第04講二次根式的除法

'e__________

01

課程標準學習目標

1.掌握二次根式的除法運算，并能夠熟練的進行運算。

①二次根式的除法

2.掌握商的算術平方根的性質，并能夠結合二次根式的性質熟練

②商的算術平方根

的對二次根式進行化簡。

③二次根式的混合運算

3.掌握二次根式的混合運算法則，并能夠熟練的進行混合運算。

E思維導圖

6根式的除i而去則

商的11術平方根的性質

Xfl式的i8合運.

二次根式的除法二次糧式的跑去運.

料子的有理數因式

二次橫式的化葡

U；L

分母有理化M式子的關系

』模式的混合運聲

B!知識清單

知識點01二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則：

兩個二次根式相除，根指數不變，把被開方數相除。即，/a^4b=_(a>0,Z)>0)

a

拓展：a4b4-c4d=^_-_J^-(b>0,d>0cw0)

cjdc\d9

【即學即練1】

1.計算：正上后=2

【分析】根據二次根式的除法法則計算.

【解答】解：V8-V2

=784-2

=2,

故答案為：2.

【即學即練2】

2.計算4，密+2、戶的結果為（

A.2缶B.-2xC.6亞■9

3

【分析】根據二次根式的除法法則求解.

【解答】解：4V6x2+2y^=2*718x—6V2x-

故選：C.

知識點02商的算術平方根的性質

1.商的算術平方根的性質:

A假=（心0,z?o）

商的算術平方根等于算術平方根的商。即

2,分母有理化：

分母有理化是指把分母中的根號化去。

3.分母有理化因式：

兩個含二次根式的代數式相乘時，若它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數式成互為有理化因式。

若分母只有單獨的一項，則分母有理化因式為本身；若分母是一個式子，則分母有理化因式與分母

組成平方差公式。

即人的分母有理化因式為—亞_；4a+4b的有理化因式為人不—。

【即學即練1】

3.能使等式、區成立的x的取值范圍是（）

Vx-2G

A.xW2B.C.x>2D.%22

【分析】本題需注意的是，被開方數為非負數，且分式的分母不能為0,列不等式組求出x的取值范圍.

x》0

【解答】解：由題意可得,解之得x>2.

x-2>0,

故選：C.

【即學即練2】

4.化簡:

(1)(2)16X25(3)G>0,y>0)；

64⑷唇

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

【解答】解：（1）=返

8

⑵府二等十

(3)(x>0,y>0)

V3y3y

【即學即練31

5.寫出J1+1（a>0）的一個有理化因式是\G-1（答案不唯一）.

【分析】根據平方差公式可求4+1的有理化.

【解答】解：4+1的有理化因式4-b

故答案為：4-1（答案不唯一）.

【即學即練4】

6.下列式子中，與2>百-&互為有理化因式的是（）

A.2V3-V2B.2V3+V2C.V3+2V2D.V3-2V2

【分析】直接利用有理化因式的定義分析得出答案.

【解答】解：:（2正-加）（2V3+V2）

=12-2

=10,

二與2\回―/^互為有理化因式的是：2<§+加，

故選：B.

【即學即練5】

7.分母有理化:WT=—

【分析】給分子分母同乘以（2-%），分母即可化為平方差形式去掉根式，再進行計算即可得出答案.

12-V3

【解答】解:

2電:（2跖）（23）

2-百

22-(V3)2

_2-V3

4-3

=2-A/3.

故答案為：2-

知識點03二次根式的乘除混合運算

1.二次根式的混合運算步驟：

①將算式中的除法轉化成乘法。

②將根號前面的系數和被開方數分別相乘。

③化成最簡二次根式。

【即學即練11

8.計算：

⑴J吟+3義（-5^吟）；⑵?/ab，X春標）'冉

【分析】（1）利用二次根式乘除運算法則進而化簡即可；

（2）利用二次根式乘除運算法則進而化簡即可.

5V10

—人y----------

37

5V10.

21

⑵ab3x

=?X（_苫）=3、，匕3義ab義包,

b5Vb

—~6aVab-

04題型精講

題型01二次根式的除法運算

【典例1】計算：

⑴署⑵驍⑶腎⑷G+匹

【分析】（1）先進行根式的除法，然后再化為最簡.

