營(yíng)造研究氛圍

增強(qiáng)幾何直觀發(fā)展代數(shù)推理

創(chuàng)新評(píng)價(jià)方式——2024年濱州市中考題第21題評(píng)析濱州市教育科學(xué)研究院

邢XX2024.07.16試題評(píng)析教學(xué)啟示312解法探析1PART

ONE1：試題評(píng)析試題呈現(xiàn)●

【問(wèn)題背景】●

某校八年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)：●

①如圖1，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，則有∠B＝∠C；●

②某同學(xué)順勢(shì)提出一個(gè)問(wèn)題：既然①正確，那么進(jìn)一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替換為AB+BD＝AC+CD，還能推出∠B＝∠C嗎？●

基于此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出∠B＝∠C，并分別提供了不同的證明方法．小民：∵AD⊥BC，∴△ADB與△ADC均為直小軍：分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得……角三角形，依據(jù)勾股定理，得……【問(wèn)題解決】（1）完成①的證明；（2）把②中小軍、小民的證明過(guò)程補(bǔ)充完整（說(shuō)明：完成兩種證明方法中的任意一種即得5分，兩種全部完成得滿分7分）．1.試題評(píng)析●這道中考題目從外在來(lái)看是一道典型的幾何證明題，具有一定的探索性、開(kāi)放性，它以學(xué)生熟悉的等腰三角形為載體，從經(jīng)典的“三線合一”這一性質(zhì)的逆命題出發(fā)進(jìn)行研究，再現(xiàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、進(jìn)而分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程，蘊(yùn)含研究圖形的基本方法和研究思路。其研究過(guò)程即包括對(duì)圖形形成過(guò)程的理解，又包括對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的剖析。其旨在考查學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合理解和應(yīng)用能力。題目設(shè)計(jì)巧妙，通過(guò)“三線合一”性質(zhì)的引入，引導(dǎo)學(xué)生深入思考等腰三角形的其他性質(zhì)，并鼓勵(lì)學(xué)生探索新的證明方法，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維和問(wèn)題解決能力的重視。●

知識(shí)覆蓋面廣：●

注重了情境創(chuàng)設(shè)：●

問(wèn)題設(shè)計(jì)有層次：●

注重思維過(guò)程：●

注重低起高落和引思多解：●

關(guān)注了教育價(jià)值：1.試題評(píng)析●

具體而言，呈現(xiàn)出如下4大特色：●

1.1立足課標(biāo)要求·基于教材體現(xiàn)●

課標(biāo)要求：●

教材體現(xiàn)：1.試題評(píng)析●

1.2增強(qiáng)幾何直觀·發(fā)展代數(shù)推理●

這是一道幾何推理與代數(shù)推理有機(jī)融合的題目。“小軍、小民”分別著眼于幾何推理與代數(shù)推理，模擬數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)，營(yíng)造了一種探索的場(chǎng)域，通過(guò)分層評(píng)價(jià)的方式，給了不同層級(jí)的學(xué)生施展水平的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，是指向深度學(xué)習(xí)的行動(dòng)。除此顯性的考查外，其實(shí)①的證明也蘊(yùn)藏著兩類推理，既可以用常態(tài)的幾何推理完成這一證明，還可以利用勾股定理通過(guò)計(jì)算完成線段等長(zhǎng)的證明（解法探析中會(huì)呈現(xiàn)），進(jìn)而完成角相等的證明。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，這個(gè)第一問(wèn)是為第二問(wèn)做了方法上的鋪墊，看似很簡(jiǎn)單的題目也同樣給了學(xué)生施展代數(shù)推理的空間。1.試題評(píng)析●

1.3營(yíng)造研究氛圍，涵育探究意識(shí)●

本題從數(shù)學(xué)情境出發(fā)，將特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的知識(shí)融合為一體，從考查內(nèi)容角度看，試題從屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，主要以“等腰三角形三線合一的性質(zhì)”為背景展開(kāi)，從“原命題與逆命題”之間的聯(lián)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探索證明。整個(gè)歷程充盈著較濃的研究氣息，這種情境化的氛圍能較好地引動(dòng)學(xué)生的上下求索，激發(fā)起學(xué)生的自主探究欲望。●

我們看到，本題改變了傳統(tǒng)的考查方式，從“問(wèn)題背景”入手，督使學(xué)生在閱讀中理解問(wèn)題，尋找問(wèn)題的解決方法。如果教師在平時(shí)教學(xué)中沒(méi)有真正落實(shí)好“做中學(xué)”，要順利完成本題的解答是會(huì)存有困難的。考場(chǎng)上學(xué)生異彩紛呈的證明方法（10種）印證了學(xué)生多角度探索這一點(diǎn)，充分體現(xiàn)了題目的探索性，起到了一定的引領(lǐng)作用。1.試題評(píng)析●

1.4多維一體結(jié)構(gòu)化，學(xué)評(píng)一致多元化●

我們常說(shuō)“教-學(xué)-評(píng)（考）”一體化，那如何在考場(chǎng)上體現(xiàn)這個(gè)一體化、結(jié)構(gòu)化很重要，作為利害性很強(qiáng)的中考，命制的題目就不會(huì)僅僅是一道普普通通的題目，它還承載著風(fēng)向標(biāo)的功能，導(dǎo)引著課堂教學(xué)的健康發(fā)展，具有很強(qiáng)的統(tǒng)領(lǐng)性。●

