2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之相似三角

形

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?界首市期末）如圖，小明在練習本上畫出直線〃〃/?〃c,直線機，〃分別與直線b,c交于

點A,B,C,D,E,F,則下列比例式錯誤的是（）

ABDEABDEADBEBCAC

D.—=—

AC~DFBC~EFBE~CFEFDF

2.（2024秋?阜陽期末）下列各條件中，能判斷△ABCsB'C的是（）

A.AB=ArB',

BC,

——,/B=/B'

ArBrAiCi

ABAiBi,,

C.——，NA+NC=NA'+ZC

BCBiCi

D.ZA=40°,ZB=80°,NA，=80°,ZBf=70°

3.（2024秋?曲阜市期末）如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿3E測量建筑物的高度，已知標桿BE高

1.5m,測得A3=l如BC=9m,則建筑物8的高是（

A.13.5mB.15mC.16.5mD.18m

4.（2024秋?內鄉縣期末）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC長12CM,BC邊上的高A。

為10cm,把它加工成正方形零件，使正方形的一邊GH在上，其余兩個頂點及廠分別在A3、AC

上，則這個正方形零件的邊長是（）

A

A.—cm5cmC.6cmD.7cm

11

5.（2024秋?未央區期末）如圖，在正方形中，〃為8C上一點，MELAM,ME交的延長線于

點E.若AB=12,BM=5,則DE的長為（）

25

C.—D.8

3

二.填空題（共5小題）

4

6.（2025?南山區校級一模）如圖，。是△A8C的邊A8上的一點，BD=三,AB=3,BC=2.若CD=

則AC的長為.

7.（2024秋?江北區校級期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。為AB上一點，連接CD,滿足NA

=點E為AB中點，連接CE.若8。=1,CD=2,則CE的長為.

8.（2024秋?哈爾濱期末）如圖，在△ABC中，點。在邊AB上，若NACZ）=N8,AO=3,BD=5,則

AC的長為.

-------------汽

9.（2024秋?石景山區期末）如圖，直線A8〃E/〃CO,EF分別交A。，8c于點E,F.若AE=LED=

10.（2024秋?芝緊區期末）矩形A8C。中，點E是8c的中點，于點R若CE=3,CF=4,則

DF的長度是.

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?寧強縣期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，42=6,點G在A3的延長線上，聯結。G,

分別交AC、BC于點E、F,且AE：CE=3：2.

（1）求BG的長；

12.（2024秋?碑林區校級期末）在四邊形A3CZ）中，對角線AC與2D相交于E,NCAB=/CBD,已知

AB=4,AC=6,BC=5,BD=5.5,求OE的長.

13.（2024秋?寧強縣期末）如圖，教學樓旁邊有一棵大樹，課外興趣小組的同學在陽光下測得一根長為1

米的竹竿的影長為1.2米，同一時刻這棵樹落在地面上的影長為1.8米，落在墻上的影長為1.5米，求

樹高.

14.（2024秋?未央區期末）如圖，在△ABC中，ZC=ZADE,A8=3,AD=2,AC=8,求AE的長.

15.（2024秋?未央區期末）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取

的27處山西極具代表性的古建筑,展示了山西深厚的文化底蘊.飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，

某實踐小組欲測量飛紅塔的高度A3.如圖，塔前有一棵高4米的小樹C￡>,發現水平地面上點E,樹頂

C和塔頂A恰好在一條直線上，測得80=64.5米，D,E之間有一個花圃距離無法測量；在點E處放

置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿BE所在直線后退，退到點G處恰好在平面鏡中看到樹頂C

的像（/CED=/FEG）,GE=2.4米，測量者眼睛到地面的距離尸G為1.6米.已知CD±

BG,FG±BG,且點B,D,E,G在同一水平線上.求飛虹塔的高度AB.

2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之相似三角

形

參考答案與試題解析

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?界首市期末）如圖，小明在練習本上畫出直線直線機，〃分別與直線Q,b,c交于

點A,B,aD,E,F,則下列比例式錯誤的是（）

ABDEABDEADBEBCAC

ACDFBCEFBECFEFDF

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】C

【分析】根據平行線分線段成比例定理解答.

ABDE

【解答】解：A.\'a//b//c,,=77，正確，不符合題意;

ACDF

ABDE

B、a//b//c,—=—，正確，不符合題意；

BCEF

AD,BE

C、??,線段不是直線如〃上的線段與77不一定相等，結論錯誤，符合題意;

BECF

Bc74c

D、\*a//b//c,—=—，正確，不符合題意，

EFDF

故選：C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，找出對應線段是解題的關鍵.

