中考數學一模試卷

一、單選題

1.下列美術字中，是中心對稱圖形的是（）

AMBAcTDH

2.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.投擲一枚硬幣時，硬幣的正面朝上

B.投擲飛鏢一次，命中靶心

C.從只裝有白球的盒子里摸出一個球，摸到一個白球

D.玩“石頭，剪刀，布”，對方出“剪刀”

3.如圖，點4,B,C均在O。上，N20C=100°,則/A4c的度數為（）

4.已知反比例函數了=號的圖象位于第一、三象限，則〃的取值可以是（）

A.-2B.1C.2D.3

5.已知扇形的半徑為3,圓心角為120。，則這個扇形的面積為（）

A.9nB.6nC.3TID.2K

如圖，已知：若的長度為則。石的長度為（）

6.AC：EC=34,6,

7.如圖，已知與△Z8C是以點。為位似中心的位似圖形，位似比為3：5,下列說法錯誤的是

A.AC//AC

B.S/^A,B'o：S^ABC=9：25

C.△NO?△9CO

D.OB'：BB'=5：3

8.若關于x的一元二次方程，-2x+左=0有兩個不相等的實數根，則左的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

9.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷

活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元.設該款汽車這兩月售價的月均

下降率是x,則所列方程正確的是（）

A.16（1+x）2=23B.23（1-x）2=16

C.16（l+2x）2=23D.23（1-2x）2=16

10.如圖，在△48C中，ZACB=90°,/C=8,BC=6.將△/8C繞點。旋轉至△4C9,使Cb_L4B,

交邊NC于點。，則CD的長是（）

24

A.4B.—C.5D.6

11.某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學想到了如下

方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于N、8、C、D四點，然后利

用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,AB=3cm,CD4cm.請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（）

12.對稱軸為直線x=l的拋物線y=ax2+6x+c（a,b,c為常數，且如圖所示，小明同學得出了以

下結論：①廬<4℃,②a6c>0,③3a+c>0,④4a+26+c>0,⑤當x<-1時，y隨x的增大而減小.其

中結論正確為（）

A.①②④B.②④⑤C.①④⑤D.②③⑤

二、填空題

13.在平面直角坐標系中，點3與點/(-3,3)關于原點對稱，則點3的坐標是.

14.如圖，是小瑩設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，在點P處放一水平的平面鏡，光線從點/出

發經平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知CDLBD,且測得48=1.4米，

尸5=2.1米，尸￡>=12米，那么該古墻的高度是米.

15.如圖所示，/為反比例函數y=(圖象上一點，垂直x軸，垂足為2點，若SUOB=6,則左的值

16.如圖，在△/2C中，2C=/C=10,AB^16,CD為邊的高，點/在x軸上，點2在y軸上，點C

在第一象限，若/從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點3隨之沿y軸下滑，

并帶動△/2C在平面內滑動，設運動時間為f秒，當8到達原點時停止運動.連接0C,線段。C的長

隨才的變化而變化，當OC最大時，，=.

三、解答題

17.已知二次函數y=x2-2x.

(1)求當函數值了=0時，自變量x的值；

(2)請判斷此函數有最大值還是最小值，并求出最大值或最小值.

18.如圖，直線y=fcr+6(k,6為常數，4W0)與雙曲線y=￡(方為常數且mWO)相交于/(2,a),B

(-1,2)兩點.

(I)求反比例函數y=?的解析式；

(2)請直接寫出關于x的不等式依+的解集.

(3)連接。4、OB,求△N08的面積.

19.如圖，有一個可以自由轉動的轉盤，被均勻分成5等份，分別標上1,2,3,4,5五個數字，甲、乙

兩人玩一個游戲，其規則如下：任意轉動轉盤一次，轉盤停止后指針指向某個數字所在的區域，如果該

區域所標的數字是偶數，則甲勝；如果該區域所標的數字是奇數，則乙勝.

(1)轉出的數字為3的概率是.

(2)轉出的數字不大于3的概率是.

(3)你認為這樣的游戲規則對甲、乙兩人是否公平？為什么？

20.某店銷售某種進價為40元/短的產品，已知該店按60元/奴出售時，每天可售出100短，后來經過市

場調查發現，單價每降低1元，則每天的銷售量可增加10棺.

