等腰、直角三角形1/34基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1．等腰三角形：

(1)性質(zhì)：

相等，

相等，底邊上高線、中線、頂角角平分線“三線合一”；

(2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一三角形是等腰三角形．2．等邊三角形：

(1)性質(zhì)：

相等，三內(nèi)角都等于

；

(2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個角是60°等腰三角形是等邊三角形．關(guān)鍵點梳理兩腰兩底角三邊60°2/343．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.(1)性質(zhì)：邊與邊關(guān)系：(勾股定理)a2＋b2＝

；

(2)角與角關(guān)系：∠A＋∠B＝

；

(3)邊與角關(guān)系：若∠A＝30°，則a＝c，b＝c；若a＝c，則∠A＝30°；若∠A＝45°，則a＝b＝c；若a＝c，則∠A＝45°；斜邊上中線m＝c＝R.其中R為三角形外接圓半徑．

(4)判定：有一個角是直角三角形是直角三角形；假如三角形三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；假如三角形一條邊上中線等于這條邊二分之一，那么這個三角形是直角三角形．c290°3/34[難點正本疑點清源]

1．等腰三角形特殊性

“等邊對等角”是今后我們證實角相等又一個主要依據(jù)．“等角對等邊”能夠判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證實兩條線段相等主要依據(jù)．等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形擁有等腰三角形全部性質(zhì)，但不分頂角、底角、腰、底邊．因為等邊三角形任何一個角都為60°，任何一條邊都可看做腰或底邊．解答等腰三角形相關(guān)問題時，常作輔助線，結(jié)構(gòu)出“三線合一”基本圖形．在添加輔助線時，要依據(jù)詳細(xì)情況而定，表示輔助線語句，不能限制條件過多，如一邊上高而且要平分這條邊；作一邊上中線而且垂直平分這條邊；作一個角平分線并且垂直對邊等等，這些都是不正確．4/34基礎(chǔ)自測1．(·濟寧)假如一個等腰三角形兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形周長是(

)A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm

答案D

解析這個三角形周長是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.5/342．(·銅仁)以下關(guān)于等腰三角形性質(zhì)敘述錯誤是(

)A．等腰三角形兩底角相等

B．等腰三角形底邊上高、底邊上中線、頂角平分線互相重合

C．等腰三角形是中心對稱圖形

D．等腰三角形是軸對稱圖形

答案C

解析等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．6/343．(·蕪湖)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE交點，CD＝4，則線段DF長度為(

)A．2

B．4C．3

D．4

答案B

解析在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易證△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.7/348/349/345．(·雞西)如圖，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連結(jié)DE、EF.以下結(jié)論：①tan∠ADB＝2；②圖中有4對全等三角形；③若將△DEF沿EF折疊，則點D不一定落在AC上；④BD＝BF；⑤S四邊形DFOE＝S△AOF，上述結(jié)論中正確個數(shù)是(

)A．1個B．2個C．3個D．4個答案C10/3411/3412/34題型分類深度剖析【例1】

(1)方程x2－9x＋18＝0兩個根是等腰三角形底和腰，則這個三角形周長為(

)A．12B．12或15C．15D．不能確定

答案C

解析解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周長為3＋6＋6＝15，應(yīng)選C.(2)假如等腰三角形一個內(nèi)角是80°，那么頂角是________度．

答案80或20

解析頂角是80°，或當(dāng)?shù)捉鞘?0°時，頂角是180°－2×80°＝20°.探究提升在等腰三角形中，假如沒有明確底邊和腰，某一邊能夠是底，也能夠是腰．一樣，某一角能夠是底角也能夠是頂角，必須仔細(xì)分類討論．題型一等腰三角形相關(guān)邊角討論13/34知能遷移1

(1)(·株洲)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC.①求∠ECD度數(shù)；②若CE＝5，求BC長．14/34解①解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.

解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.

又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.15/34②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝∠A＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.

解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.16/34(2)(·煙臺)等腰三角形周長為14，其一邊長為4，那么，它底邊為___________________．

答案4或6

解析①等腰三角形底邊為4；②等腰三角形兩腰為4時，則底邊等于14－4－4＝6.17/34題型二等腰三角形性質(zhì)【例2】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC中點，且AE＝BF，試判斷△DEF形狀．18/34解題示范——規(guī)范步驟，該得分，一分不丟！解：連接AD，在等腰Rt△ABC中，∵AD是中線，∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD.

又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.[2分]

在△BDF和△ADE中，∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分]∴DF＝DE，∠1＝∠2.

又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]19/34探究提升作等腰三角形底邊中線，結(jié)構(gòu)等腰三角形“三線合一”基本圖形，是常見輔助線作法之一．20/34知能遷移2已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC距離分別為DE、DF.當(dāng)D點在什么位置時，DE＝DF？并加以證實．21/34解當(dāng)點D在BC中點時，DE＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵點D是BC中點，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.22/34題型三等邊三角形【例3】

(1)已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC度數(shù)．23/34解∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等邊三角形．∴∠PAQ＝60°，∠APQ＝60°.∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝×60°＝30°.

同理：∠C＝∠CAQ＝30°，∴∠BAC＝30°＋60°＋30°＝120°.24/34(2)(·大興安嶺)如圖所表示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點

O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則以下結(jié)論：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.

其中正確結(jié)論個數(shù)(

)A．1個B．2個C．3個D．4個

答案D25/34解析由△BCD≌△ACE，可得①AE＝BD成立；由△ACG≌△BCF，可得②AG＝BF成立；∵△ACG≌△BCF，∴CG＝CF，又∠ACD＝60°，∴△FCG是等邊三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴③FG∥BE成立；過C畫CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別是M、N，∵△BCD≌△ACE，∴CM＝CN，∴點C在∠BOE角平分線上，OC平分∠BOE，即④∠BOC＝∠EOC成立．26/34探究提升在解題過程中要充分利用等邊三角形特有性質(zhì)，每個角都相等，每條邊都相等，這能夠讓我們輕松找到證實全等所需條件．27/34知能遷移3如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點F.

(1)求證：AD＝CE；

(2)求∠DFC度數(shù)．28/34解(1)在等邊△ABC中，

AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，又BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE.

(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠DFC是△AFC外角，∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC

＝∠BAD＋∠DAC

＝∠BAC＝60°.29/34答題規(guī)范考題再現(xiàn)在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC度數(shù)．學(xué)生作答

解：如圖1，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.