2025年九年級數學中考二輪專題復習：圓中相似三角形綜合練習

1.如圖,AABC為。。的內接三角形,AB為的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到

點。在O。上.連接交AB于點E,延長BO,CA,兩線相交于點P,過點A作。。

的切線交8尸于點G.

(1)求證：AG//CD；

(2)求證：PA2=PG-PB；

1

(3)若sin/APD=1,PG=6.求tan/AGB的值.

2.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,以A8為直徑的O。交BC于點。，AE1

OC,垂足為E,BE的延長線交通于點?

OE

(1)求下的值；

AE

(2)求證：AAEBs^BEC；

(3)求證：AD與所互相平分.

3.如圖，。。為△ABC的外接圓，弦CDLA3,垂足為E,直徑交CZ)于點G,連接

AF,AD.若A8=AC=5,BC=2V5.

(1)證明：四邊形ADGP為平行四邊形;

BG_

(2)求二的值；

AD

(3)求sinNCA。的值.

4.如圖，△ACD內接于OO,直徑A8父CD于點G,過點。作射線。R使得/4。尸=/

ACD,延長。C交過點B的切線于點E,連接BC.

(1)求證：。尸是O。的切線；

8

-

3BE=3CE=3.

①求DE的長；

②求O。的半徑.

5.如圖，45是。。的直徑，C是皿的中點，過點C作的垂線，垂足為點E.

(1)求證：△ACE's△ABC；

(2)求證：CE是。。的切線；

(3)若AD=2CE,OA=y[2,求陰影部分的面積.E

6.如圖1,48為。。的直徑，AB=12,C是。。上異于A,8的任一點，連接AC,BC,

過點A作射線AOLAC,。為射線A。上一點，連接CD

【特例感知】

(1)若BC=6,則AC=；

(2)若點C,D在直線同側，且求證：四邊形ABC。是平行四邊形;

【深入探究】

若在點C運動過程中，始終有tan/AOC=8，連接OD

(3)如圖2,當CO與。。相切時，求。。的長度；

(4)求。。長度的取值范圍.

圖1備用圖

7.如圖1,。是正方形ABCD對角線上一點，以。為圓心，0C長為半徑的。。與A。相切

于點E,與AC相交于點E(1)求證：與O。相切；

(2)若正方形A8C。的邊長為企+1,求。。的半徑；

(3)如圖2,在(2)的條件下，若點M是半徑0C上的一個動點，過點M作跖VLOC

交注■于點N.當CM：FM=1：4時，求CN的長.

8.如圖，是。。的直徑，點C在OO上，AD平分/A4c交O。于點。，過點。的直線

DELAC,交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點足

(1)求證：EF是。0的切線；

(2)連接EO并延長，分別交。。于M、N兩點，交于點G,若。。的半徑為2,

ZF=30°,求GAPGN的值.

E

9.如圖，在菱形ABC。中，DHLABH,以為直徑的。。分別交A￡),BD于點E,F,

連接跖.

D

(1)求證：①8是O。的切線;

②LDEFsADBA；

C

H

B

(2)若A2=5,DB=6,求sin/OFE.

10.已知在RtzXABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,以邊AC為直徑作O。，與AB

邊交于點。，點M為邊BC的中點，連接。

(1)求證：是O。的切線；

(2)點P為直線BC上任意一動點，連接AP交。。于點。，連接C。.

1

①當tan/BAP=3時，求8P的長;

②求空的最大值.

11.如圖，以線段A3為直徑作O。，交射線AC于點C,A。平分NCA8交。。于點。，過

點。作直線。ELAC,交AC的延長線于點E,交48的延長線于點凡連接BD并延長

交AC的延長線于點

(1)求證：直線。E是O。的切線；

(2)當//=30°時，判斷的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，ME=1,連接8C交A。于點尸，求AP的長.

12.如圖，四邊形A8CD內接于。。，A3為O。的直徑，AD=CD,過點。的直線/交BA

的延長線于點交8C的延長線于點N且/

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)求證：AD2=AB*CN；

(3)當A8=6,sin/DCA=字時，求AM的長.

