安徽省2022年優(yōu)質(zhì)課

評(píng)比之團(tuán)體賽

普通高中教科書(shū)人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何

142用空間向量研究距離.夾角問(wèn)題

（第三課時(shí)）

教

學(xué)

設(shè)

計(jì)

授課人：安徽省無(wú)為中學(xué)魯賢龍

錄

第一部分：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)

一、單元內(nèi)容及其解析................................................1

二、單元目標(biāo)及其解析...............................................2

三、單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析...........................................2

四、單元教學(xué)支持條件分析...........................................3

第二部分：課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容........................................................3

二、教學(xué)目標(biāo)........................................................3

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)..................................................3

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)....................................................3

（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新課...........................................3

（二）例題教學(xué)，鞏固理解...........................................4

（三）當(dāng)堂檢測(cè)，檢驗(yàn)效果...........................................8

（四）小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)...........................................9

（五）布置作業(yè)、應(yīng)用遷移...........................................9

五、板書(shū)設(shè)計(jì).......................................................10

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)...................................................10

七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明...................................................10

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題（1課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）

安徽省無(wú)為中學(xué)魯賢龍

單元學(xué)習(xí)基本信息

學(xué)科數(shù)學(xué)實(shí)施年級(jí)高二

使用教材版本人民教育出版社A版2019年選擇性必修第一冊(cè)

單元主題名稱用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

單元課時(shí)3課時(shí)

一、單元內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容

本單元包括運(yùn)用空間向量解決立體幾何中的距離和夾角等度量問(wèn)題，知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖如下:

空■川11

Awa

R同早〃2,決

獷體幾何同遢的

?三步曲..+卿偌*曰&所

__riMUh___

.用Ha?一m；____7同,■‘.ii

[-J_

1?，內(nèi)'?fIfcfn

失，

本單元建議用3課時(shí)：第1課時(shí)，用向量方法研究距離問(wèn)題；第2課時(shí)，用向量方法研究角度問(wèn)題；

第3課時(shí)，解決綜合性問(wèn)題.

2.內(nèi)容解析

立體幾何研究空間圖形的形狀、大小及其位置關(guān)系.距離和角度是立體幾何中的基本度量.距

離主要包含兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，平行線間的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距

離（直線與平面平行），平行平面間的距離，等等；角度主要包含兩條直線所成的角，直線和平面所

成的角，兩個(gè)平面的夾角，等等.

對(duì)于距離問(wèn)題，由于前面已研究了兩點(diǎn)間的距離，本單元利用向量投影統(tǒng)一研究其余距離問(wèn)題，

其中點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離是核心，其他距離問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為這兩類(lèi)距離進(jìn)行求解.對(duì)

于角度問(wèn)題，利用直線的方向向量和平面的法向量，統(tǒng)一將這些角度化歸為這些向量之間的夾角，

進(jìn)而利用向量的數(shù)量積解決問(wèn)題.

通過(guò)本單元求解距離和角度的問(wèn)題，可以幫助學(xué)生歸納用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步

曲”，并自覺(jué)地運(yùn)用“三步曲”解決立體幾何問(wèn)題，從而進(jìn)一步體會(huì)向量及其運(yùn)算在解決立體幾何問(wèn)

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題中的作用和普適性，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).

基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：利用投影向量推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式和點(diǎn)到平面的

距離公式，利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)直線、平面間的夾角公式，運(yùn)用“三步曲”解決立體幾何問(wèn)題.

二、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、直線到平面（直線與平面平行）、

相互平行的平面的距離問(wèn)題.

（2）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角（夾角）問(wèn)題.

（3）理解用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的程序，并用來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，體會(huì)向量方法的作

用.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）能利用向量投影推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式.能把相互平行的直線間

的距離、直線到平面的距離（直線與平面平行）、相互平行的平面間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或

點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求得上述距離.

（2）能通過(guò)實(shí)例歸納出利用向量的數(shù)量積求空間兩條異面直線所成角的一般方法；能夠利用向

量的數(shù)量積得出直線與平面、平面與平面所成角的計(jì)算公式，并用來(lái)解決有關(guān)夾角問(wèn)題.體會(huì)利用

向量數(shù)量積解決空間角度問(wèn)題的優(yōu)勢(shì).

