2011年全國各地中考數學壓軸題專集

目錄

?、圖象信息

二、?無二次方程

二、反比例函數

四、二次函數

五、概率

六、三角形

七、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形

八、圓

九、綜合型問題

十、動態綜合型問題

一、圖象信息

1.甲、乙兩車在連通A、B、C三地的公路上行駛，甲車從A地出發勻速向C地行駛，同時乙車從C地

出發勻速向B地行駛，到達B地并在B地停留1小時后，按原路原速返回到C地.在兩車行駛的過程中，

甲、乙兩車距B地的路程》（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數圖象如圖所示，請結合圖象回答下

列問題:

（1）求甲、乙兩車的速度，并在圖中（）內填上正確的數；

（2）求乙車從B地返回到C地的過程中，y與x之間的函數關系式；

（3）當甲、乙兩車行駛到距B地的路程相等時，甲、乙兩車距B地的路程是多少？

2.有一批物資，先用火車從M地運往距M地180千米的火車站，再由汽車運往N地.甲車在駛往N地

的途中發生故障，司機馬上通知N地，并立即檢查和維修.N地在接到通知后第12分鐘時，立即派乙車

前往接應.經過搶修，甲車在乙車出發第8分鐘忖修復并繼續按原速行駛，兩車在途中相遇.為了確保物

資能準時運到N地，隨行人員將物資全部轉移到乙車上（裝卸貨物時間和乙車掉頭時間忽略不計），乙車

按原速原路返回，并按預計時間準時到達N地.下圖是甲、乙兩車離N地的距離y（千米）與時間x（小

時）之間的函數圖象。請結合圖象信息解答下列問題：

（1）請直接在坐標系中的（）內填上數據；

（2）求直線CD的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）求乙車的行駛速度.

3.如圖1,某容器由4B、C三個長方體組成，其中/、B、C的底面積分別為25cm2、lOcn?、5cm2,C

的容積是容器容積的《（容器各面的厚度忽略不計）.現以速度v（單位：cn?/s）均勻地向容器注水，直

至注滿為止.圖2是注水全過程中容器的水面高度力（單位：cm）與注水時間/（單位：s）的函數圖象.

（1）求N的高度電及注水的速度v；

（2）求注滿容器所需時間及容器的高度.

圖1圖2

1

4.如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下

底面完全落在乙槽底面上）.現將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘米）與注水

時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示.根據圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）圖2中折線/8C表示槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示槽中水的

深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義是

（2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；

（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）.

5.小明從家騎自行車出發，沿一條直路到相距2400m的郵局辦事，小明出發的同時，他的爸爸以96m/min

的速度從郵局沿同一條道路步行回家，小明在郵局停留2min后沿原路以原速返回.設他們出發后經過/min

時，小明與家之間的距離為sim,小明爸爸與家之間的距離為S2in,圖中折線線段EF分別表示

S］、S2與，之間函數關系的圖象。

（1）求S2與/之間的函數關系式；

（2）小明從家出發，經過多長時間在返回途中追上爸爸？這時他們距離家還有多遠？

6.因長期干旱，甲水庫蓄水量降到了正常水位的最低值.為灌溉需要，由乙水庫向甲水庫勻速供水，20h

后，甲水庫打開一個排灌閘為農田勻速灌溉，又經過20h,甲水庫打開另--個排灌閘同時灌溉，再經過40h,

乙水庫停止供水.甲水庫每個排灌閘的灌溉速度相同，圖中的折線表示甲水庫蓄水量。（萬n?）與時間/

（h）之間的函數關系.

