零點(diǎn)存在定理并證明分析綜述最大模原理證明和儒歇定理來證明．零定理1設(shè)在上連續(xù)，且與異號，則中至少有一點(diǎn)使．因在中連續(xù)，則是一條連續(xù)曲線．當(dāng)異號時，、分別在軸上方與下方，則曲線至少過軸一次.圖1幾何意義證明零點(diǎn)存在定理閉區(qū)間套定理可以將原來的閉區(qū)間的某種性質(zhì)“濃縮到某一個點(diǎn)的附近．通過Bolzano二分法，函數(shù)在區(qū)間兩端異號這個性質(zhì)導(dǎo)致函數(shù)在每個區(qū)間的兩端異號，而且將這個性質(zhì)“濃縮”到一個點(diǎn)的任意鄰域．從而如果的話，就與連續(xù)函數(shù)的局部保號性矛盾．i)ii)用覆蓋定理證明零點(diǎn)存在定理的過程，，用區(qū)間的中點(diǎn)從[]一分為二得到兩個閉子區(qū)間和．考慮的符號，如果恰好有，則就是的零點(diǎn)．否則，由于和異號，其中一定有一個值的符號和的符號相反．因此在兩個這個閉子區(qū)間中必有一個閉子區(qū)間，在它的兩端的值異號．將這個閉子區(qū)間記為這時滿足條件用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，或者在有限次運(yùn)用二分法后已經(jīng)找到的一個零點(diǎn)，或者上過程可以無限地做下去，得到一個閉區(qū)間套．由于這個閉區(qū)間套是根據(jù)以上過程歸納地構(gòu)造出來的，因此它具有以下特點(diǎn)：(1)(2)對這個應(yīng)用閉區(qū)間套定理，就存在一個點(diǎn)，使得考慮的符號，若，則從連續(xù)函數(shù)的布局保號定理，就有的一個鄰域，使得在領(lǐng)域上同號，但當(dāng)充分大時，和將同時進(jìn)入這個鄰域，此時保號性與矛盾，因此只能有．這個證明方法有一個優(yōu)點(diǎn)，即可以用于求近似解．（我們將這類證明方法稱為構(gòu)造性證明）．例如，設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，，且只有一個根，用以上二分法做9次，得到．取這個區(qū)間的中點(diǎn)為近似值，則誤差可估計為1.3用覆蓋定理證明零點(diǎn)存在定理和閉區(qū)間套定理的證明比較，用覆蓋定理證明是構(gòu)造性的，它斷定了根的存在，但并未提供方法去求這個根．用覆蓋定理證明的這種方法稱為非構(gòu)造性證明，或純粹存在性證明．1.3.1開覆蓋的定義數(shù)軸上有點(diǎn)集，為的集合，中任一點(diǎn)都在至少一個開區(qū)間內(nèi)，則為的開覆蓋．的開區(qū)間個數(shù)有限，則為的有限覆蓋．1.3.2覆蓋定理設(shè)為的無限開覆蓋，則中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋．1.3.3用覆蓋定理證明零點(diǎn)存在定理的過程反證法．設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間兩端有，在區(qū)間中無零點(diǎn)．取，因，則，使在上保號．對區(qū)間中的每一個點(diǎn)都這樣做，就得到區(qū)間的一個開覆蓋．在這個開覆蓋中的每一個開區(qū)間（區(qū)間的交集）內(nèi)，函數(shù)保號．若現(xiàn)在直接用開覆蓋定理，則不容易說清楚如何引出與條件矛盾．改用加強(qiáng)形式的覆蓋定理，，使得對中的任何兩點(diǎn)，只要，就有開覆蓋中的某一個開區(qū)間將這兩個點(diǎn)、覆蓋住，對本題的開覆蓋來說，保證了當(dāng)時，和同號，即．用這個數(shù)在區(qū)間中插入一系列點(diǎn)，連同端點(diǎn)一起，記為使得，．由于，，可見．引出矛盾．1.4用確界原理和勒貝格方法證明零點(diǎn)存在定理這個證明沒有能夠提供具體的求根方法，但從方法上看并不抽象，倒是有很直觀的幾何意義．1.4.1定義對數(shù)集，為理想實(shí)數(shù)，若滿足：（1）是的上界，即對一切，都有；（2）對任給的誤差界，必然存在中的某一個理想實(shí)數(shù)，使得．即是的最小上界，則稱為數(shù)集的上確界，同理下確界，記作：或．1.4.2確界原理設(shè)，若有上界，則必有上確界．1.4.3用確界原理和勒貝格方法證明零點(diǎn)存在定理過程為確定起見，設(shè)．定義數(shù)集．從知，所以為非空有界數(shù)集．由確界存在定理，記為的上確界．由于，我們知道在附近也取負(fù)值（局部保號性），因此只要證明和都不可能．如，則．因，且連續(xù)函數(shù)有局部保號性，則在點(diǎn)鄰近的右側(cè)也取正值．這與時數(shù)集的上屆矛盾．如，則由同理知道在點(diǎn)左側(cè)鄰近也取負(fù)值．這與是數(shù)集的最小上界矛盾．1.5用解析函數(shù)平均值公式證明零點(diǎn)存在定理1.5.1解析函數(shù)平均公式設(shè)，則有1.5.2證明零點(diǎn)定理的過程設(shè)在內(nèi)無零點(diǎn)．令，則在上解析．由1.5.2可知.因，.則與矛盾．則在內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．1.6用最大模原理證明零點(diǎn)存在定理最大模原理是研究解析函數(shù)的有力工具．我通過去鉆研最大模原理的知識，我發(fā)現(xiàn)了最大模原理是經(jīng)典的理論，不僅能應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)，而且還能反應(yīng)解析函數(shù)的性質(zhì)．1.6.1它的4種形式2．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在內(nèi)有一點(diǎn)，使得對于內(nèi)的所有點(diǎn)，，則為常數(shù)．3．設(shè)為復(fù)平面的有界開集，在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則．4．最大模原理形式設(shè)在上解析，若，且，有，則，有．1.6.2利用最大模原理證明零點(diǎn)定理的步驟若在上沒有零點(diǎn)，使，那么解析．由于，且時有，則，那么一定不是常數(shù)，且時有，則矛盾，則在上至少一個零點(diǎn)．1.7用儒歇定理證明零點(diǎn)存在定理儒歇定理在復(fù)變函數(shù)里面是非常重要且具有知名度的，它不僅在理論中有著很重要的地位，而且在應(yīng)用上有著非常重要的作用.除此之外，我們使用它不僅可以判斷零點(diǎn)有幾個，還可以知道零點(diǎn)都分布在