍上，所以二次

函數y=/-2x+2是直線y=x的開心函數.

(1)若二次函數y=-f+4元-3是直線丁=丘的開心函數，求攵的值;

(2)若二次函數y=x2-4mx+n是直線y=-x的開心函數.

①求〃(用含機的代數式表示)；

②若當-2W%W4時，y的最小值為-2,求〃的值.

1

14.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=2,+"+c的圖象與x軸交于點A,B(4,

0)兩點，與y軸交于點C(0,-2).點M在線段BC上，動點。在直線BC下方的二

次函數圖象上.

(1)求二次函數的解析式；

(2)求△■BCD面積的最大值；

(3)若點N是平面直角坐標系中的一點，以C,D,M,N為頂點的四邊形是正方形，

求點N的坐標.

15.如圖，已知數軸上A,2兩點對應的數分別為-13和-5,B,C兩點對應的數互為相反

數.

dPc、/￥.￡

—13—50—13—5°

（備用圖）

（1）求AC的長；

（2）若點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點C運動.同時點。從點C

出發，以每秒2個單位長度的速度向點A運動；當點。到達點A后立即返回，仍然以每

秒2個單位長度的速度運動至點C停止，設運動時間為/（秒）.

①問f為何值時，B為尸。的中點？

②當PQ=^4C時，求f的值.

16.已知二次函數y=/+6x-3的圖象經過點（1,-4）.

（1）求二次函數解析式及其對稱軸；

（2）將函數圖象向上平移相個單位長度，圖象與x軸相交于點A,8（A在原點左側）,

當AO：B0—1：4時，求機的值；

（3）當尤W3時，二次函數的最小值為2小求”的值.

17.平面直角坐標系中，點。是坐標原點，拋物線與y軸交于4（0,-3）,與x軸交于8、

C兩點（C在B的右側），頂點坐標為。（2,1）.

（1）求拋物線解析式；

(2)點E是拋物線上一動點，且位于直線AC的上方，過點E作AC的垂線交AC于點

F,求跖長度的最大值；

(3)在直線AC上是否存在點G,使得NOGCnZNZMC?若存在，請求出點G的坐標；

若不存在，請說明理由.

18.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(0,-4),B(0,4),直線AC與無軸交于點C,

ZBAC=60a,尸為直線AC上一動點.

(1)填空：線段OC=；直線AC的函數表達式

為?

(2)當點P運動到某一位置時，是直角三角形，求點尸的坐標.

(3)當是直角三角形時，作直線。尸，將△B。尸沿直線OP翻折，翻折后B點的

對應點為8.請直接寫出點2’的坐標.

19.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=得刀+2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于

點、B,且與正比例函數丫=/%的圖象交點為C.

(1)點、B的坐標為；

(2)求△20C的面積；

(3)在y軸上求一點P,使△POC是以0C為腰的等腰三角形.請直接寫出所有符合條

件的點P的坐標.

20.如圖，拋物線y=/-6x+c過點8(3,0),C(0,-3)；

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點。為拋物線的頂點，連接BC,CD,DB,求tan/BDC的值；

(3)在(2)的條件下，點C關于拋物線y=/-6x+c對稱軸的對稱點為E點，連接BE,

直線BE與對稱軸交于點M,點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△CDB和△BMP相似

時，求點P坐標.

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案DADCCDDCAB

1.【解答】解：①若40°是頂角，則底角=父=70。；

②若40°是底角，那么頂角=180°-2X40°=100°.

故選：D.

2.【解答】解：：|x|=7,|y|=5,

.".x—+l,y=±5.

又x+y>0,則x,y同為正數或x,y異號，但正數的絕對值較大，

y=5或x=7,y=-5.

.\x-y—2或12.

故選：A.

3.【解答］解：當"b、c三個數都是正數時，

原式為1+1+1+1—4；

當兩數為正數，一數為負數時，原式為1+1-1-1=0；

當一數為正數，兩數為負數時，原式為1-1-1+1=0；

當三個數為負數時，原式為-1-1-1-1=-4.