（2）將丁造化為最簡后進行根式的除法運算.

（3）先進行根式的除法，然后再將所得根式化為最簡.

（4）先進行根式的除法，然后再將所得根式化為最簡.

【解答】解：（1）華_=我=3；

V2

（3）原式='4a2=2同

VDD

（4）原式=點=年.、

【變式1】選擇合適的方法計算：

⑷三=

V2xy

【分析】（1）直接進行二次根式的除法運算，然后將二次根式化為最簡.

（2）將丁應化為最簡后再進行根式的除法運算.

（3）將帶分數化為分數，然后再進行根式的除法運算.

（4）直接進行根式的除法運算，然后再將二次根式化為最簡.

【解答】解：（1）隼=居=叵;

V6V62

(2)^^~=3近;

V3

【變式2】計算:

【分析】（1）先將二次根式化為最簡，再進行二次根式的除法運算即可;

（2）先將小數化為分數，然后將二次根式化為最簡即可；

（3）進行分母有理化的運算即可；

（4）直接進行二次根式的除法運算，然后將二次根式化為最簡即可.

（5）將帶分數化為假分數，然后進行二次根式的除法運算，繼而化簡二次根式可得出答案;

（6）直接進行二次根式的除法運算，將所得二次根式化為最簡.

【解答】解：（1）原式=笨_=4；

V2

（2）原式=櫓=聆=即；

V742a

(3)原式=

V6a*V6a6a

題型02求式子的有理化因式

【典例1】填空：

（1）/逋的有理化因式為_舊_；

（2）丁羨的有理化因式為羨

（3）V7-迎的有理化因式為_小土?

（4）M+2的有理化因式為-2.

【分析】根據有理化因式的定義：兩個根式相乘的積不含根號，即可判斷.

【解答】解：（1）小五的有理化因式為小五；

（2）Nx-6的有理化因式為Ux-6；

（3）小-正的有理化因式為我+盜；

（4）V3+2的有理化因式為?-2.

故答案為：VM>Vx_6，VV+V3，V3-2.

【變式i】4+C的有理化因式是（）

A.Va+bB.Va-bC.Va+VbD.Va-Vb

【分析】根據有理化因式的概念進行計算辨別.

【解答】解：；（Va-Vb）=a-b,

的有理化因式是-Vb>

故選：D.

【變式2］像（）（V5-'回）=3、Va*\/^=（7（a20）、（V^+l）（Vb-1）=67（62

0）…兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式.請寫

出F-&的一個有理化因式—退+V2_.

【分析】根據題意可以解答本題.

【解答】I?：V（V3-V2）（V3+V2）=1，

:.正啦是6的一個有理化因式.

故答案為：V3+V2（答案不唯一）.

題型03二次根式的化簡

【典例1】把母化簡后得（

)

412ab

A.4bB.2Vbc.

［分析】直接利用二次根式的除法運算法則化簡求出即可.

V3a_1_Vb

【解答】解:

V3lxV4b2瓜石

故選：D.

【變式1】化簡/_的結果是2+J5

V2-1

【分析】先將原式分子分母同時乘以（料+1）,然后進行二次根式的化簡求解即可.

【解答】解：原式=近(如+1)

(V2-1)(V2+1)

_2+V2

2-1

=2+V2.

故答案為：2+J5.

【變式2】化簡：

⑴氏;(2)(3)A-；⑷VTs.

V5

【分析】利用二次根式的性質一一化簡即可;

【解答】解：（1）不欣=7q義2=3近;

(2)_V5_V5

1V5

(3)

_V3_V6

(4)Vi75=

7TT

【典例11化簡:的結果是（)

A.VxC.--./xD.-'/-x

【分析】根據二次根式的性質由題意可知x<0,我們在變形時要注意原式的結果應該是個負數，然后根

據二次根式的性質化簡而得出結果.

【解答】解：原式=

=x-

=x-

故選：D.

