PAGEPAGE17第4節(jié)圓周運(yùn)動(dòng)一、圓周運(yùn)動(dòng)及其描述1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)(1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，若在相等的時(shí)間內(nèi)通過的圓弧長(zhǎng)相等，就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)速度特點(diǎn)：速度的大小不變，方向始終與半徑垂直。[注1]2．描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量意義公式/單位線速度(v)[注2]角速度(ω)(1)描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(2)是矢量，方向和半徑垂直，沿圓周切線方向v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\a\vs4\al(\f(2πr,T))＝2πrn單位：m/s(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(2)是矢量(中學(xué)階段不探討方向)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)＝2πn單位：rad/s周期和轉(zhuǎn)速(T/n)物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間叫周期，單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)叫轉(zhuǎn)速[注3]T＝eq\f(2πr,v)＝eq\a\vs4\al(\f(2π,ω))單位：sn＝eq\f(1,T)，單位：r/s向心加速度(an)(1)描述速度方向變更快慢的物理量(2)方向指向圓心[注4]an＝eq\a\vs4\al(\f(v2,r))＝ω2r單位：m/s2二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力1．作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只變更速度的方向，不變更速度的大小。2．大小：F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2n2＝mωv。3．方向：始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在變更，即向心力是一個(gè)變力。4．來源：向心力可以由一個(gè)力供應(yīng)，也可以由幾個(gè)力的合力供應(yīng)，還可以由一個(gè)力的分力供應(yīng)。三、離心現(xiàn)象1．定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消逝或不足以供應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的狀況下，就做漸漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。2．本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢(shì)。3．受力特點(diǎn)(1)當(dāng)F＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示；(2)當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出；(3)當(dāng)F<mω2r時(shí)，物體漸漸遠(yuǎn)離圓心，F(xiàn)為實(shí)際供應(yīng)的向心力。[注5]【注說明疑】[注1]勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，“勻速”指的是速率不變。[注2]線速度與角速度的對(duì)比理解線速度側(cè)重于描述物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)的快慢，角速度側(cè)重于描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。[注3]轉(zhuǎn)速n和頻率f含義相同，只是單位不同。[注4]向心加速度的方向也在時(shí)刻變更。[注5]物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是偏離圓形軌道完全是由實(shí)際供應(yīng)的向心力和所需的向心力間的大小關(guān)系確定的。[深化理解]1．對(duì)公式v＝ωr的理解(1)當(dāng)r肯定時(shí)，v與ω成正比。(2)當(dāng)ω肯定時(shí)，v與r成正比。(3)當(dāng)v肯定時(shí)，ω與r成反比。2．對(duì)a＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解(1)當(dāng)v肯定時(shí)，a與r成反比。(2)當(dāng)ω肯定時(shí)，a與r成正比。3．關(guān)于向心力的兩點(diǎn)留意(1)向心力是效果力，在分析完物體受到的重力、彈力、摩擦力等性質(zhì)力后，不能另外添加一個(gè)向心力。(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力由合外力供應(yīng)，物體做什么樣的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，就須要什么樣的合外力，這就給對(duì)物體進(jìn)行受力分析以及求解合力提出了“條件要求”和“思維方向”。[基礎(chǔ)自測(cè)]一、推斷題(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度是不變的。(√)(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其合外力是不變的。(×)(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與半徑成反比。(×)(4)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是產(chǎn)生向心加速度的緣由。(√)(5)比較物體沿圓周運(yùn)動(dòng)的快慢看線速度，比較物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，看周期或角速度。(√)(6)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)合外力突然減小時(shí)，物體將沿切線方向飛出。(×)(7)摩托車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大就會(huì)向外發(fā)生滑動(dòng)，這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的原因。(×)二、選擇題1．如圖所示，一正方形木板繞其對(duì)角線上O1點(diǎn)在ABCD平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。關(guān)于木板邊緣的各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是()A．A點(diǎn)角速度最大B．B點(diǎn)線速度最小C．C、D兩點(diǎn)線速度相同D．