中考數學一模試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確

的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上.】

1.（4分）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個菱形B.兩個正方形

C.兩個三角形D.兩個等腰三角形

2.（4分）在中，己知/C=90°,4B=5,BC=3,那么的正切值為（）

3344

A.~B.-C.~D.一

5453

TTTTT

3.（4分）已知非零向量a、和c,下列條件中，不能判定a11b的是（）

—>~>—>—>~>—>—>—‘—>—>~—>

A.a=2bB.a=2c,2b=cC.|3a|=\2b\D.a||c,b\\c

4.（4分）已知（-3,?1）、（0,J2）和（L>3）都在拋物線〉=（x+2）之上，那么yi、”和歹3的大小關

系為（）

A.yi<y2<y3B.yi<yi<yiC.yi>y2>yiD.y\>73>y2

5.（4分）已知拋物線>=如2+樂+0（a/0）如圖所示，下列結論中，正確的是（）

A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>0

6.（4分）如圖，已知A8〃CD,聯結BC交于點O,聯結4C,NACB=/BAD,如果45=2,CD

=6,那么C。長為（）

-------------------------------aD

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）已知線段a是線段b、c的比例中項，b=2cm,7=8c冽，那么a=cm.

TTT

8.（4分）計算：2a+3（b-a）—.

9.（4分）已知y=2久.+2是二次函數，那么m的值是.

10.（4分）拋物線y=（x-1）2+3與y軸的交點坐標是.

11.（4分）如果拋物線＞=（機-2）x2-2有最高點，那么根的取值范圍是.

12.（4分）已知拋物線在y軸右側的部分是下降的，且經過（0,1）,請寫出一個符合上述條件的拋物線

表達式是.

13.（4分）如圖，直線40〃匹〃尸C,如果DE=2ER4c=9,那么48長是.

14.（4分）已知B'。，且△/BC和B'C的最長邊分別是5和10,如果

的面積是6,那么△/'B'C的面積是.

15.（4分）如圖，在△NBC中，點D、E分別在邊/8、AC±,聯結3￡、DE,如果DE//BC,

TT—TT—_1T

AB=a,AC=b,用a、b表本BE=.

16.（4分）如圖，正方形/BCD的頂點8、C在x軸上，點/、。恰好在拋物線3上，那么正方形

ABCD的面積是.

17.（4分）如圖，在中，N4BC=90°,/C=5,tanC=2,。是/C上的動點，將△BCD沿

翻折，如果點C落到內（不包括邊），那么CD的取值范圍是

A

18.（4分）過三角形的重心作一條直線與這個三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角形相似，那么

我們把這條直線叫做這個三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點之間的線段叫做這個三角形的“重

似線段”.如圖，在△45C中，/B=10,taaB=tanC=2,點。、￡分別在邊N8、NC上，如果線段

OE是△NBC的“重似線段”，那么?！?.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

tan45°

19.（10分）計算:---------------cos60°.

tan60°—2sin30°

20.（10分）在平面直角坐標系工。歹中，拋物線y=f+2冽%+冽+1經過點5（-1,0）.

（1）求加的值以及拋物線的對稱軸;

（2）將該拋物線向右平移〃個單位后得到新拋物線，如果新拋物線經過原點，求幾的值.

21.（10分）如圖，在△43C中，48=10,BC=5,sin5=$點。、E在3c的延長線上，聯結AE,

S.AD=AC.

(1)求tan//DC的值;

(2)如果NE=NA4C,求DE的長.

22.（10分）如圖，在中，ZABC=90°，點。在邊NC上，過點。作DE垂直/C交Z8于點￡,

聯結EC、BD交于點、F.

（1）求證：△ABDS^ACE；

1,

(2)如果3C=BE,求證：-CE2=BF-BD.

23.（12分）根據以下素材，完成任務.

探究淋浴噴頭的位置

素材1圖1是一種淋浴噴頭，淋浴噴頭固定器裝在

升降桿上的某處，手柄與固定器的連接處記

為點點4與墻之間的距離忽略不計）.圖

2視作淋浴噴頭噴水后的截面示意圖，線段

為手柄，射線8C為水流，8c與N3的

夾角N/5C為90°,手柄43與墻￡8的夾

角/"48為淋浴噴頭的“調整角”，記為El-------------'D

a.已知AB長為20cm.圖1圖2

素材2圖3中的矩形EFG8是淋浴房的截面圖，

EF=9Qcm,EH=\95cm.為了方便在淋浴

房里淋浴，規定淋浴時，人一直站在。處,

DE=52cm,

素材3我們把人豎直站立時，頭頂以下30c%處記

為這個人的“舒適噴淋點”，即“舒適噴淋

點”到地面的距離等于人的身高減30c%

已知小明的身高是130c加，他爸爸和媽媽的

身高分別是176cm和160c%某次爸爸洗澡

時，將淋浴噴頭固定器調整至如圖3的點/

處，“調整角”a為37°,此時水流正好噴

在爸爸的“舒適噴淋點"C處（即CD=爸

爸身高-30）.

