2025年九年級中考數學二輪復習專題思想方法之函數思想訓練

一、選擇題

3.已知反比例函數>=-，，當-3<x<-2時，y的取值范圍是（）

A.0<y<lB.l<y<2C.2<y<3D.-3<y<-2

4.在平面直角坐標系中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為完美點.已知二次函

數y=/+6x—竽（aWO）的圖象上有且只有一個完美點，且當OWxW機時，二次函數y

=ax1+6x-5（°#0）的最小值為-5,最大值為4,則機的取值范圍是（）

A.B.3WAHW5C.D.m^3

5.已知二次函數>=/-無-2,若關于龍的方程/-x-2-仁0在-l<x<3的范圍內有解，

則上的取值范圍是（）

9Q

A.-3^k<4B.-3<fe<4C.<k<4D.fc<4

6.如圖，是拋物線形拱橋，當拱橋頂端C離水面時，水面A8的寬度為4祖.有下列結

論：①當水面寬度為5/”時，水面下降了1.125%；

②當水面下降1根時，水面寬度為2佃小；

③當水面下降2根時，水面寬度增加了（4立一4）小.

其中，正確的是（）

A.0B.1

C.2D.3

4k

7.如圖，直線y=—可人與雙曲線y=彳交于A,8兩點，點。在了軸上，連

接AC,BC,若NACB=90°,△ABC的面積為20,則女的值是（）

A.-10B.-12

C.-15D.-20

8.如圖1,在長方形A5CD中，E為3C的中點，點廠從點E出發，沿著E

-C-O-A的方向移動，直至到達點A,停止移動.設點廠移動的距離為x,AAB尸的

面積為y,圖2是y關于x的函數圖象，則下列說法錯誤的是（）

圖2

B.AB=3C.BC=6

2

9.已知直線丫1=一式，丫2=-5%+2,丫3=尹+3的圖象如圖所

示.若無論x取何值，y總取yi,yi,”中的最大值，則y的最小

值是()

A.4B.3

179

C.—D.-

75

10.已知a,b,c是三個非負數，且滿足。+6=2,3a+b-2c=4,則式子2a-6+3c的最大

值為（）

A.1B.5C.7D.9

11.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2,AD1BC,垂足為點D,點A

尸從點2出發，沿的路徑運動，運動到點A停止，過點P/K

作PE〃AC交邊于點E,過點尸作P尸〃交邊AC于點R設/X

點尸運動的路程為x,四邊形AEP尸的面積為y,則能正確反映y與E/Y\

x之間函數關系的圖象是（）人/\

BpDC

如圖①，點、是。。上兩定點，圓上一動點尸從圓上一定點出

12.A82D

發，沿逆時針方向勻速運動到點4運動時間是無（s）,線段AP的長摩

度是y（c〃z）.圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖中根的值是（

9

A.-B.4V2

2

圖①

14

C.5D.—

3

三、解答題

13.在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-2,0）,B（0,-2）,C（1,0）三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點加的橫坐標為/，的面積為S,

求S關于相的函數關系式，并求出S的最大值.

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-無上的動點，判斷有幾個位置能夠使

得點P、。、8、。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點。的坐標.

14.某網絡經銷商購進了一批以亞運會為主題的文化衫進行銷售，文化衫進價為40元/件.當

售價為50元/件時，銷售量為500件.在銷售過程中發現：售價每上漲1元銷售量就減

少10件.設銷售單價為x元/件，銷售量為y件.

(1)寫出y與x的函數表達式(不要求寫出自變量的取值范圍).

(2)當銷售單價為多少元時，銷售總利潤為8000元？

(3)若每件文化衫的利潤不超過60%,要想獲得總利潤最大，每件文化衫售價為多少元？

并求出最大利潤.

15.我校將舉辦一年一度的秋季運動會，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球,

一副球拍標價80元，一盒球標價25元.體育商店提供了兩種優惠方案，具體如下：

方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價出售；

方案乙：按購買金額打9折付款.

