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文檔簡介
2025年九年級中考數學二輪復習專題之分類討論思想訓練
一、選擇題
1.已知等腰三角形的一內角度數為40°,則它的頂角的度數為()
A.40°B.80°C.100°D.40°或10C
2.若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,那么x-y的值是()
A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12
CLbcCLIJC
3.如果a,b,c是非零有理數,那么而+而+而+的的所有可能的值為()
A.-4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4
C.0D.-4,0,4
4.若實數a、b滿足/-8。+5=0,廬-86+5=0,則——+——的值是()
A.-20C.2或-20
5.若數軸上點A表示的數是-3,則與點A相距4個單位長度的點表示的數是()
A.±4B.±1C.-7或1D.-1或7
6.若一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是()
A.7B.14C.25D.7或25
7.二次函數y=-(尤-1)2+5,當機WxW〃且時,y的最小值為5加,最大值為5”,
則m+n的值為()
A.0B.-1C.-2D.-3
8.如圖所示的正方形網格中,網格線的交點稱為格點.已知A、2是兩格點,如果《一
也是圖中的格點,且使得△ABC為等腰三角形,則點C的個數是()]
A.6個B.7個C.8個D.9個
9.當1WXW3時,一次函數>=(〃計1)X+渥+1有最大值4,則實數機的值為()
A.-2或0B.0或1C.-2或-3D.-3或1
10.△ABC中,AB^AC,A2邊的中垂線與直線AC所成的角為50°,則N2等于()
A.70°B.20°或70°C.40°或70°D.40°或20°
二、解答題
11.如圖,已知直線y=-x+2與x軸交于點A,與y軸交于點2,P,。為線段AB上的
兩個動點(尸在0的右側),且始終滿足NPOQ=45°.
(1)求證:AAOQS^BPO;
(2)記點尸的橫坐標為"z,。的縱坐標為〃,試判斷:P,。兩點在移動的過程中,動
點M(相,”)是否始終在一個確定的反比例函數上;若是,求出反比例函數的解析式;
若不是,也請說明理由;
(3)在(2)的情況下:
①請判斷:以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的形狀,并給出理由;
②若△AOQ與的面積相等時,記t—tanZAOP,當/WxW器時,拋物線-
x+2mn(a<0)的最小值恰好等于以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的面積,求該拋物
線二次項系數a的值.
12.定義:如果一條直線與一條曲線有且只有一個交點,且曲線位于直線的同旁,稱之為直
線與曲線相切,這條直線叫做曲線的切線,直線與曲線的唯一交點叫做切點.
(1)如圖,在平面直角坐標系中,點。為坐標原點,以點A(0,-3)為圓心,5為半
徑作圓A,交x軸的負半軸于點2,求過點B的圓A的切線的解析式;
(2)若拋物線y=a7(aWO)與直線>=區+6(AWO)相切于點(2,2),求直線的解析
式;
(3)若函數y-^x2+Cn-k-1)x+m+k-2的圖象與直線y=-無相切,且當-1W/W2
時,機的最小值為左,求左的值.
13.【定義】若二次函數>=以2+法+。的頂點在直線y=日上,則此二次函數叫做直線>=履
的開心函數.例如:二次函數>=/-2x+2的頂點為(1,1)在直線y=龍上,所以二次
函數y=/-2x+2是直線y=x的開心函數.
(1)若二次函數y=-f+4元-3是直線丁=丘的開心函數,求攵的值;
(2)若二次函數y=x2-4mx+n是直線y=-x的開心函數.
①求〃(用含機的代數式表示);
②若當-2W%W4時,y的最小值為-2,求〃的值.
1
14.如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=2,+"+c的圖象與x軸交于點A,B(4,
0)兩點,與y軸交于點C(0,-2).點M在線段BC上,動點。在直線BC下方的二
次函數圖象上.