13.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以AB為直徑的。。與AC交于點。，點￡是

2C的中點，連接BD,DE.

(1)求證：是。。的切線；

1

(2)若DE=2,tanNBAC=2，求的長；

(3)在(2)的條件下，點P是。。上一動點，求出+PB的最大值.

14.如圖，AB是。。的直徑，點C是圓上的一點，COLA。于點。，AD交。。于點后連

接AC,若AC平分過點E作PGLAB于點G,交AC于點H,延長A2,DC交

于點E.

(1)求證：CD是O。的切線；

(2)求證：AF-AC^AE'AH；

4AH

(3)若sin/QEA=W，求一的值.

5FH

15.如圖，AB為。。的直徑，D4和。。相交于點EAC平分ND4B,點C在。。上，且

CDLDA,AC交BF于點P.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求證：AC'PC=BC1-,

(3)已知8。2=3尸產?￡)C,求一的值.

AB

參考答案

1.【解答】(1)證明：??,將△ABC沿直線A3翻折到△A8Q,

：.AB±CD,

TAB為OO的直徑，AG是切線，

：.AG±ABf

：.AG//CD；

(2)證明：TAG是切線,

：.AG±AB,

TAB為OO的直徑，

ZADB=90°,

ZABD=90°-NDAB=NGAD,

???由折疊可得NABD=NABC,

：.ZCBD=2ZABD,

,/四邊形ADBC是。。的內接四邊形，

：.ZPAD=18O°-ZCAD=ZDBC=2ZABD,

：.ZPAG=ZPAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又???ZAPG=ZBPA,

：.AAPG^ABB4,

ApPG

:一=—，即PA2=PG9PB；

BPPA

Ani

(3)解:,：sinZAPD=卷=最

設A￡)=m則AP=3〃，

：.PD=yjAP2-AD2=2V2a,

..n-AD-a-

..t7aADnUPD=k^=可

由折疊可得AC=AD=a,

PC—PA+AC=3a+a—4a,

???在RtAPCB中，tan^CPB=您=?，

：.BD=CB=和C=缶，

'：AD±BD,GALABf

：.ZAGB=90°-NGAD=NDAB,

tcurZ-AGB—tcLTiZ-DAB-=V2.

2.【解答】解：(1)VAB=AC,且AB是。。的直徑，

：.AC=2AO,

VZBAC=90°,

AT

在RtAAOC中，tanz.AOC=翡=2,

VAE±OC,

在RtAAOE中，tan^AOC=養，

AE

-=2,

OE

.OE1

??一;

AE2

(2)證明：過點B作BM//AE,交EO延長線于點M,如圖1,

；?NBAE=/ABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

AAOE^ABOM(AAS),

圖1

：.AE=BMfOE=OM,

?.0E1

?=一，

AE2

；?BM=2OE=EM,

：.ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

ZBEC=180°-ZMEB=135°,

NAEB=/BEC.

9：AB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=45°,

，ZABM=ZCBE,

:.NBAE=NCBE,

：.△AEBs^BEC：

（3）連接。E,DF.如圖2,

??,A5是。。的直徑，

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

圖2

9：AB=AC,ZBAC=90°,

:?BC=2BD,ZDAB=45°,

由（2）知，AAEBsABEC,

AEAB240AO

—,ZEAO=ZEBD,

BEBC~2BDBD

：.AAOEsABDE,

：.ZBED=ZAEO=90°,

：.ZDEF=90°,

ZAFB=NDEF,

：.AF//DE,

由（2）知，ZAEB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

'：ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

：.AE//FD,

???四邊形AEDF是平行四邊形，

???AO與EF互相平分.