從顯性角度看，試題融含了“三角形與特殊三角形”結(jié)構(gòu)認(rèn)知，學(xué)生在完成整道題目的過(guò)程中，就可以形成對(duì)特殊三角形的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)；從隱性角度看，試題還可以幫助學(xué)生形成“從原命題與逆命題兩個(gè)角度研究問(wèn)題”的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化（考查知識(shí)素養(yǎng)與核心素養(yǎng)細(xì)目表如下頁(yè)圖）；對(duì)師生而言，從學(xué)與評(píng)角度，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)評(píng)（考）一致性的結(jié)構(gòu)化經(jīng)驗(yàn)。1.試題評(píng)析●

《2022版課標(biāo)》中關(guān)于學(xué)業(yè)水平考試的評(píng)價(jià)建議中指出，“科學(xué)制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)具有科學(xué)性、可操作性。對(duì)開(kāi)放性、綜合性較強(qiáng)的試題，合理設(shè)計(jì)多層次任務(wù)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。”本題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了改革創(chuàng)新，對(duì)第二問(wèn)的評(píng)分做出如下說(shuō)明：正確完成兩種證明方法中的任意一種即得5分，兩種全部正確完成得滿分7分。這種評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)形式具有一定的創(chuàng)新性和靈活性，旨在激發(fā)考生的探究意識(shí)，激勵(lì)考生追求極致，勇于挑戰(zhàn)，敢于迎難而上的拼搏進(jìn)取精神。●

另外，本題目對(duì)問(wèn)題的描述也展現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題的探究過(guò)程和心路歷程。我們知道，學(xué)業(yè)水平考試只是對(duì)學(xué)生在初中階段的終結(jié)性評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生人生的長(zhǎng)軸而言，仍是過(guò)程性評(píng)價(jià)，并不是終生評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生（人）的評(píng)價(jià)始終在路上。故關(guān)注發(fā)展、關(guān)注潛能更加重要。2PART

TWO2：解法探析2.解法探析●第（1）問(wèn)3分。●法（1）原試題給出的參考答案：●通過(guò)垂直平分線證明●∵

AD⊥BC，BD＝CD，●∴

AD是BC的垂直平分線●∴

AB＝AC●∴

∠B＝∠C．2.解法探析●法（2）通過(guò)全等知識(shí)證明。●∵AD⊥BC●∴∠ADB=∠ADC=90°●在△ABD和△ACD中●AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=CD●∴△ABD≌△ACD（SAS）●∴∠B=∠C2.解法探析●法（3）通過(guò)勾股定理證明●∵

AD⊥BC●∴

∠ADB=∠ADC=90°●∴

△ABD和△ACD都是直角三角形2222●∴

AB

AD

BD

，AC

AD

CD三種方法可以看成兩類：●∵

AD=AD，BD=CD●∴

AB=AC一是幾何推理（兩種），二是代數(shù)推理。這一問(wèn)雖然很簡(jiǎn)單，但它也為第二問(wèn)的兩類推理方法的呈現(xiàn)做了隱性地鋪墊。●∴

∠B=∠C2.解法探析●

第（2）問(wèn)共7分，題目提供了兩種不同的證明方法，正確完成任意一種得5分，兩種全部正確完成得7分。如果每題都有部分正確，按得分比較高的方法占主導(dǎo)根據(jù)步驟賦分，另一種方法部分正確得1分，將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加作為第（2）問(wèn)的總得分。●

小軍的方法（6種）：●

法（1）用中垂線：原試題給出的參考答案——證明：分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得BE＝BA，CF＝CA．∵AB＋BD＝AC＋CD，∴

∠E＝∠F，∴BE＋BD＝CF＋CD，又

BE＝BA，CF＝CA，∴DE＝DF，∴

∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC，∵AD⊥BC，又

∠ABC＝∠E＋∠EAB，∠ACB＝∠F＋∠FAC，∴

AD是EF的垂直平分線，∴∠ABC＝∠ACB.∴AE＝AF，2.解法探析●

法（2）用全等：分別延長(zhǎng)DB、DC至E、F兩點(diǎn)，使得BE=BA，CF=CA●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

BE+BD=CF+CD●

∴

DE=DF●

∴

∠E=∠F●

∵

AD⊥BC●

又

BE=BA，CF=CA●

∴

∠ADB=∠ADC=90°●

在△ABD和△ACD中●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FAC●

又

∠ABC=∠E+∠EAB，∠ACB=∠F+∠FAC●

∴

∠ABC=∠ACB●

AD=AD，∠ADE=∠ADF，DE=DF●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）2.解法探析●

法（3）迭次用全等：在法（2）證出△ADE≌△ADF后，再證●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）●