(1)求二次函數的解析式;
(2)求△■BCD面積的最大值;
(3)若點N是平面直角坐標系中的一點,以C,D,M,N為頂點的四邊形是正方形,
求點N的坐標.
15.如圖,已知數軸上A,2兩點對應的數分別為-13和-5,B,C兩點對應的數互為相反
數.
dPc、/¥.£
—13—50—13—5°
(備用圖)
(1)求AC的長;
(2)若點P從點A出發,以每秒1個單位長度的速度向終點C運動.同時點。從點C
出發,以每秒2個單位長度的速度向點A運動;當點。到達點A后立即返回,仍然以每
秒2個單位長度的速度運動至點C停止,設運動時間為/(秒).
①問f為何值時,B為尸。的中點?
②當PQ=^4C時,求f的值.
16.已知二次函數y=/+6x-3的圖象經過點(1,-4).
(1)求二次函數解析式及其對稱軸;
(2)將函數圖象向上平移相個單位長度,圖象與x軸相交于點A,8(A在原點左側),
當AO:B0—1:4時,求機的值;
(3)當尤W3時,二次函數的最小值為2小求”的值.
17.平面直角坐標系中,點。是坐標原點,拋物線與y軸交于4(0,-3),與x軸交于8、
C兩點(C在B的右側),頂點坐標為。(2,1).
(1)求拋物線解析式;
(2)點E是拋物線上一動點,且位于直線AC的上方,過點E作AC的垂線交AC于點
F,求跖長度的最大值;
(3)在直線AC上是否存在點G,使得NOGCnZNZMC?若存在,請求出點G的坐標;
若不存在,請說明理由.
18.如圖,在平面直角坐標系中,已知點4(0,-4),B(0,4),直線AC與無軸交于點C,
ZBAC=60a,尸為直線AC上一動點.
(1)填空:線段OC=;直線AC的函數表達式
為?
(2)當點P運動到某一位置時,是直角三角形,求點尸的坐標.
(3)當是直角三角形時,作直線。尸,將△B。尸沿直線OP翻折,翻折后B點的
對應點為8.請直接寫出點2’的坐標.
19.如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=得刀+2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于
點、B,且與正比例函數丫=/%的圖象交點為C.
(1)點、B的坐標為;
(2)求△20C的面積;
(3)在y軸上求一點P,使△POC是以0C為腰的等腰三角形.請直接寫出所有符合條
件的點P的坐標.
20.如圖,拋物線y=/-6x+c過點8(3,0),C(0,-3);
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點。為拋物線的頂點,連接BC,CD,DB,求tan/BDC的值;
(3)在(2)的條件下,點C關于拋物線y=/-6x+c對稱軸的對稱點為E點,連接BE,
直線BE與對稱軸交于點M,點P是拋物線對稱軸上的一動點,當△CDB和△BMP相似
時,求點P坐標.
參考答案
一、選擇題
題號12345678910
答案DADCCDDCAB
1.【解答】解:①若40°是頂角,則底角=父=70。;
②若40°是底角,那么頂角=180°-2X40°=100°.
故選:D.
2.【解答】解::|x|=7,|y|=5,
.".x—+l,y=±5.
又x+y>0,則x,y同為正數或x,y異號,但正數的絕對值較大,
y=5或x=7,y=-5.
.\x-y—2或12.
故選:A.
3.【解答]解:當"b、c三個數都是正數時,
原式為1+1+1+1—4;
當兩數為正數,一數為負數時,原式為1+1-1-1=0;
當一數為正數,兩數為負數時,原式為1-1-1+1=0;
當三個數為負數時,原式為-1-1-1-1=-4.
故選:D.
