2025年山東省濟南市萊蕪區中考數學一模試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，5有一項是符合題

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遙四個數中（）

A.-yB.2C.ITD.-1

2.（4分）篆刻是中華傳統藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為

3.（4分）第三十三屆夏季奧運會中，來自全球206個國家和地區的代表團的10500位運動員齊聚巴黎,

向全世界奉獻了一場精彩的體育盛宴.中國體育代表團在這次奧運會中獲得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

4.（4分）如圖，已知直線/〃力將含30°角的直角三角板按如圖方式放置，則/2的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.（4分）估計加（泥4巧）的值應在（)

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間

6.（4分）下列計算正確的是（）

A.。+2。=3。2B.a54-a2=a3

C.（-/D.(2a3)2=2心

7.（4分）如圖，已知N8,BC,在同一平面內，以8C為邊在該正〃邊形的外部作正方形8cW.若/

ABN=126°()

第1頁（共28頁）

C.8D.6

8.（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未

來》《封神第二部：戰火西岐》中各自隨機選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機會均等），則兩

人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

3243

9.（4分）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升20℃,加熱到100℃,水溫開始下降，此時

水溫y（℃）（min）成反比例關系.當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，水溫y與通電時間x之間

的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

A.水溫從20℃加熱到100℃,需要4加沅

B.水溫下降過程中，y與x的函數關系式是了盤.

x

C.上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃

D.在一個加熱周期內水溫不低于40°。的時間為Smin

10.（4分）對于實數a,b,定義新運算a*6=.a?-ab（a＞b）,若函數了=代（2x-1）（）

b2-ab（a＜b）

①方程x*（2x-1）=0的解為x=0或x=l；

②關于x的方程x*（2x7）有三個解，貝!J0＜加＜工；

2

③當x＜工時，y隨x增大而增大；

2

④當時，函數y=x*（2x7）有最大值0.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.）

第2頁（共28頁）

11.（4分）分解因式：x2-5x—.

12.（4分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機從袋

中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4,則袋中約有紅球個.

13.（4分）在一次函數y="-5）x-3中，y隨x的增大而減小，則左的值可以是（任

意寫出一個符合條件的數即可）.

14.（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形/8C的面積為1200111?加2,ZBAC=12Q°,BD=2AD,則

BD的長度為.

15.（4分）如圖，在菱形/2CZ）中，N4BC=60°,連接/P,將沿著4P折疊，連接。E,點F是

DE的中點，則C尸的最小值為.

三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.）

1?1

16.（7分）計算：|一/§|-2sin60°+（-）+（2025-兀）

2（x_l）+1>-5

（分）解不等式組，，并寫出它的所有正整數解.

17.7上1夕i+x

18.（7分）如圖，四邊形45CD是矩形，點￡和點尸在邊上，求證：AF=DE.

19.（8分）【問題背景】某學習小組研究一種手提電腦支架設計的科學性，如圖①所示，它的側面可視作

如圖②，NC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉動，測得NC=16c%

【實驗研究】繞支點轉動，調節角度，測量數據

任務1：若/B/C=30°,/ACD=75°,求此時電腦托板的最高點。離底板AB的距離（精確到0.1cm,

第3頁（共28頁）

加心1.41）.

【應用研究】為了適應個性化需要，增強舒適度，進行應用研究.

任務2：陳老師工作時習慣于把電腦打開成大于120。角（如圖③，/CDE>120。.現小甬同學為陳

老師準備電腦，把電腦展開后發現電腦屏幕助垂直于底板/以點C到底板N3的距離S是4cm,問

這樣是否符合陳老師的工作習慣？說明理由.

（參考數據：sinl4.48°仁0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°20.25）

20.（8分）如圖，Zk/BC中，ZACB=90°,以點。為圓心，。。為半徑作圓與48相切于點。

（1）求證：NABC=2N4CD；

（2）若。。的半徑為3,AC=8,求8C的長.

