導數及其應用

CCC

【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】切線問題

【題型二】極值與極值點

【題型三】含參討論單調性

【題型四】恒成立求參

【題型五】能成立求參

【題型六】零點問題

【題型七】隱零點問題

【題型八】構造函數求參

【題型九】多變量問題

【誤區點撥】

易錯點1:①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；

②復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數，即％'=

易錯點2：使用導數求函數極值時，很容易出現的錯誤是求出使導函數等于0的點，還需要對這些點左右兩

側導函數的符號進行判斷

解密高考

考情分析：導數在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數的壓軸題有所改變，但導數在高

考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內容也偏多，比如常出現的比較大小和恒成立問題等都結合

著構造函數的思想.

備考策略|

：在處理含對數的等式、不等式時，通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新

函數求導時，就不含對數了，從而避免了多次求導.這種讓對數“孤軍奮戰”的變形過程，俗稱之為“對

數單身狗”.

6勉型特訓提分--------------------------------------

【題型一】切線問題

【例1】已知函數已（力=1

⑴求曲線y=f（尤）在點（1,1）處的切線方程；

（2）求過點（-L-1）且與曲線y=相切的直線的切點坐標.

【答案】⑴3x-y-2=0

⑵品或（TT）

【分析】（1）求出廣⑴的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；

（2）設切點坐標為值r），利用導數的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出，的

值，即可得出所求切點的坐標.

【詳解】⑴因為/（力=鬻,求導得r（x）=3l,故［⑴=3,

因此，曲線在點（L1）處的切線方程為y-l=3（x-1）,即3元-〉-2=0.

（2）設切點坐標為（）），則曲線y"（x）在點（））處的切線的斜率為3產,

故所求切線方程為y—戶=3/（X—。，

將點（-1,一1）的坐標代入切線方程得—1—戶=3/（—1T）,

整理可得2戶+3產-1=0,即（2，一1）。+1）2=0,解得/=］或=-［,

故所求切點的坐標為［；，.或

【例2】若直線>=去+匕是曲線“x）=ei的切線，也是曲線g（x）=e-2的切線，則心

【答案】2

【分析】設出兩切點A（x0,）和點8（芯,P-2）,求導，利用導數幾何意義得到玉=%-1,表達出〃力=尸

上點A（x°,e』T）處的切線方程，代入8點坐標，得到方程，聯立得到=2,x0=l+ln2,求出左=/瓜2T=2.

【詳解】設〃x）=ei上點A（x0,e-T）處的切線和g（x）=e=2在點5ad-2）處的切線相同，

/'（x）=e*T,g,（x）=er,

故e*T=e'i=左，故國=龍。-1,

〃力=/上點4伍戶-，處的切線方程為y—e&T=e%T（x-x0）,

顯然3（項,e'-2）在切線上，故8_2_e"=e"a_x。），

即e"-2—e"=e"（%—1一%），即e^1=2,

解得=l+ln2,

故左=3+["2T=2.

故答案為：2

【變式11已知曲線〃x)=lnx+加+2在點。(1,“功處的切線與直線x+4y+8=0垂直，則。的值為()

33

A.—B.—1C.1D.一

22

【答案】D

【分析】求/'(%),利用導數的幾何意義可求。的值.

【詳解】由題意得，函數/(x)的定義域為(0,+”),且:(句=：+2依，

團廣⑴=l+2a,

團曲線f(x)在點處的切線與直線x+4y+8=0垂直，

0/(1)=4,即l+2a=4,故"=

故選：D.

【變式2】過原點且與曲線〉=入也了相切的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】先求出導函數，再設切點，根據導函數得出切線斜率再應用兩點求斜率計算求參進而得出切線即

可.

【詳解】設切點(xgXoSiiUo),因為曲線/=筋m，所以y'=sin_￥+xcosx,

xnsinx0

所以」一^=sinx0+x0cosx0,所以/cos/=0,

工0

所以為=0或cos/=0,

當%=0時，所以％=0,所以切線方程為y-0=0(x-0),即y=0；

當無時，所以％=1，所以切線方程為>-。=1@-0)，即廣壬

當無。=-]時，所以％=-1，所以切線方程為y-°=T(x-。)，即丫=一彳；

所以切線有3條.

故選：C.

【變式3】過定點P(l,e)作曲線y=“eYa>0)的切線，恰有2條，求實數。的取值范圍.

【答案】(1，+⑹

【分析】設出切點，根據點斜式求解直線方程，構造函數/(x)=(x-2)e，,利用導數求解單調性，結合函數

圖象即可求解.

