江蘇省蘇州市姑蘇區第五中學2024-2025學年高二下學期3月月考數學試題一、單選題1.已知，則（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】根據導數的定義可得，求得得解.【詳解】由，可得，即，又，則，所以.故選：D.2.文娛晚會中，學生的節目有6個，已經排好出場順序，現臨時增加2個教師的節目，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，并且6個學生的節目先后出場順序不變，則晚會的出場順序的種數為（）A.30 B.42 C.56 D.3960【答案】A【解析】【分析】將教師的兩個節目按照題目要求依次安排到學生的節目中，再利用分步乘法計數原理即可求解.【詳解】根據題意，學生的節目有6個，已經排好出場順序，這6個節目之間有5個空位，因為教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，則先將第一個教師節目安排到5個空位中，有5種方法；再將第二個教師的節目安排到7個節目之間的6個空位中，有6種方法，由分步乘法計數原理可得，共有種方法.故選：A.3.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】求，利用導數的幾何意義可求的值.【詳解】由題意得，函數的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.4.已知定義在上的函數，是的導函數，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，結合題意利用導數計算可得該函數單調性，即可將不等式轉化為，從而得到，即可得解.【詳解】令，則，則當時，，即在上單調遞減，由，則，又，即不等式等價于，即，即有，解得.故選：D.5.函數在上不單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有解，結合三角函數的值域來求得正確答案.【詳解】，因為函數在上不單調，所以函數有零點，所以方程

