第27講機械振動

理好一切德-餒習(xí)自標

考點一簡諧運動的規(guī)律

戒舟二切己?樸先基礎(chǔ)考點二簡諧運動的圖象

考點三單擺周期公藥吃啊

考點四受迫振動和共振的應(yīng)用

模好三摒死?出題幡析

題型1簡潛運動中各物理量的分

析

題型2對簡諧運動圖像

崔由四柳惠?題型《練題型3彈簧振子模型

題型4單擺模型

題型5受迫振動和共振規(guī)律

題型6實際生活中的受迫振動和共振

知坡?夏力。林

1.知道簡諧運動的概念，理解簡諧運動的表達式和圖象.

2.知道什么是單擺，知道在擺角較小的情況下單擺的運動是簡諧運動，熟記單擺的周期公式.

3.理解受迫振動和共振的概念，掌握產(chǎn)生共振的條件.

知3?有實知M

考點一簡諧運動的規(guī)律

簡諧運動的運動規(guī)律：x=Asin(Of+9)

(1)變化規(guī)律

"回復(fù)力、加速度增大

速度、動能減小］

位移增大時〈.皿—一機械能守恒

勢能增大

I振幅、周期、頻率保持不變

(2)對稱規(guī)律

①做簡諧運動的物體，在關(guān)于平衡位置對稱的兩點，回復(fù)力、位移、加速度具有等大反向的關(guān)系,

另外速度的大小、動能具有對稱性,速度的方向可能相同或相反.

②振動物體來回通過相同的兩點間的時間相等，如加C=/C3；振動物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長

的兩線段的時間相等，如tBC=tB，C,如圖所示.

CB'OBC

（3）運動的周期性特征

相隔丁或幾下的兩個時刻振動物體處于同一位置且振動狀態(tài)相同.

提秘?創(chuàng)題樣析

[例題1]（2024春?廬江縣期中）一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風(fēng)浪較大，游船上下浮動。

可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20cm,周期為60s。當船位于最高點時，甲

板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒服地登船。在一個周期

內(nèi)，游客能舒服登船的時間是（）

A.2.0sB.2.5sC.3.0sD.4.0s

【解答】解：把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，從船上升到最高點時計時，其振動方程為

.2TT.

y=Acos-^-t

代入數(shù)據(jù)得y=20cos^t（cm）

當y=10cm時，可解得t=1.0s

故在一個周期內(nèi)，游客能舒服登船的時間為t^=T-4t=6s-4Xls=2s

綜上分析，故A正確，BCD錯誤。

故選：Ao

[例題2]（2024?二模擬）如圖所示，一個質(zhì)量為m的物塊，左端與輕彈簧栓接，輕彈簧的另一端固

定在墻上的O點，物塊和地面間的動摩擦因數(shù)為皿現(xiàn)用手按住物塊靜止于A點，讓彈簧處于

壓縮狀態(tài)。某時刻釋放物塊，物塊向右運動，在M點（圖中未畫出）獲得最大速度vi,到最右

端B點（圖中未畫出）后，再向左運動，在M'點（圖中未畫出）獲得向左運動的最大速度V2,

C點（圖中未畫出）時速度減為。并保持靜止狀態(tài)。物塊向右運動的時間為ti,向左運動的時

間為t2,設(shè)最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小，則關(guān)于兩個過程下列說法正確的是（）

owwwR

//////Z////////////////////////Z///Z

A

A.M點和M'點在同一位置

B.兩個階段的時間滿足tl=t2

C.兩個階段最大速度滿足VI<V2

D.C點在M點左側(cè)