A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)速相同解析：選D正方形木板繞O1點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木板邊緣各點(diǎn)的角速度和轉(zhuǎn)速均相同，由于B點(diǎn)不是木板邊緣上離O1點(diǎn)最近的點(diǎn)，所以半徑也不是最小，依據(jù)v＝ωr可知線速度不是最小，故D正確，A、B錯(cuò)誤。C、D兩點(diǎn)雖然離O1點(diǎn)的距離相等，但轉(zhuǎn)動(dòng)過程中線速度的方向不同，兩點(diǎn)線速度只是大小相等，故C錯(cuò)誤。2．[粵教版必修2P37T2](多選)如圖為甲、乙兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度隨半徑變更的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線。由圖像可以知道()A．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變B．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變C．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變D．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變解析：選AD題圖的圖線甲中a與r成反比，由a＝eq\f(v2,r)可知，甲球的線速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，角速度漸漸減小，A正確，B錯(cuò)誤；題圖的圖線乙中a與r成正比，由a＝ω2r可知，乙球運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，線速度大小增大，C錯(cuò)誤，D正確。3．(多選)如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，拉力F發(fā)生變更。下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)狀況的說法中正確的是()A．若拉力突然消逝，小球?qū)⒀剀壽EPa做直線運(yùn)動(dòng)B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)C．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc做向心運(yùn)動(dòng)解析：選AB在水平面上，細(xì)繩的拉力供應(yīng)小球所需的向心力，當(dāng)F＝mω2r時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力突然消逝時(shí)，小球?qū)⒀厍芯€Pa方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A正確；當(dāng)拉力突然減小時(shí)，小球?qū)⒀豍b做離心運(yùn)動(dòng)，B正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)拉力突然增大時(shí)，小球?qū)⒀豍c做向心運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤。高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要集中在描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及其之間的關(guān)系、向心力公式及其應(yīng)用、對(duì)物體做離心運(yùn)動(dòng)條件的理解，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般。而與平拋運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律等學(xué)問相綜合也可以計(jì)算題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上。考點(diǎn)一描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量[基礎(chǔ)自修類][題點(diǎn)全練]1．[摩擦傳動(dòng)類圓周運(yùn)動(dòng)問題]如圖所示，水平放置的兩個(gè)用相同材料制成的輪P和Q靠摩擦傳動(dòng)(兩輪之間不相對(duì)滑動(dòng))，兩輪的半徑R∶r＝2∶1。當(dāng)主動(dòng)輪Q勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在Q輪邊緣上放置的小木塊恰能相對(duì)靜止在Q輪邊緣上，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，木塊的向心加速度為a1；若變更轉(zhuǎn)速，把小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2，木塊的向心加速度為a2，則()A．eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(1,2) B．eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(\r(2),1)C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,1) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)解析：選C依據(jù)題述，a1＝ω12r，ma1＝μmg，聯(lián)立解得μg＝ω12r。小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，μg＝ω2R＝2ω2r。由ωR＝ω2r聯(lián)立解得eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(\r(2),2)，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤。又因?yàn)閙a＝μmg，所以eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,1)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。2．[同軸傳動(dòng)類圓周運(yùn)動(dòng)問題]汽車后備廂蓋一般都配有可伸縮的液壓桿，如圖甲所示，其示意圖如圖乙所示，可伸縮液壓桿上端固定于后蓋上A點(diǎn)，下端固定于箱內(nèi)O′點(diǎn)，B也為后蓋上一點(diǎn)，后蓋可繞過O點(diǎn)的固定鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)。在合上后備廂蓋的過程中()A．A點(diǎn)相對(duì)O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)B．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小相等C．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等D．