故選：D.

4.【解答】解：①當a=6時，原式=2；

②當aWb時，

根據實數。、6滿足J-8a+5=0,b1-8b+5=0,即可看成。、6是方程x2-8x+5=0的

解，

??4+匕=8,48=5.

b-1a-1(b-l)2+(a-l)2

則---+----=---------------

a-1b-1(a-l)(b-l)

7

_(a+b)-2ab—2(a+b)+2

ccb—(a+b)+l

把q+b=8,ab=5代入得:

_82-10-16+2

=-5-8+1-

=-20.

b—1a—1

綜上可得一+0的值為2或一級

故選：C.

5.【解答】解：設與點A相距4個單位長度的點表示的數是x,則|-3-尤|=4,

當-3-x—4時，尤=-7；

當-3-X--4時，尤=1.

故選：C.

6.【解答】解：分兩種情況：

①當3和4為兩條直角邊長時，

由勾股定理得：第三邊長的平方=斜邊長的平方=32+42=25；

②當4為斜邊長時，

第三邊長的平方=42-32=7；

綜上所述：第三邊長的平方是7或25；

故選：D.

7.【解答】解：二次函數>=-(x-1)2+5的大致圖象如下：

①當機時，當x=機時y取最小值，即5機=-(機-1)2+5,

解得：相=-4或加=1(舍去).

當冗=〃時丁取最大值，即5〃=-(〃-1)2+5,

解得：〃=-4或〃=1(均不合題意，舍去)；

②當加時，當冗=根時,取最小值，即5加=-(m-1)2+5,

解得：加=-4或m=1(舍去).

當x=l時y取最大值，即5〃=-(17)2+5,

解得：幾=1,

或冗=〃時y取最小值，x=1時y取最大值，

5m=-(〃-1)2+5,n=l,

??1TI~~1,

???此種情形不合題意，

所以m+n=-4+1=-3.

故選：D.

8?【解答】解：如圖，分情況討論：

①A5為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；

②A3為等腰AABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

故選：C.

9.【解答］解：當機+1>0,即m>-1時，y隨工的增大而增大,

???當％=3時，一次函數丁=(9+1)x+W+1有最大值4,

.*.3(m+1)+m2+l=4,

解得向=0,m2=-3(舍去)，

當m+1V0,即m<-1時，y隨x的增大而減小，

???當％=1時，一次函數丁=(徵+1)］+川+1有最大值4,

(m+1)+m2+l=4,

解得見=-2,加2=1(舍去)，

綜上，當時，一次函數》=(機+1)x+m2+1有最大值%則實數機的值為0或

-2,

故選：A.

10.【解答］解：如圖①，當A3的中垂線與線段AC相交時，則可得NADE=50°,

VZAE￡)=90°,

AZA=90°-50°=40°,

9：AB=AC,

:?NB=NC=1^=7。。

如圖②，當A3的中垂線與線段CA的延長線相交時，則可得NADE=50°,

VZAEZ)=90°,

：.ZDAE=90°-50°=40°,

：.ZBAC=14Q°,

VAB=AC,

：.ZB=ZC=粵3=2。。

底角2為70°或20°?

故選：B.

二、解答題

11?【解答】解：(1)在y=-x+2中，令％=0得y=2,令y=0得x=2,

.'.A(2,0),B(0,2),

：.OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=45°,

VZBPO=ZPOA+ZBAO.ZQOA=ZPOA+ZPOQ,

又N3AO=NPOQ=45°,

：.ZBPO=ZQOAf

：.AAOQ^ABPO.

