第一套

一，選擇題：(每題3分，共15分)

1,已知□,f(x)二()

A：DB：nC：D_D：□___

2,〃川(JM+2門/刀?】+*()

A：0B：1C:2D：3

3f(X)在

,xO點連續，則下列命題不成立的是()o

AfzO

?(X

?\+O)、f(xO—0)存在B：f(x)在xO點的極限存在

c?fzfX)在

?\

在xO點的某鄰域內有界D：f(x)在xO點的某空心鄰域內連續

40(X)

?,a點連續，f(x)=|x—a|0(x),f*(a)存在的條件是().

A：0(a)=0B：。(a)=1C：6(a)-—1D：C(a)：

5,設f(x)(x+1)(x+2)…(x+2004),則f'(0)=()

A:0B：2003!C：2004!D：2005!,

二，填空題：(每題3分共15分)

1,數列｛an)收斂的柯西準則是:

limq存在o____________________________________________________

1?1

2(加果hm(.?ar?b),0,那么a??b?.

I-X+1

3.若函數/(r)在r?a可導.則〃加?/⑷-.

A-?On

4,如果正方形的邊長增加1cm，面積的微分dS=12cm2,則原邊長為。

5,方程/二/的根是個。

三，計算題：(每題5分，共20分)

h求極限'竄s/Tx九已知.尸=/，求賓?

3,已知?/")=”▲工，，求/CO的帚皮亞語余項的麥克勞林公式.

4,由拽格朗日徵分中值定理知，35e(0.x),>“""三”.cos

X?U

求極限I〃加上.

0X

四，用極限定義證明，〃用/<(8分)

五，討論函數f(x)=□的性態并作出其圖形.(14分)

六，有一無蓋的圓柱形容器，體積為V,問底半徑與容器高的比為多少時表面積最小？

七，對函數f(x)=In(1+x)應用拉格朗日定理證明：

VX>0,0<5—~---<1(8分)

InH+r)x

八、設f(x)在開區間I_卜為凸函數，與明：口存在.

第二套

一，選擇題：(每題3分，共15分)

1,函數f(x)In(Inx)的定義域是()

A：x>0B：x20C：x>1D：x21

2,□

A：奇B：偶C：既奇又偶D：非奇非偶

3,f(x)在x點O連續的充分條件是().

A：f(xO+0)、f(xO-0)存在B：f(x)在xO點的極限存在

C：f-'(xO)、f+'(xO)存在D：f(x)在xO點的某空心鄰域內連續

4,f(x)在xO點可導是f(x)在(xO(xO))點有切線的()條件.

A：充分B：必要C:充分必要D：非充分亦非必要

5,設f(x)X(X+1)(X+2)…(X+2003)則f'(0)=()

A：0B：2002!C：2003!D：2004!,

二，短空題：(每題3分共15分)

1,設函數f(x)在xO的某空心鄰域U0(xO)內有定義，則柯西收斂準則是:

〃加/(X)存校O?

一.

2，如果〃加J.2---------4，那么。?b-?

3?若函數/(r)可導，川為自然數,則〃巾(刀,

4,如果正方體各校長增加1cm,體積的微分dV=12cm3,則原棱長為

5,函數y=x—sinx在(-2TT,2n)內的拐點個數是個.

三，計算題：(每題5分，共20分)_____________

1,求極限,3%已知y=伊?:夕"，求孚.

r^o3X1JV(x-3Xx-4)dx

3.已知，j--：--?求；產'

1?X

4,由拽格朗日劭分中值定理知，北W(0.X),3“S3一丁0.COST

X?U

求極限I〃加之.