【詳解】由、=。/(a>0),得了=恁工，切點為(加,")，則切線的斜率為ae”,

所以切線方程為=。泌。-根)，

因為〃="e'",所以y-祀'"=ae'"(x-〃。，

因為點尸(Le)在切線上，

所以e-aem=aemCl-m),=2)em,

a

令/(x)=(x—2)e",則/'(x)=(x-l)e”,

當尤>1時，Ax)>0,當無<1時,f'(x)<0,

所以f(x)在(l,+8)上遞增，在(f,l)上遞減，

所以在x=1處取得極小值-e,

當X--00時，〃X)->0,當Xf+co時，y(x)f+co,

由題意可得直線>=-￡與函數F(x)的圖象有兩個交點，

a

所以-e〈-￡<0,解得所以實數。的取值范圍為(1,+8),

a

【題型二】極值與極值點

【例1】設三次函數/(尤)的導函數為了'(X),函數y=；/(x)圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個

數為()

①函數〃x)有極大值7(3)

②函數4%)有極小值八-百)

③函數有極大值/(君)

④函數有極小值/(-3)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】結合圖象先判斷r(尤)的正負性，即可得出“X)的增減性，進而得出極值.

【詳解】由題圖知，當x<—3時，xf\x)>Q,則/'(x)<0；

當一3<x<0時，xf'(x)<0,貝iJ/'(x)>0；

當0<x<3時，礦(x)>0,貝"(x)>0；

當x>3時，礦(x)<0,貝"(x)<0,

則“X)在(-8，-3)上單調遞減，在(-3,3)上單調遞增，在(3,+8)上單調遞減，

則“X)的極大值是“3),極小值是/(-3),①④正確，

故選：B

【例2】已知函數—依?+x+b在X=1處取得極值.

(1)求。的值；

⑵當。=-2時，求曲線、="尤)在x=0處的切線方程；

⑶當方=-2時，求曲線y=的極值.

【答案】(1)4=2

(2)x-y-2.=0

⑶極大值為一石，極小值為-2.

【分析】(1)利用導函數的零點結合極值點的定義計算驗證即可；

(2)利用導數的幾何意義計算即可；

(3)利用導數研究函數的單調性，結合極值的概念列表計算即可.

【詳解】(1)f'(x)=3^-2ax+\,

由題意知尸⑴=0,所以3—2a+l=0,即a=2.

當a=2時，/(x)=3x?-4x+l=(3x-l)(x-1),

故在‘巴￡|，(1，+8)單調遞增，［j單調遞減，

故在尤=1處取得極值.

故。=2；

(2)由(1)可知/(x)=/—2%2+%+/7.

當人=一2時，/(%)=/—2x2+x-2,/f(x)=3x2-4x+l,

所以-(0)=1，〃0)=-2,

所以在尤=0處的切線方程為y-(-2)=尤-0,即x-y-2=0；

(3)由(1)(2)可矢口，/'(X)=3X2-4X+1,

令尸(x)=3d—4x+l=0,得尤=1或x=；

1

X1(1,+co)

3

r(x)+0-0+

〃尤)單調遞增單調遞減”1)單調遞增

所以“X)在X=g處取得極大值，在尤=1處取得極小值，

故極大值為/QyQj-2x^J+|-2=-|^,

極小值為〃1)=F-2xF+l-2=-2.

【變式1】已知函數〃月=：/+/+(2°-1)%+。2-。+1若。=—1,則函數的極小值點是；若函數”X)

在(1,3)上存在唯一的極值點.則實數a的取值范圍為.

【答案】1(―7,-1)

【分析】①。=-1時，直接求導得到導函數，判斷導函數零點左右的正負即可得到極值點；②若函數〃x)

在(1,3)上存在唯一的極值點，則f\x)只有一個零點在(L3)內，結合為了'(X)的對稱軸可以更具體地得到

「⑴(0,〃3))0,解不等式組即可得出答案.

【詳解】①。=-1時，f(x)=^x3+x2-3x+3,/(x)的定義域為R,

/,(X)=X2+2X-3=(A:+3)(X-1),令廣(X)=0,得了=-3或1,

當xe(-co,-3)u(l,-H?)時，/'(%)>0；當xe(-3,l)時，f'(x)<0,

故函數/(x)的極大值點為-3,極小值點為1,

9

②/'(x)=%2+2x+2a-l,對稱軸為兀=_萬=_],

若函數/(X)在(1,3)上存在唯一的極值點，則r(x)只有一個零點在(1,3)內，

因為/'(X)的對稱軸為x=-1<1,所以廣⑴(0,廣(3》0,

即2。+2<0且14+2〃>0,解得一7<〃<1,

所以實數〃的取值范圍為(-Z-l),

故答案為：1；(-7,-1).