3?【解答】（1）證明：???3尸是。。的直徑,

：.ZBAF=90°,

：.AF±AB,

VCDXAB,

J.CD//AF,

：.DG//AF,

：.NAFB=NBGD,

U：AC=AC,

：.ZADC=ZABC,

VA&=AB,

：.NACB=NAFB,

/ADC=NBGD,

：.AD//GF,

???四邊形ADGF為平行四邊形；

(2)解：設

VAB=AC=5,

：.AE=AB-BE=5-x,

'：AB±CD,

：.ZBEC=ZAEC=90°,

222

ABC-BE2=AC2-AE=CEf

VBC=2V5,

(2A/5)2-^=52-(5-x)2,

=

解得x29

:?BE=2,AE=3,

.BE2

??—―,

AE3

由(1)知，ZADC=ZBGDf

'：NAED=NBEG,

：.AADEs/\BGE,

.BGBE2

"AD~AE~39

.BG2

"AD—3；

(3)解：過點。作DHLAC于H,

在RtABCE中，CE=<BC2-BE2=j(2V5)2-22=4,

'：BD=BD,

??NBAD=/BCD,

：NAED=/CEB,

,?AAED^ACEB,

.BCBECE

9AD~DE~AE"

.2_4

*AD~DE~3

0/FQ

??AO=詈，Z)E=|,

311

??CD=CE+Z)E=4+尹蕓,

1

S〉ACD=2CD?AE=DH,

11

—x3=5DH,

2

33

DHR

斤n八4erri+t-ITATYDH332ll>/5

在RtZ\AZ）//中，sii\Z-HAD=7丁—ygx-^-y==——,

?*?sinNCAD=—

4.【解答】（1）證明：連接O。，

VZADF=ZACD,ZAOD=2ZACD9

：.2ZADF=ZAOD,

設NAOF=x,則NAOO=2x,

'：OA=OD9

：.ZOAD=ZODA=±=90°-%,

ZODF=ZODA+ZADF=90°-x+x=90°,

???。方是。。的切線；

（2）解：①連接BD,

,:BE=3CE=3,

：.CE=1,

???5E是切線,

ZABE=90°=ZCBE+ZABC,

VZABC+ZBAC=9Q°,NBAC=NBDC,

:.NCBE=NBDC,

??,ZE=ZE,

:ABCEs^DBE,

.BECE

??=,

DEBE

.31

??—―,

DE3

：.DE=9；

②??5=9,

9：CD=DE-CE=8,

,:CD=|CG,

???CG=3,DG=5,

???GE=CG+CE=4,

在RtABGE中，BG=^GE2-BE2=V42-32=

?.,ZBCG=ZDAG,ZBGC=ZDGA.

：.AADGsACBG,

.AGDG

??—,

CGBG

.AG5

=后

：.AG=^V7,

1q22

：.AB=AG+BG=號中+近=與近,

???。0的半徑=學位.

5?【解答】(1)證明：???。是品的中點，

:.cb=BC,

：.ZEAC=ZBAC.

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°.

CELAE,

：.ZAEC=90°,

：.ZAEC=ZACB9

：.AACE^AABC；

(2)證明：連接OC,如圖，

V(9A=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

由(1)知：ZEAC=ZBACf

：.ZEAC=ZOCAf

：.OC//AE,

'：CELAE,

：.OC.LCE.

TOC為。。的半徑，

???CE是。0的切線；

(3)解：連接OD過點。作。尸，AO于點尸，如圖,

則AF=FD=1AZ),

u

：AD=2CEf

：.AF=CE.

VOFLAD,CE1AE,OCA.CE,

???四邊形所oc為矩形，

???OF=CE,

：.OF=AF,

則AA尸。為等腰直角三角形，

???/朋0=45°,AF=FO=^OA=1.

'：OA=OD,

：.ZODA=ZFAO=45°,

ZAO￡>=90°.

??SL0AD=20^>OD=2XV2XV2=1,

_90TTX(72)2_n

、扇^OA。~360=2"

**?陰影部分的面積=S扇形OAD-SAOAD=2—1?

6.【解答】(1)解：???A8為。。的直徑，

ZACB=90°,

在Rt^A5C中，由勾股定理得：

AC=yjAB2-BC2=V122-62=6A/3,

故答案為：6V3；

(2)證明：VAD1AC,

：.ZDAC=ZBCA=9Q°,

J.AD//BC,

,?/ADC=NB,

：.ZBAC=ZDCA.