有根，所以函數與

有交點（且交點非最值點），因為函數的值域為，所以

.故選：D6.已知函數，當時恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】問題化為在上恒成立，利用導數求右側的最小值，即可得參數范圍.【詳解】由，得在上恒成立，令，則，所以在上單調遞增，故，即.故選：D7.設奇函數在R上存在導數，且在上，若，則實數m的取值范圍是.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造輔助函數，由是奇函數，，可知是奇函數，求導判斷的單調性，，即，解得的取值范圍．【詳解】解：令，，函數為奇函數，時，，函數在為減函數，又由題可知，，，所以函數在上為減函數，，即，，．故選：．【點睛】本題主要考查判斷函數的奇偶性、利用導數法求函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．8.已知函數，記則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據定義法可得函數為奇函數，利用導數可得在上單調遞增，由此可比較函數值的大小.【詳解】∵函數定義域為，，∴為奇函數，故.由題意得，.∵，當且僅當時等號成立，，∴，即在上單調遞增.∵，∴.故選：B.二、多選題9.已知函數是上的可導函數，的導函數的圖象如圖，則下列結論不正確的是（）A.分別是極大值點和極小值點 B.分別是極大值點和極小值點C.在區間上是增函數 D.在區間上是減函數【答案】ABD【解析】【分析】根據的正負，從而確定函數的單調性和極值點的情況，即可對每個選項進行判斷.【詳解】根據的圖象可知：當時，，單調遞減；當時，，且不恒為零，單調遞增；對AB：根據單調性可知，只有極小值點，沒有極大值點，故AB錯誤；對CD：根據單調性可知，在單調遞增，在也單調遞增，故C正確，D錯誤.故選：ABD10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是偶函數B.若是增函數，則C.當時，函數恰有兩個零點D.當時，函數恰有兩個極值點【答案】BD【解析】【分析】利用奇偶性定義計算可判斷A；利用導數研究恒成立求得的范圍判斷B；結合B結論判斷C；利用零點存在性定理判斷異號零點的個數即可判斷.【詳解】A，因為，則，故A錯誤；B，若為增函數，則恒成立，故恒成立，令，則可得為偶函數，又，令，則，所以在上單調遞增，又，所以在上，在上，即在上遞減，在上遞增，故當時，取得最小值，所以，故B正確；C，當時，為奇函數，且，當時，恒成立，即在區間上單調遞增，根據奇函數的對稱性可知函數在上單調遞增，故在上單調遞增，，即只有一個零點，故C錯誤；D，當時，為奇函數，故先考慮時，函數極值存情況，則，令，因為單調遞增，則，故單調遞增，且，，故存使得，因此，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故為函數在上的唯一極小值點，根據奇函數的對稱性可知，當時，存在為函數在上的唯一極大值點，故D正確.故選：BD.11.已知函數的導函數為（）A.若有三個零點，則 B.C.是的極小值點 D.當時，則【答案】ABD【解析】【分析】利用導數判斷出單調性并求出、，結合零點定義逐項判斷可得答案.【詳解】因為函數，所以，令，解得，或，當，或，，當，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，，，對于A，由得，即，，因為在上單調遞減，所以在上只有一個零點，因為，在上單調遞增，可得在上只有一個零點，因為，在上單調遞增，可得在上只有一個零點，綜上，有三個零點，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，是的極大值點，故C錯誤；對于D，當時，則，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.設，若函數在區間上單調，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意，設，利用導數可得在上單調遞減，由，進而可得在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，進而可得.【詳解】，設，則，故在上單調遞減，又，可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，故，的取值范圍是.故答案為：13.已知是定義在上的偶函數，且當時，，則滿足的的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】構造函數，應用導函數得出單調性，再結合偶函數性質得出，最后計算求解.詳解】設，則．由當時，，得，即，故在區間上單調遞增．又，所以，即．因為為上的偶函數，所以，即，計算得，所以，解得或．故答案為：.14.設實數，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是______；【答案】【解析】【分析】不等式恒成立等價于，構造函數，易得在上單調遞增，故原問題等價于在時恒成立，從而易得的范圍.【詳解】對任意的，不等式恒成立，整理可得，設，則可知在上單調遞增，又因為，，且，則在時恒成立，設，則可知在上單調遞增，則的最小值為，則，解得，所以的最大值是.故答案為：.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數法第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的最值；第三步：根據要求得所求范圍．（2）函數思想法第一步：將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的極值；第三步：構建不等式求解．四、解答題15.已知函數在處的切線平行于軸．（1）求實數的值；（2）求函數的極小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求函數的導函數，再根據切線斜率為0計算求參；（2）先求函數的導函數，再求解函數的單調性進而得出函數的極小值即可.【小問1詳解】由可得，則，由于，故，【小問2詳解】，當或時，，當時，，故在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，故的極小值為16.已知函數．（1）當時，證明函數在單調遞增；（2）若函數在有極值，求實數a的取值范圍；（3）若函數的圖象在點處的切線方程為，求函數的零點個數．【答案】（1）證明見解析（2）（3）1個【解析】【分析】（1）求導通過，即可求證；（2）由題意可得在有變號的根，再由的單調性，結合零點存在性定理構造不等式求解即可；（3）由切線方程求得，再通過函數的單調性即可求解；【小問1詳解】當時，由，可得，因，則，又因為，則，所以函數在單調遞增；【小問2詳解】，因為函數在有極值，所以在有變號的根，又因為在單調遞增，則，即，所以，解得，故實數a的取值范圍為；【小問3詳解】因為函數在點處的切線方程為，所以，且，解得．故則，當時，，即在單調遞增，因，所以在沒有零點；當時，，即在沒有零點．綜上所述，函數的零點個數為1個．17.已知函數.（1）若函數，求的單調區間；（2）若有兩個都小于0的極值點，求實數a的取值范圍.【答案】（1）函數的減區間為，增區間為，（2）【解析】【分析】（1）求得，利用導數和函數的單調性之間的關系可求得函數的單調間；（2）分析可知關于方程有兩個不相等的負數根、，利用一元二次方程根的分布可得出關于實數的不等式組，解之即可.【小問1詳解】因為，則函數的定義域為，所以，令，得；令，得或，所以，函數的減區間為，增區間為，.【小問2詳解】因為，所以，又因為有兩個都小于的極值點，所以有兩個不相等的負數根、，所以，解得，所以實數的取值范圍為．18.已知，函數，其中…為自然對數的底數.（1）證明：函數在上有唯一零點；（2）記為函數在上的零點，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】1）先利用導數研究函數單調性，再結合零點存在定理證明結論；（2）先根據零點化簡不等式，轉化求兩個不等式恒成立，構造差函數，利用導數求其單調性，根據單調性確定最值，即可證得不等式.【小問1詳解】在上單調遞增，，所以由零點存在定理得在上有唯一零點；【小問2詳解】，，令一方面：，在單調遞增，，，另一方面：，所以當時，成立，因此只需證明當時，因為當時，，當時，，所以，在單調遞減，，，綜上，.【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．19.已知，函數在處取得極值．（1）求a；（2）證明：對任意的m，，都有；（3）若存在實數，使得成立，求k的最小整數值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）5．【解析】【分析】（1）先求導，由在處取得極值，得解出驗證即可；（2）設，驗證的單調遞增，即有，即可得證；（3）存在實數，