求：（1）線段2C的函數表達式；

（2）乙水庫供水速度和甲水庫一個排灌閘的灌溉速度；

（3）乙水庫停止供水后，經過多長時間甲水庫蓄水量又

降到了正常水位的最低值？

2

7.小華觀察鐘面（圖1）,了解到鐘面上的分針每小時旋轉360度，時針每小時旋轉30度.他為了進一步

探究鐘面上分針與時針的旋轉規律，從下午2：00開始對鐘面進行了一個小時的觀察.為了探究方便，他

將分針與分針起始位置OP（圖2）的夾角記為切，時針與。尸的夾角記為經度（夾角是指不大于平角的

角），旋轉時間記為/分鐘.觀察結束后，利用獲得的數據繪制成圖象（圖3）,并求出為與/的函數關系

式：

6t(0W/W30)

乂=

-6/+360(30V/W60)

請你完成：

（1）求出圖3中及與f的函數關系式；

（2）直接寫出/、8兩點的坐標，并解釋這兩點的實際意義:

（3）若小華繼續觀察一個小時，請你在圖3中補全圖象.

8.周六上午8：00小明從家出發，乘車1小時到郊外某基地參加社會實踐活動，在基地活動2.2小時后,

因家里有急事，他立即按原路以4千米/小時的平均速度步行返回，同時他的爸爸開車從家出發沿同一路

線接他，在離家28千米處與小明相遇，接到小明后保持車速不變，立即按原路返回.設小明離開家的時

間為x小時，小名離家的路程》（干米）與x（小時）之間的函數圖象如圖所示.

（1）小明去基地乘車的平均速度是千米/小時，爸爸開車的平均速度是千米/小時；

（2）求線段CZ）所表示的函數關系式；

（3）小明能否在12：00前回到家？若能，請說明理由；若不能，請算出12：00時他離家的路程.

9.由于受金融危機的影響，某店經銷的甲型號手機今年的售價比去年每部降價500元.如果賣出相同數

量的手機，那么去年銷售額為8萬元，今年銷售額只有6萬元.

（1）今年甲型號手機每部售價為多少元？

（2）為了提高利潤，該店計劃購進乙型號手機銷售，已知甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每

部進價為800元，預計用不多于1.84萬元且不少于1.76萬元的資金購進這兩種手機共20部，請問有幾

種進貨方案？

（3）若乙型號手機的售價為1400元，為了促銷，公司決定每售出一部乙型號手機，返還顧客現金a元，

而甲型號手機仍按今年的售價銷售，要使（2）中所有方案獲利相同，。應取何值？

3

10.星光中學課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園.其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆

圍成.已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一?邊的長為x米.

（1）若平行于墻的一邊的長為y米，直接寫出y與x之間的函數關系式及其自變量x的取值范圍；

（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；

（3）當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結合函數圖像，直接寫出x的取值范圍.

18米

苗圃園

11.為了保護水資源，某市制定了一套節水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下規定:

月用水量（噸）單價（元/噸）

不大于10噸部分1.5

大于10噸不大于機噸部分（20W%W50）2

大于加噸部分3

（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應繳納的水費；

（2）記該用戶六月份用水量為x噸，繳納水費為y元，試列出了與x的函數式；

（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納水費y元的取值范圍為70<yW90,試求機的取值范圍.

12.在平面直角坐標系中，點尸從原點O出發，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度.

（1）實驗操作：

在平面直角坐標系中描出點P從點。出發，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點

的坐標填寫在表格中：

尸從點。出發

可能到達的點的坐標

平移次數

1次(0,2),(1,0)

2次

3次

（2）觀察發現：

任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數的圖象上，如：平移1次后在函數

的圖象上；平移2次后在函數的圖象上……由此我們知道，平移〃次

后在函數的圖象上.（請填寫相應的解析式）

（3）探索運用：

點P從點。出發經過〃次平移后，到達直線y=x上的點0,且平移的路徑長不小于50,不超過56,

求點。的坐標.

13.某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠墻（墻的長度不限），另三邊

用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形488.已知木欄總長為120米，設Z8邊的長為x米，長

方形N2CZ）的面積為S平方米.

（1）求S與x之間的函數關系式，當x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這

個最值；

（2）學校計劃將苗圃內藥材種植區域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓.其圓心分別為。和。2,且

Oi到48、BC、的距離與。2到C。、BC、的距離都相等，并要求在苗圃內藥材種植區域外四周至

4

少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習.當（1）中S取得最值時;請問這個設計是否可

行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請說明理由.