4.【解答】解:①當a=6時,原式=2;
②當aWb時,
根據實數。、6滿足J-8a+5=0,b1-8b+5=0,即可看成。、6是方程x2-8x+5=0的
解,
??4+匕=8,48=5.
b-1a-1(b-l)2+(a-l)2
則---+----=---------------
a-1b-1(a-l)(b-l)
7
_(a+b)-2ab—2(a+b)+2
ccb—(a+b)+l
把q+b=8,ab=5代入得:
_82-10-16+2
=-5-8+1-
=-20.
b—1a—1
綜上可得一+0的值為2或一級
故選:C.
5.【解答】解:設與點A相距4個單位長度的點表示的數是x,則|-3-尤|=4,
當-3-x—4時,尤=-7;
當-3-X--4時,尤=1.
故選:C.
6.【解答】解:分兩種情況:
①當3和4為兩條直角邊長時,
由勾股定理得:第三邊長的平方=斜邊長的平方=32+42=25;
②當4為斜邊長時,
第三邊長的平方=42-32=7;
綜上所述:第三邊長的平方是7或25;
故選:D.
7.【解答】解:二次函數>=-(x-1)2+5的大致圖象如下:
①當機時,當x=機時y取最小值,即5機=-(機-1)2+5,
解得:相=-4或加=1(舍去).
當冗=〃時丁取最大值,即5〃=-(〃-1)2+5,
解得:〃=-4或〃=1(均不合題意,舍去);
②當加時,當冗=根時,取最小值,即5加=-(m-1)2+5,
解得:加=-4或m=1(舍去).
當x=l時y取最大值,即5〃=-(17)2+5,
解得:幾=1,
或冗=〃時y取最小值,x=1時y取最大值,
5m=-(〃-1)2+5,n=l,
??1TI~~1,
???此種情形不合題意,
所以m+n=-4+1=-3.
故選:D.
8?【解答】解:如圖,分情況討論:
①A5為等腰△ABC的底邊時,符合條件的C點有4個;
②A3為等腰AABC其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.
故選:C.
9.【解答]解:當機+1>0,即m>-1時,y隨工的增大而增大,
???當%=3時,一次函數丁=(9+1)x+W+1有最大值4,
.*.3(m+1)+m2+l=4,
解得向=0,m2=-3(舍去),
當m+1V0,即m<-1時,y隨x的增大而減小,
???當%=1時,一次函數丁=(徵+1)]+川+1有最大值4,
(m+1)+m2+l=4,
解得見=-2,加2=1(舍去),
綜上,當時,一次函數》=(機+1)x+m2+1有最大值%則實數機的值為0或
-2,
故選:A.
10.【解答]解:如圖①,當A3的中垂線與線段AC相交時,則可得NADE=50°,
VZAE£)=90°,
AZA=90°-50°=40°,
9:AB=AC,
:?NB=NC=1^=7。。
如圖②,當A3的中垂線與線段CA的延長線相交時,則可得NADE=50°,
VZAEZ)=90°,
:.ZDAE=90°-50°=40°,
:.ZBAC=14Q°,
VAB=AC,
:.ZB=ZC=粵3=2。。
底角2為70°或20°?
故選:B.
二、解答題
11?【解答】解:(1)在y=-x+2中,令%=0得y=2,令y=0得x=2,
.'.A(2,0),B(0,2),
:.OA=OB,
:.ZOBA=ZOAB=45°,
VZBPO=ZPOA+ZBAO.ZQOA=ZPOA+ZPOQ,
又N3AO=NPOQ=45°,
:.ZBPO=ZQOAf
:.AAOQ^ABPO.
7
(2)動點M(m,〃)始終在函數y=1上,理由如下:
???點尸的橫坐標為相,。的縱坐標為幾,點P、。在直線y=-x+2上,
故點尸坐標為(m,2-M,點。坐標為(2-n,“),點5坐標為(0,2),點A坐標為
(2,0),
由兩點間距離公式可得BP=Vm2+m2=V27n2,AQ=Vn2+n2=V2n2,
40AO
由(1)中結論△AOQS/\5PO可得康=而,
:.AO*BO=BP-AQ,
即2X2=V27n2xV2n2=4,
??mri--2,
k
,動點〃(機,〃)設在>=亍的函數圖象上,則相〃=左=2,
故動點M(m,n)始終在反比例函數y=1上.