（3）能歸納出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”，并自覺(jué)地運(yùn)用“三步曲”解決立體

幾何中的問(wèn)題；通過(guò)用向量方法、綜合幾何方法從不同角度解決立體幾何問(wèn)題，體會(huì)向量方法的優(yōu)

勢(shì)以及向量及其運(yùn)算在解決立體幾何問(wèn)題中的作用.

三、單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.問(wèn)題診斷

學(xué)生在在“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)中，對(duì)于距離和夾角有了一定的認(rèn)識(shí)，但缺乏整體性、系統(tǒng)

性.在本章前面的學(xué)習(xí)中，也已經(jīng)利用空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理等解決一些簡(jiǎn)單的立

體幾何問(wèn)題，但對(duì)于其中的向量方法體會(huì)還不夠深刻，對(duì)于用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步

曲”，也達(dá)不到熟練運(yùn)用的程度，特別是在解決綜合性問(wèn)題時(shí)，常常對(duì)其中的第一步“建立立體圖形

與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)

題”缺乏經(jīng)驗(yàn)和體會(huì).

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本單元的教學(xué)難點(diǎn)為：整體理解空間距離公式和角度公式，以及運(yùn)用“三步曲”解決立體幾何

中的綜合問(wèn)題.

四、單元教學(xué)支持條件分析

利用動(dòng)態(tài)幾何軟件作空間圖形，呈現(xiàn)幾何圖形中的幾何元素及其關(guān)系，幫助學(xué)生形成對(duì)相應(yīng)的

直線、平面關(guān)系的直觀認(rèn)識(shí)；利用信息技術(shù)展示向量投影的過(guò)程，幫助學(xué)生構(gòu)造相關(guān)的幾何量；借

助投影平臺(tái)展示學(xué)生的作品；等等.

五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

第3課時(shí)用空間向量解決立體幾何綜合問(wèn)題

（-）教學(xué)內(nèi)容

用向量法解決立體幾何問(wèn)題的綜合應(yīng)用.

（-）教學(xué)目標(biāo)

綜合運(yùn)用“基底法”“坐標(biāo)法”解決立體幾何問(wèn)題，掌握用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的思想

和一般步驟.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：對(duì)向量法的理解.

難點(diǎn)：將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.

（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)回顧，引入新課

引導(dǎo)語(yǔ)：同學(xué)們好！前面我們學(xué)習(xí)了如何用向量方法求解立體幾何中的距離和角度問(wèn)題.這節(jié)

課我們應(yīng)用這些知識(shí)解決綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題.

問(wèn)題1:用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的一般路徑是什么？

追問(wèn)：面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，又該如何處理？讓我們一起來(lái)欣賞神州十三號(hào)飛船返回艙著陸的動(dòng)畫(huà).

（教師播放視頻）

師生活動(dòng)：由學(xué)生作答，教師強(qiáng)調(diào)：面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，認(rèn)真審題，理解題意，先把圖形的幾何

特征分析清楚，也就是把圖形中的基本元素和它們的基本關(guān)系先搞清楚，把問(wèn)題描述清楚，以此為

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依據(jù)，再分析如何選擇基底表示相關(guān)的幾何元素.教師播放神州十三號(hào)飛船返回艙著陸動(dòng)畫(huà).

【設(shè)計(jì)意圖】解題教學(xué)首先要明確其目的是鞏固雙基、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)臉、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，

不能以得出答案為滿足；要遵循解題教學(xué)的一般之道，按“閱讀題目理解題意一作出圖形一分析圖

形的幾何特征一選擇適當(dāng)?shù)幕滓挥没妆硎鞠嚓P(guān)幾何元素一通過(guò)向量運(yùn)算得出結(jié)果一對(duì)結(jié)果作出

幾何解釋”的一般路徑展開(kāi)教學(xué)，不能忙于下手，把題意理解清楚是首要的；解決立體幾何問(wèn)題，

要強(qiáng)調(diào)根據(jù)題意作出圖形的重要性；要讓學(xué)生掌握分析圖形幾何特征、選擇基向量的基本方法；要

強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)良好解題習(xí)慣的重要性.通過(guò)視頻可以拉近生活與數(shù)學(xué)的距離，緊跟時(shí)事，弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)主義

教育，讓學(xué)生體會(huì)教學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)

的眼觀觀察世界，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能.