(1)若單價降低2元，則每天的銷售量是千克，若單價降低x元，則每天的銷售量是

千克；(用含x的代數式表示)

(2)若該店銷售這種產品計劃每天獲利2160元，單價應降價多少元？

(3)當單價降低多少元時，該店每天的利潤最大，最大利潤是多少元?

21.如圖，48是。。的直徑，四邊形48CD內接于。。，連接3。，AD^CD,過點。作。交3c

的延長線于點E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若2。=8,OO的半徑為5,求DE的長.

22.［綜合探究］運用二次函數來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很多數學的奧秘.圖1是

一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成.

【探究一】確定心形葉片的形狀

(1)如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數y=ax2-4ax-4a+l圖象

的一部分，已知圖象過原點，求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

【探究二】研究心形葉片的寬度：

(2)如圖3,在(1)的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線y=x+l與坐標軸交于4,8兩點，拋物線

與x軸交于另一點C,點C,。是葉片上的一對對稱點，CG交直線于點G.求葉片此處的寬度CG；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

(3)小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發現幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數＞=62-4辦

-4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究一中的二次函數.已知直線尸〃（點

P為葉尖）與水平線的夾角為45。，求幼苗葉片的長度刊）.

23.問題背景：一次數學綜合實踐活動課上，小慧發現并證明了關于三角形角平分線的一個結論.如圖1,

48BD

已知4D是△/8C的角平分線，可證*=而■.小慧的證明思路是：如圖2,過點C作CE〃/2,交AD

/ICCU

的延長線于點E,構造相似三角形來證明.

（1）嘗試證明：請參照小慧的思路，利用圖2證明＞=—；

CCD

（2）基礎訓練：如圖3,在RtZ\/8C中，/B4c=90°，。是邊8c上一點.連接將△/（7￡（沿

40所在直線折疊，點。恰好落在邊N2上的E點處.若NC=2,AB=4,求。E的長；

（3）拓展升華：如圖4,△48C中，43=12,NC=8,ZBAD=ZCAD,的中垂線交8c延長

線于點R當AD=3時，求/尸的長.

?選擇題（共12小題）

題號1234567891011

答案DCCDCBDABCB

題號12

答案D

一、單選題

1.【答案】D

【解答】/、選項中的圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形不重合，不是中心對稱圖形，不符合題

~?r.

忌；

B,選項中的圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形不重合，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、選項中的圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形不重合，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D,選項中的圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，是中心對稱圖形，符合題意.

故選：D.

2.【答案】C

【解答】解：A.投擲一枚硬幣時，硬幣的正面朝上，是隨機事件，不符合題意；

B,投擲飛鏢一次，命中靶心，是隨機事件，不符合題意；

C、從只裝有白球的盒子里摸出一個球，摸到一個白球，是必然事件，符合題意；

。、玩“石頭，剪刀，布”，對方出“剪刀”，是隨機事件，不符合題意；

故選：C.

3.【答案】C

【解答】解：4c為元所對的圓周角，/30C為比所對的圓心角，

11

AZBAC=^ZBOC=1x100°=50°.

故選：C.

4.【答案】D

【解答】解：?反比例函數v=噌的圖象位于第一、三象限，

:?n-2>0,

解得：n>2.

故"的取值可以是：3.

故選：D.

5.【答案】C

【解答】解：S扇形=嚶2=3m

故選：C.

6.【答案】B

【解答】解：,.?△/BCs△即c,

:.AB：DE=AC：EC,

'：AC：EC=3：4,AB=6,

：.DE=8.

故選：B.

7.【答案】D

【解答】解：與△/BC是以點。為位似中心的位似圖形，位似比為3：5,

：.AC//A'C,AA'B'C^AABC,且相似比為3：5,

?S&ABC=9：25.

故45選項正確，不符合題意；

；氏46。與64BC是以點。為位似中心的位似圖形，

：.BC//B'C,

:.NC'B'O=/CBO,ZB'CO=ZBCO,

：.△BC。?△8。。，

故C選項正確，不符合題意；

?.?△4夕。與△48。是以點。為位似中心的位似圖形，位似比為3：5,

：.OB'：03=3：5,

：.OB'：BB'=3：2.