：.AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形；

(3)解：在RtZkACD中，

VtanZAZ)C=V3,

ZADC=60°,ZACD=30°,

如圖2,連接OC,圖2

???a>是。。的切線，

???OCLCD,

：.ZACD+ZACO=9Q°,

XVZACO+ZOCB=90°,

???ZACD=ZOCB,

?/OC=OB,

：.ZB=ZOCB=ZACD=30°,

在RtZkABC中,AC=AB-sin30°=6,

r-

在中，

RtZWCDCD=Uc/o。；un。=4?

:.在RtZ\COD中，OD=yJCD2+OC2=^62+(4V3)2=2V21；

(4)解：如圖3,過點A作射線A尸，AB,作射線。F滿足/4。歹=60°,射線AP與

。廠交于點凡連接。C、CF,

在RtzXAOF中，AF^OA'tan60°=WOA,

:tan/AOC=V3,

.,.AC=y[3AD,

\'AF=y[3OA,

ACAF

：.—=—=Vr3,

ADOA

'：ZDAC^ZOAF^90°,

：.ZDAC+ZCAO^ZOAF+ZCAO,即ZDAO^ZCAF,

；.△CAFs△￡>ao,

FCACL

—=—=Vr3>即FC—y[30D,

ODAD圖3

在RtzXAOF中，

'：0A=6,AF=WOA=6V3,

：.0F=y/OA2+AF2=12,

^：\0F-OC\^CF^OF+OC,

.?.6WCBW18,

.\2V3<0D<6V3.

7.【解答】(1)證明：如圖，

連接。￡,過點。作OGLAB于點G,

：0。與相切于點E,

C.OELAD,

???四邊形ABC。是正方形，AC是正方形的對角線,

：.ZBAC^ZDAC^45°,

：.OE=OG,

?：0E為O。的半徑，

，OG為O。的半徑，

?;OG±AB,

.'AB與OO相切；

(2)解:如圖，

：AC為正方形ABCD的對角線，

：.ZDAC=45°,

：O。與4。相切于點E,

ZA￡O=90°,

.?.由(1)可知AE=OE,

設AE=OE=OC=OF=R,

在RtAAEO中，

\'AE1+EO2=AO2,

:.AO2=R2+R2,

V7?>0,

：.A0=V27?,

又,；正方形ABCD的邊長為魚+1,

在RtZXADC中，

：.AC=VXD2+CD2=V2(V2+1),

??OA+OC^AC,

：.y[2R+R=V2(V2+1),

'.R=V2,

???O。的半徑為V2；

(3)解:如圖，

連接FN,ON,

設CM=k,

CM：FM^l：4,

:.CF=5k,

：.OC=ON=25k,

C.OM^OC-CM=1.5k,

在Rtz\OMN中，由勾股定理得：MN=2k,

在RtZXCMN中，由勾股定理得：CN=舟,

又,：FC=5k=2R=2x&=242,

.?.CN=^x竽=等.

8.【解答］.⑴證明：連接0。，

〈A。平分NR4C,

'ZDAE=Z0AD,

:04=00,

：.Z0AD=Z0DA,

：.ZDAE=Z0DA,

J.0D//AC,

u：DELAC,

IODIDE,

???o。是。。的半徑，

???Eb是。。的切線；

(2)解：連接MDAN,

在RtAOD尸中，0B=0D=2,ZF=30°,

1

：.OD=/F,ZBOD=60°,

???0F=4,

：.DF=yJOF2-OD2=2V3,

二?A尸=2+4=6,

在RtZXAE尸中，N尸=30°,

1

：.AE=|AF=3,

VZF=30°,OD1,EF,

：.ZDOF=60°=N2+N3,

9：OA=OD,

VZ2=Z3,

.'.Z2=30°,

：.Z2=ZF,

:?AD=DF=2?