∴

∠E=∠F，AE=AF●

又

BE=BA，CF=CA●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FA

C●

在△ABE和△ACF中●

∠E=∠F，AE=AF，∠EAB=∠FA

C●

∴

△ABE≌△ACF（ASA）●

∴

AB=AC●

∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●法（4）在法（3）證出△ABE≌△ACF后，再證：●∴

△ABE≌△ACF（ASA）●∴

∠ABE=∠ACF●又

∠ABE+∠ABC=180°,∠ACF+∠ACB=180°●

∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●

法（5）在法（2）證出△ADE≌△ADF后，再證●

∴

△ADE≌△ADF（SAS）●

∴

∠E=∠F，∠EAD=∠FAD●

又

BE=BA，CF=CA●

在△BAD和△CAD中●

∠BAD=∠CAD●

AD=AD●

∴

∠E=∠EAB，∠F=∠FAC●

∴

∠EAB=∠FAC●

∠ADB=∠ADC●

∴

△BAD≌△CAD（ASA）●

∴

∠ABC=∠ACB●

又

∠BAD=∠EAD-∠EAB

，∠CAD=∠FAD-∠FAC●

∴

∠BAD=∠CAD2.解法探析●

法（6）在法（5）證得∠BAD=∠CAD后，再證●∴

∠BAD=∠CAD●又

∠BAD+∠ABD=90°,∠CAD+∠ACD-=90°●∴

∠ABD=∠ACD●∴

∠ABC=∠ACB2.解法探析●

小民的方法（10種）：●

法（1）原試題給出的參考答案（降維）：●

證明：∵

AD⊥BC，●

∴

△ADB與△ADC均為直角三角形，●

根據(jù)勾股定理，得●

又

AB+BD＝AC+CD

①，●

∴

AB－BD＝AC－CD

②，●

①＋②，得2AB＝2AC，●

即

AB＝AC，●

AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2，●

∴

AB2－BD2＝AC2－CD2，●

∴

(AB－BD)(AB＋BD)＝(AC－CD)(AC＋CD)●

∴

∠ABC＝∠ACB.2.解法探析●

法2.降維代換比對(duì)●

根據(jù)勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

AD2

BD2

BD

AD2

CD

CD2●

∵

AD=AD●

∴

BD=CD？●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴

AB=AC●

∴

∠B=∠C2.解法探析●

法3.

降維代換+因式分解●

根據(jù)勾股定理得：●

AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴AB2-BD2=AC2-CD2●

∴(AB+AC)(CD-BD)=(BD+CD)(BD-CD)●

∴(CD-BD)(AB+AC+BD+CD)=0●

又AB+AC+BD+CD≠0●

∴CD=BD●

∴AB2-AC2=BD2-CD2●

∴(AB+AC)(AB-AC)=(BD+CD)(BD-CD)●

∵

AB+BD=AC+CD●

∴AB=AC●

∴

AB-AC=CD-BD●

∴∠B=∠C2.解法探析●

法4.

升維用加+等式性質(zhì)●

根據(jù)勾股定理得：AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴

AB2-BD2=AC2-CD2●

∵

AB+BD=AC+CD①●

∴

(AB+BD)2=(AC+CD)2●

即

AB2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+2AC·CD

②●

①+②得：2AB2+2AB·BD=2AC2+2AC·CD●

∴

2AB(AB+BD)=2AC(AC+CD)●

∴

AB=AC●

∴

∠B=∠C2.解法探析●法5.

升維用減+等式性質(zhì)●得出上面解法（4）中的①②結(jié)論后，②-①得：●2BD2+2AB·BD=2CD2+2AC·CD●∴

2BD(BD+AB)=2CD(CD+AC)●∴AB=AC●∴∠B=∠C2.解法探析●

法6.升維用減+相似●

根據(jù)勾股定理得：●

AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2●

∴AB2-BD2=AC2-CD2●

∴

AB2+CD2=AC2+BD2●

∵AB+BD=AC+CD●

∴AB-CD=AC-BD①-②得

2AB·CD=2AC·BD∴AB·CD=AC·BD∴①又∠ADB=∠ADC=90°∴△ADB∽△ADC∴∠B=∠C●

∴(AB-CD)2=(AC-BD)2●

即AB2+CD2-2AB·CD=AC2+BD2-2AC·BD

②2.解法探析●法7.

升維用減+三角函數(shù)●得出解法（6）中AB·CD=AC·BD后，再證●∴AB·CD=AC·BDCD

BD

●∴AC

ABBDABCDAC●又cos

B

，cosC

●∴cosB=cosC●∠B、∠C均為銳角●∴∠B=∠C2.解法探析●

法8.

升維代入+恒等變形●

根據(jù)勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2

①●

∵AB+BD=AC+CD●

∴

(AB+BD)2=(AC+CD)2●

即

AB2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+2AC·CD②●

把①代入②得：AD2+BD2+BD2+2AB·BD=AC2+CD2+CD2+2AC·CD●

∴

2BD2+2AB·BD=2CD2+2AC·CD●

∴2BD(BD+AB)=2CD(CD+AC)●

∵AB+BD=AC+CD●

∴BD=CD，AB=AC●

∴∠B=∠C2.解法探析∴

2BD（AC+CD）=2CD