【解答】解：A、M點和M'點都處于各個階段速度最大的位置，說明在這兩個位置受力平衡,

受力分析如圖所示

因此這兩個點一個在彈簧壓縮位置，一個在彈簧拉伸位置，則這兩個點不可能在同一位置，故A

錯誤；

C、在從M點到M，點的過程中，彈性勢能沒有發(fā)生變化，但由于摩擦消耗了機械能，根據(jù)能量守

恒可知動能減小，故速度V1>V2,故C錯誤；

D、物塊運動到C點后，保持靜止，說明C位置向右的彈力小于最大靜摩擦力，則C位置應(yīng)該在

M點的右側(cè)，故D錯誤；

B、兩個階段均受到大小恒定的滑動摩擦力的作用，可類比豎直方向上的彈簧振子，將滑動摩擦

力看作重力，因此向右和向左的運動可分別看作簡諧運動，簡諧運動的周期沒有發(fā)生變化，因此

ti=t2,故B正確。

故選：Bo

[例題3]（2024?貴州模擬）一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點，振幅為0.1m,t=。時

振子的位移為-0.05m,沿x軸正方向運動；t=0.5s時位移為0.05m,沿x軸負方向運動，則

（）

1

A.振子的周期可能為3s

B.振子的周期可能為|s

C.振子的周期可能為9s

6

D.振子的周期可能為2s

【解答】解：t=0時刻振子的位移x=-0.05m,t=0.5s時振子的位移x=0.05m,且沿x軸負方

向運動，根據(jù)振幅A=0.1m再結(jié)合位移一時間關(guān)系圖象，有t=*+riT（其中n=0,1,2,3,

4…)

解得：T=京=京1=焉

當n=0時，T=ls；當n=l時，T=卜；當n=2時，t=^s,故A正確，BCD錯誤。

故選：Ao

考點二簡諧運動的圖象

1.簡諧運動的圖象

圖象

橫軸表示振動時間

縱軸表示某時刻質(zhì)點的位贅

物理意義表示振動質(zhì)點的位移隨酎晅的變化規(guī)律

2.振動圖象的信息

(1)由圖象可以看出振幅、周期.

(2)可以確定某時刻質(zhì)點離開平衡位置的位移.

(3)可以根據(jù)圖象確定某時刻質(zhì)點回復(fù)力、加速度和速度的方向.

①回復(fù)力和加速度的方向：因回復(fù)力總是指向平衡位置，故回復(fù)力和加速度在圖象上總是指向t軸.

②速度的方向：速度的方向可以通過下一時刻位移的變化來判定，若下一時刻位移增大，振動質(zhì)點

的速度方向就是遠離/軸，若下一時刻位移減小，振動質(zhì)點的速度方向就是指向/軸.

探科-創(chuàng)題程析

[例題4](2024?廣州一模)某質(zhì)點做簡諧振動，其位移x與時間t的關(guān)系如圖，則該質(zhì)點()