素材4參考數據：sin37°20.60,cos37°?0.80,tan37°20.75,V3=1.73.

問題解決任務一求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處

點/到地面的距離

任務二爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即

/￡不變），把淋浴噴頭的“調整角”a調整

至60°,然后小明進淋浴房洗澡.

①小明發現水流無法噴在他的“舒適噴淋

點”處，請通過計算說明理由；

②下降固定器（將固定器下降后的位置記為

點H）后，小明發現水流可以噴在他的“舒

適噴淋點”處，求此時固定器下降的距離

AA'（精確到lew）.

24.（12分）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線>=--+8+3與x軸交于點/、B（點/在點

2的左側），與y軸交于點C,聯結/C,tan/C4O=3,拋物線的頂點為點D

（1）求6的值和點。的坐標；

（2）點尸是拋物線上一點（不與點8重合），點P關于x軸的對稱點恰好在直線8C上.

①求點P的坐標；

②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側，聯結的幺如果求點M的坐標.

25.（14分）如圖，在梯形48c￡>中，AD//BC,ZBCD=90°,CD=2,￡是C￡>的中點，AC,BE交于

點、F,且=

（1）求證：CE=CF；

(2)如果3c=2/D,求tan//2C的值;

AD

(3)如果/48￡=/4C8,求少的值.

BC

一.選擇題(共6小題)

題號123456

答案BDCABC

一、選擇題(本大題共6題，每題4分，滿分24分)【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確

的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上.】

1.【答案】B

【解答】解：/、兩個菱形的對應角不一定相等，故兩個菱形不一定相似，不符合題意；

8、兩個正方形一定相似，符合題意；

。、兩個三角形不一定相似，不符合題意；

。、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意，

故選：B.

2.【答案】D

【解答】解：?.,在Rt/UBC中，已知/C=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=V52-32=4,

24c4

則NB的正切值為77=

DC3

故選：D.

3.【答案】C

->T

【解答】解：不能判定a〃。的是選項C

故選：C.

4.【答案】A

【解答】解：拋物線y=(x+2)2圖象開口向上，對稱軸為直線x=-2,

(-3,ji)距離對稱軸1個單位長度，

(0,二)距離對稱軸2個單位長度；

(1,”)距離對稱軸3個單位長度，

根據開口向上，距離對稱軸越遠，函數值越大可得：

故選：A.

5.【答案】B

【解答】解：:,拋物線y=a/+6x+c(aWO)的圖象開口向下，

.*.6Z<0,

故N選項錯誤，不符合題意;

：.b<0,

故2選項正確，符合題意；

:拋物線的圖象與y軸的正半軸相交，

：.c>0,

故C選項錯誤，不符合題意；

根據函數圖象，當x=l時，y<0,

a+b+cVO,

故。選項錯誤，不符合題意，

故選：B.

6.【答案】C

【解答】解：-：AB//CD,AB=2,CD=6,

：.AAOB^ADOC,

9BOAB21

??CO-CD-6一3’

:.CO=3BO,

:.CB=BO+3BO=4BO,

VZACB=ZBAD,/B=NB,

：.△ACBs^OAB,

?_C_B_AB

??—,

ABBO

：.CB-BO=AB2^22=4,

：.4BO2=4,

解得8。=1或80=-1（不符合題意，舍去）,

故選：C.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.【答案】4.

【解答】解：???線段〃是線段b、c的比例中項，b=2cm,c=Scm,

Q2=6C=2X8=16,

.*.6Z=4（負值舍去），

?\a=4cm.

故答案為：4.

T->

8.【答案】3b—a.

->TT

【解答】解：2。+3（b—a）

->T—

=2a+3b—3a

TT

=3b—a.

T->

故答案為：3b_a.

9.【答案】0.

【解答】解：根據已知，得/+2=2,

解得："7=0.

故答案為：0.

