北師大版九年級下冊數學

全冊知識點梳理及重點題型鞏固練習

銳角三角函數一知識講解

【學習目標】

1.結合圖形理解記憶銳角三角函數定義；

2.會推算30°、45°、60°角的三角函數值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數值；

3.理解并能熟練運用“同角三角函數的關系”及“銳角三角函數值隨角度變化的規律”.

【要點梳理】

要點一、銳角三角函數的概念

如圖所示，在Rt△八BC中，ZC=90r,/A所對的邊BC記為a,叫做/A的對邊，也叫做/B的

鄰邊，/B所對的邊AC記為b,叫做/B的對邊，也是/A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做

斜邊.

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即

乙如勺對邊

sinA=

"Mir

,“、口.NA的鄰邊b

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦記作cosA,即COSA=---：----=-

斜邊c

/麗勺對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即tanA-

乙的勺鄰邊~b

N喇鄰邊

同理sin3=/砒對邊2；…

斜邊斜邊c勺鄰邊a

要點詮釋：

⑴正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條

線段的比值.角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成Sin?4,COS?Ay

tan??!,不能理解成sin與NA,cos與NA,tan與/A的乘積.書寫時習慣上省略/A的

角的記號“N”，但對三個大寫字母表示成的角(如NAEF),其正切應寫成“tan/AEF"，不能寫成

“tanAEF"；另外，(sin彳尸、(cos/)'、(tan用‘常寫成$1/4、cos。、tan，4

(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數的定義知：

當角度在0°<ZA<90°間變化時，OvsmXvl,0<COSi4<l,tanA>0.

要點二、特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30’、45°、60°角的各三角函數值，歸納如下:

銳角儀sinacosatana

￡

30。也坦

223

<2

45°1

60。迫

22

要點詮釋：

⑴通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數值，它的另一個應用就是：如果知道

了一個銳角的三角函數值，就可以求出這個銳角的度數，例如：若sm6=亞，則銳角0=45°.

2

⑵仔細研究表中數值的規律會發現:

sm3b、sin4'、60*的值依次為,而cos3CT、cos45*'cos60?的值的

222

順序正好相反，tan30*、tan45°、tan60°的值依次增大，其變化規律可以總結為：

①正弦、正切值隨銳角度數的增大（或減小）而增大（或減小）；

②余弦值隨銳角度數的增大（或減小）而減小（或增大）.

要點三、銳角三角函數之間的關系

如圖所示，在RtZ\ABC中，/C=9O°.

⑴互余關系：sin=cos（90*-ZJ4）=cos,cosA=sin（90*-￡Ji）=sin5;

⑵平方關系：$in2i4+cos2J4=1?

(3)倒數關系：tan月?tan(9T-乙4)=1或tan/=---;

tan3

⑷商數關系：tan吆

cosA

要點詮釋：

銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的意義推導得出，常應用在三角函數的計算中，計算

時巧用這些關系式可使運算簡便.

【典型例題】

類型一、銳角三角函數值的求解策略

小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則/ABC的

AB的長，根據正切函數的定義，可得答案.

【答案】D.

【解析】

解：如圖：

由勾股定理，得

AC=V2,AB=2&,BC=V10,

/.△ABC為直角三角形，

工，

AB2

故選：D.

【總結升華】本題考查了銳角三角函數的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數.

舉一反三：

【變式】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,t)=4,則c=____,

sinA=____,cosA=____,sinB=____,cosB=____.

B

33

44

【答案】c=5,sinA=-,AN-------------------'CcosA=-,sinB=-

Jh--------------------55

3

cosDB=-.

5

類型二、特殊角的三角函數值的計算

&

▼2.求下列各灰的值：

（1）（2015?茂名校級一模）6tan230°-英sin60"-2sin45";

（2）（2015?樂陵市模擬）V2sin600-4cos230"+sin45*tan60；

（3）（2015?寶山區一模）s【n?0_+tan60'_________2_______

COS26002cos450+tan600

【答案與解析】_「，

解：（1）原式二6X（旁）2-?X,-2X￥2

?

