學年第二學期衢州五校聯盟期中聯考高一年級數學學科試題考生須知：本卷共4頁滿分分，考試時間分鐘.答題前，在答題卷指定區域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數字.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用解一元二次不等式求解集，即可求交集.【詳解】由，所以，故選：C.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】“”是“”成立的充分條件;舉反例推出“”是“”成立的不必要條件,故選A.第1頁/共18頁【點睛】本題主要考查了必要條件、充分條件的判斷.充分條件與必要條件是中學數學最重要的數學概念之一,要理解好其中的概念.3.已知函數的定義域為，則實數的取值范圍（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】轉化為，對恒成立，利用判別式法求解.【詳解】因為函數的定義域為，所以，對恒成立，當時，，符合題意；由，得，綜上：實數取值范圍是，故選：B4.如圖一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據斜二測畫法的規則，由直觀圖的特征推出原平面圖形的形狀及相關邊長，再利用梯形面積公式計算原平面圖形的面積．【詳解】在直觀圖中作，垂足分別為E，F，第2頁/共18頁則確定原平面圖形的形狀及部分邊長：在斜二測畫法中，平行于y軸的線段，在原圖形中長度變為直觀圖中對應線段長度的倍．已知直觀圖是底角為，腰和上底均為的等腰梯形，因為直觀圖中腰長為且平行于y軸，所以原平面圖形為直角梯形，其直角腰長為直觀圖中腰長的倍，即；上底邊長在斜二測畫法中長度不變，所以原平面圖形上底邊長為．原圖如下：將原平面圖形上底，下底，高代入公式，可得．原平面圖形的面積是．故選：A．5.關于函數，下列說法不正確的是（）A.周期為B.在上不單調C.是它的一條對稱軸D.有一個對稱中心【答案】D【解析】【分析】對于A，由周期公式可判斷正誤；對于B、C、D，有兩種方法判斷正誤，一種是利用的單調區間、對稱軸、對稱中心，將看成一個整體，將反解出來即得的單調區間、第3頁/共18頁的單調區間、對稱軸、對稱中心，由此可判斷正誤，注意本題是選非題，故選擇不正確的選項.【詳解】對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，由，得，因為在上不單調，所以在上不單調，故B正確；對于C，當時，，因為是的一條對稱軸，所以時是一條對稱軸，故C正確；對于D，當時，，而是的一條對稱軸，而非對稱中心，故不是的一個對稱中心，故D不正確.故選：D.6.若，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的概念列式即可求數量積，從而可求夾角大小.【詳解】根據在方向上的投影向量為，可得：，根據，又因為，所以，又因為，所以，第4頁/共18頁故選：B.7.靈山江畔的龍洲塔，有“人文薈萃，學養深厚”的福地一說.如圖，某同學為了測量龍洲塔的高度，在地面處測得塔在南偏東后到達D的方向上，處測得塔尖的仰角為，則可得龍洲塔高度為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據題意得到角度和邊，則在中，由正弦定理可求得，而塔是垂直于地面的，故在中，結合仰角和可算得龍洲塔高度.【詳解】由題意可知，所以，在中，由正弦定理可得，因為處測得塔尖仰角為，即，則在中，龍洲塔高度為.故選：C.8.定義在上的偶函數滿足：當時，，且當時，，則的零點個數是（）A.6個B.7個C.8個D.無數個【答案】C【解析】【分析】將的零點轉化為與圖像交點個數，畫出圖像，看第5頁/共18頁交點即可.【詳解】的零點，則，即的根個數，畫出與圖像，看兩個函數圖像交點個數即可.當時，，畫出此部分圖像，再根據當時，，即表示x隔2函數值減半，畫出y軸右側圖像.最后根據偶函數圖像性質，得到y軸左側圖像.根據圖像，知道的零點個數是8個.故選：C.二?36分全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.下列各組函數的圖象，能夠通過左右平移實現重合的是（）A與B.與C.與D.與【答案】AD【解析】【分析】A通過誘導公式即可判斷；B通過兩個函數的最低點判斷；C反證法，在一個函數圖象上找出兩個特殊點通過平移判斷能否在另一個圖象上；D通過指數運算和對數性質可得.【詳解】因，則將函數圖象向左平移個單位可得，故A正確；因，則其最低點坐標為，第6頁/共18頁而最低點坐標為，故無法只通過左右平移實現，故B錯誤；因圖象上存在點，圖象上存在，若函數圖象可左右平移得到，則將函數圖象向右平移個單位即可得到，而函數圖象上的點向右平移個單位后得到的點不在圖象上，故C錯誤；，則將函數圖象上的點向左平移個單位即可得到，故D正確.故選：AD10.在中，內角所對的邊分別是，則下列說法正確的是（）A.若，則的外接圓的面積是B.若，則是等腰三角形C.若，則可能等于10D.若，則的面積為或【答案】ACD【解析】AB本不等式計算即可判斷C；根據余弦定理和三角形面積公式計算即可判斷D.【詳解】A：由正弦定理得為得，所以該外接圓的面積為，故A正確；B：由正弦定理得，即，得或，解得或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；第7頁/共18頁C：由余弦定理得，即，得，當且僅當時取到“=”，又，所以，故C正確；D：由余弦定理得，即，整理得，解得或2.當時，，；當時，，，故D正確.