高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省運城市三晉卓越聯盟2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數學試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】由分布列的性質，得，即，解得或，當時，，不符合分布列的性質，所以.故選：C.2.已知隨機變量，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】由，得.故選：D3.已知的展開式的二項式系數之和為256，則展開式中的系數為（）A.－32 B.32. C.－16 D.16【答案】C【解析】的展開式的二項式系數之和為，所以，所以的二項展開式的通項為，令，得，所以展開式中的系數為.故選：C.4.已知變量與的數據如下表所示，若關于的經驗回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13【答案】A【解析】，因為經驗回歸方程經過樣本中心，所以，解得故選：A.5.已知隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】隨機變量，則有，由，解得，所以.故選：.6.已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓的定義，可知，所以當最小時，最大，由橢圓的性質得，過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，當直線AB垂直于軸時，取得最小值，此時，由解得，此時的離心率.故選：A.7.已知數列滿足，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因為，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，，因為對恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.將7名身高不同的學生從左往右排成一列，記第名學生的身高為，當時，由于學生的身高變化像字母，所以也叫“數列”，則滿足條件的“數列”共有（）A.61個 B.65個 C.68個 D.71個【答案】D【解析】記這7名學生的身高由低到高分別為數字1，2，3，4，5，6，7，因為都比大，所以只能為，或.當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個數作為，共有個“數列”；當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，剩余兩個數排，有種選法，共有個“數列”；當時，，從4，5，6，7中選2個數作為有種選法，剩余2個數為，共有6個“數列”.綜上所述，滿足條件的“數列”共有個.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是等差數列的前項和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時，最小【答案】AD【解析】是等差數列的前項和，設公差為，，即，得，所以，即，有，因為，所以，所以，故A正確，B錯誤；，故錯誤；時，時，所以當時，取得最小值，故D正確.故選：AD10.某學校為迎接校園藝術節的到來，決定舉行文藝晚會，節目單中有共7個節目，則下列結論正確的是（）A.若節目與節目相鄰，則共有1440種不同的安排方法B.若節目與節目不相鄰，則共有3600種不同的安排方法C.若節目在節目之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法D.若決定在已經排好的節目單中臨時添加3個節目，現有節目次序不變，則共有336種不同的安排方法【答案】ABC【解析】若節目與節目相鄰，共有種不同的安排方法，故正確；若節目與節目不相鄰，共有種不同安排方法，故B正確；因為節目在節目之前表演與節目在節目之前表演的情況是一樣的，所以共有種不同的安排方法，故C正確；添加第一個節目有8種情況，添加第二個節目有9種情況，添加第三個節目有10種情況，共有種不同的安排方法，故D錯誤.故選：.11.若關于的方程恰有三個不同的正實數根，則實數的值可能是（）A.7 B. C.8 D.9【答案】CD【解析】由題意可知：，可得，因為，可變形為，令，可得，因為的定義域為，且，當時，，當時，，可知函數在內單調遞增，在內單調遞減，則，且當時，，當時，.令，則，當時，，所以是方程的一個正實數根；當時，令且1，可得，則，兩式相減可得，兩式相加可得，則，整理得，令，可得，即關于的方程在內有實根，令，則在內恒成立，可知在內單調遞增，且，可知函數與在內有交點，由圖象可知，即，可得，則，即，所以實數的取值范圍是，對比選項可知：AB錯誤，CD正確.故選：CD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價才可以獲得最大利潤，現對這種遮陽帽進行試銷售，經過統計發現銷售量（單位:頂）與單價（單位:元）具有線性相關關系，且線性回歸方程為，若想要銷售量為80頂，則預計該遮陽帽的單價定為_____________元.【答案】40【解析】若銷售量為80頂，則，解得，所以預計單價應定為40元.故答案為：4013.已知函數，點A是的圖象上任意一點，過點A且垂直于軸的直線交函數的圖象于點，過點A且垂直于軸的直線交函數的圖象于點，則的面積的最小值是_____________.【答案】2【解析】由題意可知，函數的圖象在函數的圖象上方，不妨設，則，則，所以的面積，令，則，所以當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，所以的面積的最小值為.故答案為：2.14.若三點在拋物線上，拋物線的焦點是的重心，則的最大值是____________.【答案】10【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，不妨設，則，所以，又，所以當，即點為坐標原點時，取得最大值10.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年3月28日，小米SU7汽車上市，24小時預定88898臺.小米集團為了了解小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲是否有關，隨機抽取了200名小米手機用戶進行調查，得到下表.已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲80非小米粉絲4080總計（1）補全表中數據，依據小概率值的獨立性檢驗，是否能夠認為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲有關?