A.振動頻率為4Hz

B.在A點速度最大

C.在B點加速度最大

D.在0?3s內(nèi)通過路程為12.0cm

【解答】解：A、由圖讀出周期T=4s,則頻率f另?Hz,故A錯誤；

BC、在A點時質(zhì)點的位移最大，則由F=-kx知合外力最大，加速度最大，速度最小，在B點

時，質(zhì)點的位移為零，則由F=-kx知合外力為零，加速度為零，速度最大，故BC錯誤；

D、由圖讀出振幅為A=2cm,在0?3s內(nèi)通過路程為s=3A=3X4cm=12.0cm,故D正確。

故選：D。

[例題5]（2024?成都開學(xué)）如圖甲，水平彈簧振子的平衡位置為O點，振子在B、C兩點之間做簡

諧運動，規(guī)定水平向右為正方向。圖乙是振子做簡諧運動的x-t圖像。下列說法正確的是（）

甲乙

A.振子從C點經(jīng)過O點運動到B點為一次全振動

B.圖乙中的P點時刻，振子的速度沿正方向

C.振子的振動方程為x=0.1sin（2nt+竽）小

D.振子在前1.5s內(nèi)的位移大小為0.2m

【解答】解：A、振子從C點經(jīng)過O點運動到B點后，再由B經(jīng)過O點回到C為一次全振動，

故A錯誤；

B、圖乙中的P點時刻，振子正在向負向位移最大處運動，其速度沿負方向，故B錯誤；

Q-TT7TT

C、由圖乙可知,振子的振幅為A=0.1m,周期為T=ls,則圓頻率為3=下=—rad/s=2nrad/s,

規(guī)定水平向右為正方向，初相位為例=皆

則振子的振動方程為：x=Asin（wt+cpo）=O.lsin^nt+^'）m,故C錯誤；

D、t=0時刻振子位于B點，因t=1.5s=^r,故t=1.5s時振子位于C點，故位移大小為2倍的

振幅，等于0.2m,故D正確。

故選：D。

[例題6]（2024?棗強縣校級開學(xué)）兩個彈簧振子甲、乙沿水平方向放置，其振動圖像如圖所示，則

A.甲、乙兩彈簧振子的頻率之比為1：2

B.t=2s時甲具有負向最大加速度

C.t=2s時乙具有正向最大位移

D.t=4s時甲、乙兩彈簧振子的速度方向相同

【解答】解：A、如圖所示，得甲的周期為丁甲=4s

乙的周期為T乙=8s

T甲1

代入數(shù)據(jù)解得;^=-

T乙2

由關(guān)系式f=/

fm2

聯(lián)立解得==-

f乙1

故A錯誤；

B、t=2s時，甲在平衡位置處，回復(fù)力為零，得加速度為零，故B錯誤；

C、t=2s時，乙速度為零，在正向最大位移處，故C正確；

D、t=4s時，甲、乙都處于平衡位置，具有最大的速度，但甲在下時刻位移為正，即甲向正向運

動，此時速度方向為正，而乙在下時刻位移為負，即乙向負向運動，此時速度方向為負，得甲、

乙兩彈簧振子得速度方向相反，故D錯誤。

故選：Co

考點三單擺周期公式的應(yīng)用

1.受力特征：重力和細線的拉力

(1)回復(fù)力：擺球重力沿切線方向上的分力，F(xiàn)=mgsin9=一臂x=—kx,負號表示回復(fù)力方與位移工

的方向相反.

(2)向心力：細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力充當向心力，/向=?一mgcos0.

特別提醒①當擺球在最高點時，F(xiàn)『又=0,FT=mgcos3.

27

②當擺球在最低點時，F(xiàn)向=/向最大，F(xiàn)y=mg+nr^.

2.周期公式：T=2雄，尸!心

4兀2/

(1)只要測出單擺的擺長/和周期T,就可以根據(jù)g=亍，求出當?shù)氐闹亓铀俣萭.

(2)/為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離，要區(qū)分擺長和擺線長，懸點實質(zhì)為擺球擺動所在圓

弧的圓心.

(3)g為當?shù)氐闹亓铀俣?

［提移?例題特析

考點四受迫振動和共振的應(yīng)用

1.受迫振動

(1)概念：振動系統(tǒng)在周期性處力作用下的振動.

(2)特點：受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率,跟系統(tǒng)的固有頻率無關(guān).

2.共振

(1)現(xiàn)象：當驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時,受迫振動的振幅最大.

(2)條件：驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率.

(3)特征：共振時振幅最大.

(4)共振曲線：如圖所示.

3.自由振動、受迫振動和共振的關(guān)系比較

振動

自由振動受迫振動共振

項目

受力情況僅受回復(fù)力受驅(qū)動力作用受驅(qū)動力作用

由系統(tǒng)本身性質(zhì)決由驅(qū)動力的周期或頻

振動周期或頻率定，即固有周期To或率決定，即T=T驅(qū)或/T驅(qū)=7b或f驅(qū)=fi)

固有頻率加=/驅(qū)