2.（2024秋?阜陽期末）下列各條件中，能判斷△ABCsB'C的是（）

A.AB=ArB',NA=NA，

ABBC

B.——,NB=NB'

A，B，A'Ci

ABA'B'

C.——，ZA+ZC=ZA/+ZC

BCB'Cr

D.ZA=40°,NB=80°,NA'=80°,ZB'=70°

【考點】相似三角形的判定.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據相似三角形的判定條件對各選項進行分析即可.

【解答］解：-：AB=A'B',NA=/A'，只有一角一邊，

,無法判斷兩個三角形相似，故本選項錯誤，不符合題意；

ABBC

B、S——=——，NB=/B',ZB'不是A'B'與A'C的夾角,

A'BiArCr

無法判斷兩個三角形相似，故本選項錯誤，不符合題意；

C、由NA+NC=/A'+ZC,可得,

.ABA'B'2ABBC

再由r--=-----，得----=----，

BCBiCiA'BiBid

兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，

可判斷△ABCsAA，B'C,故本選項正確，符合題意；

D、由NA=40°,/2=80°,

可得/C=60°,

由NA'=80°,ZB'=70°,

可得NC,=30°,

只有NB=NA'=80°,

無法得△ABCs△&，B'C,故本選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件.兩角對應相等的

兩個三角形相似；兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似.

3.（2024秋?曲阜市期末）如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿3E測量建筑物的高度，已知標桿BE高

1.5m,測得AB=1m，BC=9m,則建筑物CD的高是（)

D

A.13.5mB.15mC.16.5mD.18m

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】B

【分析】根據題意可得：EB1AC,CD±AC,從而利用垂直定義可得：ZABE^ZACD=90°,然后證

明A字模型從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答.

【解答】解：由題意得：EBLAC,CDLAC,

：.ZABE^ZACD^90°,

LABEsAACD,

.ABBE

??—,

ACCD

.11.5

??—,

1+9CD

解得：CO=15,

建筑物。的高是15m,

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關鍵.

4.（2024秋?內鄉縣期末）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC長12c〃z,BC邊上的高A。

為10c機，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊GH在8C上，其余兩個頂點E、尸分別在AS、AC

上，則這個正方形零件的邊長是（）

60

A.—?B.5cmC.6cmD.7cm

11

【考點】相似三角形的應用.

【專題】推理能力.

【答案】A

EFAK

【分析】證明則一=—,設正方形零件EF7/G的邊長為羽則AK=10-x,根據相

BCAD

x10一第

似三角形的性質得到一=——，解方程即可.

1210

【解答】解：???四邊形EFHG是正方形，

：.EF//BC,

：.AA￡F^AABC,

又；ADLBC,

.EFAK

??—,

BCAD

設正方形零件EFHG的邊長為xCM,則AK=（10-x）cm,

.x10-x

??=,

1210

解得：%=黑，

60

即這個正方形零件的邊長為77cm.

11

故選：A.

【點評】本題主要考查相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

5.（2024秋?未央區期末）如圖，在正方形A8CD中，M■為上一點，MELAM,ME交的延長線于

點、E.若48=12,BM=5,則。E的長為（）

【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質.

【專題】三角形.

【答案】B

【分析】勾股定理求出AM的長，證明列出比例式，求出AE的長，進而求出。石的

長即可.

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=12,ZB=ZBAD=90°,

：.AM=7AB2+BM2=13,A.BMA=Z.EAM=90°-ABAM,

9：MELAM,

：.ZAME=90°=NB,

：.AABM^AEMA,

.AEAM13

"AM~BM~5'

,AL13..169

??AE=AMn=-g—9

109

：.DE=AE-AD=詈.

故選：B.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

6.（2025?南山區校級一模）如圖，￡＞是△ABC的邊A8上的一點，BD=AB=3,BC=2.若CD=|,

則AC的長為1.

-2-

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】|.

4BDBC2CD

【分析】由50=)AB=3,BC=2,得一=一=一，因為N3=N5,所以則一=

3BCAB3AC

=求得AC召。=熱于是得到問題的答案.

AB322

4

-

【解答】解:3BC=2,

BD32BC2

BC~2~3AB~3

BDBC

BC~AB"

NB=NB,

△CBDSAABC,

CDBC2

AC~AB~3’

CZ)=f,

3355

.,.AC=^CZ)=^x|=p

故答案為：|.