2.例題教學(xué)，鞏固理解

例9如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向

量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)

程中每根繩子拉力的大小（重力加速度g取9.8根As2,精確到0.01N）./----、

問(wèn)題2：觀察右圖，你認(rèn)為可以用哪種數(shù)學(xué)模型來(lái)表示該圖？

追問(wèn)1：這種數(shù)學(xué)模型的幾何特征有哪些？（教師利用Geogebra演示模型）

追問(wèn)2：結(jié)合該模型的幾何特征和所學(xué)物理知識(shí)，如何簡(jiǎn)要的描述本題？基

追問(wèn)3：降落傘勻速下落，下落過(guò)程中，8根繩子拉力Ad----

的合力大小與禮物重力大小有什么關(guān)系？/

追問(wèn)4：每根繩子的拉力和合力有什么關(guān)系？V/\'\qJ'

追問(wèn)5：如果要作出禮物在空間中的受力示意圖，我們—北

怎么作圖？

師生活動(dòng)：假設(shè)其中一根繩子的拉力為耳，嘗試作出拉力/在豎直方向的分解示意圖.

追問(wèn)6：如何用向量語(yǔ)言刻畫(huà)剛剛的過(guò)程？

追問(wèn)7：根據(jù)上述分析，用向量方法如何解決這個(gè)問(wèn)題？

師生活動(dòng)：將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型（正八棱錐），對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，利用所學(xué)物理知識(shí)

進(jìn)行受力分析，因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌越德鋫?根繩子拉力的合力大小等于禮物重力的大小.8

根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量.

【設(shè)計(jì)意圖】師生共同分析，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)與能力，

提高數(shù)學(xué)抽象能力，體會(huì)向量方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，能讓學(xué)生更好的讀

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懂題和準(zhǔn)確理解題意，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

解：如圖，記水平面的單位法向量為〃，其中一根繩子的拉力為尸.

因?yàn)?lt;〃，F(xiàn)>=30°,所以F在〃上的投影向量為〃.所以8根繩子拉力的合力

2

…與F

又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌?/p>

國(guó)=1%物|=lx9.8=9.8(N).

所以kg|P|“=9.8.

98

所以四=號(hào)=1.41(N).

114V3

即：降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小是1.41(N).

【設(shè)計(jì)意圖】規(guī)范解題，作好學(xué)生的示范.特別強(qiáng)調(diào)先設(shè)向量，再把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題

來(lái)求解，最后回答實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

問(wèn)題3：回顧一下，我們是如何解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的？

抽象

實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題

?￥擇

向顯農(nóng)小O

物體受力分析向量的運(yùn)算

實(shí)際應(yīng)用

向M體現(xiàn)

合力為0相反向量

實(shí)際結(jié)果

問(wèn)題4：運(yùn)用向量方法求解實(shí)際問(wèn)題的一般思路是什么？

抽象

實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題

解釋轉(zhuǎn)化

運(yùn)上

向量問(wèn)題的解空間向過(guò)問(wèn)題

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例10如圖，在四棱錐P-A3C。中，底面ABC。是正方形，側(cè)棱PD_L底面ABC。,

PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB；

(2)求證:PB工平面EFD；

(3)求平面CP8與平面P8O的夾角的大小.

問(wèn)題5：觀察上圖，該圖的幾何特征是什么？由此你想到了什么？

師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件確定利用空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題.建立以。為原點(diǎn)，DA,

DC,。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系.

追問(wèn)1：欲證P4//平面可以從哪些方面思考？給出證明思路并說(shuō)明理由.

師生活動(dòng)：師生共同回顧用向量法證明直線與平面平行的步驟，設(shè)直線/的方向向量為“，平面

a的法向量為〃，則o〃/a.在此基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示PA以及平面EC射的一個(gè)法向量，

進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算解決問(wèn)題.也可以利用綜合法.

追問(wèn)2：欲證平面EED,可以從哪些方面思考？給出證明思路并說(shuō)明理由.

