2025年九年級中考數學二輪專題復習

完全平方公式和平方差公式的幾何背景練習

1.將完全平方公式(°±6)2=/±2"+廬進行適當的變形，可以解決很多的數學問題，例

如:若。+6=3,ab=\.求/+/的值.

解：因為a+b=3,所以(a+b)2=9,BPa2+2ab+b2=9.

又因為為=1,所以/+廬=7.

根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若無+y=10,/+y2=52,貝U孫=,尤-y=,若無>y>0,貝!]

尸，尸;

(2)兩個正方形ABC。、AEFG如圖擺放，面積和為52,BG^10,求圖中陰影部分面積.

2.如圖①是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然

后按圖②的形狀拼成一個正方形.

(1)觀察圖②，請你直接寫出下列三個式子：(。+6)2,(a-b)2,4仍之間的等量關系

式為;

(2)若m,n均為實數，且m+n--2,mn--3,運用(1)所得到的公式求m-n的值；

(3)如圖③，Si,S2分別表示邊長為x,y的正方形的面積，且A,B,C三點在一條直

線上，若SI+S2=20,AB=x+y=6,求圖中陰影部分的面積.

(4)如圖④，一農家樂準備在原有長方形用地(即長方形ABCD)上進行裝修和擴建,

先用長為120根的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以AD為邊分別向外擴建正方

形AOG8、正方形。CE尸兩塊空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能

性花園面積和為2000m2,求原有長方形用地ABC。的面積.

3.某學校數學項目式學習小組在研究“兩數和(差)的平方公式”的應用時，發現這兩個

公式的用處很大，變式應用也很靈活.請你試著幫他們解決以下問題：在長方形A3C。中，

AD長為a42長為67〃，日a>b.

(1)若該長方形的周長為8〃z,面積為3川，求/+房的值；

(2)若a,b滿足/+漏=10,b2+ab=6,求a-b的值；

(3)為美化校園環境，提升校園文化，某學校計劃在一塊如圖所示面積為216:層的長方

形空地ABCD中劃出長方形AEFG和長方形JKCL,將這兩個長方形重疊部分的區域建一

個長為3祖，寬為2%的長方形水池將圖中陰影部分的區域作為花圃，

且花圃總周長為50加，求A8和的長.

4.如圖1,將邊長Qa+b)的正方形剪出兩個邊長分別為a,b的正方形(陰影部分)和兩

個全等的長方形，觀察圖形，解答下列問題：

(1)用兩種不同的方法表示圖1陰影部分的面積，即用兩個不同的代數式表示陰影部分

的面積.方法1：；方法2：；從中你發現什么結論

呢：;

(2)根據上述結論，初步解決問題：已知a+b=6,a2+b2=20,求的值；

(3)解決問題：如圖2,C是線段上一點，以AC,BC為邊向兩邊作等腰直角三角

形，記SRtAACD=Sl,SRtACBE=S2,若AC+3C=8,Sl+S2=25,求圖中陰影部分的面積.

圖1圖2

5.圖1是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

（1）請觀察圖1和圖2的面積關系，直接寫出下列三個代數式：（a+6）2,Q-b）2,

油之間的等量關系：;

（2）根據（1）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：m+n=5,mn=-14,求（機-w）2的值；

②已知：x>0,久一1=1.求x+］的值.

b

b

圖1圖2

6.在學習整式乘法時，教材用拼圖推演得到了整式的乘法法則和乘法公式.這樣，我們借

助圖形往往能把復雜的數學問題變得簡明、形象.如圖1,將邊長。的正方形分別用兩個

邊長分別為a-b,b的正方形①②（陰影部分）和兩個長方形③④拼接而成.觀察圖形，

解答下列問題：

（1）請用兩種不同的方法表示圖1中邊長。的正方形的面積.你能用圖1中正方形的面

積表示必嗎？請把結論寫出來.