【變式2】已知函數=-2奴?+3x(。為常數)，曲線y=〃x)在點A(T,〃-1))處的切線平行于直

線8x-y-7=0.

⑴求函數〃元)的解析表達式；

(2)求函數“X)的極值.

【答案】(1"(尤)=:尤3-2/+3尤

4

(2)極大值為極小值為0

【分析】(1)求導，由/'(-1)=8求得。的值，得解；

(2)利用導數判斷單調性，求出極值.

【詳解］(1)根據題意，/(x)=f_46+3,貝!!/(_］)=4+4。=8,

解得a=l,

/(X)一2%2+3%

(2)由(1)(x)=d—4%+3=(x-1)(%-3),

令廣(力>0,解得％<i或%>3,

令r(x)<0,解得l<x<3,

所以當x<l或x>3時，”力單調遞增，當1<%<3時，"可單調遞減，

所以當彳=1時，y(x)取得極大值，極大值為/(i)=g,

當X=3時，/取得極小值，極小值為7(3)=0.

【變式3］已知函數/(x)=x(lnx-ox)有兩個極值點，則實數。的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】直接求導得r(x)=li?+l-2辦，再設新函數g(x)=lnx+l-2G,討論aW0和。>0的情況，求出函數

g(x)的極值點，則由題轉化為g(』)=ln4>。，解出即可.

2a2a

【詳解】f(x)=xlnx-ax2(x>0),/f(x)=Inx+1-,令g(%)=lnx+l-2ax,

v函數/(%)=%(1口工-以:)有兩個極值點，則g(x)=。在區間(0,+8)上有兩個不等實數根，

又g，(X)=T。

X

當aVO時,g'(x)>0,則函數g(x)在區間(O,+s)單調遞增,

因此g(x)=0在區間(0,+◎上不可能有兩個實數根，舍去，

當a>0時，令g'(x)=0,解得尤=」一,

2a

令/(x)>0,解得此時函數g(無)在jo,；］單調遞增，

2aV2a)

令g'(尤)<0,解得尤>工，此時函數g(x)在單調遞減，

2a［2。)

.?.當x時，函數g(x)取得極大值，

2a

當次趨近于0與X趨近于+8時，g(x)f-8,要使g(x)=。在區間(0,+8)上有兩個實數根，

2a2a2

實數a的取值范圍是(0,；).

故答案為：(0,；).

【題型三】含參討論單調性

【例1】設函數“x)=x+的i(l+x)(左10),直線/是曲線y=〃x)在點⑺)("0)處的切線.

⑴當上=一1時，求〃x)的單調區間.

【答案】⑴單調遞減區間為(-1,0),單調遞增區間為(0,+8).

【分析】(1)直接代入左=-1,再利用導數研究其單調性即可；

1Y

［詳解］(1)f(x)=x-ln(l+x),f\x)=1--——=——(X>-1),

1+尤1+無

當xe(-l,0)時，/(%)<0；當xe(0,+co),>0；

??J(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+⑹上單調遞增.

則/⑺的單調遞減區間為(-1,0),單調遞增區間為(0,+8).

【例2】設函數/(x)=x-x3e"+〃，曲線y=/(x)在點(1,7(D)處的切線方程為y=-x+1.

⑴求a,6的值；

(2)設函數g(x)=f'(無)，求g(x)的單調區間；

【答案】⑴a=T6=l

(2)答案見解析

【分析】(D先對求導，利用導數的幾何意義得到/(1)=0,/(1)=-1,從而得到關于匕的方程組，

解之即可；

(2)由⑴得g(x)的解析式,從而求得g'(x),利用數軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>。的解,由此求

得g(x)的單調區間;

【詳解】(1)因為/(x)=xr3ef,xeR,所以〃尤)=1一(3f+加)em+b

因為〃x)在QJ⑴)處的切線方程為y=-尤+1,

所以〃D=T+l=0,/，(D=-1,

l-l3xefl+i=0a=-l

則l-（3+a）e?=-l'解得

b=l

所以。二一1/=1.

(2)由(1)得g(x)=_f(x)=l—(3_一心肉"1(犬eR),

貝！|g'(x)=-x^x2-6x+6^ex+1,

令d—6元+6=0,解得尤=3土石，不妨設%=3—\/5,%=3+6，貝1]0<尤]<工2，

易知e-*+i>0恒成立，

所以令g'(x)<0,解得0<x<%或工>電；令g'(x)>0,解得x<0或不<x<Z；

所以g(x)在(0,%),(X，+°°)上單調遞減，在(-8,°)，(玉,多)上單調遞增，

即g(x)的單調遞減區間為(0,3-⑹和(3+石，向，單調遞增區間為(fO)和(3-63+⑹.