【變式1】化簡-的結果是（)

A.VaC--V-aD.-Va

【分析】先根據題意判斷出a的符號,再把二次根式進行化簡即可.

【解答】解：J一有意義,

.*.6Z<0,

原式=(-a)\|f^a=V-a-

故選：B.

【變式2】把（1-a）J」_根號外的因式移入根號內,化簡后的結果是-Gf.

V1-a

【分析】根據二次根式的意義可知1-a<0,只能根號外的正因式移入根號內，要注意符號的變化.

【解答】解：由根式可知，1-a<0;

故原式=-J（a-1）2?（一-）

V1-a

=~Va-l-

【變式3】化簡二次根式工，7的正確結果是（）

x

A.V-xB.VxC.-VxD.-V-x

【分析】根據分母不等于0和被開方數大于等于0,得到x是負數，然后化簡即可.

【解答】解：根據代數式有意義得：x#0,--20,

.*.x<0,

:?原式=+dx2.（-x）

=—

X

=—,（-X）V-X

X

=-V^x-

故選：D.

題型04分母有理化確定式子的關系

【典例】已知：。=—、，則。與的關系是（

16)

2-V32W3

A.a~b~~0B.a+b=OC.ab=\D.a2=b2

【分析】先分母有理化求出a、b,再分別代入求出。6、a+b,a-b、M、薩,求出每個式子的值，即可

得出選項.

【解答】解：分母有理化，可得。=2+正，6=2-百，

：.a-b=（2+V3）-（2-V3）=2?,故/選項錯誤；

a+b=（2+V3）+（2-V3）=4,故8選項錯誤；

ab=（2+V3）X（2-V3）=4-3=1,故C選項正確；

'：a2=（2+Vs）2=4+4愿+3=7+4?,b2=（2-百）2=4-4展+3=7-4%，

/.a2^b2,故。選項錯誤;

故選：C.

【變式1】若。=1+、歷，則。與6的關系是(

1-V2

A.互為相反數B.互為倒數

C.相等D.互為負倒數

1

【分析】把6=的分子分母同乘(1+V2)進一步化簡與。比較得出結論即可.

1-V2

6=^_=______112/2_____

【解答】解:(1+揚，。=1+祀,

1-V2(1-72)(1W2)

二。與6互為相反數.

故選：A.

【變式2】比較大小：L＜QL(用＞，＜或=填空).

V6-V5V7-V6

【分析】直接利用二次根式的性質分別化簡，進而比較得出答案.

【解答】解：??,「「=L但嗎L=瓜代，

V6~v5(V6~V5)(V6+v5)

行后(V7W6)(V7W6)7

遙，

-i＜i

??娓MV7-V6'

故答案為：＜.

題型05二次根式的乘除混合運算

【典例1】計算：2,壇xR喜■??.

【分析】根據二次根式的乘除法法則計算即可.

【解答】解：原式=2遙X92x里

23

=76X72x73

=6.

【變式1］計算：J彳+^X右停?

【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法則轉化成一個二次根式，然后對二次根式進行化簡即可.

【解答】解：原式=工\/^701=工J*=2X2a=曳.

6Va36、4a63

【變式2】計算：j岐+（3728）X（-5,卓.

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

【變式3】計算:部。（注3+（3靠）.

【分析】根據單項式乘單項式和單項式除以單項式的法則化簡，結合二次根式的性質與化簡即可得出答

案.

【解答】解:再xC|4?）+（3島

a0b

2a

,2

儂式"計臬麻?出"晝.

【分析】依據二次根式的乘除法法則進行計算即可.

=±-n.V6inn-

3m4

05強化訓練

1.計算05+正的結果正確的是（)

A.4B.3C.2D.&

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

【解答】解：V12^V3=V4=2.

故選：C.

2.計算：-^Vab?居■等于（）

D.Z?Vab

【分析】按二次根式的乘除法法則運算,結果化為最簡二次根式.

=-^-Vab-

ab

故選：A.

3.下列各式中，與丁而互為有理化因式的是（）

A.Va-bB.-/a-VbC-Va+bD.Va+Vb

【分析】根據有理化因式的定義進行判斷即可.

