篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結合自己教學經(jīng)驗和學生實際情況后，最終創(chuàng)作出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業(yè)，還適合階段復習的大綜合系列。《2023-2024學年四年級數(shù)學下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優(yōu)點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學創(chuàng)作社2024年4月30日2023-2024學年四年級數(shù)學下冊典型例題系列第七單元三角形·特性篇【八大考點】專題解讀本專題是第七單元三角形·特性篇。本部分內(nèi)容包括三角形的定義、性質(zhì)、高的認識及畫法、三邊關系規(guī)律及應用等，細分考點較多，難度不大，建議作為本章核心內(nèi)容進行講解，一共劃分為八個考點，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】三角形的概念與表示 3【考點二】數(shù)三角形 5【考點三】三角形的性質(zhì)與應用 6【考點四】三角形的高 9【考點五】三角形的高的畫法 10【考點六】兩點間的距離 13【考點七】三角形三邊關系定理其一：判斷三角形 14【考點八】三角形三邊關系定理其二：求三角形的邊長 16典型例題【考點一】三角形的概念與表示。【方法點撥】1.三角形的定義。由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形。2.三角形的組成。三角形有3條邊、3個角和3個頂點。3.三角形的表示。三角形的表示方法有多種，常用的方法包括頂點表示法、邊長表示法和角度表示法。（1）頂點表示法。頂點表示法是最常見的三角形表示方法，它用三個大寫字母表示三角形的頂點。例如，三角形ABC表示由點A、點B和點C組成的三角形。（2）邊長表示法。邊長表示法是通過表示三角形的三條邊的長度來表示三角形。例如，三角形ABC的三條邊分別為AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。（3）角度表示法。角度表示法是通過表示三角形的三個內(nèi)角的大小來表示三角形。例如，三角形ABC的三個內(nèi)角分別為∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。【典型例題】看圖填一填。（1）在括號里標出各部分名稱。（2）由()條線段()成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形。（3）為了表達方便，若用字母A、B、C分別表示一個三角形的3個頂點，則這個三角形可以表示成()。（4）三角形有()條邊，()個角，()個頂點。【答案】（1）見詳解；（2）三，圍；（3）△ABC；（4）3，3，3【分析】由平面上不在同一條直線上的三條線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形；三角形有三條邊。【詳解】（1）如下圖：