【變式1】已知函數〃尤)="一半4%?

cosX

⑴當。=1時，討論””的單調性；

【答案】⑴〃X)在(0母上單調遞減

【分析】(1)代入a=l后，再對/'(X)求導，同時利用三角函數的平方關系化簡((x),再利用換元法判斷

得其分子與分母的正負情況，從而得解；

(2)法一：構造函數g(x)=〃x)+sinx,從而得到g(x)<0,注意到g(0)=0,從而得到g'(0)<0,進而

得到a<0,再分類討論a=0與“<0兩種情況即可得解；

法二：先化簡并判斷得sinx-上用<0恒成立，再分類討論。=0,。<0與。>0三種情況，利用零點存在定

cosX

理與隱零點的知識判斷得。>0時不滿足題意，從而得解.

【詳解】⑴因為4=1,所以%,x/o,0,

cosx\2)

\Ycosxcos2x_2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

則/(x)=i----------------L------—=i-------§------

cosXcosX

cos3x-cos2x-2(l-cos2x)cos3x+cos2x-2

33

COSXCOSX

令，=COSX,由于所以，=COSX￡(0,1),

所以cos3x+cos2x_2=/+/—2=/一/+2產-2=/?—1)+2?+1)?—1)=(，2+2/+2)(，一1),

因為?+2/+2=(，+1)2+1>。，r-l<0,cos3x=t3>0,

所以尸(x)=c°s晨+C*x-2<0在［o5］上恒成立，

COSXV2/

所以〃x)在(0，?上單調遞減.

【變式2】已知函數/(x)=a(e*+o)-x.

(1)討論〃x)的單調性；

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導，再分類討論aW0與a>0兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解;

【詳解】(1)因為/(x)=a(e'+a)-x,定義域為R,所以/'(x)=ae-1,

當aV0時，由于e，>0,貝!Jae，40,故尸(x)=ae*-l<0恒成立，

所以在R上單調遞減；

當。>0時，令八x)=ae"-1=0,解得x=-lna,

當x<—Ina時,_f(x)<0,則在(f,-Ina)上單調遞減;

當Ina時，f^%)>0,則在(—Ina,―)上單調遞增；

綜上：當aWO時，/(x)在R上單調遞減；

當a>0時，/(X)在(-co,-lna)上單調遞減，/(X)在(-ln",+co)上單調遞增.

【題型四】恒成立求參

【例1】已知函數〃x)=￥，若在(0,+力)上恒成立，則實數機的取值范圍是

【答案】(1,+少)

【分析】構造函數g(無)=/")+/,研究其單調性，求g(x)的最大值即可.

【詳解】則相>〃x)+：在(0,+%)上恒成立，

令g(x)=/(x)+)=如尤+1，則g<x)=W^,

XXX

則g'(x)>0得0<x<l,g'(x)<0得x>l,

則g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

則g(x)1mx=g(l)=L故

則實數機的取值范圍是(1,+s).

故答案為：(1,+8).

【例2]已知函數”x)=e￡-ar-l,g(x)=xlnx.

⑴若〃x)存在極小值，且極小值為-1,求〃；

⑵若求”的取值范圍.

【答案】⑴e

(2)(-a),e-l]

【分析】(1)求導，判斷函數的單調性，結合極小值為-1求解;

(2)將不等式/(尤)2g(尤)分離參數，得0上-xlnx-1,設夕⑴=吐血匚，%>0,利用導數求出

XX

最值即可.

【詳解】(1)f\x)=Qx-a,XGR,

當a?0時，/(%)>0,所以函數無極值，

當〃〉0時，由r(x)=e*-a=0,得x=lna,

當工<lna時，當x>lna時，/,(%)>0,

所以“可在In。)上單調遞減，在(Ina,+”)上單調遞增，

所以/⑴的極小值為=a-a\na-l=-l1解得a=e.

(2)由得e*—ax—12xlnx,即—,%>0,

x

設夕(x)=e，-xlnx-l,工>0,則心)=『).

xx"

當xe(O,l)時,<p'(x)<0,即0(x)在(0』)上單調遞減,

當xe(l,+oo)時，9'(x)>0,即無)在(1,+8)上單調遞增，

所以°(x)20(l)=e-l,貝UaVe—1,

所以a的取值范圍為(-8,e-1].

【變式1】已知對于任意的xeR,存在％>0,使得不等式m,+?72左(％-1)恒成立，則實數機的取值范圍

為.