（2）小米集團打算從已訂購小米SU7的用戶中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，再從這6人中抽取3人聽取建議，求這3人中恰有2人是小米粉絲的概率.附:，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲8040120非小米粉絲404080總計12080200零假設為:小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關聯，由列聯表中的數據，得，依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即能夠認為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關聯；（2）從已訂購小米SU7的用戶中按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，其中小米粉絲有人，非小米粉絲有人.設3人中恰有2人是小米粉絲為事件，則．16.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動點，是棱AB上的一點，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點的位置.解：（1）因，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形是矩形，所以，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，所以，因為所以，即；（2）由（1），得設為平面的法向量，則，令，得，所以.設直線與平面所成角為，則，所以，因為，所以，即是棱PD的中點.17.為了迎接即將到來的生物實驗操作考試，小李同學每天都要去實驗室做兩次實驗.某天，他來到實驗室，決定做實驗或實驗，已知小李同學做實驗成功的概率為，做實驗成功的概率為，假設每次做實驗是否成功相互獨立.（1）小李每次都隨機等可能的從實驗與實驗中選擇一個實驗進行操作，求他兩次實驗恰好成功一次的概率；（2）小李同學決定進行2次實驗操作，有以下兩種方案，方案一:第一次實驗，小李隨機等可能的選擇實驗或實驗中的一種，若第一次實驗成功，則第二次繼續做第一次的實驗，若第一次實驗不成功，則第二次做另一個實驗；方案二:第一次實驗，小李隨機等可能的選擇實驗或實驗中的一種，無論第一次實驗是否成功，第二次都繼續做第一次的實驗.若方案選擇以及實驗操作互不影響，以實驗成功次數的期望值作為決策依據，你認為哪個方案更好?解：（1）記選擇實驗為事件，選擇實驗為事件，實驗成功為事件，則所以.所以兩次實驗恰好成功一次的概率.（2）記和分別是方案一與方案二中實驗成功的次數，則、的取值均為，，，所以，，，所以.，，，所以.因為，所以方案一略好.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.（1）求雙曲線的方程;（2）已知過點的直線交于兩點（異于A，B），直線與直線交于點.求證:點在定直線上.解：（1）由題意可知，因為，所以.設，則，所以，又，所以.所以雙曲線的方程為.（2）若直線的斜率為，則直線與雙曲線交于點，與條件矛盾，所以直線的斜率不能為0，設的方程為.聯立，化簡得所以，所以，，直線AD的方程為，直線BE的方程為.聯立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以.所以點的橫坐標始終為1，故點在定直線上.19.我們學過二項分布，超幾何分布，正態分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設一組獨立的伯努利試驗，每次試驗中事件發生的概率為，將試驗進行至事件發生次為止，用表示試驗次數，則服從負二項分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結構，落實積極應對人口老齡化國家戰略，保持中國的人口資源優勢，我國自2021年5月31日起實施三胎政策.政策實施以來，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某機構對該市家庭進行調查，抽取到第2個三胎家庭就停止抽取，記抽取的家庭數為隨機變量，且該市隨機抽取一戶是三胎家庭的概率為.（1）求;（2）若抽取的家庭數不超過的概率不小于，求整數的最小值.解：（1）.（2）因為.所以抽取家庭數不超過的概率為，即，，兩式相減，得所以.由，得，令，則.，所以，所以數列是遞減數列，因為，所以整數的最小值是7.山西省運城市三晉卓越聯盟2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數學試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】由分布列的性質，得，即，解得或，當時，，不符合分布列的性質，所以.故選：C.2.已知隨機變量，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】由，得.故選：D3.已知的展開式的二項式系數之和為256，則展開式中的系數為（）A.－32 B.32. C.－16 D.16【答案】C【解析】的展開式的二項式系數之和為，所以，所以的二項展開式的通項為，令，得，所以展開式中的系數為.故選：C.4.已知變量與的數據如下表所示，若關于的經驗回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13【答案】A【解析】，因為經驗回歸方程經過樣本中心，所以，解得故選：A.5.已知隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】隨機變量，則有，由，解得，所以.故選：.6.已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓的定義，可知，所以當最小時，最大，由橢圓的性質得，過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，當直線AB垂直于軸時，取得最小值，此時，由解得，此時的離心率.故選：A.7.已知數列滿足，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因為，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，，因為對恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.