21.（9分）某學校開展了“校園科技節”活動，活動包含創意設計比賽、科技競賽兩個項目.為了解學生

的創意設計水平，從全校學生的創意設計比賽成績中隨機抽取部分學生的創意設計比賽成績（成績為百

分制，用x表示），70Wx<80,80Wx<90

下面給出了部分信息：

70Wx<80的成績為：

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

第4頁（共28頁）

創意設計比賽成績的頻數分布直方圖創意設計比賽成績的扇形統計圖

根據以上信息解決下列問題:

(1)請補全頻數分布直方圖;

(2)所抽取學生的創意設計比賽成績的中位數是分;

(3)請估計全校1500名學生的創意設計比賽成績不低于80分的人數;

(4)根據活動要求，學校將創意設計比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合

成績.

某班甲、乙兩位學生的創意設計比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下:

創意設計比賽科技競賽

甲的成績9590

乙的成績9295

通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高?

22.（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境,

某學校決定擴大圖書館面積，現需購進20個書架用于擺放書籍，

【素材呈現】

素材一：有/，3兩種書架可供選擇，/種書架的單價比2種書架單價高20%；

素材二：用14400元購買/種書架的數量比用9000元購買8種書架的數量多6個；

素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的工；

3

【問題解決】

問題一：求出43兩種書架的單價；

問題二：設購買。個/種書架，購買總費用為w元，求w與。的函數關系式

23.（10分）物理實驗證實：在彈性限度內，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質量x（千克）（厘米）與

所掛物體質量x（千克）之間的關系，有一位同學發現一個數據y有錯誤，重新測量后，并修改了表中

第5頁（共28頁）

這個數據.

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你認為表中第次數據了是錯誤的？正確的值是y=.

（2）觀察表中數據，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上

（3）當彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質量.

（4）若某同學在測量時第一次所掛物體的質量為xi,記錄對應的彈簧長度為口；第二次所掛物體的質

量為X2,記錄對應的彈簧長度為JV2,當X2-Xl=14時，夕2-yi的值為.

24.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a?+6x-3（°、6為常數且aWO）.

（1）若拋物線經過點（3,0）、（2,-3）兩點，求拋物線對應的函數表達式；

（2）在（1）的條件下，當直線/：y=x+a與拋物線交于點/、3時（點N在點3的左側），使得△N5C

的面積最大？若存在，請求出點C的坐標，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸為直線x=l,當直線y=x+a與拋物線y=a/+bx-3有兩個交點時，直接寫出

a的取值范圍.

備用圖

25.（12分）在直角三角形紙片N5C中，ZBAC=90a,AC=6

【數學活動】

將三角形紙片N3C進行以下操作：①折疊三角形紙片N5C,使點。與點N重合，得到折痕②將

△DEC繞點。順時針方向旋轉得到△。aG,點E,G,當直線G尸與邊/C相交時交點為與邊

相交時交點為N.

【數學思考】如圖1：

第6頁（共28頁）

(1)折痕DE的長為_________________；

(2)試判斷與ME的數量關系，并證明你的結論；

【數學探究】

(3)如圖2,當直線GB經過中點N時，求此時的長度；

【問題延伸】

(4)在△DEC繞點。旋轉的過程中，當DG,3c時，是否存在點M,請求的長度；若不存在

EC

圖1圖2備用圖

第7頁(共28頁)

2025年山東省濟南市萊蕪區中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案A.DC.ACBBCDB

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，5有一項是符合題

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遍四個數中（）

A.-V5B.2C.TTD.-1

【解答】解：V-V5<-1<3<TT,

，最小的數是：-■'/弓.

故選：A.

2.（4分）篆刻是中華傳統藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為

)

從正面看

故選：D.

3.（4分）第三十三屆夏季奧運會中，來自全球206個國家和地區的代表團的10500位運動員齊聚巴黎,

向全世界奉獻了一場精彩的體育盛宴.中國體育代表團在這次奧運會中獲得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

【解答】解：10500=1.05X104.

第8頁（共28頁）

故選：c.

4.（4分）如圖，已知直線機〃”將含30°角的直角三角板N2C按如圖方式放置，則N2的度數為（

A.20°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：?..直線機〃小

AZ2+ZABC+Z\+ZBAC^1SQ0,

VZABC^30°,ZBAC=9Q°,

.".Z2=180°-30°-90°-40°=20°,

故選：A.