7

(2)動點M(m,〃)始終在函數y=1上，理由如下：

???點尸的橫坐標為相，。的縱坐標為幾，點P、。在直線y=-x+2上，

故點尸坐標為(m,2-M,點。坐標為(2-n,“)，點5坐標為(0,2),點A坐標為

(2,0),

由兩點間距離公式可得BP=Vm2+m2=V27n2,AQ=Vn2+n2=V2n2,

40AO

由(1)中結論△AOQS/\5PO可得康=而，

：.AO*BO=BP-AQ,

即2X2=V27n2xV2n2=4,

??mri--2,

k

，動點〃(機，〃)設在>=亍的函數圖象上，則相〃=左=2,

故動點M(m,n)始終在反比例函數y=1上.

(3)①以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形是直角三角形，理由如下：

???在(2)的情況下，mn=2,P(m,2-m),Q(2-及，n),B(0,2),A(2,0),

.\AP=y/(m—2)2+(2—m)2=V2m2—8m+8,

BQ=J(2—7i)2+(7i_2尸=V2n2—8n+8,

PQ=J(?n—2+ri-+(2—TH一九0=y/2m2+2n2+4mn+8—8(m+n)=

J27n2+2幾2+16—8(zn+n),

:.AP2+BQ1=PQ1,

故以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形是直角三角形.

11

②當△AOQ與△8P0的面積相等時，即鼻。4?九=鼻。8?m,

:04=03=2,nm=2f

??n—m=V2，

：.AP=BQ=712-8V2,

以線段AP，BQ,尸。圍成的三角形的面積為S=±4P-BQ=6—4/.

Vr=tanZAOP,即t=-1,

m72

1

???當時，即迎一1m=魚+1,

?拋物線y=cuc2-兀+2加(〃<0)的對稱軸為x=一今=與<0,則函數圖象在魚—1<x<

乙vv乙Ct-

V2+1部分是下降的，

因此在x=或+l處取得最小值，

故ymin—cz(V2+I)2—(V2+1)+4=S=6—4近,

解得：a=21—15&.

12.【解答】解：（1）如圖1,連接A3,記過點2的OA切線交y軸于點E,

：.AB^5,ZABE=90°,

,：A(0,-3),ZAOB=90°,

；.。4=3,

Z.OB=7AB2一。打2=7s2—32=%

：.B(-4,0),

,：ZOAB=ZBAE,ZAOB^ZABE^90°,

：./\OAB^/\BAE,

ABOA

AE—BA

AB-BA25

：.AE=

OA二

OE=AE-OA=竽-3=竽

16

:?E(0,——),

3

設直線BE解析式為：尸丘+竽,

4

-

-4A:+-5-=0,解得:3

過點B的OA的切線的解析式為y=%+竽,

方法二：設直線2E的解析式為>=左（x+4）,

：.E（0,44），

：.AB=5,AE=4k+3,BE=742+（4fc）2,

由勾股定理可得，AB1+BEr=AEr,

.?.25+16+16^=16您+9+2兼，

4

-

3

過點B的OA的切線的解析式為尸土+~

（2）:拋物線>=蘇經過點（2,2）

.,.4a=2,解得：。=專

拋物線解析式：y=%2

:直線y=fcv+6經過點（2,2）

：.2k+b=2,可得：b=2-2k

.,.直線解析式為：y=kx+2-2k

:直線與拋物線相切

圖2

1

???關于X的方程5/=履+2-2上有兩個相等的實數根

方程整理得：x2,-2kx+4k-4=0

???△=（-2女）2-4（4左-4）=0

解得：k\=ki=2

???直線解析式為y=2x-2

（3）函數y=#+^n-k-1）x+m+k-2的圖象與直線y=-x相切

1

...關于x的方程-尤（in-k-1）x+m+k-2--x有兩個相等的實數根

4

1

方程整理得：—A~+（〃-k）x+m+k-2=0

4

.，.△=（n-k）2-4x（m+k-2）—0

2

整理得：m=（n-k）-k+2,可看作HI關于n的二次函數，

對應拋物線開口向上，對稱軸為直線x=%

,:當-If時，機的最小值為k

①如圖2,當左＜-1時，在-1W/W2時相隨”的增大而增大

.1.71=-1時，機取得最小值左

（-I-/）?-k+2=k,方程無解

②如圖3,當-1WZW2時，”=左時，加取得最小值左

-k+2=k,解得：k=l

③如圖4,當人＞2時，在-1W/W2時相隨"的增大而減小

...“=2時，相取得最小值上

（2-左）2-k+2=k,解得：ki=3+?fo=3-V3（舍去）

綜上所述，上的值為1或3+遮.