故。選項不正確，符合題意.

故選：D.

8.【答案】A

【解答】解：???關于x的一元二次方程f-2x+左=0有兩個不相等的實數根，

A=(-2)2-4X1Xk=4-4k>0,

解得：k<1,故N正確.

故選：A.

9.【答案】B

【解答】解：：3月份售價為23萬元，月均下降率是x,5月份售價為16萬元,

.".23(1-x)2=16.

故選：B.

10.【答案】C

【解答】解：?..將△/BC繞點C旋轉至△WCb,

：./B=NB',A'B'=AB,/A'CB'=/4CB=9Q°,

'：CB'±AB,

：.ZB+ZBCB'=ZBCB'+ZACB'=90°,

AZB^ZACB1,

AZACB'=ZB',

：.CD=DB',

而+ZB'=ZACB'+ZA'CD=90°,

；."=NHCD,

：.DA'=DC,

：.DA'=DC=DB'=%'B'^^AB=^AC2+BC2=|A/62+82=|xl0=5.

故選：c.

11.【答案】B

【解答】解：如圖，MNLAB,MN過圓心。，連接OC,OB,

.\MN=3.5cm,

*：AB〃CD,

:?MN1CD,

111I

：.CMCD=*x4=2(cm),BN=^AB=.x3=1,5(cm),

設ON=xcm,

：.0M=MN-ON=(3.5-x)cm,

t：OM2+MC2=OC2,O解+B1^=OB2,

：.OA^+MC2=OT^+BN1,

(3.5-x)2+22=X2+1.52,

/.12.25-7X+X2+4=X2+2.25,

.*.7x=14,

?,?x=2,

0N=2(c加)，

：.0B=7ON2+MB2=J22+1.52=2.5(czn),

紙杯的直徑為2.5X2=5(cm).

故選：B.

12.【答案】D

【解答】解：由圖象可得，

該圖象與x軸有兩個交點，則廬-4碇>0,即提>44,故①錯誤，不符合題意；

Q>0,b<0,c<0,則Q6C>0,故②正確，符合題意；

h

對稱軸為直線x=—而=1,即b=-2a,

.,.當x=-l時，y~a-b+c—3a+c>Q,故③正確，符合題意；

x=2和x=0時對應的函數值相等，貝?。輞=4a+26+c=c<0,故④錯誤，不符合題意;

當x<-l時，y隨x的增大而減小，故⑤正確，符合題意；

故選：D.

二、填空題

13.【答案】（3,-3）.

【解答】解:在平面直角坐標系中，點B與點A（-3,3）關于原點對稱，則點2的坐標是（3,-3）.

故答案為：（3,-3）.

14.【答案】8.

【解答】解：VZAPB=ZCPD,ZABP=ZCDP,

：.AABPs.DP

?ABBP

??—,

CDPD

解得：CD=8.

故答案為：8.

15.【答案】12.

【解答】解：設4(工,》)，

貝US/VIOB=|%y|*2=6，

**?\k\=|xy|—12,

由條件可知左>0，

...取左=12.

故答案為：12.

16.【答案】8V2.

【解答】解：；2。=/。=10,CD為AB邊的高，

：.BD=AD,AC=1S,BC=12,

：.OD=^AB=AD=8,

OCWOD+CD,

.?.當O,D,C三點共線時，。。最大，

此時：0￡>_L4B,

CM=VOZ)2+OA2=8V2,

：.t=8V2+1=8V2；

故答案為：8V2.

三、解答題

17.【答案】(1)xi=0,m=2；

(2)函數有最小值，函數最小值為-1.

【解答】解：(1)當>=0時，X2-2x—0,

x(x-2)=0,

x=0或x-2=0,

xi=0,X2=2；

???當函數值y=0時，自變量x的值為0或2；

(2)因為。=1>0,開口向上，所以函數有最小值.

y=x2-2x+l-1=(x-1)2-1,

此函數最小值為-1.