14.王偉準備用一段長30米的籬笆圍成?個三角形形狀的小圈，用于飼養家兔.已知第一條邊長為a米,

由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.

（1）請用a表示第三條邊長；

（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出。的取值范圍；

（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數？若能，說明你的圍法；若不能，請說

明理由.

15.李明在小島上的/處，上午8時測得在力的北偏東60°的D處有一艘輪船，9時20分測得該船航行

到北偏西60°的C處，9時40分測得該船到達位于A正西方5千米的港口B處，如果該船始終保持勻速

直線運動，求：

（1）A,C之間的距離;

（2）輪船的航行速度.

16.長江沿岸的甲乙兩港相距300千米，甲港在乙港的上游，滿載貨物的貨輪從乙港出發，到達甲港卸貨

后，再空載返回乙港，貨輪離開乙港的路程s（千米）隨時間，（小時）的變化關系如圖所示.已知貨輪空

載時在靜水中的速度比滿載時在靜水中的速度快5千米/小時.

（1）求長江水流速度及貨輪空載時在靜水中的速度：

（2）若貨輪在距甲港90千米時接到警報，將有臺風影響航道安全，預報再過4小時此段航道將有暴風雨,

為了安全，貨船必須在4小時之內進入甲港避風.現決定從甲港派出一艘大馬力的動力拖輪，遇到貨輪后,

將其快速拖到甲港.動力拖輪拖著貨輪在靜水中的速度，是它們分別在靜水中速度的平均值.動力拖輪在

靜水中速度是40千米/小時.問：能否在規定時間內將貨輪拖到甲港？請說明理由.

17.在海岸上A處，發現北偏東45°方向、距離為仍—1海里的B處有一走私船.在A處北偏西75°方

向、距離為2海里的C處的我方緝私艇奉命以每小時10小海里的速度向走私船追去，這時走私船正以每

小時10海里的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問：緝私艇沿什么方向行駛，才能在最短時間內追上

走私船？并求出所需時間.（結果保留根號）

5

D

18.李明在進行投籃訓練，他從距地面高1.55米處的。點向籃圈中心/點投出一球，球的飛行路線為拋

物線，當球達到距地面最高點3.55米時，球移動的水平距離為2米.以。點為坐標原點，建立直角坐標

系（如圖所示），測得0/與水平方向08的夾角為30。，A,8兩點相距1.5米.

（1）求籃球飛行路線所在拋物線的解析式；

（2）判斷李明這一投能否把球從O點直接投入籃圈/點（排除籃板球），如果能，請說明理由；如果不能,

那么李明應向前或向后移動多少米，才能投入籃圈Z點？（結果保留根號）

6

二、一元二次方程

1.已知△45C的兩邊48、NC的長是關于x的一元二次方程*2一(2?+3)*+/+3?+2=0的兩個實數根,

第三邊長為5.

(1)當k為何值時，△/8C是以2c為斜邊的直角三角形：

(2)當上為何值時，△/BC是等腰三角形，并求△/BC的周長.

2.已知△Z5C的三邊長為a、b、c,關于x的方程*2—2(a+6)x+c2+2岫=0有兩個相等的實數根，又

siivl>sinB是關于x的方程(m+5)x?—(2"?-5)x+m—8=0的兩個實數根.

(1)求用的值；

(2)若△Z8C的外接圓面積為25兀，求△Z8C的內接正方形的邊長.

3,已知關于x的方程X?—("?+"+1)*+,〃=。("20)的兩個實數根為a、P，且aW/?.

(1)試用含有a、B的代數式表示m和〃；

(2)求證:aWlW夕；

(3)若點尸(?,位在△48C的三條邊上運動，且△力8c頂點的坐標分別為4(1,2),B(y,1),

C(1,1),問是否存在點P,使機+〃=(?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4.請閱讀下列材料：

問題：已知方程/+xT=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設所求方程的根為y,則尸2x,所以尸學

把廠方代入已知方程，得(尹+5―1=0.

化簡，得y+2y—4=0.