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大小相等解析：選C在合上后備廂蓋的過程中，O′A的長(zhǎng)度是變更的，因此A點(diǎn)相對(duì)O′點(diǎn)不是做圓周運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；在合上后備廂蓋的過程中，A點(diǎn)與B點(diǎn)都是繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相同的時(shí)間繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度相同，即A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的角速度相等，又由于OB大于OA，依據(jù)v＝rω，可知B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大，故B錯(cuò)誤，C正確；依據(jù)向心加速度a＝rω2可知，B點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的向心加速度大于A點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的向心加速度，故D錯(cuò)誤。3．[圓周運(yùn)動(dòng)中的追及相遇(共線)問題]如圖所示，質(zhì)點(diǎn)a、b在同一平面內(nèi)繞質(zhì)點(diǎn)c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，為正整數(shù))。從圖示位置起先，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中()A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k＋1次C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k次D．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k－2次解析：選D設(shè)每隔時(shí)間T，a、b相距最近，則(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝eq\f(2π,ωa－ωb)＝eq\f(2π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,Tb－Ta)故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b相距最近的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,T)＝eq\f(Tb－Ta,Ta)＝eq\f(kTa－Ta,Ta)＝k－1即a、b距離最近的次數(shù)為k－1次，故A、B均錯(cuò)誤。設(shè)每隔時(shí)間t，a、b、c共線一次，則(ωa－ωb)t＝π，所以t＝eq\f(π,ωa－ωb)＝eq\f(π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,2(Tb－Ta))；故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,t)＝eq\f(2(Tb－Ta),Ta)＝eq\f(2kTa－2Ta,Ta)＝2k－2故C錯(cuò)誤，D正確。[名師微點(diǎn)]1．圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系2．常見的三類傳動(dòng)方式及特點(diǎn)(1)皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖丙、丁所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。(3)同軸傳動(dòng)：如圖戊、己所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比。考點(diǎn)二水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)[師生共研類]1．水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓且在水平面內(nèi)。2．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)(1)物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。(2)合外力充當(dāng)向心力。3．解答勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般步驟(1)選擇探討對(duì)象，找出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。(2)分析物體受力狀況，其合外力供應(yīng)向心力。(3)由Fn＝meq\f(v2,r)或Fn＝mrω2或Fn＝mreq\f(4π2,T2)列方程求解。[典例](多選)(2024·浙江高考)如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m。賽車沿彎道路途行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。要使賽車不打滑，繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，則賽車()A．在繞過小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過小圓弧彎道的時(shí)間為5.58s[解析]賽車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由F＝meq\f(v2,R)知，在小圓弧上的速度小，故賽車?yán)@過小圓弧后加速，選項(xiàng)A正確；在大圓弧彎道上時(shí)，依據(jù)F＝meq\f(v2,R)知，其速率v＝eq\r(\f(FR,m))＝eq\r(\f(2.25mgR,m))＝45m/s，選項(xiàng)B正確；同理可得在小圓弧彎道上的速率v′＝30m/s。如圖所示，由邊角關(guān)系可得α＝60°，直道的長(zhǎng)度x＝Lsin60°＝50eq\r(3)m，據(jù)v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小彎道對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為s＝eq\f(2πr,3)，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(s,v′)≈2.79s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。[答案]AB[延長(zhǎng)思索](1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時(shí)間最短，賽車在彎道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度應(yīng)達(dá)到什么要求？此時(shí)的向心力應(yīng)由什么力供應(yīng)？(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運(yùn)動(dòng)時(shí)，若不減速，會(huì)發(fā)生什么狀況？