（2）由（三）條線段（圍）成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形。（3）為了表達方便，若用字母A、B、C分別表示一個三角形的3個頂點，則這個三角形可以表示成（△ABC）。（4）三角形有（3）條邊，（3）個角，（3）個頂點。【點睛】本題考查三角形的定義、特征以及三角形的表示方法，熟練掌握并靈活運用。【對應練習】由()條線段()成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形。下圖用字母A、B、C分別表示三角形的3個()，這個三角形可以表示成()。【答案】3圍頂點三角形【詳解】本題考查三角形的定義、特征及表示方法。三角形是由3條線段圍成的圖形，有3條邊、3個角和3個頂點。可以用3個頂點表示三角形，如題圖中的三角形可以表示為三角形。【考點二】數(shù)三角形。【方法點撥】數(shù)三角形從小到大，按順序數(shù)，避免漏數(shù)。【典型例題】數(shù)一數(shù)。()個三角形。解析：單個的三角形是4個，2個三角形組成的三角形是3個，3個三角形組成的三角形是2個，4個三角形組成的三角形是1個，據(jù)此加起來即可解答問題。4＋3＋2＋1＝7＋2＋1＝9＋1＝10（個）【對應練習1】數(shù)一數(shù)，下圖中一共有()個三角形。解析：由三條邊組成的封閉圖形是三角形，只含有一個三角形的有3個，有兩個小三角形組成一個大三角形的有5個，含有多個圖形組成三角形的有4個。3＋5＋4＝12（個）【對應練習2】圖中有()個三角形。解析：圖中單獨的三角形有4個，由四個單獨的三角形組成的三角形有1個，則一共有（4＋1）個三角形。4＋1＝5（個）【對應練習3】下圖中共有()個三角形。解析：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形，依此計算出三角形的個數(shù)即可。3＋2＝5（個），即圖中共有5個三角形。【考點三】三角形的性質(zhì)與應用。【方法點撥】1.三角形具有穩(wěn)定性。2.四邊形具有不穩(wěn)定性。【典型例題1】其一。下圖中，一扇窗戶打開后，可以用窗戶擋風撐桿AB將其固定，窗戶就不會被風吹得晃動。這里運用到的數(shù)學知識是()。【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)圖片可知，擋風撐桿AB與窗戶形成了一個三角形，三角形具有穩(wěn)定性，據(jù)此解答即可。【詳解】擋風撐桿AB與窗戶形成了一個三角形，三角形具有穩(wěn)定性，所以窗戶就不會被風吹得晃動。所以這里運用到的數(shù)學知識是：三角形具有穩(wěn)定性。【對應練習1】斜拉橋的設計運用了三角形有()的特性，伸縮門的設計運用了()易變形的特性。【答案】穩(wěn)定性平行四邊形【分析】三角形穩(wěn)定性是指三角形具有穩(wěn)定性，有著穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點。平行四邊形的不穩(wěn)定性又叫做易變形性，是指平行四邊形邊長確定，其形狀、大小不能完全確定。【詳解】斜拉橋的設計運用了三角形有穩(wěn)定性的特性，伸縮門的設計運用了平行四邊形易變形的特性。【點睛】解答此題的關鍵是明確三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形的不穩(wěn)定性，需熟練掌握。【對應練習2】伸縮門做成平行四邊形是利用了平行四邊形的()，把自行車的車架做成三角形是利用了三角形的()。【答案】不穩(wěn)定性穩(wěn)定性【分析】平行四邊形易變形，具有不穩(wěn)定性，三角形不易變形，具有穩(wěn)定性，這兩種特性在人們的生產(chǎn)生活中有很多應用，據(jù)此即可解答。【詳解】根據(jù)分析可知，伸縮門做成平行四邊形是利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性，把自行車的車架做成三角形是利用了三角形的穩(wěn)定性。【點睛】本題主要考查學生對平行四邊形和三角形特征及性質(zhì)的掌握。【典型例題2】其二。要使下圖的架子更穩(wěn)固，可以怎樣加固它？在圖中畫一畫。【答案】見詳解【分析】三角形具有穩(wěn)定性，據(jù)此可以可以加固一根鋼管，形成三角形即可。（答案不唯一）【詳解】可以加固一根鋼管，形成三角形，如下：【點睛】此題考查了三角形的特性：穩(wěn)定性，應注意在生活中的應用。【對應練習1】如圖，王叔叔用木條釘成了一個長方形的木框，請你想辦法給這個木框加固，使其不會變形。把你的想法畫在下圖中。【答案】見詳解【分析】利用三角形的特性，因為三角形的穩(wěn)定性很好，三角形越多，穩(wěn)定性越好。將長方形構造為三角形，增強了它的穩(wěn)定性即可。【詳解】根據(jù)分析得，可以斜著加一根木條，利用三角形的穩(wěn)定性，可以使它更牢固。如圖：【點睛】此題的解題關鍵是靈活利用三角形的穩(wěn)定性并運用在實際生活中。【對應練習2】小強用小木棍圍成的籬笆穩(wěn)固嗎？如果不穩(wěn)固，你能幫他添上一根小木棍變得穩(wěn)固嗎？試著畫一畫。【答案】不穩(wěn)固；利用三角形的穩(wěn)定性可以變穩(wěn)固；【解析】略【考點四】三角形的高。【方法點撥】從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底（如圖）。注意事項：三角形的底與高是相對應的，它們是一組互相垂直的線段，在哪一條邊上作高，這條邊就是這條高所對應的底。【典型例題】如圖△ABC中，BC邊上的高是線段()，AB邊上的高是線段()。解析：AE；CD【對應練習1】以BC邊為底，高是()；以AC邊為底，高是()。解析：AN；BM【對應練習2】以BC邊為底，高是()；以AC邊為底，高是()。解析：AN

BM【考點五】三角形的高的畫法。【方法點撥】因為三角形有3個頂點，過每個頂點都可以向?qū)呑饕粭l垂線段，所以任意一個三角形都可以作3條高，由于三角形的形狀不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下圖）【典型例題】說出下面每個三角形各部分的名稱，并畫出指定底邊上的高。【答案】見詳情【分析】已知三角形的底，兩邊的角為底角，另一個角為頂角，有一個底，兩條邊，高是從頂點起垂直與底角的線，據(jù)此畫圖即可。【詳解】如圖：【對應練習1】畫出每個三角形指定底邊上的高。【答案】見詳解【分析】經(jīng)過三角形的頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鳟嬀€，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高，再添上垂足，用三角板的直角可以畫出三角形的高；據(jù)此解答即可。【詳解】【對應練習2】分別畫出下面三角形對應底邊上的高。【答案】見詳解【分析】經(jīng)過三角形的頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高，用三角板的直角可以畫出三角形的高。直角三角形一條直角邊是另一直角邊為底的高。【詳解】作圖如下：【對應練習3】畫出下列圖形的一條高。