I-*0X

四，用極限定義證明,“加尹、-?3(8分)

23x?7

五，討論函數f(x)=口的性態并作出其圖形。(14分)

六，某窗戶上部為半圓，下部為矩形，周長為15m,要使窗戶透光面積最大，問寬x應為多少米？(10分)

七，設f(X)、g(x)在D上有界，證明：□(8分)

A*役函數/(r)在［a，b)上二價可導，且廣⑷■廣。)?。,

證叫356(a.b),廣⑷|三7rJ⑴./⑷|?(M分)

(D-a)

第三套

一、單項選擇(每小題3分，共18分)

1.已知函數□的定義域是(0,1),則□的定義域為(

(a)(-00)(的(0,1)(c)(1,e)⑹(0,+功

2.對常數函數y=C,下列說法中錯誤的是()

(a)既是奇函數也是偶函數(b)既有上界又有下界

(c)既單調遞增也單調遞減(d)沒有最小正周期的周期函數

3.□是□嚴格增加的()條件

（a）充分（b）必要（c）充要（d）既非充分也非必要

4.設□則口（）

（a）2（b）0（c）2（d）-2

5.函數□的奇偶性是（）

（a）奇函數（b）偶函數（c）既奇又偶函數（d）非奇非偶函數

6.點集口的聚點是（）

（a）0（b）1（c）-1（d）1和一1

二、計算（每小題6分，共30分）

1.□2.□

3、□4、□，求口

5.口,求口

做一無蓋圓柱形容器，給定體積為V。問底半徑與高的比如何取時

最省材料？（8分）

將函數口展開到口項，并用之計算極限

cos（sinx）-cosx

lim-------；------

1。x（8分）

五、敘述□類型函數極限的歸結原則，并用之證明：

若口為周期函數，且□二0,則口（8分）

六、證明不等式：□時，口（8分）

七、證明Weierstrass聚點定理：直線上的有界無限點集S至少有一個聚點.（8分）

Inx

y=

八、作函數.X的圖像，并

1、比較2OO22003與2OO32002的大小。

2.求教列□的最大項.（12分）

第四套

單項選擇（每小題3分，共18分）

1.已知函數□的定義域是（）

(a)(-8,0)(b)(0,1)；c）（L④（d）（1，+功

2.1.下列各組函數中相等的是）

(a))="與>（b）丁二（五）2與）‘二W

⑹)x與y=i:d)y=sin(arcsinx)與y=x

3.函數□在□可導是曲線□在點口處存在切線的（）條件

（a）充分(b)必要（c）充要（d）既非充分也非必要

4.設□則□（)

(a)-i—(b)0(c)1（d）不存在

5.對常數函數y=C下列說法中錯誤的是（）

（a）既有上界又有下界（b）既是奇函數也是偶函數

（c）既單調遞增也單調遞減（d）沒有最小正周期的周期函數

6.口（）

（a）1（b）0（c）-1（d）不存在

三、計算（每小題6分，共30分）

1.□2.□

四、3.□4.口，求口

五、5、口,求口

八、試將多項式,'=/一2寫成（.-1）的升賽排列（8分）

六、在半徑為R的半圓內作一矩形，如何作其面積最大？（8分）

七、五、用極限的定義證明：口（8分）

八、明方程V-3x+c=O（c為常數）在（0,1）內沒有兩個不同實根。

（8分）

七、已知口存在，證明：

（8分）

V=-----------

八、作函數.1+一的圖像（12分）

第五套

選擇題：（每題3分，共15分）

1.若□為□的一個原函數，則口（）o

A:口B:□C:匚D：口

2.設口，則口（）.

A：CB：□C:□D:□

3.下列反常積分收斂的是（）。

A：QB:□C：DD:□

4.級數□為（）級數0

A：收斂B：絕對收斂0:條件收斂D：發散

一、5.賽級數口的收斂域為（）o

二、A:□B:□C:口D：□

1、填空題：（每題3分，共15分）

2、設的一個原函數為，則。

3、已知函數）一1。2“，則了"（°）=-------------o

*曲線y=i一/與大軸圍成的圖杉的面積為.

Y上--------!1-----------=

6、函數/（幻=皿1+工）的麥克勞林級數是

計算題：（每題4分，共20分）

1.計算口2、計算口

3.求心臟線□的周長。

三、4.已知：□求：□.

四、5、已知：口，□求：口。

五、設）'=/（x）為3切上嚴格增的

連續函數，證明：匚］,使得圖中兩

陰影的面積相等.