故所求方程為y2+2y-4—0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求：把所求方程化為一般形式)；

(1)已知方程/+x-2=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為:

(2)已知關于x的一元二次方程依2+bx+c=0(a70)有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程,

使它的根分別是已知方程根的倒數.

5.已知關于x的一元二次方程x?—2x—/—0=0(<7>0).

(1)證明這個方程的一個根比2大，另一個根比2小；

(2)如果當。=1,2,3,…，2011時，對應的一元二次方程的兩個根分別為外、人,a2>玩,的、為，…，

介11111111八…

。2。“、%U，求五+萬+?+瓦+?+瓦+…+高+標的值?

6.已知關于x的一元二次方程x~—(a+b+c)x+ab+6c+ca=0,且a>b>c>0.

(1)若方程有實數根，求證：。，b,c不能構成一個三角形的三邊長；

(2)若方程有實數根xo，求證：b-ic<xo<a；

(3)若方程的實數根為6和9,求正整數a,b,c的值.

7.已知方程J+2ax+a—4=0有兩個不同的實數根，方程x?+2辦+A=0也有兩個不同的實數根，且其兩

根介于方程/+2水+。—4=0的兩根之間，求k的取值范圍.

1

8.已知關于x的方程/一4x|+3=G.

(1)當人為何值時，方程有4個互不相等的實數根？

(2)當上為何值時，方程有3個互不相等的實數根？

(3)當k為何值時，方程有2個互不相等的實數根？

(4)是否存在實數隊使得方程只有1個實數根？若存在，求發的值和方程的根；若不存在，請說明理由.

9.已知修，X2是關于X的一元二次方程4x?+4加-1b+利2=0的兩個非零實數根，則不與X2能否同號？

若能同號，請求出相應的用的取值范圍；若不能同號，請說明理由.

10.已知a、夕為關于x的方程x2—2mr+3m=0的兩個實數根，且"一份2=16,如果關于x的另一個方程

/-2wx+6m-9=0的兩個實數根都在a和夕之間，求加的值.

11.已知。為實數，且關于x的二次方程a/+(J+l)x—a=0的兩個實數根都小于1,求這兩個實數根的

最大值.

12.求實數”的取值范圍，使關于x的方程/+2(4-1丘+2〃+6=0

(1)有兩個實根即、M，且滿足OVX[VIVx2V4；

(2)至少有一個正根.

13.已知XI、X2是方程J一加X—1=0的兩個實數根，滿足X1<X2，且檢22.

(1)求機的取值范圍；

7m

14.已知關于x的方程x~—(相―2)x—7-=0(機W0)

(1)求證：這個方程總有兩個異號實根；

(2)若這個方程的兩個實根樸X2滿足&l=lxJ+2,求，〃的值及相應的樸如

15.已知△/8C的一邊長為5,另兩邊長恰是方程2X2-12X+S=0的兩個根，求加的取值范圍.

16.已知：a,夕(a>￡)是一元二次方程?一工一1=0的兩個實數根，設si=a+夕，$2=1+/,…，

s產a"+/.根據根的定義，Wa2-a-l=0,將兩式相加，得3+/)—(a+4)-2=0,于是,

得S2-5|-2=0.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)利用配方法求a,夕的值，并直接寫出S1,S2的值；

(2)猜想：當〃》3時，s“，s“2s32之間滿足的數量關系，并證明你的猜想的正確性；

(3)根據(2)中的猜想，求(上乎)"+(土乎)3的值.

17.已知方程1)(x2-2x+/n)=0的三個實數根恰好構成△/8C的三條邊長.

(1)求實數機的取值范圍；

(2)當△48C為直角三角形時，求〃?的值和△NBC的面積.

2

三、反比例函數

4

1.如圖，點力、8在反比例函數了=-彳的圖象上，且點/、8的橫坐標分別為a、2a(a<0).

(1)求△/O8的面積；

(2)若點C在x軸上，點。在y軸上，且四邊形/BCD為正方形，求。的值.

2

2.如圖，點P是反比例函數丁=一；(xVO)圖象上一動點，點4、8分別在x軸，y軸匕且

=2,PA/_Lx軸于M交AB于E,PMLy軸于N,交AB于F.