【答案】見詳解【分析】從三角形任一頂點向它的對邊或者對邊的延長線作垂線，從頂點到垂足間的線段叫做三角形的高。這個頂點所對的邊叫做三角形的底。從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段叫做梯形的高。梯形有2條底，有無數(shù)條高。高一般用虛線表示，并畫上垂足符號。從平行四邊形的一條邊上的任意一點都可以向?qū)呑鞔怪本€段，即是平行四邊形的高，平行四邊形的每一條邊都可以看做是底，所以平行四邊形有4條底，有無數(shù)條高。高一般用虛線表示，并畫上垂足符號。【詳解】

【點睛】熟練掌握三角形、梯形、平行四邊形的高以及畫法是解答本題的關鍵。【考點六】兩點間的距離。【方法點撥】兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離。【典型例題】從小華家到學校有三條路線如下圖，請你選擇一條最近的路線并說明理由。如果小華家到學校的距離是1200米，小華步行需要15分鐘，平均每分鐘走多少米？解析：選第②條路線最近，因為兩點間所有連線中線段最短；80米【對應練習1】小熊要回家，走哪條路最近？為什么？解析：第①條路【對應練習2】（1）上面三幅圖中，()應用了三角形的穩(wěn)定性。（2）在三角板中，如果以它的AC邊為高，那么對應的底是線段()。（3）你認為曉玲上學走哪條路最近？為什么？解析：（1）上面三幅圖中，籬笆應用了三角形的穩(wěn)定性。（2）在三角板中，如果以它的AC邊為高，那么對應的底是線段BC。（3）我認為曉玲上學走中間這條路最近，因為兩點間所有連線中線段最短。【對應練習3】看圖回答問題。周末，實驗小學的李老師要去吳軍家進行家訪。從李老師家到吳軍家有()條路可以走。哪條路最近？請說明理由。解析：3；走直接去吳軍家那條路最近，因為兩點間所有連線中線段最短。【考點七】三角形三邊關系定理其一：判斷三角形。【方法點撥】三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。【典型例題】下列能組成三角形的線段的長（單位：厘米）是()。A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6【答案】A【分析】判斷三角形能否構成，關鍵是看三條線段是否滿足：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。但通常不需一一驗證，其簡便方法是將較短兩邊之和與較長邊比較。【詳解】A．10＋10＝20＞12，兩邊之和大于第三邊，可以組成三角形；B．1＋6＝7，兩邊之和等于第三邊，不能組成三角形；C．3＋3＝6＜7，兩邊之和小于第三邊，不能組成三角形；D．2＋4＝6，兩邊之和等于第三邊，不能組成三角形。故答案為：A【對應練習1】下面的哪組線段能圍成一個三角形()。A．6、7、8 B．4、5、10 C．3、6、9【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；進行解答即可。【詳解】A．6＋7＞8B．4＋5＜10C．3＋6＝9所以，6、7、8三條線段能圍成一個三角形。故答案為：A【對應練習2】下面哪組線段不能圍成三角形()。A．4、5、6 B．14、15、29 C．10、6、9【答案】B【分析】三角形中任意兩邊的和大于第三邊，分別求出三組數(shù)據(jù)中，較小兩個數(shù)的和，把這個和與第三個數(shù)比較大小，若大于這個數(shù)，能圍成三角形，否則不能圍成三角形。【詳解】A．4＋5＝9，9＞6，可以圍成三角形；B．14＋15＝19，19＝19，不能圍成三角形；

C．9＋6＝15，15＞10，能圍成三角形；故答案為：B【對應練習3】下面每一組都有3根小棒，其中能圍成三角形的是第()組。A．4cm、3cm、7cm B．9cm、15cm、7cm C．9cm、12cm、2cm【答案】B【分析】根據(jù)三角形兩邊之和必然大于第三邊，逐項分析即可。【詳解】A．3＋4＝7，所以不能圍成三角形；B．9＋7＞15，所以能圍成三角形；C．2＋9＜12，所以不能圍成三角形。故答案為：B【考點八】三角形三邊關系定理其二：求三角形的邊長。【方法點撥】三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。【典型例題1】邊長的最值。王老師準備了12厘米和6厘米的木棒各一根，現(xiàn)在他想拼成一個三角形，這個三角形第三邊最長是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米）解析：12＋6＝18（厘米）12－6＝6（厘米）根據(jù)三角形的三邊關系，因此三角形的第三邊必須在6厘米和18厘米之間（不包括6厘米和18厘米），因此最長是：18－1＝17（厘米）最短是：6＋1＝7（厘米）答：這個三角形第三邊最長是17厘米；最短是7厘米。【對應練習1】已知一個三角形的兩條邊分別是6厘米和10厘米，如果第三邊的長恰好是整數(shù)，那么，第三邊最長是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米數(shù)）解析：10＋6＝16（厘米）10－6＝4（厘米）則第三條邊應比16厘米短，比4厘米長。因為要求