學校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球無（尤210）盒.

（1）請直接寫出兩種優惠辦法實際付款金額y甲（元），了乙（元）與x（盒）之間的函數

關系式.

（2）如果學校需要購買15盒乒乓球，哪種優惠方案更省錢？

（3）如果學校提供經費為1800元，選擇哪個方案能購買更多乒乓球？

16.炮彈被射出后，在不計空氣阻力的情況下其運動形成的軌跡是拋物線，高度h（單位:

米）與時間T單位：秒）滿足二次函數表達式：l^at^+bt+c（a#0）,具體數據如表：

t0135

h2274727…

（1）結合表中所給的數據，可知炮彈飛行的最高高度為米；

（2）若炮彈高度為42米時，求炮彈的飛行時間.

17.云棲小小mall的經營者要把如圖所示的區域分隔成三個面積相同的商鋪出租.已知鋪

面兩面靠墻，墻長分別為8米和30米，三間商鋪都在沿街開一個1米寬的門.經營者共

用去板材45米（不計損耗）.

（1）若三間商鋪總面積為180加2,求每間商鋪的長和寬分別是多少？

（2）小王作為個體經商戶，希望同時租下三間鋪面開設不同的商鋪，但要求在不增加板

材的基礎上，使這三間商鋪的總面積達到最大.已知商鋪的租金為每月每平方米200元,

請問小王每月需要付給經營者多少租金？

墻30米

AlClE-

墻8米

~G~BDF

18.某商場計劃購進A,8兩種服裝共100件，這兩種服裝的進價、售價如表所示:

價格類型進價四件)售價(元/件)

A3050

B5075

(1)若商場預計用3400元進貨，則這兩種服裝各購進多少件？

(2)若商場規定A種服裝進貨不少于50件，應該怎樣進貨才能使商場銷售完這批貨時

獲利最多？此時利潤為多少元？

19.在平面直角坐標系中，二次函數y=/+ax+2a+l的圖象經過點A/(2,-3).

(1)求二次函數的表達式；

(2)若一次函數y=Ax+b(左。0)的圖象與二次函數y=/+or+2a+l的圖象經過無軸上

同一點，探究實數%,6滿足的關系式；

(3)將二次函數y=/+ax+2a+l的圖象向右平移2個單位，若點尸(xo,m)和Q(2,

〃)在平移后的圖象上，且相＞“，結合圖象求期的取值范圍.

20.二次函數y=a/+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題.

(1)寫出方程a^+bx+c=Q的兩個根：；

(2)寫出不等式ax2+bx+cVO的解集：；

(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量尤的取值范圍；

(4)若方程以2+6X+C=A有兩個不相等的實數根，直接寫出發的取值范圍：

參考答案

一、選擇題

1.【解答］解：A、反比例函數y=((左WO)的圖象經過第一、三象限，則k>0,此時

函數ynf+fcr-Z的對稱軸為y=V0,對稱軸在y軸的左側，與所示圖象不符，故本

選項錯誤；

B、反比例函數y=1（ZWO）的圖象經過第一、三象限，則左>0,此時函數>=%2+質-%

的對稱軸為y=-￡vo,對稱軸在y軸的左側，-k<0,與y軸交于負半軸，與所示圖象

相符，故本選項正確；

C、反比例函數y=5（%W0）的圖象經過第二、四象限，則左<0,此時函數y=f+fcv-左

的對稱軸為y=-2>0,對稱軸在y軸的右側，與所示圖象不符，故本選項錯誤；

。、反比例函數y=9（左W0）的圖象經過第二、四象限，則上<0,此時，-左>0,函數

y=/+丘-%的與y軸交于正半軸，與所示圖象不符，故本選項錯誤；

故選:B.

