四川省涼山彝族自治州會東縣南山實驗學校2024?2025學年高二下學期期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等差數列的通項公式為，則（

）A． B． C． D．2．已知數列是等比數列，且，，則（

）A．3 B．6C．3或 D．6或3．已知函數在處的導數為，則（

）A．3 B． C．6 D．4．已知，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．曲線在點處的切線方程為(

)A． B．C． D．6．已知數列為等差數列，其前項和為，，則（

）A．110 B．55 C．50 D．457．若函數在區間(,)內存在最小值，則實數的取值范圍是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)8．已知函數在區間上單調遞減，則a的值可能為（

）A． B． C． D．e二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則D．若和都為遞增數列，則10．已知定義域為的函數的導函數為，且的圖象如圖所示，則（

）

A．在上單調遞減 B．有極小值C．有2個極值點 D．在處取得最大值11．關于函數，下列判斷正確的是（

）A．的極大值點是B．函數在上有唯一零點C．存在實數，使得成立D．對任意兩個正實數，且，若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知構成各項為正的等比數列，且則.13．已知函數，則的極小值為14．若方程有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知是等差數列的前n項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．16．已知數列滿足，.(1)求證：數列是等比數列；(2)設求的前n項和.17．設函數．(1)求在處的切線方程；(2)求的極大值點與極小值點；(3)求在區間上的最大值與最小值．18．已知.(1)求函數的最小值；(2)若存在，使成立，求實數a的取值范圍；19．設函數．(1)若在點處的切線斜率為，求a的值；(2)當時，求的單調區間；(3)若，求證：在時，．

參考答案1．【答案】D【詳解】由，則，公差.故選D.2．【答案】B【詳解】解：設數列的公比為q，則，所以，，所以．故選B．3．【答案】A【詳解】因為，又函數在處的導數為，所以，故選A.4．【答案】C【詳解】，所以.故選C.5．【答案】A【詳解】求導函數，當時，，∴曲線在點處的切線方程為，即.故選A.6．【答案】B【分析】根據給定條件結合等差數列的性質計算出，再利用前n項和公式結合等差數列的性質計算即得.【詳解】在等差數列中，，于是得，所以.故選B.7．【答案】C【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得極小值，令，解得或，若函數在(,)內存在最小值，則，得．故選C.8．【答案】C【詳解】因為，所以，因為在區間上單調遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，當時，因為在上恒成立，故上式成立，滿足題意；當時，則在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，又，故，即，綜上，所以ABD錯誤，C正確.故選C.9．【答案】BC【分析】根據題意，求得，結合，A錯誤；根據數列的求和公式和等差數列的性質，可判定B正確；由，求得，C正確；根據題意，求得任意的，結合的正負不確定，D錯誤．【詳解】對于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，則，所以C正確；對于D中，因為為遞增數列，可得公差，因為為遞增數列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選BC.10．【答案】AB【詳解】由的圖象可知或時，，則單調遞減，故A正確；又或時，，則單調遞增，所以當時，有極小值，故B正確；由的圖象結合單調性可知，2，4時，有極值，所以有3個極值點，故C錯誤；當時，，則單調遞增，所以，在處不能取得最大值，故D錯誤．故選AB．11．【答案】BD【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值，所以A錯誤；B選項中，函數，則，由于，即在上恒成立，所以函數在上單調遞減，又當時，，當時，，所以函數在上有唯一零點，即函數有且只有1個零點，B正確；C選項中，由，可得當x且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，故不存在實數，使得成立，即不存在實數，使得成立，C錯誤；D選項中，由得要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調遞增，則，即成立，故成立，所以D正確．故選BD．12．【答案】4【詳解】因為構成各項為正的等比數列，所以，又，所以，解得或（舍去）.13．【答案】【詳解】易知函數的定義域為，由題知，令，得到，當時，，當時，，所以在處取得極小值，極小值為.14．【答案】【詳解】方程化為，令則問題轉化為的圖像與直線有2個交點，因為，當時，單調遞減，當時，，單調遞增，所以函數最小值為，且當正向無限趨近于時，的取值無限趨近于正無窮大；當無限趨近于正無窮大時，的取值無限趨近于正無窮大；

故方程有兩個不等的實數根時，.15．【答案】（1）；（2）n=4時取得最大值.【分析】（1）利用公式，進行求解；（2）對進行配方，然后結合由，可以求出的最大值以及此時的值.【詳解】（1）由題意可知：，當時，，當時，，當時，顯然成立，所以數列的通項公式；（2），由，則時，取得最大值28，所以當為4時，取得最大值，最大值28．【關鍵點撥】本題考查了已知求，以及二次函數的最值問題，根據的取值范圍求最大值是解題的關鍵.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，，所以，故數列是以首項為3，公比為3的等比數列.（2）由（1）可知，，即，所以.所以，①，②由①－②，得，所以.故的前項和為.17．【答案】(1)；(2)極小值點為，極大值點為；(3)，.【詳解】（1）由題意得：，則，又，在處的切線方程為，即；（2）令，解得：或，則變化情況如下表：極小值極大值的極小值點為，極大值點為；（3）由（2）知：在上單調遞減，在上單調遞增；又，，，，.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，的定義域是，，..所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以當時，取得最小值.（2）因為存在，使成立，即能成立，即能成立，令，則，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以當時，取得最小值，所以.19．【答案】(1)(2)答案見解析(3)