（2）運用你發現的結論，解決下列問題：

①已知（2x-y+3）2+（j-2x）2=10,求（2x-y+3）（2x-y）的值.

②如圖2是由3個正方形ABC。、BMNR、BEQK和1個長方形2RPK拼接而成，若AE

=2,CG=4,長方形BMHE的面積為15,設陰影部分正方形的面積分別為Si,求

S1+S2的值.

7.如圖，圖1為邊長為。的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影

部分拼成的一個長方形.

（1）設圖1中陰影部分面積為Si,圖2中陰影部分面積為S2,請用含a、b的代數式表

(2)以上結果可以驗證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式

(3)運用(2)中得到的公式,計算：20222-2021X2023.

8.從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個

長方形(如圖2).

(1)上述操作能驗證的等式是.;(請選擇正確的一個)

A、a2-2ab+b2=(a-b)2

B、a2-b2=(a+6)(a-b)

C、a2+ab=a(〃+b)

(2)應用你從(1)選出的等式，完成下列各題:

①已知/-4y=12,x+2y=4,求x-2y的值.

②計算：(1-14)(11-4)1(1-4)-(

234

9.如圖1,一個邊長為a的大正方形中有一個邊長為6的小正方形，把圖1中的陰影部分

剪拼成一個長方形，如圖2所示.

(1)通過觀察圖1和圖2中陰影部分的面積，可以得到的乘法公式

是；(用含a,b的等式表不)

(2)應用上述乘法公式解答下列問題：

①計算：(〃+2/?-c)(〃+2b+c)；

②若9--4/=20,6x+4y=8,求3x-2y的值.

a-b

圖1圖2

10.從邊長為。的正方形剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1)，然后將剩余部分拼成一個

長方形(如圖2).

(1)上述操作能驗證的等式是(請選擇正確的一個)；

A.a2-2ab+b2=(〃-/?)2

B.d-廿=(〃+》)(a-b)

C.c^+ab=a(〃+/?)

(2)若/-9/=12,x+3y=4,求％-3y的值；

⑶計算：(1—3)(1一看)(1一占…(1一茄黯?

11.如圖，從邊長為。的正方形ABC。中剪去一個邊長為6的正方形CGE尸.

(1)若a-b=3,a2-ZJ2=21,求a+6的值；

(2)請根據圖中陰影部分面積驗證平方差公式；

(3)計算：(1+》x(1+玄)x(1+j)x(1+})…x(1+表).

12.如圖，正方形ABC。的邊長為a+1,正方形AEFG的邊長為a,圖中陰影部分的面積可

以用正方形ABCD的面積與正方形AEFG的面積的差來計算；也可以用長方形BEFH的

面積與長方形CDG8的面積的和來計算.

(1)根據圖中陰影面積的不同計算方式，請直接寫成(。+1)2,2a+1間的等量關系；

(2)根據(1)中得到的等量關系，解決下面的問題：

①計算：20252-20242-20232+20222；

②若(x-100)2-(x-101)2=2025,求x的值.

13.將完全平方公式(a±b)2=/±2心+廬進行適當的變形，可以解決很多的數學問題，

例如：若a+6=3,ab=\.求/+戶的值.

解：因為a+b=3,所以(a+b)2=9,BPa2+2ab+b2=9.

又因為a6=l,所以<?+廬=7.

根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若龍+y=10,/+/=52,貝I孫=，x-y=，若x>y>0,貝!]

（2）兩個正方形ABC。、AEPG如圖擺放，面積和為52,BG=10,求圖中陰影部分面積.

14.如圖①是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然

后按圖②的形狀拼成一個正方形.

（1）觀察圖②，請你直接寫出下列三個式子：（a+6）2,Qa-b）2,4而之間的等量關系

式為;

（2）若m,n均為實數，且m+n--2,mn--3,運用（1）所得到的公式求m-n的值；

（3）如圖③，Si,$2分別表示邊長為x,y的正方形的面積，且A,B,C三點在一條直

線上，若SI+S2=20,AB=x+y=6,求圖中陰影部分的面積.