13.【解答】解：（1）由函數的表達式知，頂點坐標為：（2,1）,

1

將（2,1）代入y=自得：1=2歷則g與

（2）①由函數的表達式知，頂點坐標為：（2徵，-4m2+n）,

將（2,1）代入y=-x得：2機-4石+九=0,

則n=4m2-2m；

②由①知，拋物線的表達式為：y=x1-4mx+4m2-2m,頂點坐標為：（2出-2m）,

當冗=4時，y=W-4加r+4機2-2m=4加2-18m+16,當冗=-2時，同理可得：丁=4m2+6形+4,

當機22時，則拋物線在x=4時，取得最小值，

即y—4m2-18m+16=-2,貝!jm=|（舍去）或3,即m=3；

當-lWmV2時，則拋物線在頂點，取得最小值，

即-2m=-2,則m=-1；

當m＜-1時，x=-2時，函數取得最小值，

即y=4m2+6m+4=-2,無解,

綜上，m=-1或3.

14?【解答】解：（1）由題意得：=-2

18+4/?+c=0

解得：尸二，

U=-2

則拋物線的表達式為：尸#—|x-2；

1

（2）由點8、。的坐標得，直線的表達式為：尸g-2,

112

過點。作OT〃y軸交5C于點T,設點T（x,-x-2）,則點。（龍，-x2-1x-2）,

則DT=-]'+]%+2=-+2x,

則△BC￡)面積另xZ)TX0B=2(—#+2x)=-(x-2)2+4<4,

即△3C。面積的最大值為4；

(3)當CM為對角線時，

過點。作無軸的平行線交y軸于點X,交過點M和y軸的平行線于點G,則CD=Affi>,

VZMDG+ZCDH=9Q0,/CDH+NHCD=90°,

：.NMDG=NHCD,

ZDHC^ZMGD^9Q°,

:ADHC沿4MGD(A4S),

則DH=MG且CH=DG,

-1231

設點。(幾，n—TTH-2),點Af(m,~m-2),

222

11cq1cz

,?*DH=MG且CH=DG,即幾=5m—且TH~n——1xn+yi,

乙乙乙乙乙

解得：m=-g-,n=w，

4

7z

(2_8--

則點。、M的坐標分別為：（3-等）、x99

71

由中點坐標公式得：點N（一,-）；

93

當。M為邊時，

則CDLCM,

..,直線BC的表達式為：y--2,則直線CD的表達式為：y--2x-2,

聯立BC和拋物線的表達式得：-2x-2=#-jr-2,

解得：x—0（舍去）或-1（舍去），

71

綜上，點N（-,-）.

93

15.【解答】解：（1）對應的數為-5,B,C兩點對應的數互為相反數,

；.C對應的數為5,

對應的數為-13,

；.AC=5-（-13）=18,

即AC的長為18；

(2)①根據題意，尸表示的數為-13+r,

當0W/W9時，。表示的數為5-2r,

；B為PQ的中點，

.1.5-2f+(-13+r)=2X(-5),

解得t=2,

當9<fW18時，Q表示的數為-13+2(f-9)=2r-31,

為PQ的中點，

.?⑵-31+(-13+r)=2X(-5),

解得t=苧，

34

綜上所述，f的值為2或不：

②根據題意，P表示的數為-13+3

當0W/W9時，。表示的數為5-23

\'PQ=^AC,

：.\-13+Z-(5-2/)|=1X18,

即3「18=6或3f-18=-6,

解得r=8或t=4；

當9V/W18時，Q表示的數為-13+2G-9)=2L31,

VP(2=|AC,

1

：.\-13+r-⑵-31)|=/18,

即-/+18=6或-r+18=-6,

解得f=12或f=24(舍去)；

綜上所述，f的值為4或8或12.