2I

六、證明不等式：2

f（1）=-------

六、證明函數列"1+//在上一致收斂。

七、求/（x）=ln&i丁的麥克勞林展開式。

八、一個半徑為20米的半球形容器內盛滿了水，求把水抽盡所作的功。

第六套

選擇題：（每題3分，共15分）

1.若□可導，則口（）。

A：IlB：□C：□D：~］

2.設口的一個原函數為口，則口（）o

A：□B：□C：□D：□

3.瑕積分□收斂是□收斂的（）條件。

A：充分B：必要C：充分必要D：非充分亦非必要

4.級數□為（）級數。

A：收斂B：絕對收斂C：條件收斂D：發散

七、5.賽級數□的收效域為（）o

八、A：□B:口C:□D：□

九、填空題：（每題3分，共15分）

7、。

8、已知，則。

9、曲線）'=/與工=）'2軸圍成的圖形的面積棗。

11、函數/（X）="的麥克勞林級數

計算題：（每題4分，共20分）

1.計算口2、計算口

3.求心橢圓□所困的面積。

十、4.求：口的收斂半徑、收斂區間、收斂域.

十一、5.求函數口，口的傅里葉展開式.

設□連續可微函數，求口。

證明不等式：口

+人）

六、證明：〃''在［°，1］上一致收斂。

/*）=----

七、求3+x的麥克勞林展開式.

八、有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條底邊各長10米、6米，高為20米，計算當水面與上底邊齊時

閉門一側所受的靜壓力。

第七套

一、單項選擇（每小題3分，共15分）

1.已知口，則口（);

A.□B.□C.□D.Q

2.0（）;

A.□B.□C.□D.□

3.□是級數□收斂的（)條件；

A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既非充分也非必要

4.寐級數□的收斂域為（

A.（—1,1）B.□C.□D.I.

二、5、下列廣義積分中，收斂的是（）。

A.□B.□C、口D、□

填空：（每小題3分，共12分）

1.[~\_______________;

2.□;

3、已知二I,則賽級數口的收斂區間為

三、4.□;

計算不定積分或求定積分的值。（每小題6分，共24分）

12JiMig3excos2xdx

四、4.設口，求口

,111

hm（=+、+......+/,、）

五、用定積分求極限…。（9分）

五、求解級數同〃+1的收斂域及和函數S（x）。a。分）

X"

2V=---

六、求曲線y=x、4和）,=1所圍平面區域的面積。（1。分）

七、證明：（每小題10分，共20分）

2、1、設□是以T為周期的連續函數，證明：口

3、函數列1+〃、2在（一處內）上一致收斂.

第八套

單項選擇（每小題3分，共15分）

1.已知口，則匚]（）;

A.□B.□C.0D.□

2.口（）:

A.□B.□C.□D.口

3.連續是可積的（）條件；

A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既非充分也非必要

4.寐級數□的收斂域為（）;

A.(—1,1)B.D0.□D.□

5.下列廣義積分中，收斂的是（）。

A.□B、口C、口D、口

填空：（每小題3分，共12分）

1.□：

2.□;

3.寐級數□的收斂半徑為;

4.□□o

計算不定積分或求定積分的值。（每小題8分，共24分）

f『，3f2dx

1卜*+l）dx2J（x~+l）ln.r<ZtJi

..111、

iun｛z----+-----+....+-----）

六、用定積分求極限1n+2n+n。（9分）

00

五、求寐級數n=l的收斂域及和函數S*）。（10分）

二+《=]

六、求橢圓Cl-b-~繞X軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。（10分）

1、七、江明：（每小題10分，共20分）

4、設□在[-a,a]上連續，證明：當□為偶函數時，口

5、當口為奇函數時，口

z^

6、函數項級數1+〃4,在（-8，長。）上一致收斂。

第九套

一、確定集石=｛UOOIO<（X-1）2+（J+2）2<1｝的內點、外點、聚點集和邊界.（8分）.

二、考查函數口在原點的可微性（8分）.。

三、用定義，臉證極限□.（8分）

四、匚I,口.求□和口（8分）

五、臉證方程口在點口滿足隱函數存在唯一性定理的條件，并求隱函數的導數（10分）.