10.【答案】見試題解答內容

【解答】解：令x=0,得y=4,

故與y軸的交點坐標是：（0,4）.

故答案為：（0,4）.

11.【答案】m<2.

【解答】解：???拋物線>=（加-2）x2-2有最高點，

拋物線圖象的開口向下，

；?m-2<0,

故答案為：m<2.

12.【答案】>=-$+1（答案不唯一）.

【解答】解：由拋物線在〉軸右側的部分是下降的可知對稱軸可確定為y軸，即6=0,

，圖象開口向下，取。=-1,

拋物線解析式為夕=-x2+c,

把（0,1）代入，得c=l,

拋物線解析式為y=-f+l.本題答案不唯一.

故答案為：y=-，+i（答案不唯一）.

13.【答案】見試題解答內容

【解答】W：'JAD//EB//FC,

?DE_A_B

??—,

DFAC

?：DE=2EF,AC=9f

.ABABDE2EF2

"AC~9~DE+EF~2EF+EF~3'

..AB=6,

故答案為：6.

14.【答案】24.

【解答】解：由題意得：=點）2另,S“BC=6,

S"，104

所以B'C'的面積是=24,

故答案為：24.

15.【答案】—a+b.

7T

【解答】解：?.?5O=2/Z）,AB=a,

T2T

??BD=—可ci.

■:DE〃BC,

：.△ADEsdABC,

.DEAD1

??BC~AB~

—>—>—>_?_）

又?：BC=AC-AB=b-a,

T[T]T]7

**?DE=BC=b—9。，

TT-2->117]一

:?BE=BD+DE=一9a+9b—d=-。+可力,

T1T

故答案為：—。+可2）.

16.【答案】36.

【解答】解：由題意設。（切，2m）,

???點4、。恰好在拋物線>=7-3上,

2m=m2-3,

解得冽=3,m—-19（舍去），

：.D（3,6）,

???正方形ABCD的邊長為6,

???正方形ABCD的面積為36.

故答案為：36.

17.【答案】l<CZ）v|.

【解答】解：?.?N4BC=90°,tanC=2,

:.AB=2BC,

"：AC=5,

：.AB2+BC2=5,

:.AB=2瓜BC=V5,

設C的對應點為。，

:將△BCD沿AD翻折，

AZBDC=ZBDC'=90°,

；.tanC=^=2,BD^2CD,

，：BD1+CD1=BC1,

(2CD)2+CD2=5,

：.CD=1；

當。在43上時，過。作。/九L/B于〃，如圖:

:將△BCD沿8。翻折，

：.BC=BC'=V5,ZCBD=ZC'BD^ABC=45°,CD=CD，NC=/BCD,

，△瓦力/是等腰直角三角形，tan/8CO=2,

：.BH=DH,DH=2CH,

設CH=x,則Da=3H=2x,

,?CH+BH=BC'=V5,

；.x+2x=V5,

解得k冬

CH=。氏竽，

CD^Jc^+DH2=|,

CD=I；

：。落到4/2。內（不包括邊），

：.\<CD<-

故答案為：1<CDV|.

20「

18.【答案】w或追.

【解答】解：如圖，作/G_L5c于G,45=10,tanB=^,tanC=2,

AG4AG

?,?—，—-乙7，

BG3CG

：.AG=8fBG=6,CG=4,

???5G=6+4=10,AC=V82+42=4V5,

作△45。的中線4F,。為△45C的重心,

當時，過5作5//_L/C交NC于H,

A

AE7AD'DE'

；?NAE'D'=NABC,NAD'E'=NC,—=—=——,

ABACBC

,

：BA=BC=10f

：.ZC=ABAC,AH=CH=2逐，

；.NBAC=/ADE、,BH=J102-(2V5)2=4V5,。在5a上,

：.AE=D^E\

??絲，

?BH-3’

???QH=竽，

4

*.*tanZ.AED'=tan乙ABC=可，

4V5

-z-4

則El/=^,

EH3

：.D'E'=AEr=AH+HE^2V5+V5=3V5；

綜上：=

故答案為：—sKVs.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.【答案】y.

11

【解答】解:原式=

73-2X12

V3+11

-2

旦

T-

20.【答案】(1)m=2,拋物線的對稱軸為直線x=-2；(2)〃=3或1.

