高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省新高中創新聯盟TOP二十名校2023-2024學年高一下學期2月調研考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則.故選：A.2.已知命題：“，則的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的否定是“”.故選：.3.函數的定義域為（）A.且 B.C. D.【答案】C【解析】由題得，解得，即函數的定義域為.故選：.4.已知是冪函數，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】D【解析】由題知，解得，且，解得.故選：D.5.已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，，，，所以.故選：B.6.如圖1是一款扇形組合團圓拼盤，其示意圖如圖2所示，中間是一個直徑為的圓盤，四周是8個相同的扇環形小拼盤，組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團圓”.若的長為，則每個扇環形小拼盤的面積為（）A. B. C. D..【答案】C【解析】如圖，設小圓的圓心為，則，設，每個扇環形小拼盤對應的圓心角為，則的長為，解得，所以每個扇環形小拼盤的面積為.故選：C.7.已知函數的零點分別是，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，得，則為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，在同一直角坐標系中，分別作出和圖象，如圖所示，由圖可知，.故選：B.8.已知函數（且）是值域為的單調遞減函數，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為函數是值域為的單調遞減函數，知，解得，，函數圖像如圖，由，即，令，解得，即，令，解得，即，綜上，，的解集為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在區間上單調遞增C.的圖象關于點中心對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】A選項，的最小正周期為，故A正確；B選項，當時，，由正弦函數的單調性可知，在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；C選項，，所以的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤；D選項，由，得的圖象關于直線對稱，故D正確.故選：AD.10.已知是兩個正實數，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.當時，【答案】BD【解析】對于，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于，當時，，當且僅當時取等號，故B正確；對于，取，得，故C錯誤；對于，當時，，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：BD.11.已知函數的定義域均為是偶函數，且，若，則（）A.B.的圖象關于點中心對稱C.D.【答案】ABC【解析】因為是偶函數，則，所以，所以，當時，，又，所以，所以1，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；，所以是以6為周期的周期函數，所以，故C正確；，D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______．【答案】【解析】∵，則．故答案為：.13.伊麗莎白塔是聯合王國國會大廈威斯敏斯特宮的附屬鐘塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是倫敦乃至英國的標志性建筑.鐘樓上的鐘也是世界上第二大的同時朝向四個方向的時鐘，其中一個鐘盤如圖所示，分針尖端到中心的距離為3.5米，尖端最低位置距地面約60米，若分針尖端從最高位置沿順時針方向繞中心勻速旋轉一周，分針尖端與地面的距離（單位：米）與時間（單位：分）的函數關系式為，則函數__________.【答案】【解析】，由題意可得63.，可得，當時，，可得，即，又，所以，所以函數的解析式為.故答案為：.14.若函數滿足，則_________.【答案】【解析】函數滿足，則是偶函數，所以，即，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知：實數滿足：實數滿足.（1）若，且和至少有一個為真命題，求實數的取值范圍；（2）若，且是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）：實數滿足，解得，當時，，解得，和至少有一個為真命題，，實數的取值范圍為.（2）由，解得，即是的充分不必要條件，（等號不同時?。?，，又，故實數的取值范圍為.16.（1）已知，求的值；（2）已知函數在區間上的最大值為2，求實數的值.解：（1）因為，所以，所以，所以，所以.（2）函數在區間上的最大值為2，由復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞增，所以函數在區間上的最大值為中較大的數，若，則，解得或，又且，即，所以，符合題意；若，則，又，所以，解得，符合題意，綜上，實數的值為或.17.已知函數，函數.（1）求函數的解析式；（2）試判斷函數在區間上的單調性，并證明；（3）求函數的值域.解：（1）令，則，，，即，.（2）函數在區間上單調遞增，證明：任取，則，又，，即，函數在區間上增函數.（3）當時，，當且僅當時，等號成立，當時，，當且僅當時，等號成立，的值域為.18.已知函數（且）是偶函數.（1）求實數的值；（2）若，且對于，不等式恒成立，求整數的取值集合.解：（1）函數且是偶函數，，即.（2）由（1）知，，定義域為，，易知函數在上單調遞增，且為奇函數，對于恒成立，即，對于恒成立，，當且僅當時取等號，，即，解得，又為整數，或或，的取值集合為.19.將函數的圖象進行如下變換：向下平移個單位長度將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）向左平移個單位長度，得到函數的圖象.（1）當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍；（2）若函數在區間內恰有2022個零點，求的所有可能取值.解：（1）由題意的圖象向下平移個單位，得；再將所得函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得；再把所得函數圖象向左平移個單位，可得，因為，所以，如圖：方程有兩個不等實根時，的圖象與直線有兩個不同的交點，作圖可得，故實數的取值范圍為.