5.(4分)估計版(72W3)的值應在(）

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間

【解答】解：V8(V3+V8)

=我xVs+V?X72

=V24+4

=4通+4，

?/V8<V6<V6.25,

8<V6<2.7,

/.4<2V3<5,

8<4V6+4<7,

故選：C.

6.(4分)下列計算正確的是()

A.a+2a=3a2B.a5-i-a2=a3

C.(-〃)2?Q3=_/D.(2/)2=2Q6

【解答】解：Q+2Q=3Q,則4不符合題意;

Q6+Q2=“3,則B符合題意；

(-a)8?Q3=Q5,則。不符合題意；

（6〃3）2=8Q6,則。不符合題意;

第9頁（共28頁）

故選：B.

7.（4分）如圖，已知48,BC,在同一平面內，以為邊在該正〃邊形的外部作正方形BCMN.若/

C.8D.6

【解答】解：在同一平面內，以8C為邊在該正〃邊形的外部作正方形8cMM

:./NBC=90°,

：.ZABC=360°-90°-126°=144°,

...正"邊形的一個外角為180°-144°=36°,

:.n的值為即&—=10,

36°iu

故選：B.

8.（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未

來》《封神第二部：戰火西岐》中各自隨機選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機會均等），則兩

人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是（）

A.-1B.AC.AD.Z

3243

【解答】解：把《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰火西岐》四部影

片分別記為/、B、C、D,畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知：共有16種等可能的結果，其中二人恰好選擇同一部影片觀看的結果有4種，

???兩人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是-乞=9，

164

故選：C.

9.（4分）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升20℃,加熱到100℃,水溫開始下降，此時

水溫y（°C）（min）成反比例關系.當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，水溫V與通電時間x之間

的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

第10頁（共28頁）

A.水溫從20℃加熱到100℃,需要4加〃

B.水溫下降過程中，夕與X的函數關系式是y=幽

X

C.上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃

D.在一個加熱周期內水溫不低于40℃的時間為Smin

【解答】解：水溫從20℃加熱到100℃,需要的時間為（100-20）4-20=4（min）,

正確，不符合題意；

設水溫下降過程中，y與x的函數關系式是>=&,

X

將坐標（4,100）代入y=K,

X

得ioo=K,

8

解得左=400,

水溫下降過程中，y與x的函數關系式是>=理2,

x

正確，不符合題意；

當y=20時，得20=駟L,

y

解得y=20,

水溫從20℃加熱到100℃,再降到20℃所用時間為20min,

'20x+20（0<x<4）

水溫與通電時間之間的函數關系式為>=?400-,，

yX-^（3<x<20）

X

上午10點到10：30共30分鐘，則30-20=10（分鐘），

當x=10時，得了=%,

10

上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃,

；.C正確，不符合題意；

當0WxW4時，當y=40時，

第11頁（共28頁）

解得％=6,

當4<xW20時，當y=40時，得理2,

X

解得％=10,

10-1=2(min),

???在一個加熱周期內水溫不低于40℃的時間為9mm,

工。不正確，符合題意.

故選：D.

10.(4分)對于實數a,b,定義新運算a*6=,a"ab(a>b),若函數尸狀⑵-1)(

b2-ab(a<b)

①方程x*(2x-1)=0的解為x=0或x=l；

②關于x的方程x*(2x-1)=機有三個解，則OWmvL；

2

③當時，歹隨x增大而增大；

2

④當X>JL時，函數y=x*(2x7)有最大值0.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①當x22x-l時，即xW3,

x*(2x-1)

=、3-X(2x-1)

=x3-2X2+X

=-x8+x,

；?-x2+x=0,

：?x=7或x=l；

當％V2x-8時，即x>l,

x*(2x-5)

=(2x-1)8-x(2x-1)

=5x2-4x+5-2X2+X

=4x2-3x+2,

2x2-6x+l=0.

.,.x=8(不符合題意)或％=工(不符合題意)，

2

第12頁(共28頁)

綜上所述，方程X*(4x-1)=0的解為x=6或x=l.