【答案】［-e,+oo)

【分析】令〃x)=xe*+〃LMx—l),則尸(x)=(x+l)e=3令八⑺=(%+1戶一發，利用導數求出函數可力

的單調區間，從而可求出函數力⑺的零點，進而求出/'(%)的符號分別情況，即可求出函數〃元)的單調區

間，進而求出〃尤)即可得解.

【詳解】^f(x)=xe+m-k(x-\),貝^'(x)=(x+l)e「無，

令/i(x)=(x+l)e*-左，則〃(x)=(x+2)e”,

當x<-2時，〃(x)<0,當x>-2時，〃(x)>0,

所以函數可力在(-j-2)上單調遞減，在(-2,也)上單調遞增，

所以又人(一1)=一左<0,

且當x<-l時，萬(無)<0,當X-+8時，/z(x)>0,

即=_左<0,

且當x<-L時，/(%)<0,當x-+8時，/(%)>0,

所以存在唯一使得/(%)=0,所以上=(%+l)e%,

故當x</時，f'(x)<0,當X〉不時，/,(x)>0,

所以函數/(x)在(—，飛)上單調遞減，在(七,”)上單調遞增，

所以/(x)*=/)=%e加+m-k(x0-i)=+m-(^+1)(x0-1)

=??一(x；-x0-l)e領>0,

令g(尤)=12_*_1卜，,彳€(-1,+00),

貝Ig'(x)=(x2+x-2^ex=(x+2)(x-l)ex,xe(-l,+oo),

當一1<尤<1時，g'(x)<0,當尤>1時，g'(x)>0,

所以函數(-U)上單調遞減，在。,也)上單調遞增，

所以=

所以〃后-e,

所以實數用的取值范圍為［-e,+8).

故答案為：［-e,+co).

【變式2】已知函數〃x)=g-a(lnx+a).

(1)討論的單調性；

(2)當。<0時，/(x)>(a-l)ln(-a),求實數。的值.

【答案】⑴答案見解析

(2)a=-l

【分析】(1)對函數/(X)求導，分別討論，當aNO以及當a<0時，導函數/'(X)的正負情況，從而得到函

數的單調區間；

(2)由(1)得，當a<0時，〃力神=疝1(一4)—0一/,則要使不等式成立，即需使

不等式〃+。-111(-4)(。成立，令gS)=/+aTn(-a),利用導數分析函數g(a)的單調性，從而得到

g(a)N0恒成立,故若要使則/(x)=(a-l)ln(—a),從而求得。的值.

【詳解】(1)因為〃尤)=g-a(lar+a),定義域為(0,+e),

求得/(尤)=4，=_竺±

XXX

所以，當°20時，/'(x)40成立，此時“X)在(0,+e)上單調遞減；

當av0時，

/'(x)<0,在(0,-［上單調遞減；

/(%)>0,/(x)在卜：,+”］上單調遞增.

/("在1°，一上單調遞減，在上單

綜上：當a20時，在(0,+力)上單調遞減；當。<0時,

調遞增.

(2)由(1)得，當a<0時,

要使不等式/(x)2(a-l)ln(-a)成立，即需使不等式aln(-a)-。一/".一口儂-。)成立，即不等式

/+a-In(-a)V0成立，

令g(a)=〃+a-ln(一a),a<0,則g[a)=2.+1-L2a+.T=(2al)(a+l),

aaa

令/㈤>0,J!!]-1<a<0；令g'(a)<0,則ac-1；

所以g(a)在(-8,-1)上單調遞減，在(TO)上單調遞增，

所以g(a)1nto=g(-l)=(-l)2-l-lnl=0,則g(a)20恒成立，

所以當a<0時，〃x)W(a-l)ln(-a)恒成立，

若/(%)>(<7-1)In(-G),則/(x)=(a-l)ln(-a),

所以〃=—1.

【題型五】能成立求參

【例1】若函數/(司=^+依存在單調遞減區間，則實數。的取值范圍是.

【答案】(一8,-1)

【分析】由題意可知3eR,使得/'(司=1+。一工<。成立，則。<卜一1)1^,利用導數求出函數8(“=》一]

的最大值，即可得出實數。的取值范圍.

【詳解】函數〃x)的定義域是R,則/'(x)=e'+a-x.

若〃x)存在單調遞減區間，即HxeR,使得/'(x)=ex+o-x<0成立，貝(無-e).

令g(x)=x-e"則g〈x)=l-e*,

令/⑺>0,解得x<0,令/⑺<0,解得x>0,

故g(x)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+")上單調遞減，故g(x)a=g(O)=T，故a<T.