將7名身高不同的學生從左往右排成一列，記第名學生的身高為，當時，由于學生的身高變化像字母，所以也叫“數列”，則滿足條件的“數列”共有（）A.61個 B.65個 C.68個 D.71個【答案】D【解析】記這7名學生的身高由低到高分別為數字1，2，3，4，5，6，7，因為都比大，所以只能為，或.當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個數作為，共有個“數列”；當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，剩余兩個數排，有種選法，共有個“數列”；當時，，從4，5，6，7中選2個數作為有種選法，剩余2個數為，共有6個“數列”.綜上所述，滿足條件的“數列”共有個.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是等差數列的前項和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時，最小【答案】AD【解析】是等差數列的前項和，設公差為，，即，得，所以，即，有，因為，所以，所以，故A正確，B錯誤；，故錯誤；時，時，所以當時，取得最小值，故D正確.故選：AD10.某學校為迎接校園藝術節的到來，決定舉行文藝晚會，節目單中有共7個節目，則下列結論正確的是（）A.若節目與節目相鄰，則共有1440種不同的安排方法B.若節目與節目不相鄰，則共有3600種不同的安排方法C.若節目在節目之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法D.若決定在已經排好的節目單中臨時添加3個節目，現有節目次序不變，則共有336種不同的安排方法【答案】ABC【解析】若節目與節目相鄰，共有種不同的安排方法，故正確；若節目與節目不相鄰，共有種不同安排方法，故B正確；因為節目在節目之前表演與節目在節目之前表演的情況是一樣的，所以共有種不同的安排方法，故C正確；添加第一個節目有8種情況，添加第二個節目有9種情況，添加第三個節目有10種情況，共有種不同的安排方法，故D錯誤.故選：.11.若關于的方程恰有三個不同的正實數根，則實數的值可能是（）A.7 B. C.8 D.9【答案】CD【解析】由題意可知：，可得，因為，可變形為，令，可得，因為的定義域為，且，當時，，當時，，可知函數在內單調遞增，在內單調遞減，則，且當時，，當時，.令，則，當時，，所以是方程的一個正實數根；當時，令且1，可得，則，兩式相減可得，兩式相加可得，則，整理得，令，可得，即關于的方程在內有實根，令，則在內恒成立，可知在內單調遞增，且，可知函數與在內有交點，由圖象可知，即，可得，則，即，所以實數的取值范圍是，對比選項可知：AB錯誤，CD正確.故選：CD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價才可以獲得最大利潤，現對這種遮陽帽進行試銷售，經過統計發現銷售量（單位:頂）與單價（單位:元）具有線性相關關系，且線性回歸方程為，若想要銷售量為80頂，則預計該遮陽帽的單價定為_____________元.【答案】40【解析】若銷售量為80頂，則，解得，所以預計單價應定為40元.故答案為：4013.已知函數，點A是的圖象上任意一點，過點A且垂直于軸的直線交函數的圖象于點，過點A且垂直于軸的直線交函數的圖象于點，則的面積的最小值是_____________.【答案】2【解析】由題意可知，函數的圖象在函數的圖象上方，不妨設，則，則，所以的面積，令，則，所以當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，所以的面積的最小值為.故答案為：2.14.若三點在拋物線上，拋物線的焦點是的重心，則的最大值是____________.【答案】10【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，不妨設，則，所以，又，所以當，即點為坐標原點時，取得最大值10.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年3月28日，小米SU7汽車上市，24小時預定88898臺.小米集團為了了解小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲是否有關，隨機抽取了200名小米手機用戶進行調查，得到下表.已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲80非小米粉絲4080總計（1）補全表中數據，依據小概率值的獨立性檢驗，是否能夠認為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲有關?（2）小米集團打算從已訂購小米SU7的用戶中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，再從這6人中抽取3人聽取建議，求這3人中恰有2人是小米粉絲的概率.附:，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲8040120非小米粉絲404080總計12080200零假設為:小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關聯，由列聯表中的數據，得，依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即能夠認為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關聯；（2）從已訂購小米SU7的用戶中按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，其中小米粉絲有人，非小米粉絲有人.設3人中恰有2人是小米粉絲為事件，則．16.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動點，是棱AB上的一點，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點的位置.解：（1）因，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形是矩形，所以，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，所以，因為所以，即；（2）由（1），得設為平面的法向量，則，令，得，所以.設直線與平面所成角為，則，所以，因為，所以，即是棱PD的中點.17.為了迎接即將到來的生物實驗操作考試，小李同學每天都要去實驗室做兩次實驗.某天，他來到實驗室，決定做實驗或實驗，已知小李同學做實驗成功的概率為，做實驗成功的概率為，假設每次做實驗是否成功相互獨立.（1）小李每次都隨機等可能的從實驗與實驗中選擇一個實驗進行操作，求他兩次實驗恰好成功一次的概率；（2）小李同學決定進行2次