六、要做一個無蓋的圓柱形容器，其容量為V,問如何截取容器的高和底面半徑，所用材料最省？（1。分）

V由曲面z=V+y2,z=],z=2所圍成；（12分）

七、

八、□,其中□是立體□的邊界曲面：：12分）

九、口，□為以□為頂點的正方形沿逆時針方向.（12分）

十、□,口為球面口的外測。（12分）

第十套

一、確定集￡=｛（占丁）1孫<0｝的內點、外點、聚點集和邊界（8分）

lim/（x,j）=oo

X—

二、敘述）T”的定義（6分；

三、已知□□□.求口。（8分）

四、求極限（KT。，。）?+V。的值.：8分）

五、已知□,□.求□和口。（10分）

六、將數12分成三個正數□之和，使得口為最大。

七、求方程□所確定的隱函數的導數.（12分）

八、求球體Y+V+z?W*被圓柱面/+/=Rr所割下立體的體枳（12分）。

V由曲面Z=JX2+）,2/2+）,2+（Z-1）2=I所圍成:

九、（12分）

十、□,其中□是以（0,0）,（2,0）,（0,1）為頂點的三角形（12分）；

第十一套

一，選擇題：（每題3分，共15分）

1*設/（r?y）-x,t則工'-（）

At戶）,B：/nrCtrz/nrDtxy

2,函數f（x,y）=-的全微分為（）.

y

A：JB：□C:□D：□

3、函數*=3d+Djz'在（0,14）點沿（2,4」）方向的方向導致是（）

A-乎B.乎C.2D—

%設jf/（x.y）dxdy-J1dxj：/（"）力,則改變積分沈序后為（）

D0R

AtLdyB.力J]/（x

c>/：力/：""）八Dl/：力

5,球面r2+/+zJ-2z與建面z■舊+》所圍在滾面內的幾何體在球坐標

下由（）給出.

AiOWrS"OWdWx,0W8W2n

B?OS，W2cos00WeW~yi0W6￡

C?OWTS2cos6OW.W?0WJW2*

DiOSTWy/2coia0WeW2n

二，填空題：（每題3分共15分）

1，空間幾何體x2+ja+z3W4z在toy平面上的投影為__________________.

x

2,設/（r）-j/nJxy.則〃wi、（'"?）'.

A—On

3,設z=，（x,y）,x-rccst,y-rsint,則==

0t

4,曲線x=t—sint,y=1+cost,z=1-cost在點n,0,2）的法平

面方程為

5.格林公式,$Pdx?。???

）C'

三，計算題：（每題5分，共計20分）

1,求u=In（x2+y）在（4,3）點處的全微分。

2、求曲面9x2+y2—z2=9在點（1,1,1）處的切平面方程。

3.計苴/■山&'+尸”.其中G由/及工所圍成.

n

4.計算二重積分口，D：OWyWx,0WxW1。

四、求圓（x—3）2+y2=1與怩物線y=x之間的最短距離.（10分）

五、設u=f（x2-y2）,證明：口（10分）

六、求f——j——dx（OVaVb）的伯.（10分）

七、計葺表半徑巾產，高為力（0VAVR）的球冠面的面積.

八、對于I-/1＞？r+3了）dx?（3x-4了）,先求u（xj）,再求其值.

第十二套

一，選擇題：（每題4分，共20分）

1.設口，則口（）0

A：□B：□C:□D：n

2.函數□在□的全微分為（）.

A：□B：□

c：□D：Q

3.已知口，則口（）o

A：□B：□

c：□D：Q

4,設口，則交換積分次序后為（）。

/（H3'）八+J；/（X）'）dx

A：

B：□

C:□

C/（X,y"+J；力：Jf（x,y）dx

D：22

5,錐面口被柱面口所載部分的面積是（）。

A:□B:口C:JD：□

二，填空題：（每題4分共20分）

1、拋物柱面□與平面□所圍成的空間幾何體在□平面上的投影是:

2.由方程□所確定的隱函數的極小值是

3.已知□,則口。

4,曲線口在□點切線方程為。

5,設L是拋物線□從□到□的一段，則口。

三、計算題：（每題5分，共20分）

（1）、設口，求口。

（2）、求函數/（x，y）=2-一劃一）2一6X-3），+5在（1,一2）處的泰勒展式。

⑶、求/“，3'）=/+）'2在條件'+丁=1下的極值。

（4）、計算曲線積分口，其中L是□與□相交的圓周。

四、證明函數/（&＞）.J。?在（°，°）連續，但偏導數不存在.（10分）

五，證明平面曲線□上任一點處的切線被坐標軸所截的線段等長.（10分）

六，設口，請給出二重積分□在極坐標變換下的兩個累次積分。（10分）

七，對于全微分式口，臉證原函數存在，并求原函數口。（10分）

八、計算I+.＞'二1,其中S是球面二的上半部分并取外側。

參考答案

第一套

一，選擇題：（每題3分，共15分）

1,0；2,A：3,D：4,A；5,Co

二，煤空題：（每題3分共15分）

1,□

2,a=1,b=-1；3,2f'（a）;4,6；5,2.

三，計算題；（每題5分，共20分）

□解：口

解：

3,已知，/（X）=--匕―T，求/（D的帚皮亞語余項的愛克勞林公式?

XXI?X）

解.y；―二一-=1+/+/+…+X3*+0（?*）

w（1+rXl-x）i.?

4,由拽格朗日徵分中值定理知?35^（0.x）,>“一丁）-cosC

X?u

求極亂hm2

i0x

甘2

解;llm-pUm〃“2

2xsin<ruUn41tXIT

...?，3

??f/WJ-1——r-

riOX3

四.用極限定義證明：〃陽1----，（8分）

,?x+11目（卜?U

證：,—-x.ippq]

跟制則X--j|--j-（x-m"J

故結論成立。

五，訶論函數f（X）=XQX的性態并作出其圖形。（14分）

解：1°定義域：R：

2°f'（x）=口，令f'（x）=0得：x=1；

3°f〃(x)=□，令f〃(x)=0得：x=2;

4°列表：

7??7?7(一8,1)(2,+8)

1(1,2)2

X

yz4-——

/——十

y極大、n拐點Xu

5°漸近線：口，y=0為水平漸近線；

6°特殊點：(0,0),(1,1),(2,2e—2)

7°作圖:

六,有一無蓋的圓柱形容器,體積為V,問底半徑與容器高的比為多少時表面積最小？

解：設底面半徑為r,高為h，則目標函數為：

S=2n廣力+nr2

約束條件為：V=nr2h,

代入目標函數得：口，口

令S'二0得：口，代入約束條件中得：口

所以當高等于半徑時，窗容器表面積最小。

七，對函數f(x)=In(1+x)應用拉格朗日定理證明：口(8分)

證：由拉格朗日定理得:

加(I?x)?加111

=07<X即

x.0(1+X)XX

，Vr>0.0<7^U4<l

八、設f(x)在開區間I上為四函數，證明：口存在。

證:作函數世X).人"??x>o

???f(x)在開區間I上為凸函數，???□

XjX)

:.F(x)在x=0的右鄰域內單調上升，而I是一開區間，所以I中能找到一點x'<x0,

有

仆o))v。?一孫)

X?X1X

???F(x)在x>0上有下界，由單調有界定理知：□存在，故口存在，同理可證口存在。

第二套

一，選擇題：（每題3分.共15分）

1,0：2,A；3,C；4,A；5,Co

二，填空題：(每題3分共15分)

1.Ve>0,35AO,>.x-GU°(r0.6)=>|/(x')-/(x")l<e"

2,a=4；b=—12；3,f'(x)；4,2；5,3。

三，計算題：（每題5分，共20分）

.3

b求極限，/累

3in3r

解：取對數1(?n|r-l|+/n|r-2|-/n|x-3|>/n|x-4|)

對r求導得：—-4,(——r?-1?—二■—―T)

y.2\r-Ix-2r-3x-4/

.力一1“x?1)(.?2)/1?I1_____

dx2V(x-3Xx-4)\r-Ir-2*r?3'r-4?

3.已知，y-7—7?求：j(t>

解：設u=xn,v=(1—x)—1,則u(k)=n(n—1)???(n——k+1)xn

—k=□而v(k)=k!(1——x)-k—1,

由萊布尼茲公式得:

4,由拉格朗日徵分中值定理知；35e（0.x）,>“一丁'-cosC

X?u

求極限I"初上.