振動物體的機械能不由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體振動物體獲得的能量

振動能量

變提供最大

彈簧振子或單擺機械工作時底座發(fā)生共振篩、聲音的共鳴

常見例子

（0<5°）的振動等

提秘?例題樣析

[例題7]（2024春?永川區(qū)校級期中）如圖所示，甲、乙兩小球都能視為質(zhì)點，小球甲在豎直面內(nèi)擺

動的周期為T,懸線長為L；小球乙在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，懸點為O1、軌跡圓圓心為02。

下列說法正確的是（）

甲

A.小球甲的向心力由合力來充當

B.小球甲的向心力由懸線拉力來充當

C.小球乙的向心力由懸線拉力來充當

D.小球乙的向心力由合力來充當

【解答】解：AB、擺球甲做單擺運動，在運動的過程中受到的重力與懸線的拉力的合力沿軌跡切

線方向的分量提供回復(fù)力，而重力與懸線的拉力的合力沿繩子方向的分量才提供向心力，故AB

錯誤；

CD、乙球在水平面內(nèi)做圓錐擺運動,重力與懸線的拉力的合力提供沿水平方向指向圓心的向心力,

故C錯誤，D正確。

故選：D。

[例題8]（2024?順義區(qū)二模）如圖甲所示，O點為單擺的固定懸點，將力傳感器固定在O點。現(xiàn)將

擺球拉到A點，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)的A、C之間來回擺動，其中B點為運動過程中

的最低位置。圖乙表示擺球從運動至A點開始計時細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖

像，重力加速度g取lOmH。（）

A.單擺的振動周期為0.2ns

B.單擺的擺長為0.1m

C.擺球的質(zhì)量為0.05kg

D.擺球運動過程中的最大速度0.08m/s

【解答】解：A.由乙圖，結(jié)合單擺的對稱性可知，單擺的周期為0.4ns,故A錯誤;

B-由單擺周期公式T=2嶗

得L=W

代入數(shù)據(jù)得L=0.4m,故B錯誤;

CD.由乙圖和牛頓運動定律得小球在最高點有mgcosQ=0.495

2

在最低點有0.510—mg=華

LJ

從最高點到最低點，由動能定理得7ngL（l-cos。）=

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得m=0.05kg,v-0,2V2m/s

故C正確，D錯誤。

故選：Co

［例題9］（多選）（2024?濰坊二模）如圖所示，傾角為a的斜面固定在水平面上，一根不可伸長的

輕繩一端連接在置于斜面的物體a上，另一端繞過光滑的定滑輪與小球b連接，輕繩與斜面平

行，定滑輪到小球b的距離為L。用手按住物體a不動，把小球b拉開很小的角度。（。＜5。）

后釋放，使小球b做單擺運動，穩(wěn)定后放開物體a。當小球運動到最高點時，物體a恰好不下

滑，整個過程物體a始終靜止。忽略空氣阻力及定滑輪的大小，重力加速度為g。下列說法正確

的是（）

/〃〃〃〃/〃

A.小球b多次經(jīng)過同一位置的動量可以不同

B.小球b擺到最低點時，物體a受到的摩擦力一定沿斜面向下

C.物體a與斜面間的摩擦因數(shù)|i=tana

D.物體a受到的摩擦力變化的周期T=n

【解答】解：A、小球6多次經(jīng)過同一位置的速度方向可以不同，所以動量可以不同，故A正確；

B、小球b在任意位置受到重力和拉力，重力的垂直于繩的分力提供了回復(fù)力，沿繩方向有：T=

mgcosa,當擺角最大時，拉力最小，此時〃受到的摩擦力方向沿斜面向上，小球。擺到最低點時，

拉力增大，此時〃受到的摩擦力方向一定沿斜面向上，摩擦力大小會減小，故B錯誤；

C、因為當小球運動到最高點時，物體〃恰好不下滑，則有：F+fm=mgsina,所以有：mgsina>

limgcosa,解得：|i<tana,故C錯誤；

D、物體a受到的摩擦力變化的周期是單擺的周期的一半，即有：7=，壁=兀/，故D正確。

故選：ADo

解惑?題型有繪

題型1簡諧運動中各物理量的分析

1.（2024?臺州二模）控制噪聲的基本原則是設(shè)法將噪聲的能量轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，如圖所示