【解答】解：(1):拋物線y=x2+2加x+%+1經過點3(-1,0),

1-2m+m+l=0,解得加=2,

，拋物線解析式為：y=x2+4x+3=(x+2)2-1,

...拋物線的對稱軸為直線x=-2；

(2)將拋物線＞=(x+2)2-1向右平移〃個單位后得到新拋物線為y=(x+2-n)2-1,

?.?新拋物線經過原點，

(2-7?)2-1=0,解得〃=3或1.

21.【答案】⑴2；

(2)9.

【解答】解：(1)如圖，過點/作于點

：.AM=6,

：.BM=7AB2-4M2=8,

,:BC=5,

:.CM=BM-BC=3,

U：AD=AC,AMLCD,

.\CM=DM=3,

tanZ^4DC==?=2；

(2)?:/E=/BAC,/ABE=/CBA,

：.LABEsMBA,

ABBE

??_?____—__,

BCAB

?_1_0____B_E

??—，

510

；.BE=23

：.DE=BE-BC-CM-DM=20-5-3-3=9.

22.【答案】(1)證明見解答；

(2)證明見解答.

【解答】證明：(1)u：ZABC=90°,DELAC,

：.ZADE=ZABC=90°,

???ZA=ZAf

：.^ADE^/\ABC,

?_A_D_A_E

??—，

ABAC

ADAB

???__—__,

AEAC

：./\ADB^/\AEC.

(2)VAADB^^\AECf

：./ABD=/ACE,

：.ZBFC-ZACE=ZBFC-NABD,

：.ZBDC=ZBFC-AACE,/BEC=ZBFC-AABD,

：.ZBDC=NBEC,

■:BC=BE,ZCBE=90°,

???ZBCF=/BEC,CE2=BC2+BE2=2BC2,

:.NBCF=/BDC,BC2=j-CE2,

,：ZFBC=ZCBD,

：./\FBC^/\CBD,

.BCBF

??—，

BDBC

：.BC2=BF'BD,

1、

:LCE2=BF,BD.

2

23.【答案】（1）點/到地面的距離/E約為160cm；

（2）①理由見解答部分；

②固定器下降的距離區4,約為10cm.

【解答】解：作BNLAH于點、N,延長。C交8N于點則/MVS=/M=90°,

:爸爸身高是176c加，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點”C處，

/.CD=176-30=146(cm),

'：AB=20cm,a=37°,

.*.3N=20Xsin37°^20X0.60=12(cm),AN=ABXcos37°?20X0.80=16(cm),NABN=53

,:DE=52cm,/ABC=90°,

：.BM=40(cm),NCBM=37°,

.\CM=40Xtan37o心40X0.75=30(cm),

146+30=176(cm),

:.EN=176(cm),

：.AE=]76-16=160(cm).

答：點A到地面的距離AE約為160cm；

(2)①當a=60°時，ZABN=30a,

VZABC^90°,

/.ZCW=60°,

?：AB=20cm,

：.AN^10(cm),BN=106(cm),

：.BM=(52-10V3)(cm),

，CM=(52-10V3)xV3=52V3-30^59.96(cm),

：.CD=AE+AN-CA/=160+10-59.96^110.04(cm),

:小明的身高是130cm,

.,.小明的舒適距離CO=130-30=100(cm),

V110.04>100,

水流無法噴在小明的“舒適噴淋點”處；

②設點/移動到了點H,此時在小明的“舒適噴淋點”,

圖3

:CZ)=l00cm,

由題意得：CM'59.96cm,A'N'=AN=l0cm,

：.A'E=CD+CM'-A'N'=100+59.96-10F50(cm),

：.AA'=AE-A'E^IO(cm).

答：固定器下降的距離44'約為10cm.

24.【答案】⑴產-X2+2X+3,點。(1,4)；

211

(2)①點尸(-2,-5)；②點M(—宗工).

39

【解答】解：(1)由拋物線的表達式知，點C(0,3),則。C=3,

：tan/C4O=3,則。/=1,即點/(-1.0),

將點力的坐標代入拋物線表達式得：0=-1-6+3,

則6=2,

則拋物線的表達式為：＞=-?+2了+3,

則點。(1-4)；

(2)①由拋物線的表達式知，點3(3,0),

由點2、。的坐標知，直線3C的表達式為：y=-x+3,

設點P(m,-;w2+2m+3),則點P關于x軸的對稱點：力2-2加-3),

將點(加，ni2-2m-3)的坐標代入y=-x+3得：nr-2m-3=-m+3,

解得：m=3(舍去)或-2,

即點尸(-2,-5)；

②設8M