(1)當動點P的縱坐標為!■時，連接。￡、OF,求尸的面積；

3.如圖，在△0/8中，。/=。8,點Z坐標為(一3小，3),點8在x軸負半軸上.

(1)將△OXB沿x軸向右平移。個單位后，點/恰好落在反比例函數了=平的圖象匕求。的值；

(2)將△048繞點。按逆時針方向旋轉a角(0。<<%<90。).

①當a=30。時，點8恰好落在反比例函數y=5的圖象上，求發的值；

②點工、8能否同時落在①中的反比例函數的圖象上，若能，求a角的大小；若不能，請說明理由.

4.如圖，△408為等腰直角三角形，斜邊。8在x軸上，一次函數y=3x—4的圖象經過點4交夕軸于

點C,反比例函數(x>0)的圖象也經過點4

(1)求反比例函數的解析式；

(2)過。點作。于。點，求。爐一/爐的值；

(3)若點P是x軸上的動點，在反比例函數的圖象上是否存在點0,使得△為0為等腰直角三角形？若

存在，求點。的坐標，若不存在，請說明理山.

5.如圖，已知一次函數的圖象交反比例函數>=—：(x>0)圖象于點力、B,交x軸于點C.

(1)求的〃?的取值范圍；

(2)若點/的坐標是(2,-4),且器=《，求，”的值和一次函數的解析式；

AD3

(3)在(2)的條件下，設點。是一次函數圖象上的第一、四象限內的動點，點。是反比例函數圖象上的

動點，過點P作「軸于尸1，軸于2；過點0作軸于。1,。02，了軸于。2.設點P

的橫坐標為X,請直談寫中使四邊形尸PQP2的面積小于四邊形。0002的面積的X的取值范圍.

6.在平面直角坐標系xQy中，直線人過4(1,0)且與y軸平行，直線6過點B(0,2)且與x軸平行，

直線/i與/2相交于點P.點E為直線/2上一點，反比例函數y=5(k>0)的圖象過點E且與直線6相交

于點F.

(1)若點E與點尸重合，求人的值；

(2)連接OE、OF、EF.若%>2,且△。跖的面積為△產￡戶的面積的2倍，求點￡的坐標；

(3)是否存在點E及y軸上的點加，使得以點M、E、尸為頂點的三角形與△PE尸全等？若存在，求點E

的坐標，若不存在，請說明理由.

2

7.如圖，已知直線/經過點工(1,0),且與曲線(x>0)交于點8(2,1).過點尸(p,p—1)(p

>1)作x軸的平行線分別交曲線y=￡(x>0)和'=一￡(x<0)于A/、N兩點.

(1)求機的值及直線/的解析式；

(2)若點尸在直線y=2上，求證：小PMBs叢PNA；

(3)是否存在實數°,使得S~MN=4SA"M?若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明

理由.

8.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數(x>0)圖象上的任意一點，以P

為圓心，尸。為半徑的圓與x、y軸分別交于點/、B.

(1)判斷P是否在線段上，并說明理由；

(2)求△ZOB的面積；

(3)。是反比例函數(x>0)圖象上異于點P的另一點，請以0為圓心，0。半徑畫圓與x、y軸

分別交于點朋、N,連接NN、MB.求證：AN//MB.

3

9.如圖，將T巨形0/8C放在直角坐標系中，。為坐標原點，點4在y軸正半軸上，點E是邊上的

一個動點(不與點力、5重合)，過點E的反比例函數(x>0)的圖象與邊8c交于點反

(1)若AOAE、△Ob的面積分別為$、&，且SI+$2=2,求發的值；

(2)若。1=2,OC=4,問當點E運動到什么位置時，四邊形O/EF的面積最大，其最大值為多少？

2’3

10.如圖，已知拋物線y=(3—/n)x+2(機-3)x+4m-/n~的頂點/在雙曲線上，直線y=/wx+Z)經過

點4與y軸交于點2,與x軸交于點C.