師生活動(dòng)：師生共同回顧用向量法證明直線與平面垂直的步驟，設(shè)直線/的方向向量為“，平面

a的法向量為n,則u=An(2eR)<=>/±?.在此基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示PB以及平面EFD的一個(gè)

法向量，進(jìn)而利用向量的數(shù)乘運(yùn)算解決問(wèn)題.也可以利用綜合法.

追問(wèn)3：求平面CPB與平面PBO的夾角有哪些方法？你會(huì)如何選擇？為什么？

追問(wèn)4：若采用坐標(biāo)法，平面CP6與平面PBO的法向量怎么求？請(qǐng)結(jié)合圖形說(shuō)明.

追問(wèn)5：在空間直角坐標(biāo)系中求OE,還需要知道什么？怎么求？可以利用哪些條件？

追問(wèn)6：如果知道點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用向量法怎么求NERD?

追問(wèn)7：若采用綜合法，NEFD怎么求?請(qǐng)你具體說(shuō)說(shuō).

追問(wèn)8：觀察△￡>￡F,你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？由此你想到了什么？

問(wèn)題6：結(jié)合本題，談?wù)勀銓?duì)解決立體幾何問(wèn)題的體會(huì)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用向量及坐標(biāo)表示平面的法向量，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求得

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平面CPB與平面P8D的法向量的夾角，從而求得這兩個(gè)平面的夾角.教師還可以利用信息技術(shù)手

段展示“補(bǔ)齊”正方體，再讓學(xué)生觀察問(wèn)題中的線、面和正方體的關(guān)系，由此形成對(duì)圖形特征的整

體直觀認(rèn)識(shí).

本題涉及的問(wèn)題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角.這些問(wèn)題都可以

利用向量方法解決.由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建

立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問(wèn)題中的幾何元素，進(jìn)而解決問(wèn)題.

解：以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.

(1)證明：連接4C,交5。于點(diǎn)G,連接EG.公&,

依題意得A(1,0,0),P(0,0,l),E(0,—，一).?

22k子、廠

因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以點(diǎn)G是它的中心，

11―.11

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(一，一，0),且。4=(1,0,-1),EG=(—,0,一一).

所以PA=2EG,即P4//EG.

而EGu平面E03,且平面因此24//平面EDB.

(2)證明：依題意得8(1,1,0),PB=(1,1,-1).

1111

又DE=(U故PB￡)E=0+----=0.

2222

所以PB工DE.

由已知且EFDE=E,

所以03,平面EFD.

(3)解：已知由(2)可知~B_LDE,故NEED是平面CPB與平面P3O的夾角.

由(2)可知點(diǎn)b的坐標(biāo)為(無(wú)，y,z),則PR=(x,y,z-1).

因?yàn)镻F=kPB,所以

(x,y,z—1)=女(1,1,一1)=(左，k,-k),即》=々，y=k,z=1—k.

設(shè)PBDF=3貝U

(1,1,一1)?(左，k,1一后)=攵+上一1+后=3攵-1=0.

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1112

所以Z=點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（§

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0所以FE=（—』,-,

!，！，/）?（-1,-7，*）

FEFD

所以cosNEFD-3663331

63

所以ZEFD=60°,即平面CP8與平面PBD的夾角大小為60°.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用向量方法解決空間的位置關(guān)系和度量問(wèn)題的過(guò)程、

方法，進(jìn)一步體會(huì)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“坐標(biāo)法”.引導(dǎo)學(xué)生把握解題要點(diǎn)（特別是分析

圖形的幾何特征、選擇適當(dāng)?shù)幕妆硎鞠嚓P(guān)幾何元素），深化對(duì)向量作為一個(gè)運(yùn)算對(duì)象的理解，培養(yǎng)

學(xué)生根據(jù)解決問(wèn)題的需要選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序的能力；通過(guò)比較向量法和綜合幾何法，體

會(huì)它們的各自特點(diǎn)；通過(guò)與相應(yīng)的證明訪談的結(jié)合，使學(xué)生更清晰地把握?qǐng)D形中各幾何元素、幾何

量的特征，從而開(kāi)拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

3.當(dāng)堂檢測(cè)，檢驗(yàn)效果

1.如圖，二面角￡-/-，的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段8。與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)平面

內(nèi)，并且都垂直于棱/.若A5=4,AC=6,BD=8,CD=2,求平面a與平面夕的夾角.

