寧夏銀川市2023?2024學年高一下學期期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知命題：向量，所在的直線平行，命題：向量，平行，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設復數z滿足，則（

）A． B．2 C． D．3．已知點，，向量，，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．在平行四邊形ABCD中，已知，，，，則（

）．A． B． C．6 D．96．為測量河對岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C，D，測得的大小為60°，點C，D的距離為200m，在點C處測得塔頂A的仰角為45°，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（

）A．100m B． C． D．200m7．如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點，若，則的值為（

）A． B．3 C． D．28．如圖，在邊長為4的等邊中，點為中線的三等分點（靠近點），點為的中點，則（

）A． B． C． D．–3二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．已知，，若與共線，則B．若，，則C．若，則一定不與共線D．若，，為銳角，則實數的范圍是10．歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，下列說法中正確的是（

）A．對應的點位于第二象限 B．為純虛數C．的模長等于 D．的共軛復數為11．如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網格中每個小正方形的邊長為1，則下列結論正確的是（

）A．B．若，則C．D．設Z為線段AK上任意一點，則的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．設是虛數單位，是實數，若是實數，則．13．已知a=3,4，b=4,-2，若2a-b與ka+214．在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長為2，正三棱錐的高SO＝1．(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．16．己知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；，且邊，(1)求的周長；(2)若角，求的面積．17．已知．(1)當k為何值時，與共線．(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．18．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.19．在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意兩個向量，，作，．當，不共線時，記以，為鄰邊的平行四邊形的面積為；當，共線時，規定．(1)分別根據下列已知條件求：①，；②，；(2)若向量，求證：；(3)若A，B，C是以О為圓心的單位圓上不同的點，記，，．（i）當時，求的最大值；（ii）寫出的最大值．（只需寫出結果）

參考答案1．【答案】A【詳解】因為向量，所在的直線平行時，可得向量，平行，則充分性成立，而向量，平行時，向量，所在的直線平行或重合，則必要性不成立，則命題是的充分不必要條件，故選：A．2．【答案】A【詳解】由復數z滿足，則，即，故選:A.3．【答案】A【分析】由平面向量的坐標運算求得，，結合平面向量的夾角公式即可求得答案．【詳解】由題意，得，，則與的夾角的余弦值為．故選：A．4．【答案】A【詳解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，則的形狀為等腰三角形.故選：A.5．【答案】A【詳解】由題意可得：，，∵，①，②①－②得：，即，∴．故選：A．6．【答案】A【分析】根據畫出圖形，設，結合條件可得，，然后根據余弦定理即得.【詳解】設，則，，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴(負值舍去)，即直塔AB的高為100m.故選：A.7．【答案】A【詳解】因為，，G為EF的中點，所以，所以，所以.故選：A8．【答案】C【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，.故選：C.9．【答案】AD【分析】根據向量共線的性質可直接判斷ABC選項，再根據向量數量積與夾角的關系可判斷選項D.【詳解】A選項：，，若與共線，則，，A選項正確；B選項：當時，，，但不一定成立，B選項錯誤；C選項：，無法確定兩個向量的方向，兩個向量可能共線，C選項錯誤；D選項：，，若為銳角，則，解得，D選項正確；故選：AD.10．【答案】ACD【詳解】對于A項：由題意可得：，則其對應的點為，∵，則，∴對應的點位于第二象限，故A項正確；對于B項：由題意可得：為實數，故B項錯誤；對于C項：由題意可得：，則，故C項正確；對于D項：由題意可得：，則的共軛復數為，故D項正確；故選：ACD.11．【答案】AD【分析】根據已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結合向量的坐標運算及二次函數的性質即可求解.【詳解】以A為坐標原點，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.A選項：易知，，，，所以，，則，所以，所以A正確.B選項：易知，，，，，，所以，，，所以，得，解得，，所以，所以B錯誤.C選項：由選項A，B知，則，，，所以C錯誤.D選項：易知，，設，則，，所以.因為，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值40.所以的取值范圍是，所以D正確.故選：AD.12．【答案】1【詳解】因為是實數，所以，所以．故答案為：.13．【答案】-4【分析】由已知，分別表示出2a-b和ka+2b的坐標形式，再根據兩向量共線，列出等量關系【詳解】因為a=3,4，b=4,-2，所以因為2a-b與ka+2b為共線向量，所以24k-4故答案為：-4.14．【答案】8【詳解】因為，所以．因為，，三點共線，所以，所以．當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值是8.故答案為：815．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在正三棱錐S﹣ABC中，,所以.（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點，如圖所示，所以，在直角三角形SOE中，，在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，所以，則表面積為：．16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，則得到其周長；（2）根據余弦定理得，解出的值，再利用三角形面積公式即可得到答案.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，∴，∴三角形周長為．（2）由（1）知，由余弦定理得，即，解得，∴.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據平面向量共線的坐標表示可求出結果；（2）根據向量共線定理可求出結果.(1)由，可得，，因為與共線，所以，即，解得(2)因為A，B，C三點共線，所以，即，所以，解得.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的變形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因為，從而，所以，從而.即的取值范圍為.19．【答案】(1)答案見詳解(2)證明見詳解(3)（i）；（ii）【分析】（1）由求解；（2）由證明；（3）（i）設，由求解；（ii）設，求