是一種利用薄板消除噪聲的方法。將薄板安放在框架上，并與框架之間留有一定的空氣層，當

聲波入射到薄板上時，引起板的振動。由于板本身的內(nèi)耗使振動的能量轉(zhuǎn)化為熱量。改變薄板

的材料和空氣層的厚度，可有效消除不同頻率的噪聲。下列說法正確的是（）

A.薄板振動頻率始終與入射聲波的頻率相等

B.隨著入射聲波頻率的增加，薄板振動的幅度一定增大

C.當噪聲停止后，薄板振動頻率仍等于原噪聲頻率，但振幅減小

D.該系統(tǒng)可有效消除的噪聲頻率范圍在其可調(diào)節(jié)的共振頻率之間

【解答】解：A.薄板振動穩(wěn)定后的頻率與聲波頻率相同，初始沒有達到穩(wěn)定時不同，故A錯誤;

B.薄板的振幅在入射聲波的頻率與薄板的固有頻率相同時，二者共振，振幅最大，其它頻率的聲

波，薄板的振幅可能會增大，也可能會減小，故B錯誤；

C.當噪聲停止后，薄板振動逐漸不穩(wěn)定至振動停止，此時頻率與原噪聲頻率不同，故C錯誤；

D.只有當噪聲頻率范圍在系統(tǒng)可調(diào)節(jié)的共振頻率之間，二者可以產(chǎn)生干涉波紋，達到消除噪聲的

目的，故D正確。

故選：D。

（2024?岳麓區(qū)校級模擬）一個有固定轉(zhuǎn)動軸的豎直圓盤如圖甲所示，圓盤轉(zhuǎn)動時，固定在圓盤

上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個由彈簧和小球組成的

振動系統(tǒng)，小球做受迫振動。圓盤靜止時，讓小球做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示（以豎

直向上為正方向）。下列說法正確的是（）

B.乙圖中，t=2s至Ut=3s彈簧彈性勢能一定減小

C.若圓盤以0.5r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，小球振動達到穩(wěn)定時其振動的周期為4s

D.若圓盤以0.5r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，欲使小球振幅增加，可使圓盤轉(zhuǎn)速適當減小

【解答】解：A.以豎直向上為正方向，由圖可知t=ls至I]t=2s小球從最低點向平衡位置振動，

則所受的回復(fù)力減小，方向為x軸正向，故A錯誤；

B.由圖可知t=2s至Ut=3s小球從平衡位置向最高點振動，小球可能會經(jīng)過彈簧的原長，則彈簧

彈性勢能可能一直減小，也可能先減小后增大，故B錯誤；

C.若圓盤以0.5r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，驅(qū)動力的周期為T驅(qū)=：=焉5=2s

則小球振動達到穩(wěn)定時其振動的周期等于驅(qū)動力的周期，為2s,故C錯誤；

D.若圓盤以0.5r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，則T驅(qū)=2sVT周=4s

欲使小球振幅增加，可使圓盤周期增大，即轉(zhuǎn)速適當減小，故D正確。

故選：D。

3.（2023?大慶模擬）如圖所示，學(xué)校門口水平路面上兩減速帶的間距為2m,若某汽車勻速通過

該減速帶，其車身懸掛系統(tǒng)（由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成）的固有頻率為2Hz,則下