(3)賽車以最短時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，在兩直道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大小相等嗎？為什么？提示：(1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時(shí)間最短，賽車在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度必需達(dá)到最大速度，此時(shí)賽車的向心力由最大靜摩擦力供應(yīng)。(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運(yùn)動(dòng)時(shí)，若不減速，賽車在小圓弧賽道上最大靜摩擦力小于所須要的向心力，賽車將做離心運(yùn)動(dòng)，滑出賽道。(3)因賽車在直道兩端的速度大小相等，直道長(zhǎng)度相等，由t＝eq\f(x,\f(v＋v′,2))可知賽車在兩直道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大小相等。[一題悟通]通過例題及延長(zhǎng)思索讓學(xué)生明白物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來源及其臨界極值問題的分析方法。幾何分析目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑等運(yùn)動(dòng)分析目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界所供應(yīng)的向心力[題點(diǎn)全練]1．[車輛水平轉(zhuǎn)彎問題]如圖所示為馬路自行車賽中運(yùn)動(dòng)員在水平路面上急轉(zhuǎn)彎的情景。運(yùn)動(dòng)員在通過彎道時(shí)假如限制不當(dāng)會(huì)發(fā)生側(cè)滑而摔離正常競(jìng)賽路途。將運(yùn)動(dòng)員與自行車看成整體，下列說法正確的是()A．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由重力與地面對(duì)車輪的支持力的合力供應(yīng)B．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由地面對(duì)車輪的摩擦力供應(yīng)C．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合力方向背離圓心D．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合外力大于所需的向心力解析：選B轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力為沿半徑方向的合力。運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎時(shí)，地面對(duì)車輪的摩擦力供應(yīng)所需的向心力，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)f<eq\f(mv2,r)，即靜摩擦力不足以供應(yīng)所需向心力時(shí)，就會(huì)發(fā)生側(cè)滑，故C、D錯(cuò)誤。2．[圓錐擺問題](多選)如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。給小球一個(gè)合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ。下列說法中正確的是()A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用B．小球只受重力和繩的拉力作用C．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的速率越大D．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的周期越大解析：選BC小球受重力、繩的拉力作用，二者合力供應(yīng)向心力，由牛頓其次定律可得：Fcosθ＝mg，F(xiàn)sinθ＝meq\f(v2,Lsinθ)，T＝eq\f(2πLsinθ,v)，可求得v＝eq\r(gLsinθtanθ)，T＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，可見θ越大，v越大，T越小。綜上所述，可知選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤。3．[水平轉(zhuǎn)盤上的圓周運(yùn)動(dòng)問題](多選)如圖甲所示，將質(zhì)量為M的物塊A和質(zhì)量為m的物塊B沿同一半徑方向放在水平轉(zhuǎn)盤上，兩者用長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平輕繩連接。物塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的k倍，物塊A與轉(zhuǎn)軸的距離等于輕繩長(zhǎng)度，整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。起先時(shí)，輕繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止起先轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，繩中張力FT與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的平方ω2的關(guān)系如圖乙所示，當(dāng)角速度的平方ω2超過3ω12時(shí)，物塊A、B起先滑動(dòng)。若圖乙中的F1、ω1及重力加速度g均為已知，下列說法正確的是()A．L＝eq\f(F1,mω12) B．L＝eq\f(F1,2mω12)C．k＝eq\f(2F1,mg) D．m＝M解析：選BC起先轉(zhuǎn)速較小時(shí)，A、B兩物塊的向心力均由靜摩擦力供應(yīng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到肯定程度時(shí)，B的靜摩擦力不足以供應(yīng)向心力時(shí)，繩子起先有拉力，當(dāng)轉(zhuǎn)速再增大到肯定程度，A的最大靜摩擦力也不足時(shí)，兩者起先做離心運(yùn)動(dòng)，由題圖乙可得：kmg＝m·2ω12·2L，F(xiàn)1＋kmg＝m·3ω12·2L，可解得：L＝eq\f(F1,2mω12)，k＝eq\f(2F1,mg)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B、C均正確；對(duì)物塊A分析，kMg－F1＝M·3ω12·L，可推得M＝2m，D錯(cuò)誤。考點(diǎn)三豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)[方法模型類][典例]如圖所示，輕桿長(zhǎng)3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)肯定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力。