16.【解答】解：(1)將(1,-4)代入函數表達式得：-4=1+6-3,則6=-2,

即拋物線的表達式為：y=/-2x-3,

則拋物線的對稱軸為直線x=l;

(2)當AO：80=1：4時，設點A(-t,0)、B(4f,0),

則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線x=l可⑷―)，則仁|,

則點A、B的坐標分別為：(一120)、(8-,0),

33

則新拋物線的表達式為:尸(x+j)(尤一|)=X2-2X-3+^,

11

BRPnm=可；

(3)由(1)知，拋物線的頂點為(1,-4),

當x—n-1VI時，即n<2,

拋物線在頂點處取得最小值，即-4=2〃，則〃=-2；

當3三元=〃-121時，即2W九W4,

則拋物線在尤=〃-1時取得最小值，即(〃-1)2-2(〃-1)-3=2",

解得：n—0(舍去)或6(舍去)，

綜上，”=-2.

17.【解答】解：⑴?.?頂點坐標為D(2,1),

設二次函數的頂點式為y=a(x-2)2+1,

:拋物線與y軸交于A(0,-3),

：.a(0-2)2+1=-3,

解得，a=-1.

.?.二次函數的解析式為產-/+4x-3；

(2)由題意，由(1)得，拋物線解析式為y=-/+4x-3=-(x-2)2+l.

頂點。(2,1).

令y=。，

A.?-4x+3=0.

或3.

.,.拋物線與x軸的交點8(1,0),C(3,0).

①由A(0,-3),C(3,0)得，直線AC為y=x-3.

由題意，當平行于AC的直線/與拋物線相切時，所最大.

可設直線/為y=x+m,由拋物線為y=-/+4x-3,

.,.此時方程為x+m=-/+4x-3,

則A—9-4(3+m)—0.

為尸無一?又AC為尸x-3,

29

(-3)=[?

:直線/與y軸夾角45°,

V29972

:.EF的最大值為一x-=-----.

248

②存在，理由：

如圖，當/。GC=2NZMC,

則ND4C=NADG,

即GD=AG,

由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：>=尤-3,

設點G的坐標為：Cm,m-3),

當GO=AG時，

即加2+(機-3+3)2=(w-2)2+(m-4)2,

5

得

解--

3

5

-

3-

當點G(G')在點C的上方時，

則。G=OG'，設點G'G,-3),

5

242

則f242+

tm---

33

53

得

解-

33

34

--

33

454

綜上

13_或

----

3333

18.【解答】解：(1)ZBAC=60°,則NACO=30°,貝I|AC=8,

則0C=<AC2-0A2=4V3,則點C(4舊，0)，

由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：>=享—4,

故答案為：4A/3,y=-^-x-4；

、-V3

(2)設點P(m,—m-4),

3

4

2V3(82

22-m3

由點A、B、尸的坐標得，AB=64,AP=3

當AB為斜邊時，

貝I]64=$??+機2+(丫_機-8)2,則機=0(舍去)或28，即點P(2A/3,-2)；

33

當AP或8尸為斜邊時，

140073°4。73°

則一小2=加4(—一8)464或64+□m2=m2+(—m-8)L

33m33

解得：m=8V3,即點尸(8V3,4),

綜上，點尸的坐標為：(2次，-2)或(8V3,4)；

(3)當點尸的坐標為(2V3,-2)時，如下圖：

由點尸的坐標得，PO的表達式為：尸-殺

連接B3'交0P于點H則點》是2次的中點，且23'LOP,

則直線班'的表達式為：尸遮葉4,

聯立上式和OP的表達式得：一拳1=底+4,貝！]尤=一百，則點“(一百，1),

由中點坐標公式得：點2,(-2V3,-4)；

當點尸的坐標為(8V3,