2.【解答】解：A、由函數-根的圖象可知相>0,-m>0,相矛盾，故本選項錯

誤；

B、由函數-根的圖象可知mVO,-m<0,相矛盾，故本選項錯誤；

。、由函數y=M-m的圖象可知加<0,-m>0,由函數y=￡的圖象可知相<0,故本

選項正確；

D、由函數-徵的圖象可知相>0,-m<0,由函數y=，的圖象可知用V0,相矛

盾，故本選項錯誤；

故選：C.

3.【解答】解：：在y=―1中，-6<0,

第二象限內，y隨尤的增大而增大，

當尤=-3時，y有最小值2,當x=-2時，y有最大值3,

.,.當-3vx<-2時，2<y<3,

故選：C.

4.【解答】解：..?二次函數產辦2+6x-竽QW0）的圖象上有且只有一個完美點，

設完美點的坐標為（小〃），

方程w=/+6w—竽即即2+5〃-竽=。有兩個相等的實數根，

/.A=52-4AX（-竽）=0,

??〃=:-1,

???二次函數ynaW+Gx-5的解析式為：y=-f+6x-5=-（x-3）2+4,

???當x=3時，函數有最大值為4,

又???當OWxWm時，函數最小值為-5,

令--5=-5,

則1=0或6,

，要使函數最小值為-5,最大值為4,

則3WmW6,

故選：c.

5.【解答］解：關于龍的方程x2-尤-2-%=0的解，實質是當二次函數的函數值y為左

時所對應的x的值.

1/二次函數y=/-x-2的二次項系數大于0,

2

；.X=—22時，二次函數有最小值尸4號?=

vvJL'Ct-±

當x=-l時，y=0,當x=3時，y=4.

:關于X的方程/-X-2-左=0在-1<X<3的范圍內有解，

9

**?~-74人<4.

故選：D.

6.【解答】解：以線段A3所在的直線為％軸，以A5的垂直平分線為y軸建立平面直角

坐標系.

由題意得：點。的坐標為(0,2),點8的坐標為(2,0).

設拋物線解析式為：y=a/+上

.(k=2

**Ua+/c=0,

解得：卜=一］.

Ik=2

拋物線解析式為：y=—#+2.

①當水面寬度為5根時，x=2.5.

125

??.尸一/*+2=-1.125.

V|-1.1251=1.125,

???當水面寬度為5根時，水面下降了1.125根.

故①正確，符合題意；

②當水面下降1m時，y=-1.

-2%2+2=-1?

解得：x=±V6.

二?水面寬度為：V6—(―V6)—2^/6(m).

故②正確，符合題意；

③當水面下降2根時，y=-2.

-3%2+2=-2.

解得：x=+2V2.

???水面寬度為：2V2-(-2V2)=4V2(m).

?,?水面寬度增加了(4V2-4)m.

故③正確，符合題意；

???正確的有3個.

故選：D.

4

7.【解答】解：設點A(a,—鏟)，

則OA=Ja2+g)2=—%,

??,點。在x軸上一點，ZACB=90°,且△ACB的面積為20,

??OA.—OB—OC=一方a,

158

zz

1-X(--X(--

S/\ACB=2xOCX(ya+M)2x3x3=20,

解得〃=±3(舍棄3),

???點A為(-3,4),

:?k=-3X4=-12,

故選：B.

8.【解答］解：由圖2得：第一個關鍵點的坐標是（0,6）.意思是當點尸在點E處時,

AABF的面積為6.

第二個關鍵點的橫坐標為3,此時點廠從點E運動到點。處，移動的距離為3.

:.EC=3.

???萬為的中點，

：?BE=3,BC=6.

工。選項正確，不符合題意;

,**SAABE=6,

..?2x6.

??AB=-§—=4.

...2選項錯誤，符合題意；

第三個關鍵點的橫坐標為如此時點廠移動到點。處，移圖1動的距離

為EC+C￡)=3+4=7,

?"=7.

選項正確，不符合題意；

第四個關鍵點的坐標為（小0）,此時點尸移動到點A處，移動的距離為3+4+6=13.

工。選項正確，不符合題意.