故答案為：

【例2】已知函數〃x)=e工+2任+?1%+m)

⑴當〃z=-1時，求/(無)的極值；

(2)若存在xe[-2,0],使得〃同〈三，求機的取值范圍.

【答案】⑴極大值為5,極小值為-e3

(2)(一8,0]g,+coj

【分析】(1)結合導數分析函數/(x)的單調性，進而求解極值；

(2)求導，分加>2,0<m<2,三種情況分析求解即可.

【詳解】(1)當m=一1時，f(x)=eJ+2(x2-x-l),

則/'(x)=e>2(%2-x-l)+ex+2(2x—1)=e>2(%+2)(x-l),

令/'(尤)<0,得—2<x<l；令/'(x)>0,得x<—2或x>l,

所以函數/(x)在(―,-2)和(1,■)上單調遞增，在(-2,1)上單調遞減，

則％=-2時，函數/⑺取得極大值"-2)=5,

x=l時，函數取得極小值了⑴一口

(2)由/(x)=e"+2(%2+痛+m)，XG［-2,0］,

則/'(%)=qX+2，+mx+川+ex+2(2x+m)=e%+2(x+m)(x+2),

當機52時，—mG—2,此時/(九)之0,函數“力在［—2,0］上單調遞增，

則“X)1nhi=〃-2)=4-mV葭，即心%

當0<相<2時，一2v-m<0,

貝！JXE［-2,—m］時，/r(x)<0；九w［一m,0］時，/r(x)>0,

則函數"%)在［-2,-m］上單調遞減，在［-m,0］上單調遞增，

則/(x)min=/(―加)=根。一M4￡，即m22+ln2,與。<機<2矛盾，不符合題意；

當機V0時，-加>0,此時函數/(x)在［—2,0］上單調遞減，

則〃》).="°)=屐*￡，即e2N：恒成立，符合題意?

綜上所述，加的取值范圍為(-應。］|,+/］.

【變式1］已知函數"x)=x+eT,若存在實數x,使得〃”=依成立，則實數。的取值范圍為()

A.(-8,1-e］B.(1,+8)

C.(l-e,l］D.(-a?,l-e］u(l,+<x))

【答案】D

【分析】先求導函數得出函數的單調性得出函數值范圍計算即可求參.

【詳解】因為函數/(司=%+葭，若存在實數%,使得〃力=必成立，

當x>0時，存在x+e-"=ax,所以Q=1H---7>1；

xe

當％=0時，0+e-。=axO不成立；

當x<0時，存在犬+匕一"=0￥,所以〃=1~1---成立，

xe

1-(x+l)ex

令y=i+r，y=/》\2，

xe(立)

當％￡(—3,—1),)/>0產=1+占單調遞增；

當工￡(―1,0),y<0,y=1+—^7單調遞減；

所以x=—l時，ymax=l—e,九—一OO,y--OO,%f0,>f—8,所以〃(1一。；

綜上得：〃Vl—e或。>1.

故選：D.

【點睛】方法點睛：解題的方法是分類討論x>。"=0,犬<0三種情況結合函數值域及導函數求參單調性計

算求解即可.

【變式2】已知函數〃x)=e-1.

⑴當“X)在(。,0)處的切線是尸。時，求“X)的單調區間與極值；

(2)若/(%)</在xe(0,+“)上有解，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)減區間(—,0),增區間(。,+8),極小值0,無極大值.

(2)[e-2,+oo)

【分析】(1)根據切線求得。，利用導數求得了(X)的單調區間與極值.

(2)由不等式/(尤)4/分離參數。，然后利用構造函數法，結合導數來求得。的取值范圍.

【詳解】(1)f\x)=e-a,

若/(%)在(0,0)處的切線是y=o,

貝尸(0)=1-a=0,a=1,

貝=—"(x)=ey,

所以/(x)在區間(—,。)上r(x)<0,〃x)單調遞減；

在區間(0,+巧上/(X)>O,/(x)單調遞增，

所以在無=0處取得極小值"0)=0,無極大值.

(2)依題意，/(x)=e，—辦一14爐①在xe(0,+8)上有解，

①可化為。-3-1

X

設8(町=吐—(%>0),

g，(x)=

由(1)知/(x)=e-x-120,當且僅當x=0時函數值為0,

所以在區間(0,1),，(%)<0,8(乃單調遞減;

在區間(1,+8),g'(x)>0,g(x)單調遞增；

所以g(x)\g6=e-2,

所以a的取值范圍是［e-2,+co).

【題型六】零點問題

【例1】已知函數/(x)=(x+l)e，

⑴判斷函數的單調性，并求出/(%)的極值；

(2)畫出函數的大致圖像并求出方程〃力=。的解的個數.