(1)求直線N8的解析式；

(2)將直線繞點。順時針旋轉90。，與x軸交于點。，與y軸交與點E,求sin/BDE的值；

(3)過點8作x軸的平行線與雙曲線交于點尸，點M在直線8尸上，且到拋物線的對稱軸的距離為6.若

點N在直線8尸上，直接寫出使得N/MB+NZNB=45。的點N的坐標.

11.如圖，在平面直角坐標系中，直線歹=3(機>0)與雙曲線交于4、B兩點,過點力作4C〃x

軸，過點8作BC〃歹軸，/C與8c交于點C,ZC與y軸交于點M,8C與x軸交于點N,若NB/C=60。,

AB—4.

(1)求/?、k的值；

(2)將?把三角尺的直角頂點放在原點。處，繞著點O旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線C4、

射線BC于點尸、Q,設點尸的橫坐標為x,P。的長為L當點尸在邊“C上運動時，求工與x的函數關

系式；

(3)當△PQC的面積為坐時，求點P的坐標.

4

12.如圖，在平面直角坐標系中，直線了=方+1QWO)與x軸交于點4與y軸交于點8,與雙曲線y

=?在第三象限的交點為C(—2小，w)，且△NOB的面積為坐.

(1)求k的值；

(2)以8c為一邊作等邊三角形8CD,求。點的坐標.

13.已知一次函數y=2x+8與反比例函數＞=§的圖象相交于力、8兩點，點/的橫坐標為X1，點8的橫

坐標為X2,且X]-X2=2.

(1)求無的值;

(2)求△ZO8的面積；

(3)若條開口向下的拋物線經過“、8兩點，并在過點/且與02平行的直線上截得的線段長為仃，

求拋物線的解析式.

5

14.如圖，已知力、8兩點的坐標分別為4（0,2小），B（2,0）直線與反比例函數y=?的圖象交

與點C和點。（-1,a）.

（1）求直線N8和反比例函數的解析式；

（2）求N/C。的度數；

（3）將△08C繞點。逆時針方向旋轉a角（a為銳角），得到△08'。'，當a為多少度時0CU/8,并求

此時線段N8'的長.

15.在矩形ZO8C中，04=4,08=6.分別以08、OZ所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直

角坐標系.F是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數丁=§*>0）的圖象與NC

邊交于點E.

（1）若點E的坐標為（2,4）,求經過。、E、尸三點的拋物線的解析式；

（2）設點P是（1）中所求拋物線上一點，且△PEF的面積等于aOE尸的面積，求點尸的坐標；

（3）是否存在這樣的點尸，使得將/沿E尸對折后，C點恰好落在上？若存在，求出此時。尸的

長；若不存在，請說明理由.

16.如圖，矩形的頂點Z在坐標原點，頂點8坐標為（一2,1）,頂點C在y軸上.

（1）求頂點D的坐標；

（2）將矩形ABCD繞點。順時針旋轉，使點D落在x軸的點G處，得到矩形AEFG,EF與AD交于點M,

過點M的反比例函數圖象交FG于點N,求△ZMV的面積;

（3）求證：△4MV是直角三角形.

6

M7

17.如圖，已知反比例函數（加是常數，加/0），一次函數（。、b為常數,aHO）,其中一

次函數與x軸，y軸的交點分別是/（-4,0）,B（0,2）.

（1）求一次函數的關系式；

（2）反比例函數圖象上有一點尸滿足：①以，x軸；②PO=p（。為坐標原點），求反比例函數的關系

式；

（3）求點P關于原點的對稱點。的坐標，判斷點。是否在該反比例函數的圖象上.

18.如圖，已知反比例函數（加>0）的圖象與一次函數y=—x+6的圖象分別交于4（1,3）、8兩

點.

（1）求加、b的值；

（2）若點〃是反比例函數圖象上的-動點，直線MC”軸于C,交直線于點軸于

軸于E.設四邊形MDOC、NEOC的面積分別為&、S2,S^S2-SX,求S的最大值.

19.如圖，已知函數夕=5（x>0）的圖象與一次函數y=Ax+6的圖象交于點/（1,機），B（〃，2）兩點.