故選：B.

9.【解答】解：過》、”的交點作y軸的平行線/,過戶、”的交點作y軸的平行線徵,

由題意根據一次函數圖象的性質可知，符合條件的y的取值如圖所示，

???y的最小值是"、”交點坐標的縱坐標值.

聯立兩直線解析式：—9+2=和+3,

解得尤=—3，代入J2或J3解析式求得y=芋.

故選：C.

10.【解答】解：???。+。=2,

??b~~2-

寸巴b=2-a代入3a+b-2c=4得，c=a-1,

.\2a-b+3c=2a-(2-a)+3(?-1)=6〃-5,

???a,b,c是三個非負數,

2-〃-120,

???1WQW2,

:.當a=2時6〃-5最大，

???6X2-5=7,

故選：C.

11?【解答】解：①當OWxWl時，點尸在線段上.

「△ABC是等邊三角形，AB=2,

：.BC=AB=2fZB=ZC=ZBAC=60°.

'：PE//AC,PF//AB,

：.ZBEP=ZBAC=60°,ZBPE=ZC=60°.

NB=ZBEP=ZBPE.

依是等邊三角形.

?：BP=x,

S/\BPE=

同理：△尸尸。是等邊三角形.

9：PC=BC-BP=2-x.

S^PFC=(2-x)2.

四邊形AEPF的面積為y,

；?y=x22--^x2--^(2-x)2=-^(4-x2-4+4x-/)=峭(-2x2+4x)=—^-x2+V3x.

???此段函數圖象是開口向下的二次函數圖象.

②當1VXW1+百時，點尸在線段AO上.

VAD±BCf△ABC是等邊三角形，

：.ZBAD=ZCAD=30°,BD=\.

AD=V3.

U：PE//AC,

：.ZAPE=ZDAC=30°,

：.ZBAD=ZAPE.

：.AE=EP.

??,點P運動的路程為次,

??A,P—1+V3—x.

作ENLAD于點N,

：.ZANE=90°,AN=工?

.口zA2+ano1+73-XV3V3+3-V3X

236

11/—y/3+3—y[3x

：.S^APE=^AP^EN=^X(1+V3-x)---------------

__.1/,—V^+3—

同理可得：SAAPF=9x(1+V3-x)---------------.

乙6

V3+3—%

：?y=(1+V3—x).

觀察X的二次項系數為正數，那么該范圍內的函數圖象為開口向上的二次函數圖象.

故選：B.

12.【解答］解：從圖2看，當尤=2時，y=AP=6,即此時A、。、尸三點共線，

1

則圓的半徑為-AP=3,

當x=0時，OB2+OA2=Ap2,

...△OAB是直角三角形，且。

則點尸從點B走到A、0、尸三點共線的位置時，如圖所示，

1Q-T7-

此時x=2,走過的角度為90°,則走過的弧長為-x2irXr=等,

4z

3TCo

，點P的運動速度是一+2=手(cm/5),

24圖①

當￡=切,時，AP=OA=OB,即△。4尸是等邊三角形，

ZAOP=60°,

：.ZBOP=360°-90°-60°=210°,

此時點P走過的弧長為：---x2irXr=字，

3602

.77r37r14

??機=1"+W=1"'

故選：D.

二、解答題

13?【解答】解：(1)設此拋物線的函數解析式為：y=a^bx+c,

將A(-2,0),B(0,-2),C(1,0)三點代入，

'4a—2/?+c=0

得，c=—2

a+b+c=0

a=1

解得，b=1,

c=-2

???此函數解析式為：-2；

(2)如圖1,過點M作y軸的平行線交A3于點O,

???〃點的橫坐標為處且點M在第三象限的拋物線上,

???設M點的坐標為(如m2+m-2),-2<m<0,

設直線AB的解析式為y=kx-2,

把A(-2,0)代入，

得，k=-1,

???直線A3的解析式為y=-x-2,

?.,MD〃y軸，

?,?點。的坐標為(m，-m-2),

；?MD=-m-2-(機根-2)=-m2-2m,

S^MAB=SAMDA+SAMDB

1

=^MD9OA

=,x2(nr-2m)