【答案】⑴單調遞減區間為(f，-2),單調遞增區間為(-2,+s),極小值”x)=-3；

(2)當—^時，/(x)=。有。個解；當a=—^或a20時，有1個解；當—^<a<0時，f(%)=a

有2個解.

【分析】(1)直接對于/(x)求導，判斷單調性，進而求解極值；(2)由(1)的單調性與極值，最值，畫

出函數圖像，利用數形結合求出/(力=。的解的個數.

【詳解】(1)由題意可知，“X)的定義域為

貝=ev+(x+l)ex=(x+2)e*,

令/'(x)=0,則x=-2,

當x<—2時，r(x)<0,則/(元)單調遞減，

當x>—2時，/'(力>0,則/(x)單調遞增.

所以故為小值⑺寸(-2)=Y-2；

(2)由(1)可知作出函數圖像，

由圖，當時，方程/的解個數為。個；

當〃或a?0時，方程/(x)=a的解個數為1個；

當-，<a<0時，方程的解個數為2個.

【例2】函數/(力=2城—3加+1有三個零點，則。的取值范圍為()

A.a>\B.a>2C.a<\D.a<0

【答案】A

3

【分析】根據條件，將問題轉化成y=a與g(x)=U9v*+1■有三個交點，再利用導數與函數單調性間的關系,

33

求出g(x)=/2rF+1的單調區間，進而可得出g(x)=^2rJ+1的圖象，數形結合，即可求解.

【詳解】因為/(司=2三一3依2+1,易知”0)=1片0,所以。不是/(x)零點,

7r3-I-17r3-4-1

令/(x)=0,即2J一36?+1=0,得至令y=。，g(x\=±^,

3x2v73x2

則”\_6—"*-(24+1)2%_2犬-2彳_2/-2_2(%-1乂.+尤+1)

'&⑺=37=3x4==3^=’

易知d+x+l>0恒成立，由g'(x)=。，得到x=l,

當xe(-oo,0)時，g'(x)>0,xe(0,l)時，g'(x)<0,xe(l,+oo)時，g\x)>0,

所以g。)在(-與。)單調遞增，(0J)單調遞減，(1,+◎單調遞增，

又易知，當XW(-8,0),且Xf-8時，g(x)f-oo,x.0時，g(x)f+8,

當xe(O,l)時，x—0時，g(x)-??,且g(l)=§=l,

2r3+

當xw(l,+oo)時，X—+00時，g(x)—+?,所以g(x)=N~91的圖象如圖所示，

由題知與g(x)=-^1有三個交點，所以

故選：A.

4

【變式1】若函數/(刈=加_/+4,當x=2時，函數/(尤)有極值關于x的方程/。)=兀有三個不等

實根，則實數上的取值范圍是.

…【答…案】卜C4門28、

4

【分析】根據當x=2時，函數/'(x)有極值求得/(x)的解析式，利用導數法，作出函數/'(x)的圖象求

解.

【詳解】由題意可知，f'(x)=3ax2-b,

了(2)=12a-b=01

Cl=一1

/、4，解得＜3經檢驗，a=-,6=4符合題思.

/(2)=8tz—2Z?+4=——b=43

故所求函數“X)的解析式為了⑺=$3-4x+4.

貝!1/'(x)=f—4=(x—2)(x+2).令(x)=0,得x=2或x=—2,

當X變化時，/'(X),"X)的變化情況如表，

X-2(-2,2)2(2,+8)

r(x)+0-0+

28_4

7171

/(x)T-3

no4

團當x=—2時，“X)有極大值三；當x=2時，“X)有極小值-半

則函數〃尤)的圖象如圖所示：

由圖象知：要使關于/(%)=上的方程有三個不等實根，

貝壯應滿足-；4＜%＜2§8.

33

即實數A的取值范圍是

故答案為：—與］

【變式2】已知函數/(x)=a(e'+?)-x-2.

⑴求函數/(x)的單調區間；

⑵若函數/(x)有兩個零點，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

(2)(0,1)

【分析】(1)求導，再分和。＞0兩種情況討論即可;

（2）由（1）知，要使函數人司有兩個零點，則。〉0,則/（%）而n<°，進而可得出答案?