（1）求一次函數的解析式；

（2）將一次函數丁=丘+6的圖象沿x軸負方向平移。（?>0）個單位長度得到新圖象，求這個新圖象與

函數（x>o）的圖象只有一個交點"時。的值及交點A7的坐標.

7

3

20.如圖，一次函數的圖象與反比例函數》=—W（x<0）的圖象相交于/點，與y軸、x軸分別相交于8、

C兩點，且C（2,0）.當x<-l時，一次函數值大于反比例函數值，當》>一1時，一次函數值小于反比

例函數值.

（1）求一次函數的解析式；

（2）設函數以=￡（x>o）的圖象與力=一?（x<0）的圖象關于y軸對稱，在（%>o）的圖象上

取點P（尸點的橫坐標大于2）,過尸作軸，垂足為0,若四邊形8c0尸的面積等于2,求尸點的

坐標.

21.如圖，已知二次函數y=a/+2x+c（90）圖象的頂點M在反比例函數尸1?的圖象上，且與x軸相

交于4、8兩點.

（1）若二次函數圖象的對稱軸為x=—試求a、c的值；

（2）在（1）的條件下，求線段的長；

（3）若二次函數圖象的對稱軸與x軸的交點為M當NO+MN取最小值時，試求二次函數的解析式.

22.如圖，一次函數了="+4的圖象與反比例函數y=￡（x>0,機>0）的圖象交于/、8兩點，與x軸、

y軸分別交于C、。兩點.

（1）求證：AC=BD；

（2）若△C。。的面積是△N08的面積的也倍，求左與〃?之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數人和相，使得以N8為直徑的圓經過點P（2,0）?若存在，求出％

和機的值；若不存在，請說明理由.

8

23.已知一次函數y=-：x+b的圖象與反比例函數(x>0)的圖象交于Z、8兩點，與x軸、y軸

分別交于C、。兩點.

(1)如圖1,若4B=24C,求b的值；

(2)在(1)的條件下，將塊直角三角板的直角頂點尸放在反比例函數(x>0)圖象的48段上滑

動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段N8分別交于。、R兩點.設點尸的橫坐標為x,Q?的長為L

求入關于x的函數關系式，并求上的最大值；

(3)如圖2,過點工作直線ZE〃x軸，交y軸于點E；過點3作直線8尸〃y軸交x軸于點尸，交直線NE

于點G.當四邊形。1G8的面積為8時，請判斷線段力E與，G的大小關系，并說明理由.

24.如圖，已知反比例函數的圖象經過/(-1,a)、B(2,。+3d5)兩點，點C的坐標為(-1,0).

(1)求反比例函數的解析式；

(2)在反比例函數的圖象上求點，

B、C、。為頂點的四邊形是梯形.

9

25.如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線過點”(-4,1),點P是雙曲線上一動點(不與/重合),

過點4和P分別向兩坐標軸作垂線，垂足分別為B、C和。、E.

(1)求k、Syoc及S”DC的值；

(2)判斷/尸和DC的位置關系，并說明理由；

(3)若點尸在雙曲線上運動時，探索以/、

能，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；

26.已知關于x的一元二次方程(a—l)x：+(2—3o)x+3=0.

(1)求證：當。取不等于1的實數時，此方程總有兩個實數根；

114

(2)若根，〃(w<;7)是此方程的兩根，且｝_+"=y,直線/：〃交x軸于點4,交y軸于點3,

坐標原點O關于直線/的對稱點O'在反比例函數>=￡的圖象上，求反比例函數的解析式；

(3)在(2)的條件下，將直線/繞點力逆時針旋轉。角(0°<0<90°),得到直線廣交y軸于點P,

過點P作x軸的平行線，與(2)中的反比例函數圖象交于點。，當四邊形/尸0。'的面積為9-歲

時,

求6角的大小.

y

OX

27.在平面直角坐標系中，一次函數y=-5x+5的圖象交x軸于點4,交y軸于點交直線歹=x-l于

點C,過點4作歹軸的平行線交直線y=x-l于點。，點E為線段力。上點，且tanNZ)CE=5.動點產

從原點。出發沿04邊向點Z勻速運動，同時，動點。從3點出發沿8。邊向原點。勻速運動，點尸與

點。同時到達4點和。點，設80=機.