16x

sin2x

甘中$小乙11r2

Hll/W—?hm----5--------F-■-----5--------5------,

<7xiin與x*7sin專x

.n?廳

??//W!-1—-r-

riOX3

四，用極限定義證明i〃加母三3(8分)

“a5X?/

證,丁I京三T=書部一,.先限制|廠21嗎

則13r?7|-|3(r-2)-1|-3|x-!|>1

干是?Ve>0?取5=?-jgI>則|x?2|V。W.

W3-l37T7r<20|x-21<€--1^37^7--3

五，討論函數f(x)=□的性態并作出其圖形.(14分)

解：1°,定義域:X學1;

2°.V*?(X.3)(X+])了,____-___,令gV1.QX-.]、

4".1尸(X-I)5'

3°,列表:

(―8,(1,（3,十

X-1)—1(-1,1)3)38）

y'+0——0+

———+++

-20

7U

y/n極大■n“U極小

4°,與坐標軸的交點：（3,0）、（0,-）：

5%V〃用-8，.??1-I是曲線的垂百新近線，

又，’lim-4-,llm（/（X）?；x）=-r-,*,?斜斯近統為??4-x-y?

6：作圖：

六，某窗戶上部為半圓，下部為矩形，周長為15m,要使窗戶透光面積最大，問寬x應為多少米？（10

分）

解：口

七，設f（x）、g（x）在D上有界，證明：口（8分）

??.占.?一…紇"3

取?/YD=m以｛，（*）、/（^?,

“.⑼』廣（初；夕（到三夕6.,⑸I.』/⑴./⑷?

/"（b-a）

結論成立.

第三套

1.c2Oa30a4.d50a60d

二、1.原式二口2.原式二口□□

3.原式二□□

4、□□5、□,

d"y_(cosr-sinr)2+(sinr+cos/)2_2

djref(cosr-sinr)3^(cosr-sinr)3

底半徑為R,高為kR,則口，即口，表面積口，令口

四、

.2?4(X------)2(X------)4

.,sinxsinx..3?y,4、

cos(zsin.r)x=1-----------+----------+p(sm4x)x=1t-------------——+---------——+o(x)

2!4!224

.x25//八

1一)

224

r25/r2r4

..、(1--------1-------)—(1--------1-----)+o(x4)[

cos(sinx)-cosA：?242941

hm------------------------=hm------------------------7—^——---------------=—

?I。x3x6

lim/(x)=A<=>V{xjjimx”=+8,lim=A

KX-M?O/t—>0C都有/t-xc

證明：設周期為T。反證：若□則令口，

但匚矛盾.口

八九.2

OYXY—sm.r>—

六、2時，兀(8分)

22

f(x)=sinx——x,f\x)=cosx-----

設‘兀乃

0Yx4arccos—f'(x)a0,/(x)TJ(x)a/(0)=0,/.------a—

當江時，X兀

當□時，□綜上，命題得證.

七、見書舄19

八、喀

第四套

七、1od2.a3Oa4.c5.b6Ob

二、1.原式二口

2.原式二□

3.口

4.口

5、口，□

二9=41,),"=]2/,)嚴=24/,/0=24

y=x4-2=-l+4(x-l)+6(x-l)2+4(x-1)5+(x-1)4

四、如圖：矩形的面積為

S=2RcosO?Rsin0=R2sin20,令S'=2R28s26=0=8=45°(0Y6Y90。)

五、證明：限制□即口，

VcO口5A0,VX,04M.斗2_1+3_3卜耶_1|.25只需取人叫即可

六、反證：設口，若口，則可由羅爾中值定理，口，

然而方程□在（0,1）內無實根，故原命題成立。（8分）

七、證明：口

以上兩代機加得：

lim—+〃）+/（；-力）-2f⑷=Hm八。川,+。（盾=,⑷

所以D/?-JO/?-

八、略

九、

第五套

選擇題：（每題3分，共15分）

12、1.D：2.C;3.D：4.B；5.Co

13、填空題：（每題3分，共15分）

計算題：（每題4分，共20分）

1.計算口2.計算口

解：口解：作變換□得：

sin3x,cos3x,

2--------------ar=p---------------ax

sinx+cosxJosinx+cosx

f2——'出———dx=-f^Q-sin2x)dx

=aictanex+C所以Josinx+cosx2Jo