2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.小米汽車首款車型小米SU7于2024年3月28日正式發(fā)布，該款車型有9種外觀顏色，4種內(nèi)搭顏色可供選擇．若車主自由選擇車的外觀和內(nèi)搭顏色，共有（）種情況A.4 B.9 C.13 D.36【答案】D【解析】【分析】先選顏色，再選內(nèi)搭，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】第一步：選外觀顏色，有9種選擇；第二步：選內(nèi)搭，有4種選擇；所以共有種情況．故選：D.2.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?所以,故選:A.3.已知函數(shù)，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由此可求.【詳解】因?yàn)椋裕獾?故選：A4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是單調(diào)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷各選項(xiàng)函數(shù)的奇偶性，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究A中函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】A：且定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，又，故單調(diào)遞增，滿足要求；B：，不滿足；C：且定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，不滿足；D：，不滿足.故選：A5.已知函數(shù)，在區(qū)間上任取兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】由可知在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，故選：C6.如圖，某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有（）種.A.40 B.80 C.120 D.160【答案】C【解析】【分析】將此類問題看成涂色問題，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理討論.【詳解】根據(jù)圖示，區(qū)域3和6、區(qū)域3和5、區(qū)域2和5、區(qū)域2和4、區(qū)域4和6不相鄰，可以栽種相同顏色的花.因?yàn)橐苑N4種不同顏色的花，所以分為5類：第一類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和4同色：種；第二類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和5同色：種；第三類：區(qū)域3和5同色且區(qū)域2和4同色：種；第四類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域2和5同色：種；第五類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域3和5同色：種；所以，共有種.故選：C7.已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；作出在上的圖象，如圖：由圖可知要使有3個(gè)不同的實(shí)根，則.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在所給區(qū)間上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)可求答案.【詳解】，因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在所給區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.令，則，上式可化為，其中；令，則，令，則，即為增函數(shù)，又，所以時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)；因?yàn)椋?故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A.B.函數(shù)在上遞增，在上遞減C.函數(shù)的極值點(diǎn)為，D.函數(shù)的極大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷，，的大小以及的單調(diào)性，對(duì)C，D由極值的定義即可判斷.【詳解】解：由題圖知可，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，故C正確；對(duì)D，函數(shù)的極大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A．，解得，所以A正確；對(duì)于B．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對(duì)于C．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)容易判斷錯(cuò)了．11.已知函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且B.令，則函數(shù)無零點(diǎn)C.若恒成立，則D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】由在單調(diào)遞增，又，，即可判斷A；由導(dǎo)數(shù)判斷出恒大于0，恒大于0，即可判斷B；由的值域即可判斷C；由的單調(diào)性即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，，顯然在單調(diào)遞增，又，，所以，使得，故A正確；對(duì)于B，由A得，，使得，即，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒大于0；由，令，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以，即，即在單調(diào)遞增，又時(shí)，，所以，由恒大于0，恒大于0，故無零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，又，，則，所以，即，整理得，不等式兩邊同除以得，，故D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若物體的運(yùn)動(dòng)方程是，時(shí)物體的瞬時(shí)速度是________.【答案】33【解析】【分析】先求出物體在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由，則，則，所以物體在時(shí)物體的瞬時(shí)速度是33.故答案為：33.13.對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：①函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為______；②計(jì)算______【答案】①.②.2023【解析】【分析】①先對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)，得到，根據(jù)題意求出拐點(diǎn)，即可得出結(jié)果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出結(jié)果.【詳解】①因?yàn)椋裕裕傻茫藭r(shí)，由題意可得，即為函數(shù)的對(duì)稱中心；②由①知，函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以，即，因此；記，則，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解三次函數(shù)對(duì)稱中心與拐點(diǎn)的關(guān)系，從而得解.14.已知不等式在上恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，從而將不等式再轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求導(dǎo)討論單調(diào)性得最值，即可打求得的取值范圍.【詳解】整理得，即，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則由不等式即為恒成立，所以在上恒成立，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，則，符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，則，解得；綜上，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知三次函數(shù)f（x）＝x3+ax2﹣6x+b，a，b∈R，f（0）＝1，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為﹣6.（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，4]上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為17，最小值為﹣9.【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)求出a的值，然后根據(jù)f（0）＝1，求出b的值即可求出函數(shù)的解析式；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)在區(qū)間[﹣2，4]上的最值.【詳解】（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，，∵f（0）＝1，∴b＝1，.（2），令得，當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在x＝﹣1取得極大值為，在x＝2時(shí)取得極小值為f（2）＝﹣9，，在區(qū)間上的最大值為17，最小值為﹣9.16.已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若任意，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可.（2）利用分離參數(shù)法得到，再利用導(dǎo)數(shù)得到，最后得到參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)椋叶x域?yàn)椋裕睿瑒t，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得到，令，得到，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)閷?duì)于任意，恒成立，所以恒成立，化簡得恒成立，故恒成立，令，則恒成立，，令，則，得到在單調(diào)遞增，即故，在單調(diào)遞增，而，即，故.17.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．（1）若，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，，且時(shí)，若恒有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況即可得出的單調(diào)區(qū)間；（2）由及得，即在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，且，由得，設(shè)函數(shù)，得在時(shí)為減函數(shù)，則，由不等式恒成立求解即可．【小問1詳解】由題可知，，，，，令，得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．【小問2詳解】函數(shù)令，，當(dāng)時(shí)，可知，故恒成立，可知，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，不妨設(shè)，且，則變?yōu)椋矗O(shè)函數(shù)，由，得在時(shí)為減函數(shù)，即，即，所以，對(duì)與恒成立，因?yàn)楫?dāng)，，所以，即對(duì)時(shí)恒成立，由，可得，即取值范圍為．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程;（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求的取值范圍;（3）若（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證:.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程，（2）法一：利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性，討論，時(shí)函數(shù)的函數(shù)值的變化規(guī)律，由此可得的取值范圍；法二：驗(yàn)證時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，條件可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值可得結(jié)論；（3）法一：判斷的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明存在，使得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再利用導(dǎo)數(shù)證明，證明結(jié)論；法二：，在條件下，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.【小問1詳解】時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋栽谔幍那芯€斜率又，所以函數(shù)在處的切線方程為即切線方程為，【小問2詳解】法一:由已知，令，則，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，恒成立;.當(dāng)時(shí)，，所以存在，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，此時(shí)在上恒成立，不成立..綜上，，法二:，當(dāng)時(shí)，，不等式成立當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，由已知可得，..令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞增，又，綜上，【小問3詳解】法一:由已知，，因?yàn)楹瘮?shù)在都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.令，則所以在上單調(diào)遞增，即，綜上:當(dāng)時(shí)，，法二:令當(dāng)，即時(shí)，（恒成立）.當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，，令，，因在上都為增函數(shù)，且，所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞減，所以，令，則，因?yàn)椋裕裕院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．19.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱與為“互補(bǔ)函數(shù)”，為“互補(bǔ)數(shù)”.（1）判斷函數(shù)與是否為“互補(bǔ)函數(shù)”，并說明理由.（2）已知函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”，且為“互補(bǔ)數(shù)”.（i）是否存在，使得？說明理由.（ii）若，用的代數(shù)式表示的最大值.【答案】（1）不是“互補(bǔ)函數(shù)”，理由見解析；（