雅禮教育集團年上學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)時量：分鐘分值：分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項1.的值（）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【答案】A【解析】【分析】判斷弧度2，3表示的角的范圍，判斷的正負，即可得答案.【詳解】，，．故選：A2.如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成的角的大小為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角.【詳解】第1頁/共16頁以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長2，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為,，則,所以.故選：C3.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱,所以,所以,故選B.4.設(shè)向量滿足，，則=A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】，相加得：，所以，故選A.考點：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識，熟練基礎(chǔ)知識與基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵．5.已知、是球的球面上的兩點，，點為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為A.B.C.D.第2頁/共16頁【答案】A【解析】【分析】當點位于垂直于面體積的最大值為，求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，.因此，球的表面積為.故選：A.【點睛】本題考查球的半徑與表面積的計算，確定點的位置是關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6.若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解.【詳解】由可得，，，.第3頁/共16頁故選:D.【點睛】本題考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)A，B，C，D是平面上四個不同的點，其中任意三點不共線，若，則是（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】變形得到，求出，得到等腰三角形.【詳解】，即，，，所以，為等腰三角形.故選：D8.如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.與平面所成的角為D.四面體的體積為【答案】B【解析】【分析】對于A，若，根據(jù)線面垂直的判定定理得，得出矛盾可判斷A；根據(jù)線第4頁/共16頁面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷B；由平面得就是與平面所成的角，求出可判斷C；求出四面體的體積可判斷D.【詳解】對于A，因為，，所以，若，，平面，平面平面，可得，這與矛盾，故A錯誤；對于B，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，所以，得，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，所以，故B正確；對于C，平面，所以就是與平面所成的角，因為，所以與平面所成的角為，故C錯誤；對于D，四面體的體積為，故D錯誤.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2B.復(fù)數(shù)z實部的取值范圍是C.的最小值為1D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一、三、四象限【答案】ABC【解析】第5頁/共16頁【分析】根據(jù)題意得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再依次討論求解即可.的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以圖，由圖可知，虛部最大的復(fù)數(shù)，即復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2．A正確；實部最小的復(fù)數(shù)，實部最大的復(fù)數(shù)，所以實部的取值范圍是，B正確；表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點到的距離，所以的最小值為，C正確；由圖可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一、二、三、四象限，故D錯誤．故選：ABC10.下列四個選項中，化簡正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】運用拆角與和角公式即可判斷A項；逆用兩角差的余弦公式即可判斷B,C兩項；運用誘導(dǎo)公式五先轉(zhuǎn)化部分三角函數(shù)式，再逆用公式即可判斷D項.A項,第6頁/共16頁，故A項錯誤；對于B項，，故B項正確；對于C項，，故C項正確；對于D項，，故D項正確.故選：BCD.已知，為異面直線，直線與，都垂直，則下列說法正確的是（）A.若平面，則，B.存在平面，使得，，C.有且只有一對互相平行的平面和，其中，D.至多有一對互相垂直的平面和，其中，【答案】BC【解析】【分析】由線面關(guān)系判斷ABD；由線面垂直判定判斷C；A為，為，為為平面，，故A錯誤；對于B，在正方體中取為，為，為，平面為平面，此時，，，故B正確；對于C，且與且與垂直的平面只有一個，則有且只有一對互相平行的平面和，其中，，故C正確；對于D，在正方體中取為，為，為，此時平面平面，平面第7頁/共16頁平面，即至少存在兩對互相垂直的平面和，其中，，故D錯誤；故選：BC3個小題，每小題5分，共分）12.如果用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是___________.【答案】3【解析】【分析】先求半圓的弧長，就是圓錐的底面周長，求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的高.【詳解】半徑為的半圓弧長為，圓錐的底面圓的周長為，圓錐底面半徑為：，所以圓錐的高：，故答案為：3.13.已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】##【解析】【分析】法一，由由，借助于幾何作圖，作，確定點P的軌跡，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案;法二，由題意建立平面直角坐標系，設(shè)，根據(jù)條件確定確定點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，可求得答案.【詳解】法一由，得.第8頁/共16頁如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,作，則,所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當點O，C，P三點共線且點P在點P1處時，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)，由，得，所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：14.已知，則_________．第9頁/共16頁【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的正切公式即可求解.【詳解】原式．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.函數(shù)（）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，求的值【答案】（1）2）.【解析】1）由三角函數(shù)性質(zhì)得,最大值為A+1=3,∴A=2，周期，∴f（x）=2sin（2x-）+1（2），f（）=22sin（-）+1=2,得sin（-）=，=16.在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，I）直線；第10頁/共16頁（II）．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．【解析】I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點．（II），又，所以．17.在中，．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2）.【解析】1）由、及，利用正弦定理即可求出2）由余弦定理表示出，把、及的值代入求出的值，由為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值，從而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別求出和的值，把所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將和的值代入即可求出值.第11頁/共16頁1）在中，根據(jù)正弦定理，，于是.（2）在中，根據(jù)余弦定理，得于是，從而，.所以.18.半徑為1的圓內(nèi)接，且．（1）求數(shù)量積，，；（2）求的面積．【答案】（1），，．（2）【解析】1變形為可求，的值；（2）利用向量的數(shù)量積或夾角公式求出的夾角或余弦值進而可得正弦值，結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.【小問1詳解】，，則，即得，所以，同理，．【小問2詳解】由，，第12頁/共16頁由，，得，則，同理，，則，所以．19.如圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，AD上一點滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】1）作出輔助線，得到四邊形ABCE為菱形，從而線線垂直，得到平面．故；（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用錐體體積公式進行求解；第13頁/共16頁（3）作出輔助線，證明線面垂直，得到線線垂直，即為平面與平面所成銳二面角的平面角，求出各邊長，得到，求出答案.【小問1詳解】證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接AC交BE于點，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；【小問2詳解】在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結(jié)合題設(shè)易得，故，平面平面BCDE，且平面平面，平面，．平面BCDE，其中梯形的面積為，；第14頁/共16頁【小問3詳解】在立體圖形中延長BE，CD，設(shè)，連