(3)①以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形是直角三角形,理由如下:
???在(2)的情況下,mn=2,P(m,2-m),Q(2-及,n),B(0,2),A(2,0),
.\AP=y/(m—2)2+(2—m)2=V2m2—8m+8,
BQ=J(2—7i)2+(7i_2尸=V2n2—8n+8,
PQ=J(?n—2+ri-+(2—TH一九0=y/2m2+2n2+4mn+8—8(m+n)=
J27n2+2幾2+16—8(zn+n),
:.AP2+BQ1=PQ1,
故以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形是直角三角形.
11
②當△AOQ與△8P0的面積相等時,即鼻。4?九=鼻。8?m,
:04=03=2,nm=2f
??n—m=V2,
:.AP=BQ=712-8V2,
以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的面積為S=±4P-BQ=6—4/.
Vr=tanZAOP,即t=-1,
m72
1
???當時,即迎一1m=魚+1,
?拋物線y=cuc2-兀+2加(〃<0)的對稱軸為x=一今=與<0,則函數圖象在魚—1<x<
乙vv乙Ct-
V2+1部分是下降的,
因此在x=或+l處取得最小值,
故ymin—cz(V2+I)2—(V2+1)+4=S=6—4近,
解得:a=21—15&.
12.【解答】解:(1)如圖1,連接A3,記過點2的OA切線交y軸于點E,
:.AB^5,ZABE=90°,
,:A(0,-3),ZAOB=90°,
;.。4=3,
Z.OB=7AB2一。打2=7s2—32=%
:.B(-4,0),
,:ZOAB=ZBAE,ZAOB^ZABE^90°,
:./\OAB^/\BAE,
ABOA
AE—BA
AB-BA25
:.AE=
OA二
OE=AE-OA=竽-3=竽
16
:?E(0,——),
3
設直線BE解析式為:尸丘+竽,
4
-
-4A:+-5-=0,解得:3
過點B的OA的切線的解析式為y=%+竽,
方法二:設直線2E的解析式為>=左(x+4),
:.E(0,44),
:.AB=5,AE=4k+3,BE=742+(4fc)2,
由勾股定理可得,AB1+BEr=AEr,
.?.25+16+16^=16您+9+2兼,
4
-
3
過點B的OA的切線的解析式為尸土+~
(2):拋物線>=蘇經過點(2,2)
.,.4a=2,解得:。=專
拋物線解析式:y=%2
:直線y=fcv+6經過點(2,2)
:.2k+b=2,可得:b=2-2k
.,.直線解析式為:y=kx+2-2k
:直線與拋物線相切
圖2
1
???關于X的方程5/=履+2-2上有兩個相等的實數根
方程整理得:x2,-2kx+4k-4=0
???△=(-2女)2-4(4左-4)=0
解得:k\=ki=2
???直線解析式為y=2x-2
(3)函數y=#+^n-k-1)x+m+k-2的圖象與直線y=-x相切
1
...關于x的方程-尤(in-k-1)x+m+k-2--x有兩個相等的實數根
4
1
方程整理得:—A~+(〃-k)x+m+k-2=0
4
.,.△=(n-k)2-4x(m+k-2)—0
2
整理得:m=(n-k)-k+2,可看作HI關于n的二次函數,
對應拋物線開口向上,對稱軸為直線x=%
,:當-If時,機的最小值為k
①如圖2,當左<-1時,在-1W/W2時相隨”的增大而增大
.1.71=-1時,機取得最小值左
(-I-/)?-k+2=k,方程無解
②如圖3,當-1WZW2時,”=左時,加取得最小值左
-k+2=k,解得:k=l
③如圖4,當人>2時,在-1W/W2時相隨"的增大而減小
...“=2時,相取得最小值上
(2-左)2-k+2=k,解得:ki=3+?fo=3-V3(舍去)
綜上所述,上的值為1或3+遮.