②由①可得：當x22x-4時，即xWl?+x=-(x-旦)2+—,

24

A-x2+x的最大值為

4

當x<2尤-7時，即X>12-6X+1=2(x--)--,

44

2x2-5x+l的最小值為--1,

4

綜上，于X的方程X*(2x-1)=加有三個解〈工.

8m3

.??②的結論不正確；

當x<1時，y=-x2+x,

V-4<0,

...拋物線的開口方向向下，X<A,

5

.?.③的結論正確；

當x>l時，函數了=2》6-3x+l=5(x--)-―,

48

V2>6,

拋物線的開口方向向上，x>l,

.?.當x>工時，函數y=x*(2尤-1)沒有最大值.

4

④的結論不正確.

綜上，正確的結論有：①③.

故選：B.

二、填空題：(本大題共5個小題，每小題4分，共20分.)

11.(4分)分解因式：/-5x=x(x-5).

【解答】解：X2-5x=x(x-3).

故答案為：x(x-5).

12.(4分)一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機從袋

中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4,則袋中約有紅球12個.

【解答】解：由題意可得，

袋中約有紅球：84-0.6-8

=20-8

第13頁(共28頁)

=12（個），

故答案為：12.

13.（4分）在一次函數y="-5）x-3中，夕隨x的增大而減小，則左的值可以是1（答案不唯一）（任

意寫出一個符合條件的數即可）.

【解答】解：???在一次函數》=（左-5）x-3中，y隨x的增大而減小，

：.k-7<0,

解得：k<5,

為正整數，

左值可以為3（答案不唯一）.

故答案為：1（答案不唯一）.

14.（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形4BC的面積為1200TTC/,/R4c=120°,BD=2AD,則

BD的長度為40。力.

【解答】解：^AD=xcm,則5D=24D=2xCM由題意可得，

120K2￡lMl=12oOTr,

360

解得x=20（負值舍去），

.".BD=2x=4Q（cm）.

故答案為：40cm.

15.（4分）如圖，在菱形/BCD中，ZABC=60°,連接/尸，將尸沿著4P折疊，連接點尸是

的中點，則CF的最小值為,芥-1.

【解答】解：延長。C至點。，使得CD=CQ,EQ,

,點尸是。E的中點，

第14頁（共28頁）

:.CF是ADEQ的中位線，

:.CF=XEQ,

當EQ取最小值時，CF有最小值，

連接NC,

:四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2,BC//AD,

：/B=60°,

***4ABe是等邊三角形，

：.CQ=AC=CD=2,ZADQ=ZB=60°,

ZBCQ=ZADQ=60°,

9：BCLAQ,垂足為"，

：.ZQ=30°,AQ=2QM.

：.CM=1JCQ=\,

42

?<-QM=7CQ-CM=Vs，

：.AQ=3y[3,

由折疊可知N￡=3/=2,

XAE+EQ^AQ,

:.EQ,AQ-AE,

當點/,E,。共線時、幾-2,

此時CF的最小值為愿-8,

故答案為：Vs-1.

三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.）

1~1

16.（7分）計算：||-2sin60°+（―）+（2025-兀）口,

第15頁（共28頁）

￡

【解答】解：||-2sin60°++（2025-兀）3也

=Vs-4乂也

2

=V3-J^+3+3+2

=6.

2（xT）+1>-5

17.（7分）解不等式組/i+x，并寫出它的所有正整數解.

卜14工

’2（x-l）+6〉-5①

【解答】解：』5+x今，

X-15-。

解不等式①得，x>-2；

解不等式②得，xW3,

所以不等式組的解集為：-2<xW3,

則不等式組的正整數解為4,2,3.

18.（7分）如圖，四邊形48CD是矩形，點￡和點尸在邊3。上，求證：AF=DE.

BEFC

【解答】證明：?.?四邊形/BCD為矩形，

：.AB=CD,ZB=ZC=90°,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF.

即：BF=CE,

在和△DC￡中，

'AB=CD

<NB=NC，

,BF=CE

:.AABF沿ADCE（SAS'）,

：.AF=DE.