工日

2__

（2）原式二血乂專一4義（喙2+*乂近

二近—3+近

22

=76-3；

V3

2丘2

（3）原式=

(1)2V2+73

2

2(V3"V2)

=273+73-

(V2+V3)(V3-V2)

二375-2加+2亞

二6+2忘.

【總結升華】熟記特殊角的三角函數值或借助兩個三角板推算三角函數值，先代入特殊角的三角函數值,

再進行化簡.

舉一反三：

【變式】在RtAABC中，zC=90°,若/A=45°,則1B=

sinA=cosA=,sinB=cosB=

【答案】止45。，sinA邛,cosA=克，sinB」也,cosB邛

22

類型三、銳角三角函數之間的關系

.（2015?河北模擬）已知AABC中的/A與/B滿足（1-tanA）2+|sinB-

?1）試判斷AABC的形狀.

（2）求（1+sinA）2-2,>/cosB-（3+tanC）"的值.

【答案與解析】

解:(1)???11-tanA)2+|sinB-2^|=O,

.".tanA=l,sinB=近，

2

ZA=45°,ZB=60°,ZC=1800-45"-60"=75°,

」.△ABC是銳角三角形；

(2).../A=45°,/B=60',ZC=180°-45=-60c=75°,

.??原式二（1

—,1—?

2

【總結升華】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵.

類型四、銳角三角函數的拓展探究與應用

4.如圖所示，AB是0O的直徑，且AB=10,CD是0O的弦，AD與BC相交于點P、

若弦CD=6,試求cos/APC的值.

【答案與解析】

連結AC,-/AB是0O的直徑，ZACP=905,

又?「ZB=ZD,ZPAB=ZPCD,△PCDC^APAB,

PCCD

~PA~~AB

又/CD=6,AB=10,

在RtAPAC中,

pcCD=±=3

cos/.APC=----

PAAB-TO-5

【總結升華】直角三角形中，銳角的三角函數等于兩邊的比值，當這個比值無法直接求解，可結合相似

三角形的性質，利用對應線段成比例轉換，間接地求出這個比值.

銳角的三角函數是針對直角三角形而言的，故可連結AC,由AB是(DO的直徑得/ACB=90°,

COSZAPC=——，PC、PA均為未知，而已知CD=6,AB=10,可考慮利用APCD^APAB得一=——.

PAPAAB

▼5.通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確

定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們

定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1①，在AABC中，AB=AC,頂角A的

正對?記作sadA,這時sadA=^^^二生.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定

腰AB

的.根據上述角的正對定義，解下列問題：

(l)sad60=.

(2)對于0VAV180。，NA的正對值sadA的取值范圍是________

圖1

【答案與解析】

(1)1；(2)0<sadA<2;

(3)如圖2所示，延長AC到D,使AD=AB,連接BD.

圖2

BC3

設AD=AB=5a,由sinA=-----=一得BC=3a,

AB5

AC=J(5a)2—Ra)?=4a,

CD=5a-4a=a,BD=+(3。y=>/10?,

【總結升華】⑴將60,角放在等腰三角形中，底邊和腰相等,故sadA=1;(2)在圖①中設想AB=AC的

長固定，并固定AB讓AC繞點A旋轉，當NA接近工時，BC接近0,則wlA接近0但永遠

不會等于0,故sadAA),當/A接近180,時，BC接近2AB,則$adA接近2但小于2,故sadA

<2;(3)將/A放到等腰三角形中，如圖2所示，根據定義可求解.