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質，適當選擇相似三角形的判定定理證明

是解題的關鍵.

7.(2024秋?江北區校級期末)如圖，在△A3C中，ZACB=90°,。為A8上一點，連接CZ),滿足/A

=ZBCD,點E為A3中點，連接CE.若BO=1,CD=2,則CE的長為一.

~2—

【考點】相似三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】|.

ABCB

【分析】由NA=N5CD,NB=NB,證明△ABCS2XCB。，則NAC3=NCZ)3=90°,一=一，因

CBBD

2

為BD=1,CD=2,所以貝|]48=魯=5,而點E為中點，貝ICE=￡

DULL

于是得到問題的答案.

【解答】解：???NA=NBC。，/B=/B,

：.AABCsACBD,

ABCB

：.NACB=NCDB,

CB~BD

VZACB=90°,BD=1,CD=2,

：.ZCDB=90°,

CB2=BD^+CD1=12+22=5,

：.AB=^-=^=5,

??,點后為A5中點，

CE=^AB=2x5=趣，

故答案為：|.

【點評】此題重點考查勾股定理、相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

等知識，證明是解題的關鍵.

8.（2024秋?哈爾濱期末）如圖，在△ABC中，點。在邊AB上，若NACZ）=/B,AD=3,BD=5,則

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據相似三角形的判定方法證明△AC￡?sAABC,再根據相似三角形的性質得到AD-.AC=AC：

AB,然后根據比例的性質可求出AC的長.

【解答】解：'：ZCAD=ZBAC,ZACD=ZB,

：.AACD^AABC,

：.AD：AC=AC：AB,

即3：AC=AC：（3+5）,

解得AC=2&或AC=-2V6（舍去），

即AC的長為2遍.

故答案為：2瓜

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；利用相似三角形的性質解決角和線段之間的關

系.

9.（2024秋?石景山區期末）如圖，直線A3〃M〃C￡>,EF分別交ADBC于點E,F.若AE=1,ED

BF1

2,貝片的值為

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例解答即可.

【解答】解：'：AB//EF//CD,AE=1,ED=2,

.BFAE1

"FC~ED~2

1

故答案為：--

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理.

10.（2024秋?芝緊區期末）矩形A8C。中，點E是8c的中點，OfUAE于點R若CE=3,CF=4,則

24

。尸的長度是—.

-5-

【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

24

【答案】y.

【分析】延長AE、DC交于點H,由點E是BC的中點，CE=3,得BE=CE=3,由矩形的性質得AB

//DC,AB=DC,AD=BC=2CE=6,則/8AE=/H,可證明得AB=HC,所以。C

=HC,由DF1AE于點F,得NAFZ）=ZDFH=90°，所以HD=2CE=8,求得AH=yjAD2+HD2=10,

DFAD3r?74

再證明AA尸得;一=—=求得DF=w于是得到問題的答案.

HDAH555

【解答】解：延長AE、DC交于點H,

??,點七是的中點，CE=3,CF=4,

；.BE=CE=3,

???四邊形A3C0是矩形，

J.AB//DC,AB=DC,AD=BC=2CE=6,ZADH=90°,

：.NBAE=NH,

在△A3E和中，

2BAE=乙H

乙AEB=乙HEC,

BE=CE

:?△ABE"XHCE(A4S),

：.AB=HC,

:?DC=HC,

???。凡LAE于點R

ZAFD=ZZ)FH=90°,

:?HD=2CF=8,

：.AH=yjAD2+HD2=V62+82=10,

ZAFD=ZADH,/FAD=/DAH,

：.AAFD^AADH,

#DFAD63

??HD-4H-10-5’

3324

.\Z?F=|HD=|x8=^,

24

故答案為：—.

【點評】此題重點考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

三.解答題(共5小題)

H.(2024秋?寧強縣期末)如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=6,點G在A3的延長線上，聯結。G,

分別交AC、BC于點、E、F,且AE：CE=3：2.

(1)求BG的長；

(2)如果SABGF=3,求四邊形A切叨的面積.

【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的相似；運算能力.

【答案】⑴3；

(2)24.

【分析】(1)首先根據平行四邊形的性質得到O=A8=6,AB//CD,然后證明出△AEGS^CE。，利

用相似三角形的性質得到AG=9,進而求解即可；

(2)首先根據平行四邊形的性質得到AD//BC,然后證明出然后利用相似三角形的

性質得到S^GAD=27,進而求解即可.