'：OD//AE,

:ADGOSXAGE,

,DGOD2

AG~AE~3

：.DG=|AD,AG=|AD,

VZANM=ZMDG,NMGD=NAGN,

:.AMGDsAAGN,

.MG_GD

99AG~GN'

：.GM*GN=GD*GA=|AD*|AD=^AD2=x(2b)2=^|.

9.【解答】(1)證明：①???四邊形ABC。是菱形，

J.AB//CD,

'：DH±AB,

：.ZCDH=ZDHA=90°,

:.CD±OD9

???。為OO的半徑的外端點，

???8是。。的切線；

②連接HF,

：.ZDEF=/DHF,

:。以為。。直徑，

：.ZDFH=90°,

ZDHF=90°-ZBDH,

\9ZDHB=90°,

：.ZDBA=90°-NBDH,

：.ZDHF=ZDBA=/DEF,

■:/EDF=NBDA,

：.ADEF^ADBA；

(2)解：連接AC交于G.

???菱形ABC。，BD=6,

：.AC.LBD,AG=GC,DG=GB=3,

在RtZXAGB中，AG=VXB2-GB2=4,

.*.AC=2AG=8,

:S菱形A3CZ)=^AC9BD=AB9DH,

4x8x6?4

..."/=『=號'

由△DE/S2XOBA知：ZDFE=ZDAH,

DH等24

：.smZDFE=sinZDAH=京=亳=蕓.

10.【解答】(1)證明：如圖，連接。。，CD,

是O。的直徑，

ZADC=90°,

.?.ZBDC=180°-ZADC=90°,

:點〃為邊8C的中點，

；.MC=MD,

：.ZMDC^ZMCD,

,：OC^OD,

；.NODC=NOCD,

VZACB=90°,即NMCr?+/OC￡)=90°,

：.NMDC+ODC=ZMCD+ZOCD^90°,

即NOZ)M=90°,

J.DM1OD,

是o。的半徑，

...OM是O。的切線；

(2)①當點尸在線段BC上時，如圖，過點尸作尸于點T,

在RtA4BC中，AB=y/AC2+BC2=V82++62=10,

設PT=x,

1

VtanZBAP=

.PT1

??—―,B

AT3

：.AT=3PT=3x,

：.BT=AB-AT=10-3x,M

P

PTAT

,*,tanz^A5C=AC

O

.x8

**10-3%-6’

8

得

解X-

3-

8

3-

8

PTAC78

VsinZABC=詆=赤，BP-----=——,

BPABBPio

10

：.BP=丁;

當點尸在C5的延長線上時，如圖，過點3作尸于點K,

1

VtanZBAP=可，

.BK1

??—―,

AK3

設BK=a,則AK=3a,

在Rt^ABK中，AK2+BK2=AB2,

即(3a)2+a2=102,

解得:ai=V10，a2——V10(舍去),B

.?.AK=3ViU,BK=V10,

:S?BP=^AP-BK=^BP'AC,M

#APAC8C

"BP~BK~710;

設8尸=機，則/12=公普機，

在RtZXAC尸中，AC2+CP2=AP2,

^4V100

HP82+(m+6)92=(---m)2,

解得：mi=機2=—學(舍去),

50

：.BP=目;

綜上所述，5P的長為三或堂

②設CP=n,貝1JAP='AC?+CP2=V64+n2,

如圖，???AC是。。的直徑，

CQ1AP,

???CQ?AP=AC?C尸，

.「cAC-CP8n

??CQ=~Ap-=I

J64+*

.CQBn

*'AP64+n2'

Vn>0,

???(n-8)220,

64+川216〃，

.CQ8n8n1

?'AP64+n2-16n2’

rni

，77的最大值為不

AP2

11.【解答】(1)證明：連接OD,

TA。平分NCA8,

：.ZCAD=ZBAD,

???04=00,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCAD=ZODA,

J.OD//AC,

9：DELAC,

：.OD±DE,

???0。是。。的半徑，

?,?直線OE是。。的切線；

(2)解：△A5M是等邊三角形，理由如下:

VZ)E±AC,ZF=30°,

：.ZEAF=60°,

：.ZEAD=ZDAF=30°,

：.ZCBD=ZCAD=30°,

:AB為。。的直徑，

ZACB=90°,

ZABC=90°-ZEAF=30°,

ZABM=ZABC+ZCBD=60°,

???△ABM是等邊三角形；

(3)解：是等邊三角形，

：.ZM=60°,

：.ZMDE=30°,

VME=1,

:?MD=2ME=2,

：.AB=MB=4,

:AB為。。的直徑，ZABC=30°,

'.AC=AB=2,

AC

'：ZCAD=30°,cosZCAD=

即cos30°~~Tp—學,

4

Ap-

3V3

12.【解答】(1)證明：連接0。父AC于點H,如圖,

VAZ)=CZ),

：.AD=CD,

???半徑0D_LAC,

ZAHO=90°,

ZADM=ZDAC,

：.AC//MNf

：.ZMDO=ZAHO=90°,

???半徑ODLMN,

???MN是。。的切線；

(2)證明：連接50,如圖，

???A5為。。的直徑，

ZADB=ZACB=9Q°,

???ZADM=ZDAC,

：.AC//MN,

：.ZACD=ZCDN,ZDNC=ZACB=90°=ZADB,

9：AD=AD,

ZABD=ZACDf

：.ZABD=ZCDN,

:.ACDNS^ABD,

.CNCD

??=,

ADAB

'：AD=CD,

.CNAD

??=t

ADAB

:.AD2=AB^CN；

(3)解：連接0。交AC于點〃，連接班)，如圖，

由(1)(2)得：NABD=NCDN=NACD,ZADB=ZBNM=ZAHO=ZMDO=90°,

sinZABD=sinZCDN=sinZACD=三,

VAB=6,

：.AD=AB?sinZABD=6x號=273,

'：AD=CD,

.\C￡)=2V3,

CN=CD-sinZCDN=2V3X亨=2,

:.DN='CD2一C*=J（2遮）2—22=2a,

/CND=NCHD=/NDH=90°,

四邊形CNDH是矩形，

：.CH=DN=2近,

'：OD±AC,

.\AC=2CH=4V2,

在RtZ\ABC中，BC=7AB2—AC?=62-（4A/2）2=2,

：AC//MN,

AMCNAM2

---=---,即---二一，

ABBC62

.\AM=6.

13.【解答】（1）證明：連接0。，如圖所示,

〈AB為。。的直徑，

ZADB=90°,

：.ZBDC=90°,

,?,點E為5C的中點，

1

：.DE=BE=寺BC,

；?NEDB=NEBD,

'：0B=0D.

：.ZODB=ZOBD.

VZABC=90°,

：.ZEBD+ZOBD=90°,

：.ZODB+ZEDB=90°,

???oo是。。的半徑，

???Z）E與。。相切；

（2）解：由（1）知，ZBDC=90°,

???萬是5。的中點，

1

：.DE=^BC=2.

.\BC=4,

\AB=8.AD=2BD,

又：在中，AB1=AD2+BD2,即（28。）2+BZ）2=82,

.1.BD=|V5（負值己舍去）,

：.AD=岑^：

（3）解：設RtzXAB。中A8邊上的高為/?,

由(2)可知AB=8,

又?.?AB是直徑，

ZAPB=90°,

：.PA1+PB2=82=64,

：.(B4+PB)2=64+2PA-PB,

.當PA+PB取最大值時，2弘?PB也取最大值，

又S^ABP=1B4?PB=3小h,

當PA+PB取最大值時，S^ABP取最大值，

此時AB邊高為取最大值為=竽=4,

???SAABP=|AB-/z=2X8X4=16.

.?.B4-PB=2SAABP=32,

(B4+PB)2=64+2X32=128,

.\B4+PB=8V2.

綜上所述：B4+P5的最大值為8魚.

14?【解答】(1)證明：連接OC,