=--2m

=-(/n+1)2+l,

:-2<m<0,

...當m=-1時，&M4B有最大值1,

綜上所述，S關于m的函數關系式是S=-m2-2m2<m<0),S的最大值為1；

(3)設P(x,d+x-2),

①當08為邊時，根據平行四邊形的性質知尸。〃03,且PQ=02,

Q的橫坐標等于P的橫坐標，

又?..直線的解析式為y=-尤，

則Q(.x,-X),

由PQ=08,得|-x-(?+%-2)|=2,

即|-2x+2|=2,

當-/-2x+2=2時，xi=0(不合題意，舍去)，X2=-2,

：.Q(-2,2)；

當-x2-2x+2--2時，xi—-1+V5,xi--1-V5,

：.Q(-1+V5,1-V5)或(-1-V5,1+V5)；

②當8。為對角線時，。0〃2尸,A與尸應該重合，。尸=2,四邊形尸2。0為平行四邊形,

則2Q=。尸=2,。橫坐標為2,

代入y=-無，

得。(2,-2),

綜上所述，點Q的坐標為(-2,2)或(-1+小，1-遮)或(-1-武，1+武)或(2,

-2).

圖1

14.【解答】解：(1)設銷售單價為尤元/件，上漲了(x-50)元，此時銷售量下降了10

(%-50)件，

則銷售量y=500-10(x-50)=-10x+1000,

故答案為：y=-10.X+1000.

(2)由題意可得：(-lOx+lOOO)(x-40)=8000,

化簡得：x2-140A+4800=0,

解得尤1=60,尤2=80.

答：當銷售單價為60或80元時，銷售總利潤為8000元.

(3)設總利潤為W元，則由題意可得：50-40<x-40^40X60%,

解得:50WxW64,

W=(-lOx+WOO)(x-40)=-10(x-70)2+9000,

-10<0,開口向下，對稱軸x=70,

；.xW70時，W隨x的增大而增大，

又：5O0W64,

當尤=64時，W最大，為8640元.

答：售價為64元時，利潤最大，最大利潤為8640元.

15?【解答】解：(1)由題意得：

y甲=10X80+25(%-10)=25x+550,

y乙=25義0.9x+80X0.9X10=22.5x+720,

(2)根據(1)中解析式，y甲=25x+550,y乙=22.5x+720,

當尤=15時y甲=25X15+550=925(元)，

y『22.5X15+720=1057.5(元)，

V925<1057.5,

...方案甲更省錢；

(3)根據(1)中解析式,y甲=25尤+550,y蠹=22.5尤+720,

當y甲=1800元時，1800=25x+550,解得：尤=50,

當y乙=1800元時，1800=22.5x+720,解得：x=48,

V50>48,

...學校提供經費為1800元，選擇方案甲能購買更多乒乓球.

16.【解答】解：⑴?.?拋物線過點(1,27),(5,27),

拋物線的對稱軸為：直線x=3,

..?拋物線的頂點坐標為：(3,47),

結合表中所給的數據，可知炮彈飛行的最高高度為47米，

故答案為：47；

(2)設拋物線的解析式為：h=a(?-3)2+47,

:過點(0,2),

.?.9<7+47=2,

解得:a--5,

：.h=-5(Z-3)2+47,

當/i=42時，-5(t-3)2+47=42,

整理得：(t-3)2=1,

解得：ti=2,(2=4,

答：若炮彈高度為42米時，炮彈的飛行時間為2秒或4秒.

17.【解答】解：(1)設垂直于墻的一邊長x米，則G8=BO=OF=生字盤=(16-x)

米，

3x(16-x)=180,

整理得：x2-16x+60=0,

解得：xi=10,%2=6,

(x<8

由題意得：30,