10

(1)求點E的坐標；

(2)在整個運動過程中，是否存在這樣的實數打，使得△PQD為直角三角形.若存在，求用的值；若不

存在，請說明理由；

kk

(3)反比例函數了=個的圖象經過點C,/?為了=點圖象上一點，在整個運動過程中，若以P、。、E、R

為頂點的四邊形是平行四邊形，

B

O

Z1

11

四、二次函數

1.設函數^=62+(2左+1)》+1(左為實數).

(1)寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這

兩個函數的圖象；

(2)根據所畫圖象，猜想出：對任意實數左，函數的圖象都具有的特征，并給予證明；

(3)對任意負實數A,當xV/n時，y隨著x的增大而增大，試求出機的一個值.

2.在平面直角坐標系xQy中，二次函數歹=/?/+(m—3)x—3(w>0)的圖象與x軸交于Z、B兩點(點Z

在點8左側)，與y軸交于點C.

(1)求點力的坐標；

(2)當乙48c=45。時，求切的值；5-

4-

(3)已知一次函數點P(",0)是x軸上的一個動點.在(2)

3-

的條件下，過點尸垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點“，交二2-

次函數優?+(s-3)x-3(m>0)的圖象于N.若只有當一2<〃<2時，1-

點M位于點N的上方，求這個一次函數的解析式.-3-2~\023X

-1,

-2-

-3-

33

3.已知平面直角坐標系--次函數y=ix+3的圖象與y軸交于點4點〃在正比例函數的

圖象上，且二次函數y=l+6x+c的圖象經過點/、M.

(1)求線段的長：

(2)求這個二次函數的解析式；

(3)若點8在y軸上，點C在上述二次函數的圖象上，點。在一次■

31

函數y=；x+3的圖象上，且四邊形43co是菱形，求點。的坐標.

O1X

-

4.已知二次函數y=a/+6x+c和一次函數y=-bx,其中實數。、b、c滿足〃>b>c,a+b+c^O.

(1)求證：這兩個函數的圖象交于不同的兩點；

(2)設這兩個函數的圖象交于AB兩點,作/小，x軸于小，821_Lx軸于叢，求線段小5長的取值范

圍.

5.已知二次函數y=or~-4fcv+4c(a>0)有兩個實數根x”x2,且2<XI<X2W3.

(1)求證：存在以“，b,c為邊長的三角形；

(2)求證：TT-<-sl—+-r-.

b+ca+cb+a

6.已知二次函數ynx'+bx+c(cVO)的圖象與x軸交于點/、B,與歹軸交于點C,△/8C的外接圓的

圓心為點尸.

(1)證明：。尸與y軸的另一個交點為定點；

(2)如果恰好為。尸的直徑且以"c=2,求b和c的值.

7.已知關于x的二次函數yi=(加+2)工一2、一1和/=(m+2)x~+mr+〃7+l的圖象都經過x軸上的點(必

0).

(1)求加的值;

(2)將二次函數川=(帆+2日2—以一1的圖象先沿x軸翻折，再向下平移3個單位，得到一個新的二次函

數X的圖象.

①求為的解析式；

②在所給的坐標系中畫出外和心的大致圖象，并結合函數的圖象回答：當x取何值時，為〉為？

Y-4-/7

8.已知關于x的方程：巖—4—1=0有一個增根為6,另一根為c.

(1)求4、C的值；

33

(2)若二次函數y=ax27+6x+c+7圖象與x軸交于E、尸兩點，在此二次函數的圖象上求

一點P,使的面積最大，求點尸的坐標.

9.已知：二次函數y=x2+6x-3的圖象經過點尸(一2,5).

(1)求6的值，并寫出當l〈xW3時y的取值范圍；

(2)設Pi(m,%)、P2(/w+1,力)、A(團+2,為)在這個二次函數的圖象上.

①當用=4忖，必、及、為能否作為同一個三角