（4）如圖④，一農家樂準備在原有長方形用地（即長方形ABCD）上進行裝修和擴建,

先用長為120根的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以AD,為邊分別向外擴建正方

形AOGH、正方形DCEF兩塊空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能

性花園面積和為2000w，求原有長方形用地ABCD的面積.

aa

①

15.［閱讀材料］我們知道，圖形也是一種重要的數學語言，它直觀形象有效地表現一些代數

中的數量關系，而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題.

在一次數學活動課上，張老師準備了若干張如圖所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種

紙片是邊長為尤的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y,寬為x的

長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，內種紙片兩張拼成了如圖（匕）所示的一個

大正方形.

yX

(b)

(1)理解應用：觀察圖(b),用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請

你直接寫出這個等式.

(2)拓展升華：利用上面的等式解決下列問題：

①已知/+廬=20,a+b=6,求已的值;

②已知(2024-c)(c-2022)=1,求(2024-c)2(c-2022)2的值.

參考答案

1.【解答】解：⑴Vx+y=10,

(x+y)2=100,

.,.x2+y2+2xy=100,

：$+/=52,

，52+2孫=100,

.*.2xy=48,

，孫=24,

,.,?+/=52,2孫=48,

，7+y-2xy=52-48=4,

(x-y)2=4,

.*.x-y=±2,

Vx>^>0,

??x-y=2,

解方程組：得比U,

故答案為：24；±2；6；4；

(2)依題意設A8=AZ)=a,AG—AE—b,其中。>Z?,

VBG=AB+AG=10,

?\a+b=10,

???正方形ABCD,AEFG面積之和為52,

22

a+b=52f

同(1)可得：〃=6,b=4,

.\AB=AD=6,AG=AE=4,

：.DE=AD-AE=6-4=2,

11

，S陰影=^DE^AB=X2X6=6.

2.【解答】解：(1)??,圖②中大正方形的邊長為(〃+。)，小正方形的邊長為(〃-人)，長

方形的長為m寬為。，

圖②中大正方形的面積為：(a+b)2,小正方形的面積為：(a-b)2,長方形的面積:

ab,

又??,“圖②中大正方形的面積=小正方形的面積+4義長方形的面積”

(。+。)2=(a-b)2+4",

故答案為：(a+b)2=(a-b)^+4ab；

(2)由(1)可知：(m+〃)2=(m-H)2+4mn,

(m-〃)2=(m+n)2-4相〃,

*.*m+n=-2,mn--3,

???(m-H)2=(-2)2-4X(-3)=16,

?.m-n=±4；

(3)依題意得：S\=J?,S2=/，^c=CD=x,CB=DF=y,

**?S陰影=*CD。CB+^AC9CF=^xy=xyr

VSI+S2=20,

.??/+y=20,

又TA,B,。三點在一條直線上，AB=x+y=6,

(x+y)2=36,

x2+”+2孫=36,

20+2孫=36,

?*xy~~8，

AS陰影=孫=8；

(4)AB=CD=xm,AD=BC=ym,

長方形ABCD=AB'AD=xy,

:長方形ABC。的周長為120m,

；.2(x+y)=120,

.,.x+y=60

/.(x+y)2=3600,

/.x2+y2+2xy=3600,

正方形ADGH和正方形CDFE的面積之和為2000m2,

.,.?+/=2000,

2000+2孫=3600,

.*.xy=800,

??S長方形A3C￡)=孫=80。(機？)，

/.原有長方形用地ABC。的面積800m2.