忽視空氣阻力，則球B在最高點(diǎn)時(shí)()A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg[典例識(shí)模]題干信息吹“沙”見“金”光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)球A圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L(zhǎng)，球B圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2L球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力球B在最高點(diǎn)只受重力作用，重力恰好供應(yīng)向心力[解析]球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力，即重力恰好供應(yīng)向心力，有mg＝meq\f(v2,2L)，解得v＝eq\r(2gL)，故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小v′＝eq\f(\r(2gL),2)，故B錯(cuò)誤；球B到最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無彈力，此時(shí)球A受重力和拉力的合力供應(yīng)向心力，有F－mg＝meq\f(v′2,L)，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯(cuò)誤。[答案]C[系統(tǒng)建模]輕“繩”模型輕“桿”模型情景圖示彈力特征彈力可能向下，也可能等于零彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學(xué)方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg模型關(guān)鍵(1)繩只能對(duì)小球施加向下的力(2)小球通過最高點(diǎn)的速度至少為eq\r(gr)(1)“桿”對(duì)小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力(2)小球通過最高點(diǎn)的速度最小可以為0[嫻熟用模]1．[輕“桿”模型]如圖所示，輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定在水平軸上的O點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且能通過最高點(diǎn)，g為重力加速度。下列說法正確的是()A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)速度可能小于eq\r(gL)B．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力不行能為零C．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而增大D．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而減小解析：選A小球在最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球可以表現(xiàn)為支持力，由牛頓其次定律得：mg－F＝meq\f(v2,L)，則得v＜eq\r(gL)，故A正確。當(dāng)小球速度為eq\r(gL)時(shí)，由重力供應(yīng)向心力，桿的作用力為零，故B錯(cuò)誤。輕桿在最高點(diǎn)可以表現(xiàn)為拉力，此時(shí)依據(jù)牛頓其次定律有mg＋F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越大，即隨小球速度的增大，桿的拉力增大；小球通過最高點(diǎn)時(shí)桿對(duì)球的作用力也可以表現(xiàn)為支持力，當(dāng)表現(xiàn)為支持力時(shí)，有mg－F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越小，即隨小球速度的增大，桿的支持力減小，故C、D錯(cuò)誤。2．[輕“繩”模型](多選)如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m。現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)。為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起(不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力)，則瞬時(shí)速度v必需滿意()A．最小值為eq\r(4gr) B．最大值為eq\r(6gr)C．最小值為eq\r(5gr) D．最大值為eq\r(7gr)解析：選CD要保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)最小速度滿意mg＝meq\f(v02,r)，由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由機(jī)械能守恒得eq\f(1,2)mvmin2＝mg·2r＋eq\f(1,2)mv02，可得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最小值為eq\r(5gr)，A錯(cuò)誤，C正確；為了使環(huán)不會(huì)在豎直方向上跳起，則在最高點(diǎn)球有最大速度時(shí)，對(duì)環(huán)的壓力為2mg，滿意3mg＝meq\f(v12,r)，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由機(jī)械能守恒得eq\f(1,2)mvmax2＝mg·2r＋eq\f(1,2)mv12，可得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最大值為eq\r(7gr)，B錯(cuò)誤，D正確。3．[“雙繩”模型]如圖所示，長(zhǎng)均為L(zhǎng)的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離也為L(zhǎng)。重力加速度大小為g。現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，每根輕繩的拉力大小為()A．eq\r(3)mg B．eq\f(4\r(3),3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg解析：選A小球在運(yùn)動(dòng)過程中，A、B兩點(diǎn)與小球所在位置構(gòu)成等邊三角形，由此可知，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝L·sin60°＝eq\f(\r(3),2)L，兩繩與小球運(yùn)動(dòng)半徑方向間的夾角為30°，由題意，小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí)，mg＝meq\f(v2,R)，當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為2v時(shí)，應(yīng)有：F＋mg＝meq\f((2v)2,R)，可解得：F＝3mg。由2FTcos30°＝F，可得兩繩的拉力大小均為FT＝eq\r(3)mg，A項(xiàng)正確。考點(diǎn)四試驗(yàn)：探究影響向心力大小的因素1．試驗(yàn)探究：利用如圖所示的簡(jiǎn)易裝置，采納限制變量法粗略感知影響向心力大小的因素。(1)保持小球的質(zhì)量m和半徑r不變，探究向心力F與角速度ω的關(guān)系，則當(dāng)ω增大時(shí)，F(xiàn)增大。