列說法正確的是（）

A.汽車行駛的速度越大，顛簸得越厲害

B.汽車行駛的速度越小，顛簸得越厲害

C.當汽車以3m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害

D.當汽車以4m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害

【解答】解：根據(jù)f=*，所以T=0.5s,v=/磊m/s=4m/s,因此當汽車以4m/s的速度行駛時，

通過減速帶的頻率與汽車的固有頻率相同，發(fā)生共振，汽車顛簸得最厲害。故ABC錯誤，D正

確；

故選：D。

題型2對簡諧運動圖像

4.（2024?鄭州模擬）一質(zhì)點做簡諧運動，其相對于平衡位置的位移x與時間t的關(guān)系圖線如圖所

示，由圖可知（）

B.該簡諧運動的表達式可能為久=75出（100忒+竽）cm

C.t=0.5X10一2$時振子的速度最大，且方向向下

D.t=0.25Xl（T2s時振子的位移為—cm

【解答】解：A、由題圖可知：周期T=2X10-2S,振幅A=7cm,故A錯誤；

B、振子的圓頻率3=萬~=----^rad/s=lOOnrad/s,且t=0時位移為x=-7cm,所以表達

T2X10-2

Q-TT

式為x=7sin（1007Tt+-2~）cm,故B正確；

CD、當t=0.5X10-2s時，振子在平衡位置，其速度最大，速度正向且為最大值；當t=0.25X10

-2s時，其位移為x=7s出（100兀x0.25X10-2+等）=一竽cm,故CD錯誤。

故選：Bo

5.（2024?黃浦區(qū)校級開學(xué)）如圖所示是某彈簧振子的振動圖像，對于該彈簧振子說法錯誤的是

B.振子的周期為16s

C.第12s末振子的速度為負值，加速度為零

D.第16s末振子的速度最大，加速度為零

【解答】解：AB、由題圖可知：振幅A=5cm,周期T=16s,故AB正確；

CD、t=12s時，振子處于最大位移處，速度為零，加速度最大；

t=16s時，振子處于平衡位置，速度最大，加速度為零，故C錯誤，D正確。

本題選錯誤的，

故選：Co

6.（2023秋?奉化區(qū)期末）小球做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，經(jīng)過0.5s,小球第一次

經(jīng)過P點，又經(jīng)過0.2s,小球第二次經(jīng)過P點，則再過多長時間該小球第三次經(jīng)過P點（）

A.0.6sB.2.4sC.0.8sD.2.1s

【解答】解：若從O點開始向右振子按下面路線振動，作出示意圖如圖1,則振子的振動周期為

--------------

圖1

02

T=（0.5+詈）X4s=2.4s

則該質(zhì)點再經(jīng)過時間At=T-0.2s=2.4s-0.2s=2.2s第三次經(jīng)過P點；

若振子從O點開始向左振動，則按下面路線振動，作出示意圖如圖2：

k——

OP

圖2

則由（0.5+竽）S=1T

振子的振動周期為T=0.8s,則該質(zhì)點再經(jīng)過時間At，=T-0.2s=0.8s-0.2s=0.6s第三次經(jīng)過P

點；故A正確，BCD錯誤。

故選：Ao

題型3彈簧振子模型

7.（2024?浙江）如圖1所示，質(zhì)量相等的小球和點光源，分別用相同的彈簧豎直懸掛于同一水平

桿上，間距為1,豎直懸掛的觀測屏與小球水平間距為21,小球和光源做小振幅運動時，在觀測

屏上可觀測小球影子的運動。以豎直向上為正方向，小球和光源的振動圖像如圖2所示,則（）

?生

/

?加

/

光小一

源球

圖2

圖1

動

向上運

刻小球

ti時

A.

度向上

的加速

刻光源

t2時

B.

T

差為T

相位

影子

球與

刻小

t2時

C.

為5A

位移

子的

刻影

t3時

D.

，

位置

平衡

位于

零，

位移為

小球

刻，

，ti時

可知

圖2

根據(jù)

向，

為正方

直向上

.以豎

：A

】解

【解答

；

錯誤

故A

動，

下運

球向

刻小

，ti時

可知

大，

小增

且大

值，

為負

移變

隨后位

簡諧運

明其做

數(shù)，表

弦函

為正

圖像

振動

，光源

正值

移為

的位

刻光源

，t2時

正方向

向上為

以豎直

B.

Lr-y