2.如圖，在三棱錐中，AB=AC=6r)=CO=3,A0=8C=2,、M,N

分別是AO,8C的中點(diǎn)，求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

3.如圖，在三棱錐O-ABC中，QA,OB,OC兩兩垂直，QA=OC=3,08=2.求直線

08與平面A8C成角的正弦值.AA

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【設(shè)計(jì)意圖】第1題懂得當(dāng)已知首尾連接的四條線段長(zhǎng)時(shí)，又知道其中兩組相鄰邊的夾角，就

可以求相對(duì)兩邊所成的角.第2題考查利用向量方法解決直線與直線所成的角的能力，當(dāng)然本題還

可以拓展，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，從而建系求解，教師可以用信息技術(shù)手段給出長(zhǎng)方體模型.

4.小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)

問(wèn)題7：回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答以下問(wèn)題：

（1）用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的基本步驟是什么？請(qǐng)用一個(gè)框圖表示？

（2）通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，你對(duì)立體幾何中的向量方法是否有一定的認(rèn)識(shí)？請(qǐng)結(jié)合例題和上面的框

圖談?wù)勼w會(huì).

（3）解決立體兒何中的問(wèn)題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法.請(qǐng)說(shuō)出它們各自的特

點(diǎn)是什么？

師生活動(dòng)：師生共同梳理總結(jié)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出用向量法解決立體幾何問(wèn)題的

一般步驟的“三步曲”的框圖，具體如下：

用空間向量表示立體進(jìn)行空間向量的運(yùn)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”

圖形中的點(diǎn)、直線、算，研究點(diǎn)、直線、成相應(yīng)的幾何意義

平面等元素平面之間的關(guān)系（回到圖形問(wèn)題）

（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）

進(jìn)一步地，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出解決立體幾何問(wèn)題的綜合法、向量法、坐標(biāo)法的特

點(diǎn)：綜合法通過(guò)純粹的邏輯推理解決問(wèn)題，向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題，坐標(biāo)法利用

數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.坐標(biāo)法經(jīng)常與向量法結(jié)合起來(lái)使用.對(duì)于具體的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)它的條件和

所求選擇合適的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】這里的小結(jié)既是本節(jié)課的小結(jié)，也是本單元的小結(jié).目的是從宏觀的思想方法和

中觀的解題步驟方面進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生掌握用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的一般方法，并通過(guò)綜合

法、向量法、坐標(biāo)法的比較，認(rèn)識(shí)它們各自的特點(diǎn)，進(jìn)一步加深對(duì)向量法的認(rèn)識(shí).通過(guò)問(wèn)題串的形

式，引導(dǎo)學(xué)生概括歸納已有知識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)規(guī)律及其結(jié)構(gòu)特征，形成知識(shí)系統(tǒng)；深化對(duì)點(diǎn)、線、面

向量表示的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì)的理解，挖掘知識(shí)形成過(guò)程中所體現(xiàn)類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的思想方法，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

和方法網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

5.布置作業(yè)，應(yīng)用遷移

必做題：教科書(shū)習(xí)題1.4第14、15題.

選做題：結(jié)合本單元所學(xué)知識(shí)，查閱相關(guān)資料，寫(xiě)一篇主題為“空間向量與實(shí)際生活”的數(shù)學(xué)

小論文.

【設(shè)計(jì)意圖】第1題有助于鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí).第2題為開(kāi)放性作業(yè)，有助于提高學(xué)生的數(shù)

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學(xué)素養(yǎng).

6.板書(shū)設(shè)計(jì)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

第三課時(shí)

1.實(shí)際問(wèn)題的研究思路多媒體演示區(qū)靈活板演區(qū)

2.用向量法解決立體幾何問(wèn)題的一般

步驟的“三步曲”

(五)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.已知四棱錐P-A6C。的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBA。=60°,PA=20,PC=娓,

PD=2,M為PC的中點(diǎn).

(1)求證：P4//平面BDW；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

2.如圖所示，在矩形4BC￡＞中，A3=4,AD=2,E是CO的中點(diǎn)，。為AE的中點(diǎn)，以

AE為折痕將AADE向上折起，使。點(diǎn)折到P點(diǎn)，且PC=PB.

(1)求