3.【解答】解：(1)'：AD=am,AB=bm,長方形的周長為8加，面積為3層,

.'.2(Q+Z?)=8,ab=3,

即〃+人=4,次?=3,

，〃2+廬

=(Q+Z?)2-lab

=42-2X3

=16-6

=10,

答：/+廬的值為I。加2；

(2)Va1+ab=10,序+ab=6,

c^+ab-(儕+ab)=4,a2+ab+ab^b2=16,

/.a2-b2=4,(〃+Z?)2=16,

*：a>b>0,

(a-b)(〃+/?)=4,a+/?=4,

??a—b^~1,

答：a-b的值為Im；

(3)：陰影部分的區域總周長為50/w,長方形JMFN長為3,寬為2,

.1.50=2(DL+GD)+2(NK+BK)

=2[qDL+NK)+(GD+BK)]

=2[Cb-MF)+(cz-JM)]

=2[b-2+〃-3]

=2(a+b-5),

即a+b=30,

：.Ca+b)2=900,

:長方形ABC。的面積為216m2,

.5=216,

：.a2+b2=(a+b)2-2ab=900-2X216=468,

(A-b)2=a2+b2-2。6=468-2X216=36,

,:a>b,

??a~Z?=6,

?(a+b=30

—b=6'

解得〃=18,b=12,

答：AB的長為12m,AD的長為18m.

4.【解答】解：(1)方法1：根據題意可知，陰影部分面積為邊長為〃和邊長為b的正方

形面積之和，

:?S陰影部分=a2+b2；

方法2：根據題意可知，陰影部分面積為邊長為(a+b)的正方形面積減去長為a,寬為

人的長方形面積X2,

:'S陰影部分=(。+b)2-2ab,

根據陰影部分面積相等可知：。2+必=(〃+匕)2一2".

故答案為：/+戶;(a+Z?)2-2ab；a2+b2=(a+Z?)2-2ab；

(2)Va+b=6f/+/=20,

由(1)得：a2+b2=(a+b)2-lab,

6^-20

,ah=(a+^-(aW)==8；

(3)設AC=x,BC=y,

VAC+BC=8,SI+S2=25,

.?.%+y=8,%2+2^2~25，

ii

.,.xy='[(%+y)2—%2—y2]=2x(82—2x25)=7,

1

，陰影部分的面積為鼻x2=7.

5.【解答】解：(1)圖2,大正方形的邊長為〃+從因此面積為(a+b)2,中間小正方形

的邊長為因此面積為(a-b)2,4個空白長方形的面積和為4H7,

所以有(〃+。)2=(〃-/?)'+4",

故答案為：(〃+匕)2=(a-b)2+4出

(2)①(m-?)2=(m+n)2-25+56=81；

②：(x+-)2=(x--)2+8=1+8=9,而X>0,

xx

?*?xdJ-i3.

X

6.【解答】解:(1)方法一：大正方形面積為次；

方法二：(a-b)2+廬+2(a-b)b=a2；

兩個小正方形面積分別為(a-b)2,b2,

③④部分的面積都為(a-b)b,

.,.a2=(a-Z?)2+b2+2(a-b)b,

1

ab=2[a2+b2—(a—b)2]；

(2)①由已知得(2x-y+3)2+(2x-y)2=10,

設q=2x-y+3,b=2x-y,

則有片+廿=]。，a-b=3,

(a-b)2=9,

1-1n_q-1

(2x-y+3)(2x-y)=ab=)[a2+b2—(a—h)2]=-=]；

②設正方形5MNR、BEQK的邊長分別為〃，b,

由題意ab=15f

VAE=2,CG=4,AB=a+2,AC=/?+4,

由正方形ABC。得〃+2=6+4,即〃-匕=2,

由(1)得〃2+廬=(a-b)2+2",

2222

二?Si+S2=a+b=(a—b')+2ab=2+2x15=34.

7.【解答】解：(1)由題意得，Si=a2-b2,S2=(〃+6)(4-/?),

故答案為：a2-b1,(a+b)(a-Z?)；

(2)由(1)題結果，可得乘法公式(a+b)(Q-A)=/-序,

故答案為：(〃+/?)(a-b)=〃2-廿；

(3)20222-2021X2023

=20222-(2022-1)X(2022+1)

=20222-20222+1

=1.

