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內(nèi)蒙古通遼市科左后旗甘旗卡第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第二學(xué)期綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫(xiě)程序,得到解決,例如,為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,2.如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.3.設(shè)集合,,若,則()A. B. C. D.4.記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),則()A. B.C. D.5.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿(mǎn)足|OA|=A.2 B.2 C.2336.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則7.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.如下的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.159.若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.10.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是()A.或 B. C. D.11.已知命題,那么為()A. B.C. D.12.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)是偶函數(shù),直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A,B,C,D.若AB=BC,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)________.15.如圖在三棱柱中,,,,點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.16.定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足,并且當(dāng)時(shí),則___三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對(duì)稱(chēng),又函數(shù)在處的切線與垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時(shí),求證:①;②.18.(12分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)N到平面CDM的距離.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對(duì)任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿(mǎn)足.(1)求角的大小;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng)的最小值.21.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.22.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
依題意問(wèn)題是,然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
把截面畫(huà)完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對(duì)稱(chēng)性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),∴所求最小值為.故選:C.本題考查空間距離的最小值問(wèn)題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)性及圓的性質(zhì)求得最小值.3.A【解析】
根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.本題考查集合的交,注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項(xiàng)的值,進(jìn)而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng),又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項(xiàng),同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項(xiàng),且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.5.C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6.C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),也可以滿(mǎn)足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時(shí),也可以滿(mǎn)足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時(shí),能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時(shí),也可以滿(mǎn)足,b∥,故本命題不正確.故選:C本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.7.C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因?yàn)榕c的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點(diǎn):1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).8.A【解析】
根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.9.C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有1個(gè)交點(diǎn),求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn).記,則過(guò)原點(diǎn)作的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,又切線過(guò)原點(diǎn),即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.10.C【解析】
設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令
,可得
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,
則,解得
,.
令
,可得,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選:C.本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.11.B【解析】
利用特稱(chēng)命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題,,那么是.故選:.本題主要考查特稱(chēng)命題的否定,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】由題意或4,則,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫(huà)圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示,觀察可知,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:(1)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.14.【解析】
由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有,根據(jù)該恒等式即可求得,,的值,從而得到,令,可解得,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)可列關(guān)于的方程,解出即可.【詳解】解:因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以時(shí)恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因?yàn)椋裕矗獾茫蚀鸢笧椋海绢}考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬中檔題.15.【解析】
把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn),當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí),運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面,展開(kāi)圖如圖所示,若,,三點(diǎn)共線時(shí)最小為,為直角三角形,故答案為:本題考查了空間幾何體的翻折,平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短,解直角三角形進(jìn)行求解,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)所給表達(dá)式,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),即可確定函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸及周期性,進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿(mǎn)足,由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知關(guān)于對(duì)稱(chēng),且令,代入可得,由奇函數(shù)性質(zhì)可知,所以令,代入可得,所以是以4為周期的周期函數(shù),則當(dāng)時(shí),所以,所以,故答案為:.本題考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用,周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【解析】
(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構(gòu)造函數(shù),利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí),,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡(jiǎn)后得到.【詳解】(1)由解得必過(guò)與的交點(diǎn).在上取點(diǎn),易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因?yàn)椋裕深}意,解得.(2)因?yàn)椋?①令,則,則,且,,時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.因?yàn)椋裕驗(yàn)椋源嬖冢箷r(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.又,所以時(shí),,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即,因?yàn)椋裕詴r(shí),,即時(shí),.本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).18.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因?yàn)槠矫鍭BMN,平面ABMN,所以,,因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕裕驗(yàn)樵谥苯翘菪蜛BMN中,,所以,所以,所以,因?yàn)椋云矫妫?)如圖,取BM的中點(diǎn)E,則,又BM∥AN,所以四邊形ABEN是平行四邊形,所以NE∥AB,又AB∥CD,所以NE∥CD,因?yàn)槠矫鍯DM,平面CDM,所以NE∥平面CDM,所以點(diǎn)N到平面CDM的距離與點(diǎn)E到平面CDM的距離相等,設(shè)點(diǎn)N到平面CDM的距離為h,由可得點(diǎn)B到平面CDM的距離為2h,由題易得平面BCM,所以,且,所以,又,所以由可得,解得,所以點(diǎn)N到平面CDM的距離為.19.(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得:;由得:.∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對(duì)任意的和,恒成立等價(jià)于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,則得,由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí),,即又∵,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:.本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),屬于中等題.20.(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼茫?jiǎn)得,可得,解得,又因?yàn)椋?(6分)(2)因?yàn)椋裕瑒t(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以的周長(zhǎng)的最小值為.21.另一個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】
根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得,再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為,最后利用求特征向量的一般步驟,可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為:,是方程的一個(gè)根,,解
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