【解答】解：根據互為有理化因式定義可知:

與丁京互為有理化因式的是J而，

故選：C.

4.化簡廠1L（

V2W3

A.V3-V2B.5/3c.V2D.V2-V3

【分析】運用二次根式的性質進行化簡、求解.

【解答】解：由題意得，

1—M一萬

ET巫姬）（爽3）t”

故選：A.

5.若\叵0^成立,則x的值可以是（）

V2-x區

A.-2B.0C.2D.3

【分析】直接利用二次根式的性質得出x的取值范圍進而得出答案.

【解答】解：:若^^^^^成立，

V2-x反

./x+l>O

，，

,t2-X>0

解得：-lWx<2,

故x的值可以是0.

故選：B.

6.對于無理數加，添加關聯的數或者運算符號后，運算結果為有理數的是（）

A.V3-V2B.V2+V2C.（加）3D.提+近

【分析】選項/、3根據二次根式的加減法法則判斷即可；選項C根據乘方的定義以及二次根式的性質

判斷即可；選項D根據二次根式的除法運算算出結果即可.

【解答】解：我與加不是同類二次根式，所以不能合并，結果不是有理數，故N選項不符合題意；

V2+V2=2>/2,2讓不是有理數，故8選項不符合題意；

《歷）3=2點，2加不是有理數，故C選項不符合題意；

瓜+近=6=2,2是有理數，故。選項符合題意.

故選：D.

7.如果06>0,a+b<0,那么下列各式中正確的是（）

C.槨=6D-（Vab）2=-ab

【分析】先判斷出，?<0,b<0,然后根據二次根式的意義，二次根式的性質化簡，即可得出結論.

【解答】解：

??a,b同號，

a+b〈0,

?'?a<09b<0,

:.氣,《無意義，故/選項錯誤，不符合題意；

「X狎后？毋注

???故8選項正確，符合題意；

傷+[=±6,故C選項錯誤，不符合題意；

（7而）2=&卜故。選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

8.把11ng根號外的因式移入根號內得（）

A.ViriB.V-iriC.-Vm

【分析】根據二次根式的性質及二次根式成立的條件解答.

【解答】解：：1m產成立，

-工>0,即m<0,

m

2

.?.原式=-J（_m）（_A）=-

Vm

故選：D.

9.設—,y=\[5-3>則x,y的大小關系是（）

V5+3

A.x>yB.x^yC.x<~yD.x=y

【分析】把x的值分母有理化，再比較.

【解答】解：/尸生（依-3）=3-近>o,y=V5-3<0.

-4

故選：A.

10.在解決如下問題“已知J7=a，V70=b.用含。，6的代數式表示'工衛”時，甲、乙兩個同學分別給

出不同解法：

甲.不嚴手阿一辰而WX屈_ab.

4-9viaviooioioio'

乙：>4.9=V49X0.1=7V0.1因為Vo.1一喝。若，所以V4.9=7>70.1?

對于這兩種解法，正確的是（）

A.甲對B.乙對

C.甲、乙均對D.甲、乙均不對

【分析】仔細閱讀兩同學的解題過程，然后判斷.

_(49_1490-W7X70與X用ab

【解答】解：甲：VT9=

vlo-7而~10-=io-10

二甲正確；

乙：VT9=V49X0.1=7VO7I.

??,g品品哀弋

?3加而令

.?.乙正確;

綜上所述，甲、乙均對.

故選：C.

11.化簡-V6xVs4-

【分析】根據二次根式乘除法運算法則計算即可.

【解答】解：原式=-^6X8+/

=^6X8x1

=-6^/2,

故答案為：-小四.

12.已知后，且X是偶數，則（x+2）F|!的值為_2^雷_.

【分析】根據二次根式的意義求出6VxW9,得出x=8,然后進行根據二次根式性質進行化簡求出結果

即可.

【解答】解：?.?廬二^,

Vx-6

.".9-xNO,x-6>0,

解得：6VxW9,

??h為偶數，

，x=8,

(x+2)

8-2

=(8+2)麗

2715.

13.已知|2x-4|+.y+3=2x.2)2,則x+y=7.