13.【解答】解:(1)由函數的表達式知,頂點坐標為:(2,1),
1
將(2,1)代入y=自得:1=2歷則g與
(2)①由函數的表達式知,頂點坐標為:(2徵,-4m2+n),
將(2,1)代入y=-x得:2機-4石+九=0,
則n=4m2-2m;
②由①知,拋物線的表達式為:y=x1-4mx+4m2-2m,頂點坐標為:(2出-2m),
當冗=4時,y=W-4加r+4機2-2m=4加2-18m+16,當冗=-2時,同理可得:丁=4m2+6形+4,
當機22時,則拋物線在x=4時,取得最小值,
即y—4m2-18m+16=-2,貝!jm=|(舍去)或3,即m=3;
當-lWmV2時,則拋物線在頂點,取得最小值,
即-2m=-2,則m=-1;
當m<-1時,x=-2時,函數取得最小值,
即y=4m2+6m+4=-2,無解,
綜上,m=-1或3.
14?【解答】解:(1)由題意得:=-2
18+4/?+c=0
解得:尸二,
U=-2
則拋物線的表達式為:尸#—|x-2;
1
(2)由點8、。的坐標得,直線的表達式為:尸g-2,
112
過點。作OT〃y軸交5C于點T,設點T(x,-x-2),則點。(龍,-x2-1x-2),
則DT=-]'+]%+2=-+2x,
則△BC£)面積另xZ)TX0B=2(—#+2x)=-(x-2)2+4<4,
即△3C。面積的最大值為4;
(3)當CM為對角線時,
過點。作無軸的平行線交y軸于點X,交過點M和y軸的平行線于點G,則CD=Affi>,
VZMDG+ZCDH=9Q0,/CDH+NHCD=90°,
:.NMDG=NHCD,
ZDHC^ZMGD^9Q°,
:ADHC沿4MGD(A4S),
則DH=MG且CH=DG,
-1231
設點。(幾,n—TTH-2),點Af(m,~m-2),
222
11cq1cz
,?*DH=MG且CH=DG,即幾=5m—且TH~n——1xn+yi,
乙乙乙乙乙
解得:m=-g-,n=w,
4
7z
(2_8--
則點。、M的坐標分別為:(3-等)、x99
71
由中點坐標公式得:點N(一,-);
93
當。M為邊時,
則CDLCM,
..,直線BC的表達式為:y--2,則直線CD的表達式為:y--2x-2,
聯立BC和拋物線的表達式得:-2x-2=#-jr-2,
解得:x—0(舍去)或-1(舍去),
71
綜上,點N(-,-).
93
15.【解答】解:(1)對應的數為-5,B,C兩點對應的數互為相反數,
;.C對應的數為5,
對應的數為-13,
;.AC=5-(-13)=18,
即AC的長為18;
(2)①根據題意,尸表示的數為-13+r,
當0W/W9時,。表示的數為5-2r,
;B為PQ的中點,
.1.5-2f+(-13+r)=2X(-5),
解得t=2,
當9<fW18時,Q表示的數為-13+2(f-9)=2r-31,
為PQ的中點,
.?⑵-31+(-13+r)=2X(-5),
解得t=苧,
34
綜上所述,f的值為2或不:
②根據題意,P表示的數為-13+3
當0W/W9時,。表示的數為5-23
\'PQ=^AC,
:.\-13+Z-(5-2/)|=1X18,
即3「18=6或3f-18=-6,
解得r=8或t=4;
當9V/W18時,Q表示的數為-13+2G-9)=2L31,
VP(2=|AC,
1
:.\-13+r-⑵-31)|=/18,
即-/+18=6或-r+18=-6,
解得f=12或f=24(舍去);
綜上所述,f的值為4或8或12.