故選：ACD在中，是中點，與BD交于點F）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】選定作為基底，根據圖形的幾何關系以及向量的線性運算，結合三角形面積公式以及數量積的運算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由是的中點，則，第8頁/共18頁由圖可得，，可得，解得，則，由，，則，故A錯誤；由，，則，即，由，則，由圖可得，，則，故B正確；由，，，則，故C正確；由，，則，故D正確.故選：BCD.非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知復數是方程的一個根，則復數的模的值為__________.【答案】【解析】【分析】求出復數后利用公式可求其模.【詳解】即為，故，故，故答案為：第9頁/共18頁13.—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，記，則三角形面積為.已知中，，則的內切圓半徑為__________.【答案】【解析】【分析】利用海倫公式結合等面積法，即可求三角形內切圓半徑.【詳解】根據海倫公式，可知：，再設內切圓半徑為，則有，故答案為：.14.在正四面體ABCD中，分別為的中點，，截面EFG將四面體分成兩部分，則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是__________.【答案】【解析】【分析】根據平面的公理，將平面進行延拓，利用分割法，結合棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】由題意，取，使得，連接，如下圖：由分別為的中點，則，，由，則，所以共面，所以截面將正四面體分為多面體與多面體，第10頁/共18頁設正四面體的棱長為，易知高，則體積，由圖可知多面體可分為四棱錐與三棱錐，在四棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即在底面上的高，底面的面積，所以四棱錐的體積，在三棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即底面上的高，易知為等邊三角形且邊長為，所以三棱錐的體積，故多面體的體積，多面體的體積，所以體積較大部分與體積較小部分的體積之比是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓錐的軸截面是一個邊長為4的正三角形.（1）求該圓錐的體積與表面積；第11頁/共18頁（2）該圓錐內切球半徑為，內接正方體棱長為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】1）由題意可得圓錐的幾何元素，利用其體積公式以及表面積公式，可得答案；（2）由題意作圖，根據銳角三角函數，建立方程，可得答案.【小問1詳解】由軸截面為4的等邊三角形，可得底面半徑，高為，母線長，于是，.【小問2詳解】如圖1，易知，可得在中，，解得，如圖2，易知，可得在中，，解得，故16.已知函數.（1）如果，求函數的最小正周期與增區間；（2）如果，當時，函數取得最大值，求的值.第12頁/共18頁【答案】（1），增區間為（2）【解析】1）應用二倍角公式及輔助角公式化簡得出解析式，再根據正弦函數周期及單調性計算求解；（2）應用二倍角公式及輔助角公式化簡得出解析式，再根據正弦函數的最值計算得出正切值.【小問1詳解】當時，故最小正周期由，得，故增區間為【小問2詳解】當時，，其中當時，取得最大值.所以，所以17.已知三角形內角對邊分別為，向量，且.（1）求角；第13頁/共18頁（2）若，三角形邊上有一點，求的長；（3）角的平分線交于點，且，求面積最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由向量垂直得到方程，結合正弦定理得到，求出；（2）根據向量基本定理得到，兩邊平方，得到，求出模長；（3）由和三角形面積公式得到方程，求出，由基本不等式求出，得到三角形面積最小值.【小問1詳解】由得，，由正弦定理得，，，所以，所以，故，又，所以【小問2詳解】因為點在上，，故，所以第14頁/共18頁，所以；【小問3詳解】，由，即，得，于是，解得，當且僅當時取等號，故.18.如圖矩形中，與為點.（1）求的值；（2）若.設，求關于的表達式，并求的最大值.【答案】（1）（2），的最大值為.【解析】1表示向量，再利用垂直關系的向量表示，結合數量積的運算律求解.（2）利用共線向量定理，結合平面向量基本定理求出關于的表達式，再利用（1）的結論，結合數量積的運算律求出函數表達式，進而求出最值.【小問1詳解】第15頁/共18頁在矩形中，由直線與垂直，得，即，而，則，所以.【小問2詳解】由，得，即，同理，由，得，又不共線，則，解得；，由，得，所以，設，由，得，則，當，即時，，當時，所以當，即時取得最大值.19.以下是數學中對“曼哈頓距離”的定義：在平面直角坐標系中，設點，則叫作兩點的曼哈頓距離，又稱為折線距離或出租車距離等.某同學在上課聽了老師對曼哈頓距離的介紹后，課后對它進行了研究.首先，把點P取在特殊直線上，取已知定點第16頁/共18頁，即轉化為函數（為常數）的問題；第二步，把兩點取在一般直線上，轉化為函數為常數的問題；第三步，把兩點分別取在直線與曲線上，設兩點坐標，再求兩點曼哈頓距離最值；請按該同學研究思路，完成以下問題：（1）求函數的值域；（2）已知關于的函數的最小值為2時，求實數的值；（3）已知點在直線上，點坐標滿足條件，求兩點間曼哈頓距離的最小值.【答案】（1）（2）或0（3）【解析】1）根據絕對值得定義，化簡函數解析式，作圖可得答案；（2）由題意可得函數在何處取得最值