第2章極限與連續2.2函數極限2.2.1自變量趨于無窮大時的函數極限如圖所示,當

x無限增大時,

當

x充分大時也就是說,即可以小于預先給定的任意小的正數

ε,

它依賴于所給的正數ε.

(函數極限的ε-M定義)定義2.2.1設函數f(x)在(a,+∞)上有定義,A是一個定數.若對于任意給定的正數

ε,總存在某個正數

M(≥

a),使得當x>M時,

則稱函數f(x)當x→+∞時存在極限A,記作

或

f(x)→A(x→+∞).類似地,

若對于任意給定的正數ε,總存在某個正數M,

記作

(或f(x)→A(x→∞)).

對于任意給定的正數

ε,

在幾何上

,當x→∞時,函數f(x)以

A為極限的幾何意義是:例2-2-1

證

因此,

類似地,則當

x>M時,

例2-2-2

對于任意給定的正數

ε證,

則當

|x|>M時,

定理2.2.1

且都等于A.

根據定理2.2.1可知

定義2.2.2(無窮大量的G-M定義)設函數f(x)定義在(a,+∞)上,若對于任意給定的正數G,總存在某個正數M(M≥

a),使得當x>M時,都有|f(x)|>G,則稱函數f(x)是當x→+∞時的無窮大量,記作

或

f(x)→∞(x→+∞).定義2.2.2的幾何意義如圖所示.對于任意給定的正數G,即總能相應地確定某個正數M,使得函數

y

=f(x)在直線

x=M右方的圖形位于直線

y=G的上方

例如,從定義可以證明:

例2-2-3

對于任意給定的正數G證要使不等式ex>G成立,

(不妨設G>1),只要不等式

x>lnG成立即可.若令M=lnG,則當

x>M時,

都有ex>G,所以,

f(x)=2x+1,由圖可見,

對應的函數值無限地接近于常數2.這就是說,

例如,

小于預先給定的任意小的正數

ε.2.2.2

自變量趨于有限值時的函數極限為使不等式

成立,

定義2.2.3(函數極限的ε-δ定義)設函數f(x)在點x0的某個去心鄰域

內有定義,A是一個確定的數,總存在某個正數δ

(δ<h),若對于任意給定的正數

ε,

則稱函數

f(x)當x→x0時存在極限A,并稱

A為函數

f(x)在點x0處的極限,記作

或注

意味著研究當x→x0時函數值

f(x)→A(x→x0).f(x)的變化趨勢,與函數

f(x)在點x0是否有定義以及

f(x0)等于什么值都沒有關系,例如,

但由定義2.2.3

由函數極限的ε-δ定義,可證明

若函數f(x)當x→x0時的極限為A,如圖所示,則對于任意給定的正數ε,使函數

y

=f(x)在

總能相應地確定正數δ,

來回振動,因而也不存在極限.例2-2-4

證

因此,

對于任意給定的正數ε,

于是證得

先證明兩個有用的不等式:(1)

對任意實數

x,

都有|sinx|≤|x|;①(2)*證有

|x|≤

|tanx|.②如圖,以O為圓心作單位圓.

可得△OAD的面積<扇形OAD的面積<△OAB的面積.因為

注意,①與②式中x的單位必須是弧度.

所以,

又

則

由③和④式知,

或恒有|sinx|<|x|<|tanx|.

顯然有

|sinx|≤

|x|;當

x

=0時,又有sin0

=

tan0

=0.綜上所述,證明了不等式①和②.例2-2-5

由于證

對于任意給定的正數

ε,

若令δ=ε,則

類似地,

定義2.2.4設函數

f(x)在(x0,x0+h)

其中h>0內有定義,A是某一個定數,若對于任意給定的正數

ε,使得當

x0<x<x0+δ

(δ<h),總存在某個正數

δ

則稱函數

存在極限A,并稱A為

f(x)在點x0處的右極限(或左極限),

或者

記作

右極限與左極限統稱為單側極限,而定義2.2.3所定義的極限又稱為雙側極限.