19.（8分）【問題背景】某學習小組研究一種手提電腦支架設計的科學性，如圖①所示，它的側面可視作

如圖②，NC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉動，測得NC=16c%

【實驗研究】繞支點轉動，調節角度，測量數據

第16頁（共28頁）

任務1：若NA4c=30°,NACD=75。，求此時電腦托板的最高點。離底板N3的距離（精確到QAcm,

【應用研究】為了適應個性化需要，增強舒適度，進行應用研究.

任務2：陳老師工作時習慣于把電腦打開成大于120°角（如圖③，ZCDE>120°.現小甬同學為陳

老師準備電腦，把電腦展開后發現電腦屏幕垂直于底板點。到底板N3的距離C"是4c〃z,問

這樣是否符合陳老師的工作習慣？說明理由.

（參考數據：sinl4.48°-0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°-0.25）

【解答】解：任務1：在圖②中，過點。作。于點過點C作以于點尺,

在RtZk/Q?中，sin/B/C=里，

AC

.,.MN—CR—AC,smZBAC—16X—=8(cm),

7

在RtZVJNC中，ZDCN=ZACD-ZACN=ZACD-ZCAR=15°-30°=45°,

VsinZ￡>C7V=M,

CD

DN=CD?sinZDCN=20X14.1(cm),

6

DM=DN+MN^14.1+2=22.1(cm),

即點。離底板的距離約為22.1c加；

任務6：不符合陳老師的工作習慣，理由如下:

在圖③中，延長ED交A8于點尸，

在RtzXNC”中，sinZCAH=^=-^-,

AC16

：.ZCAH^14A8°,

,/CKLDF,EDLAB,

J.DF//AB,

第17頁（共28頁）

AACK=ZCAH=14.48°,

；./DCK=/ACD-/ACK=40°-14.48°=25.52°,

/.ZEDC=ZCDK+ZDCK=90°+25.52°=115.52°<120°,

不符合陳老師的工作習慣.

③

②

20.(8分)如圖，ZX/BC中，ZACB=90°,以點。為圓心，OC為半徑作圓與N5相切于點。

(1)求證：N4BC=2/4CD；

(2)若。。的半徑為3,NC=8,求8c的長.

【解答】（1）證明：連接。。，如圖,

為。。的切線，

：.OD±AB,

：.ZODA=ZODB=90°,

VZACB=90°,

：.ZABC+ZCOD=ISO°,

VZAOD+ZCOD^ISO0,

第18頁(共28頁)

???/ABC=/AOD,

OC=OD,

：./ACD=/ODC,

：.ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,

：.ZABC=2ZACD；

(2)解：???。。的半徑為3,4C=8,

：?OD=OC=3,

：.AO=AC-OC=3f

在RtA^OD中，

?,?^￡)=7AO2-OD2=：8,

?：/OAD=/BAC,ZADO=ZACB,

：./\AOD^/\ABC,

?OD—ADpn3—4

BCACBC2

21.（9分）某學校開展了“校園科技節”活動，活動包含創意設計比賽、科技競賽兩個項目.為了解學生

的創意設計水平，從全校學生的創意設計比賽成績中隨機抽取部分學生的創意設計比賽成績（成績為百

分制，用x表示），704M80,804<90

下面給出了部分信息：

70<xV80的成績為：

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

第19頁（共28頁）

創意設計比賽成績的頻數分布直方圖創意設計比賽成績的扇形統計圖

根據以上信息解決下列問題：

（1）請補全頻數分布直方圖;

（2）所抽取學生的創意設計比賽成績的中位數是78分；

（3）請估計全校1500名學生的創意設計比賽成績不低于80分的人數；

（4）根據活動要求，學校將創意設計比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合

成績.

某班甲、乙兩位學生的創意設計比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下:

創意設計比賽科技競賽

甲的成績9590

乙的成績9295

通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高？

【解答】解：（1）V104-20%=50,而70<x<80有20人,

.?.80Wx<90有50-20-5-10=15,

第20頁（共28頁）

而70Wx<80的成績為：

71,71,72,73,74,75,76,77,78,79,79.