【詳解】（1）/（%）=比=1,

當aWO時，/f（x）<0,

所以函數/（%）在單調減區間為（",”），

當a〉0時，令/'（%）v0,則九<ln,，令/'（x）>0,則1〉In',

aa

所以函數/（尤）的單調增區間為卜n:,+co］,單調減區間為

綜上所述，當“WO時，/（x）在單調減區間為（7,口），沒有增區間；

當a>0時，函數〃x）的單調增區間為，：,+，!，單調減區間為［*ln￡］；

（2）由（1）知，要使函數“X）有兩個零點，則。>0,

2

當a>0時，/（^）min=/^ln^=lna+a-l,

又當九——00時，/（%）=。3+〃2_九_2_+00,當Xf+oo時，/（無）—+00,

因為函數/（%）有兩個零點，

所以“X）1nM=/，n￡|=lna+a2_l<°,

令/z（a）=lnq+a2-1,

因為函數n=皿。,、=。2-1在（0,+8）上都是增函數，

所以函數人（。）在（0,+8）上是增函數，

又因為M1）=0,

所以不等式刈。）=姑。+4-1<0的解集為ae（O,l）,

所以實數。的取值范圍為（0,1）.

【變式3］已知函數/（xbsinx+ax2.

⑴若。=；，求〃x）在（0,%）上的值域；

（2）若。40,求“X）在（0,兀）上的零點個數.

【答案】（1）［。,］］

⑵答案見解析；

【分析】（1）多次求導后，可判斷f（x）在（0,兀）上單調遞增，據此可得值域;

（2）a<0時，多次求導后，可得在（0,天）上單調遞增，在（品,兀）上單調遞減，其中/'（飛）=0,然后

由零點存在性定理可得答案.

【詳解】（1）時，/（x）=sinx+^-x2,此時/<x）=cosx+x,

令g（x）=If（x）,XG（O,7I）.

則g'（x）=l—sinx20,則g（x）=/'（x）在（0,兀）上單調遞增,

則尸（x）>廣（0）=1,故f（x）在（0,7i）上單調遞增,

則/（x）e（“。）"（兀））=[。彳；

（2）由題/'（龍）=85尤+2依，令/z（x）=cosx+2ox,xe（0,7t）.

貝!]〃'（x）=-sinx+2a,xe（0,7i）,sinxG（0,1],

4=0時，〃x）=sinx,根據正弦函數性質知在（0㈤上的零點個數為0；

“<0時，所以/?'（x）=—sinx+2a<0,

故h（x）=/（x）在（0㈤上單調遞減.

又廣（0）=1>0,r（r）=2.-1<0,貝I]現e（o,7t）,使/（飛）=0.

則/'（x）>0nxe（0,%）；/,（x）<0=>xe（^,7t）,

故〃x）在（0,為）上單調遞增，在伉㈤上單調遞減.

又注意到，/（0）=0,結合〃x）在（0,5）上單調遞增，

則》€（0,不）時，/（x）>0,/（x0）>0,又/㈤=頌2<0,

結合〃x）在（用㈤上單調遞減.則存在玉e（x0,7i）,使〃玉）=0.

綜上，當a=0時，”力在（0,兀）上的零點個數為0,

當。<0時,/⑴在（0㈤上的零點個數為1.

【題型七】隱零點問題

【例1】已知函數〃x）=lnx.

⑴求函數y=/（x）r的單調區間；

（2）求證：函數g（x）=e，-e"（x）的圖象在無軸上方.

【答案】（1）單調遞增區間為（0,1）,單調遞減區間為（1,內）；

（2）證明見解析.

【分析】（1）求y',根據V正負即可求y的單調區間；

(2)求g'(x),根據g，(x)零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.

11—Y

【詳解】(1)yf=—i=——(%>0),

XX

令y'=。則x=i.

當Ovxvl時，y〉o,???函數在(0,1)上單調遞增；

當時，y<o,?,?函數在(1,內)上單調遞減.

即y="X)-%的單調遞增區間是(0,1),單調遞減區間是(1,+8)；

(2)g(x)=ex-e2Inx(x>0),

2

e

g'(%)=e*---，易知g'(x)單調遞增，

x

22

Xg,(l)=e-e2<0,g<2)=e?-今=彳>0,

在(0,+co)上存在一個％e(1,2),

e2e2

使得：g'(xo)=e"°——=0,即：e*0=—,且ln%=-Xo+2,

飛飛

當xe(O,尤0),有g'(x)<O,g(x)單調遞減；

當xe(%+oo),有g'(x)>O,g(x)單調遞增.

1622A+2

g(x)>g(x0)=e—e21nxo=-+ex0-2e=―~~~°e>0,

/

g(x)=e1—e2Inx>0,

函數g(x)=er-e2f(x)的圖象在x軸上方.

【點睛】本題考查隱零點，關鍵是判斷g'(x)單調，且g'⑴<0,g'(2)>0,由此得出在(1,2)之間g'(x)存在

零點%,據此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.

【例2】已知函數/(x)=ln尤+。.

⑴若曲線y=在處的切線經過點(0,1)