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重難點突破

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銳角三角函數一鞏固練習

【鞏固練習】

一、選擇題

1.(2016?樂山)如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90',AD_LBC于點D,則下列結論不正確的是()

A-sinB=—B.sinB=-c*sinB=—D,sinB=—

2.(2015?山西)如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則NABC的正切值

B.過1

5

3.已知銳角a滿足sin25°=cosa,則a=(

A.25°B.55C.65°D.75°

4.如圖所示，直徑為10的OA經過點C(0,5)和點0(0,0),B是y軸右側OA優弧上一點，則/OBC

的余弦值為()

5.如圖，在AABC中，ZA=120°,AB=4,AC=2,則sinB的值是（）

5A/7V3V2TV21

A.-----B.----C.-----D.-----

145714

6.在Rt^ABC中，ZC=90o,若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則/A的正弦值（）

A.擴大2倍B.縮小2倍C.擴大4倍D.不變

7.如圖所示是教學用具直角三角板，邊AC=30cm,ZC=90°,tan/BAC=-y,則邊BC的長為()

A.30\/3cmB.20\/3cmC.1OA/3cmD.5\/3cm

若AC=y/5

8.如圖所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD1AB,垂足為DBC=2,則sin/ACD

的值為（)

如2石2

A.D?-----------1D.-

33c23

二、填空題

9.（2016?臨夏州）如圖，點A（3,匚）在第一象限，。A與x軸所夾的銳角為a,tana二0，則t的值是

2

10.用不等號連接下面的式子.

(l)cos50Qcos2QL(2)tanl8°tan21

11.在AABC中，若SinA史+(@cosB=0,/A、/B都是銳角，則/C的度數為

22

12.如圖所示，AABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=.

13.已知：正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點，若DP=1,則tan/BPC的值是

14.如果方程/-4工+3=0的兩個根分別是RtZsABC的兩條邊，△ABC的最小角為A,那么tanA的

值為.

15.如圖所示，AABC的內心在y軸上，點C的坐標為(2,0),點B的坐標是(0,2),直線AC的解析式

為了=—X—1,則tanA的值是_________.

16.(2014?高港區二模)若a為銳角，且cosCl二工￡三，則m的取值范圍是.

三、解答題

17.如圖所示，^ABC中，D為AB的中點，DC1AC,且/BCD=30'，

求/CDA的正弦值、余弦值和正切值.

18.計算下列各式的值.

⑴（2015?普陀區一模）4sin30-近cos45+加tan60；

（2）（2015?常州模擬）在in45°+tan450-2cos60a.

（3）（2015?奉賢區一模）。.%—冬）s60。.

2sin60-tan452

19.如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC,DF1AE,垂足為F,連接DE.

(1)求證：AB=DF;

⑵若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

20.如圖所示，已知QO的半徑為2,弦BC的長為26，點A為弦BC所對優弧上任意一點(B、C兩點

除外).

(1)求/BAC的度數；

(2)求△ABC面積的最大值.

(參考數據：sin600二等，cos30°=^y,tan30°=^).

o

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C.

【解析】在RtAABC中，ZBAC=90°,sinB二柜,

BC

AD1BC,

/.inB=—,

sAB

sinB=sinZD/\C=—,

AC

綜上，只有C不正確

故選：C.

2.【答案】D;

【解析】如圖：由勾股定理得，_

AC=V2,AB=2比，BC=V10,

「.△ABC為直角三角形，

AB2

故選：D.

3.【答案】C；

【解析】由互余角的三角函數關系,cosa=sin(90°-a),/.sin250-sin(900-a),

即90,-a=25°,/.a=65".

4.【答案】C;

【解析】設OA交x軸于另一點D,連接CD,根據已知可以得到CC-5,CD-10,

6>￡)=>/102-52=573,vZOBC=ZODC,

,2。/小心「—八/cn「_°D_58叢

..cosNOBC=cos40DC=----=------=—.

CD102

5.【答案】D;

【解析】如圖所示，過點C作CD1AB于D,1/ZBAC=120J,：.ZCAD=60°,

又AC=2,/.AD=1,CD=V5,

22

BD=BA+AD=5,在RtABCD中,BC=VBD+CD=>/28=2>/7,

口CD6向

sinB=----=-f==------.

BC2>/714

6.【答案】D;

【解析】根據銳角三角函數的定義，銳角三角函數值等于相應邊的比，與邊的長度無關，而只與邊的

比值或角的大小有關.