???50個成績按照從小到大排列后，排在第25個，78；

中位數為78+78=78（人），

2

故答案為：78；

（3）估計全校1500名學生的創意設計比賽成績不低于80分的人數為：

1500X15+6=600（.人）,

50

答：估計全校1500名學生的創意設計比賽成績不低于80分的人數為600人；

（4）甲的成績為：95X2+9°X3=92（分）；

5+3

乙的成績為：92X2+95X7=93.6（分）

2+3

???乙的綜合成績更高.

22.（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境,

某學校決定擴大圖書館面積，現需購進20個書架用于擺放書籍，

【素材呈現】

素材一：有/,3兩種書架可供選擇，/種書架的單價比8種書架單價高20%；

素材二：用14400元購買/種書架的數量比用9000元購買2種書架的數量多6個；

素材三：/種書架數量不少于2種書架數量的工；

3

【問題解決】

問題一：求出4,5兩種書架的單價；

問題二：設購買。個N種書架，購買總費用為1V元，求w與a的函數關系式

【解答】解：問題一：設3種書架的單價為x元，則/種書架的單價為x（1+20%）=1.5x元，

14400_9000=s

1.2xx

解得x=500,

經檢驗，x=500是原分式方程的解，

*,*1.2x=600?

答：/種書架的單價為600元，2種書架的單價為500元；

問題二：由題意可得，

w=600a+500(20-a)=100a+10000,

第21頁（共28頁）

-：A種書架數量不少于B種書架數量的旦,

3

（20-a）,

6

解得a25,

...當a=5時，w取得最小值，20-a=15,

即卬與。的函數關系式為w=100a+10000,費用最少時的購買方案是購買A種書架6個.

23.（10分）物理實驗證實：在彈性限度內，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質量x（千克）（厘米）與

所掛物體質量千克）之間的關系，有一位同學發現一個數據y有錯誤，重新測量后，并修改了表中

這個數據.

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你認為表中第4次數據y是錯誤的？正確的值是"=15.

（2）觀察表中數據，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上

（3）當彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質量.

（4）若某同學在測量時第一次所掛物體的質量為xi,記錄對應的彈簧長度為刀；第二次所掛物體的質

量為X2,記錄對應的彈簧長度為了2,當X2-X1=14時，V2-VI的值為4.2.

【解答】解：（1）由題意，根據表格數據可得發現，y增加3,

.,.當x=30時，^=6+5X3=15,正確的值是y=15.

故答案為：4,15.

（2）由各點的分布規律可知，它們在同一條直線上，

.”是x的一次函數.

設這條直線所對應的函數表達式為夕=履+6（k、6為常數.

將坐標（3,6）和（10,

.（b=6

110k+b=3

?（k=0.3

'（b=7'

這條直線所對應的函數表達式為y=0.3x+4（0WxW50）.

（3）當y=30時，0.8x+6=30,

當彈簧長度為30厘米時，所掛物體的質量為80千克.

第22頁（共28頁）

（4）根據題意，得yi=3.3xi+6①，＞2=0.3%2+6②，

②-①，得/-歹1=0.2（X2-xi）,

?X3

，"一”=0.3X14=2.2.

故答案為：4.4.

24.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yua/+bx-3（°、6為常數且aWO）.

（1）若拋物線經過點（3,0）、（2,-3）兩點，求拋物線對應的函數表達式；

（2）在（1）的條件下，當直線/：y=x+a與拋物線交于點/、3時（點/在點3的左側），使得△ABC

的面積最大？若存在，請求出點。的坐標，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸為直線x=l,當直線y=x+a與拋物線y=ox2+6x-3有兩個交點時，直接寫出

a的取值范圍.

備用圖

【解答】解：（1）由題意得：［°=9a+5b-3,

I-3=8a+2b-3

解得：卜=3,

lb=-2

故拋物線的表達式為：y=x2-5x-3；

（2）存在，理由：

第23頁（共28頁）

由(1)知，〃=1,

聯立上式和拋物線的表達式得：x+6=x2-2x-6,則x=-1或4,

即點4、5的橫坐標分別為：