【解答】解：(1)?..四邊形ABC。是平行四邊形，

:.CD=AB=6,AB//CD,

：.AAEGsACE。,

?些—竺即日—絲

CECD26

解得AG=9,

：.BG=AG-AB=9-6=3；

(2)?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

；.AGBFSAGAD,

22

..S.A上GB巫F=(B一G),即an---3--=㈠3，

SAGADAGSAGAD9

解得S^GAD=27,

，四邊形ABFD的面積=SAAOG-SABGF=27-3=24.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上

知識點.

12.（2024秋?碑林區校級期末）在四邊形ABC。中，對角線AC與2D相交于E,ZCAB=ZCBD,已知

AB=4,AC=6,BC=5,BD=5.5,求QE的長.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【答案】見試題解答內容

4BAC

【分析】證得出一=—,代入求出BE即可.

BEBC

【解答】解：：在△C8E與△C48中，

ZBCA=ZBCA,

/CAB=/CBD,

△CBAs^CEB,

ABAC

BE-BC

46

BE-5’

【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出BE的長，題目比較好，難

度適中.

13.（2024秋?寧強縣期末）如圖，教學樓旁邊有一棵大樹，課外興趣小組的同學在陽光下測得一根長為1

米的竹竿的影長為1.2米，同一時刻這棵樹落在地面上的影長為1.8米，落在墻上的影長為1.5米，求

樹高.

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】樹高為3米.

【分析】先求出墻上的影高C。落在地面上時的長度，再設樹高為〃，根據同一時刻物高與影長成關系

式求出場的值即可.

【解答】解：設墻上的影高CD落在地面上時的長度為xm樹高為%

???長為1米的竹竿的影長為1.2米，落在墻上的影長為1.5米，

.11.5

??=,

1.2x

解得％=1.8,

經檢驗x=1.8是所列方程的根.

，樹的影長為：1.8+1.8=3.6(m),

.2____h_

??—,

1.23.6

解得/i=3(m).

答：樹高為3米.

【點評】本題主要利用相似三角形對應邊成比例的性質求解，明確把影長分為兩部分計算，然后再求和

就是樹的高度是解題的關鍵.

14.(2024秋?未央區期末)如圖，在△ABC中，/C=/ADE,AB=3,AD=2,AC=8,求AE的長.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】三角形.

3

【答案】--

4

APAn

【分析】先證明△ADEs△ACB,再根據相似三角形的性質得出一=—,再代入求值即可.

ABAC

【解答】解：'：ZC=ZADE,ZA=ZA,

：.AADEsAACB,

.AEAD

??=,

ABAC

VAB=3,AD=2,AC=8,

,AE2

??—―,

38

3

：.AE=^.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

15.（2024秋?未央區期末）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取

的27處山西極具代表性的古建筑,展示了山西深厚的文化底蘊.飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，

某實踐小組欲測量飛紅塔的高度A艮如圖，塔前有一棵高4米的小樹CZ）,發現水平地面上點E,樹頂

C和塔頂A恰好在一條直線上，測得80=64.5米，D,E之間有一個花圃距離無法測量；在點E處放

置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿BE所在直線后退，退到點G處恰好在平面鏡中看到樹頂C

的像（/CED=/FEG）,GE=2.4米，測量者眼睛到地面的距離尸G為1.6米.已知CD±

BG,FG±BG,且點8,D,E,G在同一水平線上.求飛虹塔的高度AB.

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；應用意識.

【答案】47米.

【分析】由ACDEs^FGE得?■=些,即得。E=6米，進而得3石=2。+。￡=70.5米，由△CDEs

FGGE

CDDE

△ABE得一=一，據此即可求解.

ABBE

【解答】解："：/CED=/FEG,/CDE=NFGE=90°,

:.ACDEsAFGE,

.CDDE

??—,

FGGE

.4DE

??1.6―2.4’

???DE=6米，

BE=BD+DE=64.5+6=70.5米，

?：/CED=/AEB,ZCDE=ZABE=90°,

：./\CDE^AABE,

.CDDE

99AB~BE'

.46

"AB~70.5，

???A5=47米，

答:飛虹塔的高度A5為47米.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

考點卡片

1.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點)

(2)定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直

角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

2.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么/+信=,2.

(2)勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+必=C2的變形有：a—Vc—b,b—7c2—曲及c—7a2+爐.

(4)由