7.【答案】C；

BCGJ7Q

【解析】由tan/8/AC^C=—AC=—X30=10V3

AC333

8.【答案】A;

【解析】?「AB=ylAC2^-BC2=3,sinZACD=sinZB=—=—

AB3

二、填空題

9.【答案】1.

2

【解析】過點A作AB_Lx軸于B,

二?點A(3,t)在第一象限，

.-1AB=t,OB=3,

又q...toannf￥a_--A--B-_--t--_--3,

OB32

?.?I—9—.

2

故答案為：1.

2

10.【答案】⑴v；⑵v；

【解析】當a為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，，cos50u<cos200；

當a為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，tanl80<tan21°.

1：.【答案】105

【解析】si"-也一cosB=0,

2

sinA—=0,---cosB=0

22

,C°SB=B

即sinA咚

2

又.//A、/B均為銳甭，.../A=45°,/B=30°,

在AABC中，ZA+ZB+ZC=180a,/.ZC=W5°.

正

【答案】

12.T,

【解析】假設每一個小正方形的邊長為1,利用網格，從C點向AB所在直線作垂線CH.垂足為H,

則NA在直角△ACH中，利用勾股定理得AC=A/42+22=2X/5,/.

.ACH2V5

sinA=----=-；==——.

AC2>/55

,2

13.【答案】2或一

3

【解析】此題為無圖題，應根據題意畫出圖形，如圖所示，由于點P是直線CD上一點，所以點P

既可以在邊CD上，也可以在CD的延長線上，

BC2

當P在邊CD上時，tanZBPC=--=2;當P在CD延長線上時，tanZBPC=

PC3

14.【答案】

由2得電①當為直角邊時，最小角的正切值為

【解析】x-4x+3=0X]=1,=3,3Atan4=g;

②當3為斜邊時，另一直角邊為J32—V=2及，：.最小角A的正切值為tanA=—==——.

2V24

故應填，或

34

15.【答案】；；

【解析】由△ABC的內心在y軸上可知QB是/ABC的角平分線，則/QBA=45',

易求AB與x軸的交點為(-2,0),所以直線AB的解析式為：y=x+2,

y=x+2

聯立《1可求A點的坐標為(-6,-4),

y=-x-\

-2

AB=\JAD2+BD2=6>/2,又QC=QB=2,

BC_2A/2_1

7B~6^2~3'

16.【答案】

【解析】,.0<cosa<1,

<1,

2

解得

33

三、解答題

1二【答案與解析】

過D作DE”AC,交BC于點E.

AD=BD,CE=EB,/.AC=2DE.

又;DC1AC,DE"AC,

DC1DE,即NCDE=90".

又??.zBCD=30°,j.EC=2DE,DC=73DE.

設DE=k,則CD=VJk,AC=2k.

在RtZikACD中，AD=\lAC2+CD1=\[lk.

sinZ.CDA==1^2-cosZCDA=CD辰后

AD幣k7AD幣k7

AC2k273

tanZ.CDA=----=-j=-=------.

CDyj3k3

18.【答案與解析】一

(1)原式=4X^-&X孕加X加

M:

_22

=l+3&.

(2)腺式cp汝爽：+1-2x1

22

=1+1—1

=1.

2X§

⑶原式二存T制

-V3+1_3

~2~1

_2>/3-l

19.【答案與解析】

(1)證明：?/四邊形ABCD是矩形,

：.AD/BC,AD=BC

/.ZDAF=ZAEB

又「AE=BC,

AE=AD

又丁/B=/DFA=90",

AEAB^AADF.

AB=DF.

⑵解：在RtZkABE中，BE=VAE2—AB2=A/102-62=8

,/AEAB^AADF,

DF=/\B=6,AF=EB=8,

/.F.F=AF.-AF=10-R=2.

EF2I

tan/EDF=—=-=-

DF63

20.【答案與解析】

⑴連接B。并延長，交OO于點D,連接CD.

,/BD是直徑，/.BD=4,/DCB=90°.