（2）由題意可得，設，，則函數等價為，由，得，因為，所以有兩個不等的實數根，當時，，此時在上恰有3個零點，因為，所以，所以；當時，因為，，所以，，此時在上恰有2個零點，因為，所以或，或2023，綜上所述，的可能取值為2022或2023或1348.河南省新高中創新聯盟TOP二十名校2023-2024學年高一下學期2月調研考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則.故選：A.2.已知命題：“，則的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的否定是“”.故選：.3.函數的定義域為（）A.且 B.C. D.【答案】C【解析】由題得，解得，即函數的定義域為.故選：.4.已知是冪函數，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】D【解析】由題知，解得，且，解得.故選：D.5.已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，，，，所以.故選：B.6.如圖1是一款扇形組合團圓拼盤，其示意圖如圖2所示，中間是一個直徑為的圓盤，四周是8個相同的扇環形小拼盤，組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團圓”.若的長為，則每個扇環形小拼盤的面積為（）A. B. C. D..【答案】C【解析】如圖，設小圓的圓心為，則，設，每個扇環形小拼盤對應的圓心角為，則的長為，解得，所以每個扇環形小拼盤的面積為.故選：C.7.已知函數的零點分別是，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，得，則為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，在同一直角坐標系中，分別作出和圖象，如圖所示，由圖可知，.故選：B.8.已知函數（且）是值域為的單調遞減函數，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為函數是值域為的單調遞減函數，知，解得，，函數圖像如圖，由，即，令，解得，即，令，解得，即，綜上，，的解集為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在區間上單調遞增C.的圖象關于點中心對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】A選項，的最小正周期為，故A正確；B選項，當時，，由正弦函數的單調性可知，在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；C選項，，所以的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤；D選項，由，得的圖象關于直線對稱，故D正確.故選：AD.10.已知是兩個正實數，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.當時，【答案】BD【解析】對于，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于，當時，，當且僅當時取等號，故B正確；對于，取，得，故C錯誤；對于，當時，，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：BD.11.已知函數的定義域均為是偶函數，且，若，則（）A.B.的圖象關于點中心對稱C.D.【答案】ABC【解析】因為是偶函數，則，所以，所以，當時，，又，所以，所以1，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；，所以是以6為周期的周期函數，所以，故C正確；，D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______．【答案】【解析】∵，則．故答案為：.13.伊麗莎白塔是聯合王國國會大廈威斯敏斯特宮的附屬鐘塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是倫敦乃至英國的標志性建筑.鐘樓上的鐘也是世界上第二大的同時朝向四個方向的時鐘，其中一個鐘盤如圖所示，分針尖端到中心的距離為3.5米，尖端最低位置距地面約60米，若分針尖端從最高位置沿順時針方向繞中心勻速旋轉一周，分針尖端與地面的距離（單位：米）與時間（單位：分）的函數關系式為，則函數__________.【答案】【解析】，由題意可得63.，可得，當時，，可得，即，又，所以，所以函數的解析式為.故答案為：.14.若函數滿足，則_________.【答案】【解析】函數滿足，則是偶函數，所以，即，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知：實數滿足：實數滿足.（1）若，且和至少有一個為真命題，求實數的取值范圍；（2）若，且是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）：實數滿足，解得，當時，，解得，和至少有一個為真命題，，實數的取值范圍為.（2）由，解得，即是的充分不必要條件，（等號不同時取），，又，故實數的取值范圍為.16.（1）已知，求的值；（2）已知函數在區間上的最大值為2，求實數的值.解：（1）因為，所以，所以，所以，所以.（2）函數在區間上的最大值為2，由復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞增，所以函數在區間上的最大值為中較大的數，若，則，解得或，又且，即，所以，符合題意；若，則，又，所以，解得，符合題意，綜上，實數的值為或.17.已知函數，函數.（1）求函數的解析式；（2）試判斷函數在區間上的單調性，并證明；（3）求函數的值域.解：（1）令，則，，，即，.（2）函數在區間上單調遞增，證明：任取，則，又，，即，函數在區間上增函數.（3）當時，，當且僅當時，等號成立，當時，，當且僅當時，等號成立，的值域為.18.已知函數（且）是偶函數.（1）求實數的值；（2）若，且對于，不等式恒成立，求整數的取值集合.解：（1）函數且是偶函數，，即.（2）由（1）知，，定義域為，，易知函數在上單調遞增，且為奇函數，對于恒成立，即，對于恒成立，，當且僅當時取等號，，即，解得，又為整數，或或，的取值集合為.19.將函數的圖象進行如下變換：向下平移個單位長度將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）向左平移個單位長度，得到函數的圖象.（1）當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