8.【解答】解：(1)第一個圖形中陰影部分的面積是〃2-廬，第二個圖形的面積是(〃+b)

(a-。)，

則后-必=(〃+/)(〃-》).

故答案是B；

(2)①?.?％2-4/=(x+2y)(%-2〉)，

.'.12=4(x-2y)

得：x-2y=3；

②原式=(1-1)(1+1)(1-j)(1+1)(1-1)(1+1)…(1一點)(1+得)(1—4)

1

1+萬

132435182O1921

------X--X--X--X

22334419192O

-O

2

^2X20

_21

=40-

9.【解答】解：(1)圖1中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即〃2一房,

拼成的圖2是長為寬為的長方形，因此面積為(〃+。)(〃-/?),

所以有〃2-廬=(。+。)(a-/?),

故答案為：$-廿=(a+b)(a-b)；

(2)①原式=[(a+2b)+c][(a+2b)-c]

=(〃+2Z?)2-c2

=a2-4必+廿-c2；

(2)V6x+4y=8,

3x+2y=4,

又??,9/-4/=20,即(3x+2y)(3x-2y)=20,而3x+2y=4,

3x-2y=5.

10.【解答】解：(1)圖1的陰影部分的面積為。2-廬，圖2陰影部分的面積(〃+b)(a

-b\兩個圖形中陰影部分面積相等，

.9.a2-b2=(〃+。)(a-b),

故選：B；

(2)\*x2-9y2=(x+3y)(x-3y)=12,x+3y=4,

.,.x-3y=3；

(3)原式=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)(1一》(1+1)…(1-+2^9^

1324352o282o3o

--X-------X-

2233442o292o29

2030

X2029

=1015

=2029,

22

11.【解答】解：(1)*：a-b=3,a-b=21f即(〃+」)(a-b)=21,

。+/?=7；

(2)如圖，將圖1沿著虛線裁剪可以拼成圖2的長方形，

圖1中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差,即。2-廬，拼成的圖2是長為

寬為的長方形，因此面積為(〃+。)

所以有次-廿=(Q+Z?)(〃-/?);

(3)原式=2X((1+1)x(1+p)x(1+x(1+x(1+^2)

11111

—2X(1--GX(1H—GX(1H—v)X(1H—o)X???X(H-

22222

111I

=2X(1-j)XX+爐)X(1+”)XX(1+^37^

=2XJ宏)義(1+京X-X(1+表)

1

=2X(1-^64)

12.【解答】解：(1)圖中陰影部分的面積看作用正方形A5CD的面積與正方形AE尸G的

面積的差，即(〃+1)2-。2,

圖中陰影部分的面積也可以用長方形5E尸〃的面積與長方形CDG"的面積的和，即(〃+1)

X1+〃X1=2〃+1,

所以有(〃+1)2-cP=2a+l,

故答案為：(〃+1)2-Q2=2Q+1；

(2)①原式=(20252-20242)-(20232-20222)

=(2025+2024)(2025-2024)-(2023+2022)(2023-2022)

=2025+2024-2023-2022

=4；

②;(x-100)2-(x-101)2=2025,

???(x-100+x-101)(x-100-X+101)=2025,

即2x-201=2025,

解得x=1113.

13.【解答】解：⑴?.1+y=10,

(x+y)2=100,

/+9+2盯=100,

Vx2+y2=52,

.,.52+2xy=100,

.*.2xy=48,

「?孫=24,

???/+/=52,2孫=48,

.'.x1+y2-2孫=52-48=4,

(x-y)2=4,

??x~y~~土2,

Vx>^>0,

??x-y=2,

解方程組：得：MU，

故答案為：24；±2；6；4；

(2)依題意設A8=AZ)=a,AG—AE—b,其中。>Z?,

VBG=AB+AG=10,

a+b=10,

???正方