即

例2-2-6

證當

x>0時,因此,

則當0<x<δ時,

而當

x<0時,

對于任意給定的正數ε,若令δ=ε,

定理2.2.2

定義2.2.5

例2-2-7

(m為正整數).證對于任意給定的正數G,

則當0<|x|<δ時,

(唯一性)定理2.2.3

則極限唯一.定理2.2.4(局部有界性)

則存在正數δ,

證根據極限的定義知,

2.2.3

函數極限的性質則存在正數δ,

<1+|A|,

定理2.2.5

并且

A>B,則存在正數δ,

都有

f(x)>g(x).*證

>0,

所以存在正數

δ1,如圖所示,

同理,

所以存在δ2>0,

⑤

⑥同時成立,

推論1>B(或<B),則存在正數δ,

都有

f(x)>B推論2(局部保號性)

則存在正數δ,使得(或

<0),

都有

推論3(極限不等式)

且存在正數δ0,

都有f(x)≥

g(x),則

A≥

B.

使得(或

<B).證(用反證法)若A<B,則由定理2.2.5,存在正數δ(取δ≤

δ0),使得

都有與條件f(x)≥

g(x)矛盾,所以根據反證法知結論成立.f(x)<g(x),推論3(極限不等式)

且存在正數δ0,

都有f(x)≥

g(x),則

A≥

B.使得(迫斂性)定理2.2.6設存在正數δ0,

都有*證f(x)≤

h(x)≤

g(x),⑦且則

對于任意給定的正數ε,分別存在

有

即

即

正數δ1與δ2,

不等式⑦

⑧

⑨同時成立,因而有

2.2.4

無窮小量及其運算若函數f(x)當自變量

x在某個趨向下

則稱函數f(x)是自變量在這個趨向下的無窮小量.作為特殊的函數,極限為0的數列{an}也稱為無窮小量.例如,

所以函數sinx是當

x→0時的無窮小量.又如,

應當注意,無窮小量不能與一個很小的常量混為一談.在常量中只有0可以作為一個無窮小量.若

f(x)為當

x→x0時的無窮小量,定理2.2.7且

f(x)≠0,

證當

x→x0時的無窮大量;反之,

當

x→x0時的無窮小量.若

f(x)為當x→x0時的無窮大量,設

f(x)為當x→x0時的無窮小量且f(x)≠0,則對于任意給定的正數G,由于

因而存在正數δ,

有即

由無窮大量的定義,得知

例2-2-8

據定理2.2.7有因此,

定理2.2.8證

即

對任意給定的正數ε,總存在正數δ,都有

故兩者是等價的.

因此,定理得證

定理2.2.8推論

其中

(1)定理2.2.9兩個無窮小量的和與差仍為無窮小量;無窮小量除以極限大于零(或小于零)的量的商(2)(3)無窮小量與有界函數的乘積仍為無窮小量;仍為無窮小量.證只證x→x0的情形設

由極限定義,

得對于任意給定的正數

ε,

有

和(1)總能找到正數δ,

因此有|α(x)±β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|

即

α(x)±β(x)為無窮小量.(2)無窮小量與有界函數的乘積仍為無窮小量;證設

即存在正數

M,都有|β(x)|≤

M.由極限定義,(2)

對于任意給定的正數

ε,存在正數δ(δ<h),使得

都有

于是

無窮小量除以極限大于零(或小于零)的量的商(3)仍為無窮小量.

(b<0的情形可類似地證明).由極限的保號性,存在正數δ,

都有

由(2)知,

為

x→x0時的無窮小量.無窮小量與常數的乘積仍為無窮小量.推論1推論2利用數學歸納法可得:兩個無窮小量的乘積仍為無窮小量.有限多個無窮小量的代數和仍為無窮小量;有限多個無窮小量的乘積仍為無窮小量.例2-2-9因為

所以有

例2-2-11

即

本節的重點是介紹在自變量各種趨向下函數極限的定義和性質.在學習這些內容時,

可以無限接近極限A這個事實.盡管

ε是任意的,但它一經給出后,就應看作是暫時不變的,以便根據它來確定相應的正數

δ或

M.(2)由于在函數極限問題中自變量的變化趨勢有x→x0、

x→∞、x→+∞、

它反映了函數值f(x)因而產生了各種不同的極限定義.學習時不但要注意它們的共同點,更應注意它們的區別,以便在驗證各種函數極限時,能正確地運用相應的定義.

(或|x|無限增大)的程度,

反映了自變量

x無