【分析】利用非負數的意義，求出x的取值范圍，進而將原式化簡，再根據非負數的意義求出x、y的值,

代入求值即可，

【解答】解：：《工有意義，

2》0,

...x22,

???|2x-4|+^§=(V^2)2，

2x-4+Vy+3=x-2,

BpVy+3+x-2=0,

vVy+3^0,x-220,

.\y+3=0,x-2=0,

??y=-3,%=2,

??x~^~y2-3=-1

故答案為：-1.

14.已知X-2AB?-3y=0,則空△"包=_21_.

xWxy-y11

【分析】先把x-2仿-3y=0因式分解，得到x和〉的數量關系，再代入代數式中可求值.

【解答】解：由己知，得(Vx+Vy)(Vx-sVy)=o，

Vx>0,y>0,

?*-Vx+Vy>o>

*e?Vx-3丘=0,

'.x=9y,

當x=9y時，

原式=18y+3y+3y=j￡

9y+3y-y11

15.觀察下列等式：

第1個等式：牝

第2個等式：02=,1-L=6-&，

V2W3

第3個等式：的=7工一=2-%,

V3+2

第4個等式：a4=—匕=遍-2,

2W5

按上述規律，計算ai+az+W"1----"=—Vn+1~1

【分析】首先根據題意,可得：01+°2+。3+…==然后根據分母有理數化的方法，求出算

Vn+1+Vn

式的值是多少即可.

【解答】解：第1個等式：^=^^=72-1，

1W2

第2個等式:。2=7-1y--V2>

V2W3

第3個等式：的=1==2-%，

V3+2

第4個等式：04=—丁=&-2,

2W5

。1+。2+的+…+。麓

—V2_1+V3-V2+，,，+Vn+l~Vn

=Vn+l-1

故答案為：Vn+1-1.

16.計算：（1）3/ab，?（3b）+（3^^）（b>0）,

⑵不字旁楞,懇4

【分析】（1）根據二次根式的乘除法運算法則進行計算即可.

（2）先根據二次根式有意義的條件得出。<0,再根據二次根式的混合運算法則和二次根式性質化簡求

解即可

【解答】解：（1）.”>（）,

.,.a>0,

???原式=（"■（V）義^]Jab，?a3b管

=

b

=a2b2V7b

b

_a2bVab,

(2)V-.bmMn2+司普'區?日有意義’

2a2

=-2^6Ia|

=2^6aV-a?

17.在學完“二次根式的乘除”后，數學老師給同學們留下這樣一道思考題：已知、+歹=-6,盯=4,求

把x+y=-6,刈=4代入，得傷（X5=1X（-6）一3.

xy4

顯然，這個解法是錯誤的，請你寫出正確的解題過程.

【分析】利用二次根式的性質結合x,y的關系得出它們的符號，進而化簡求出答案.

【解答】解：x+y=-6,xy=4,

?".x<0,y<0,

(x+y)

xy

把x+y=_6,中=4代入，得原式=一標上去）=-他=3.

xy4

18.先來看一個有趣的現象:,這里根號里的因數2經過適當的演變，2竟

“跑”到了根號的外面，我們不妨把這種現象稱為“穿墻”，具有這一性質的數還有許多，如:

房噫匾二匾等等.

（1）①請你寫一個有“穿墻”現象的數；

②按此規律，若點（a,6為正整數）,則的值為71.

（2）你能只用一個正整數"（〃22）來表示含有上述規律的等式嗎？證明你找到的規律;

【分析】（1）①答案不唯一可以舉例說明感.

②判斷出a,b的值，可得結論；

（2）通過觀察例子中數據的特點即可得出規律，再仿照例子即可證明.

【解答】解：（1）①

②由題意。=8,6=63,

/.a+6=8+63=71.

故答案為：71；

（2）結論:

n-n+n

理由:2=

^-1n2-l

19.閱讀下列材料，然后回答問題.

【思維啟迪】

【材料1】在進行二次根式運算時，我們有時會碰上2這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化

V3+1

2二2(?-1)=2(遍-1)

=V3-1-

簡:V3+1=(V3+1)(V3-1)=(V3)2-1