7

18.【答案】(1)y=-1；

(2)xV-1或0<x<2；

3

(3)二.

2

【解答】"e：(1)由題意，將2點代入雙曲線解析式y=￡,

?Qm

??2=rp

:.m=-2.

雙曲線為丫=一金

(2)關于x的不等式依+b〉系的解集為：xV-1或0<xV2.

7

(3)-：A(2,a)在雙曲線為y=-泉

??=~1,

：.A(2,-1),

將/(2,-1),5(-1,2)代入y=fcc+6,

得：m：一」,

I—k+b=2

解得：｛1=—1、

Ib=1

??y=-x+1,

設y=-x+1與歹軸交于點C,則。坐標(0,1),

113

S^AOB=—xB\=,X1X3=2，

3

答：AAOB的面積為5.

-1

19?【答案】(1)-；

3

(2)-；

(3)這樣的游戲規則對甲、乙兩人不公平，理由見解析.

【解答】解：(1).??一共有5個數字，每個數字被轉出的概率相同,

，轉出的數字為3的概率是

故答案為：—;

(2)...一共有5個數字，數字不大于3的有3個，

3

，轉出的數字不大于3的概率是不

3

故答案為：—;

(3)這樣的游戲規則對甲、乙兩人不公平，理由如下：

:一共有5個數字，其中奇數有3個，偶數有2個，且每個數字被轉出的概率相同,

32

任意轉動轉盤一次，轉出奇數的概率為『轉出偶數的概率為三，

23

<一,

55

乙獲勝的概率大，

???這樣的游戲規則對甲、乙兩人不公平.

20.【答案】(1)120；(100+10%)；

(2)應降價2元或8元；

(3)當單價降低5元時，該店每天的利潤最大，最大利潤是2250元.

【解答】解：(1)若單價降低2元，則每天的銷售量是100+2X10=120(千克)，

若單價降低x元，則每天的銷售量是(100+10x)千克；

故答案為：120,(100+10x)；

(2)設單價應降價y元，貝!|：

(60-y-40)(100+10y)=2160,

：.y2-10j+16=0,

??yi=2,>2=8,

答：單價應降價2元或8元；

(3)設利潤為w元，單價降低m元，

w—(60-m-40)(100+10%)

=-10/772+100/71+2000

=-10(m-5)2+2250,

'：a=-10<0,

有最大值，

當加=5時，卬的最大值是2250,

答：當單價降低5元時，該店每天的利潤最大，最大利潤是2250元.

21.【答案】（1）證明見解析:

【解答】（1）證明：如圖，連接O。，AC,

,：AD=CD,OD是半徑，

：.OD±AC,

'：AB是O。的直徑，

AZACB=90°,BPACLBC,

C.OD//BC,

,/過點D作DELBC交BC的延長線于點E,

C.DELOD,

是半徑，

..?DE是O。的切線；

(2)解:由題意知，43=10,

由勾股定理得，AD=7AB2—己￡)2=6；

是。。的直徑，

AZADB=9Q°=/DEB；

"：AD=CD,

：./ABD=ZDBE,

：.LABDSADBE,

,AD_AB_

??=,

DEBD

610

??DE-8'

解得，DE=?；

??DE的長為

22.【答案】（1）y=4（x—2）2-1,頂點。的坐標為（2,-1）；

（2）5V2；

（3）4V2.

【解答】解：（1）心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數y=ax2-4ax-4a+l圖象的一部分，且圖象

過原點，將（0,0）代入得：

-4Q+1=0.

解得：a=].

，拋物線的解析式為y=j%2-%=-2）2-1,

頂點。的坐標為（2,-1）；

（2）?.,拋物線與x軸交于另一點。，點C,Ci是葉片上的一對對稱點，

當>=0時得：0=

解得：xi=0,X2=4,

...點C的坐標為（4,0）,

???設C。的解析式為y=-x+b.將點C的坐標代入得：

-4+6=0.

解得：6=4.

的解析式為y=-x+4.

聯立得：匕=一：累,

p=I

解得：1I

卜笠

???點G的坐標為（訝，2），

.?.CG=J（4—務2+（。一%2=挈，

，CC'=