16.【解答】解:(1)將(1,-4)代入函數表達式得:-4=1+6-3,則6=-2,
即拋物線的表達式為:y=/-2x-3,
則拋物線的對稱軸為直線x=l;
(2)當AO:80=1:4時,設點A(-t,0)、B(4f,0),
則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線x=l可⑷―),則仁|,
則點A、B的坐標分別為:(一120)、(8-,0),
33
則新拋物線的表達式為:尸(x+j)(尤一|)=X2-2X-3+^,
11
BRPnm=可;
(3)由(1)知,拋物線的頂點為(1,-4),
當x—n-1VI時,即n<2,
拋物線在頂點處取得最小值,即-4=2〃,則〃=-2;
當3三元=〃-121時,即2W九W4,
則拋物線在尤=〃-1時取得最小值,即(〃-1)2-2(〃-1)-3=2",
解得:n—0(舍去)或6(舍去),
綜上,”=-2.
17.【解答】解:⑴?.?頂點坐標為D(2,1),
設二次函數的頂點式為y=a(x-2)2+1,
:拋物線與y軸交于A(0,-3),
:.a(0-2)2+1=-3,
解得,a=-1.
.?.二次函數的解析式為產-/+4x-3;
(2)由題意,由(1)得,拋物線解析式為y=-/+4x-3=-(x-2)2+l.
頂點。(2,1).
令y=。,
A.?-4x+3=0.
或3.
.,.拋物線與x軸的交點8(1,0),C(3,0).
①由A(0,-3),C(3,0)得,直線AC為y=x-3.
由題意,當平行于AC的直線/與拋物線相切時,所最大.
可設直線/為y=x+m,由拋物線為y=-/+4x-3,
.,.此時方程為x+m=-/+4x-3,
則A—9-4(3+m)—0.
為尸無一?又AC為尸x-3,
29
(-3)=[?
:直線/與y軸夾角45°,
V29972
:.EF的最大值為一x-=-----.
248
②存在,理由:
如圖,當/。GC=2NZMC,
則ND4C=NADG,
即GD=AG,
由點A、C的坐標得,直線AC的表達式為:>=尤-3,
設點G的坐標為:Cm,m-3),
當GO=AG時,
即加2+(機-3+3)2=(w-2)2+(m-4)2,
5
得
解--
3
5
-
3-
當點G(G')在點C的上方時,
則。G=OG',設點G'G,-3),
5
242
則f242+
tm---
33
53
得
解-
33
34
--
33
454
綜上
13_或
----
3333
18.【解答】解:(1)ZBAC=60°,則NACO=30°,貝I|AC=8,
則0C=<AC2-0A2=4V3,則點C(4舊,0),
由點A、C的坐標得,直線AC的表達式為:>=享—4,
故答案為:4A/3,y=-^-x-4;
、-V3
(2)設點P(m,—m-4),
3
4
2V3(82
22-m3
由點A、B、尸的坐標得,AB=64,AP=3
當AB為斜邊時,
貝I]64=$??+機2+(丫_機-8)2,則機=0(舍去)或28,即點P(2A/3,-2);
33
當AP或8尸為斜邊時,
140073°4。73°
則一小2=加4(—一8)464或64+□m2=m2+(—m-8)L
33m33
解得:m=8V3,即點尸(8V3,4),
綜上,點尸的坐標為:(2次,-2)或(8V3,4);
(3)當點尸的坐標為(2V3,-2)時,如下圖:
由點尸的坐標得,PO的表達式為:尸-殺
連接B3'交0P于點H則點》是2次的中點,且23'LOP,
則直線班'的表達式為:尸遮葉4,
聯立上式和OP的表達式得:一拳1=底+4,貝!]尤=一百,則點“(一百,1),
由中點坐標公式得:點2,(-2V3,-4);
當點尸的坐標為(8V3,
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