在RtADBC中，sinZBDC=—=—=—,

BD42

⑵因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，AABC的面積最大，此時點A應落

在優弧BC的中點處.

過Q作QE」BC于點E,延長E。交于點A,則A為優孤BC的中點.連結AB,AC,

則AB=AC,ZBAE=-ZBAC=303.

2

在Rt4ABE中，BE=>/3,ZBAE=30°,

tan30°也

T

.?S△八8c=~xx3=3G.

答：ZkABC面積的最大值是3G.

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解直角三角形及其應用一知識講解

【學習目標】

1.了解解直角三角形的含義，會綜合運用平面幾何中有關直角三角形的知識和銳角三角函數的定義解直

角三角形；

2.會運用有關解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題.

【要點梳理】

要點一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在RtZSABC中，ZC=90；,/A、ZB./C所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關系：a?+b2=,2（勾股定理）.

②銳角之間的關系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關系:

Sltl=—,COS=—,t蠡1ZM一,

ccb

$in5=-,cos5=—,tan5=

?S^=-ab=-cA,h為斜邊上的高.

C22

要點詮釋：

⑴直角三角形中有一個元素為定值（直角為90°）,是已知值.

（2）這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系（如不等關系）.

（3）對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點二、解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類丁已知條件解法步驟

由tanA=2求NA,

b

兩直角邊（）

a,b/B=90°-ZA,

兩C-Jj+3

邊,.a,

由sinH=一求/A,

RtAABCc

斜邊，一克角邊（如）

c,aZB=90a-ZA,

B

b?JJ-J

ZB=90a-ZA,

銳角、鄰邊

b

力N-----------------（如NA,b）a=6-tanJ4,c=

0一直向邊cosA

邊和一銳角/B=90°—/A,

銳角、對邊

aa

（如/A,a）c—.b—------

角sinA,tanA

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

…"ccoM

要點詮釋：

1.在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素

是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為

邊.

要點三、解直角三角形的應用

解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數學模型，善于將某些實際問題中的數

量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

⑴弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據題意畫

出幾何圖形，建立數學模型.

⑵將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形

的問題.

(3)根據直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

⑷得出數學問題的答案并檢險答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經常會用到以下概念：

⑴坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母，表示，則i

如圖，坡度通常寫成X力：/的形式.

⑵仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫

做俯角，如圖.

/視線

眼睛^—水平線

、視線

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標

方向PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中

的目標方向線OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東450,南偏西80',北偏西

60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,

西北方向指的是北偏西45°.

要點詮釋：

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，

最好畫出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩

形來解.

3.解直角三角形的應用題時，首先弄濟題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示

意圖，進而根據條件選擇合適的方法求解.

【典型例題】

類型一、解直角三角形

▼1.在RtAABC中，/C=90",a、b、c分別是/A、ZB./C的對邊，根據下列條件，解這個

直角三角形.

(1)ZB=60°,a=4;(2)a=l,b=43.

【答案與解析】

(l)ZA=90°一/13=90°-60°=30°.

由tan3=2知，b=a?tanB=4xtan60°=475.

a

,na,a4c

由cosB=一知,c=------=----------=8.

ccos3cos600

n

(2)由tan3=2=6得/B=60",/.ZA=90-600=30".

1/a2+b-=c2,/.c=J/+.2=4=2.

【總結升華】解直角三角形的兩種類型是：⑴已知兩邊；⑵已知一銳角和一邊.解題關鍵是正確選擇邊

角關系.常用口訣：有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無弦(斜邊)用切(正切).

(1)首先用兩銳角互余求銳角NA,再利用NB的正切、余弦求b、c的值；

⑵首先用正切求出NB的值，再求NA的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.

舉一反三：

【變式】(1)已知/C=90°,a=2>/3,b=2,求/A、/B和c；(2)已知sinA=g,c=6,求a和b；

【答案】(1)c=4;/A=60'、ZB=30°;(2)a=4;b=2\5

C2.(2015?湖北)如圖，AD是AABC的中線，tanB二工