(2)保持小球的質(zhì)量m和角速度ω不變，探究向心力F與半徑r的關(guān)系，則當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)增大。(3)保持小球的角速度ω和半徑r不變，探究向心力F與質(zhì)量m的關(guān)系，則當(dāng)m增大時(shí)，F(xiàn)增大。2．結(jié)論：物體做圓周運(yùn)動(dòng)須要的向心力與物體的質(zhì)量、半徑、角速度都有關(guān)。3．拓展：依據(jù)公式F＝mrω2和ω＝eq\f(v,r)，可得F＝meq\f(v2,r)，所以可以進(jìn)一步探究感知向心力的大小與線速度的關(guān)系。[典例](2024·天水質(zhì)檢)某同學(xué)用圓錐擺驗(yàn)證向心力公式F＝mRω2。先在一張白紙上以O(shè)為圓心畫一組同心圓，再將白紙鋪在水平桌面上，在O點(diǎn)正上方距桌面高為h處的O1處用鐵架臺(tái)(圖中未畫出)懸掛一質(zhì)量為m的小球，設(shè)法使小球沿著半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)但恰不與紙面接觸。(1)現(xiàn)用刻度尺測(cè)得R、h，用天平測(cè)得m，用g表示重力加速度，則小球所受的合力F1＝________。(2)為了測(cè)出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω，先用停表測(cè)得小球完成n次圓周運(yùn)動(dòng)共用時(shí)t，則由向心力公式F＝mRω2求得小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F2＝________，代入數(shù)值，驗(yàn)證F1＝F2是否成立。[思路點(diǎn)撥](1)小球做圓周運(yùn)動(dòng)中所受的合力供應(yīng)向心力，由平行四邊形定則求合力的表達(dá)式，依據(jù)T＝eq\f(t,n)求得周期。(2)再利用公式F＝man＝eq\f(4π2mR,T2)求向心力，若能大致滿意F1＝F2，就可達(dá)到粗略驗(yàn)證向心力表達(dá)式的目的。[解析](1)設(shè)擺線與豎直方向的夾角為α，則有tanα＝eq\f(R,h)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)中所受合力的表達(dá)式為F1＝mgtanα＝eq\f(mgR,h)。(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(t,n)，向心加速度的表達(dá)式為an＝eq\f(4π2R,T2)＝eq\f(4π2n2R,t2)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F2＝man＝meq\f(4π2n2R,t2)，所以若能大致滿意F1＝F2，就可達(dá)到粗略驗(yàn)證向心力表達(dá)式的目的。[答案](1)eq\f(mgR,h)(2)meq\f(4π2n2R,t2)[基礎(chǔ)考法]1．(2024·泉州九中模擬)為驗(yàn)證向心力公式，某探究小組設(shè)計(jì)了如圖所示的演示試驗(yàn)，在米尺的一端鉆一個(gè)小孔，使小孔恰能穿過一根細(xì)線，線下端掛一質(zhì)量為m，直徑為d的小鋼球。將米尺固定在水平桌面上，測(cè)量出懸點(diǎn)到鋼球的細(xì)線長(zhǎng)度l，使鋼球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，待鋼球的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，用眼睛從米尺上方垂直于米尺往下看，讀出鋼球外側(cè)到O點(diǎn)的距離r，并用秒表測(cè)量出鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)n圈用的時(shí)間t。則：(1)小鋼球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝________。(2)小鋼球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F＝________。解析：(1)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)n圈用的時(shí)間為t，則周期為：T＝eq\f(t,n)。(2)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R＝r－eq\f(d,2)，依據(jù)向心力公式得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝meq\f(4π2n2,t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(d,2)))。答案：(1)eq\f(t,n)(2)meq\f(4π2n2,t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(d,2)))2．(2024·北京順義區(qū)模擬)如圖甲所示是某同學(xué)探究做圓周運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量、向心力、軌道半徑及線速度關(guān)系的試驗(yàn)裝置，圓柱體放置在水平光滑圓盤上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。力傳感器測(cè)量向心力F，速度傳感器測(cè)量圓柱體的線速度v，該同學(xué)通過保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑不變，來探究向心力F與線速度v的關(guān)系。(1)該同學(xué)采納的試驗(yàn)方法為________。A．等效替代法B．限制變量法C．志向化模型法(2)變更線速度v，多次測(cè)量，該同學(xué)測(cè)出了五組F、v數(shù)據(jù)，如下表所示：v/(m·s－1)1.01.52.02.53.0F/N0.882.003.505.507.90該同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標(biāo)紙上描出了五個(gè)點(diǎn)。①在圖乙中作出F-v2圖線；②若圓柱體運(yùn)動(dòng)半徑r＝0.2m，由作出的F-v2的圖線可得圓柱體的質(zhì)量m＝________kg。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解析：(1)試驗(yàn)中探討向心力和速度的關(guān)系，保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑不變，采納的試驗(yàn)方法是限制變量法，故選B。(2)①作出F-v2圖線，如圖所示。②依據(jù)F＝meq\f(v2,r)知，圖線的斜率k＝eq\f(m,r)，則有：eq\f(m,r)＝eq\f(8,8.8)，代入數(shù)據(jù)解得m＝0.18kg。答案：(1)B(2)①見解析圖②0.18“形同質(zhì)異”慎解題——斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因所受的限制因素不同，如靜摩擦力限制、繩限制、桿限制，物體的受力狀況和所遵循的規(guī)律也不相同。下面列舉三類實(shí)例。(一)靜摩擦力限制下的斜面圓周運(yùn)動(dòng)1．如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為eq\f(\r(