專題07一元二次方程及其應用的核心知識點精講

o復習目標O

1.了解一元二次方程的概念，并會用直接配開平方法、因式分解法、公式法和配方法

解一元二次方程；

2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數根和兩根是否相等；

3.了解根與系數的關系，能解決與根有關的代數式求值題；

4.能列一元二次方程解實際問題；并能結合具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性

O考點植理O

定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程

—二)欠方程

TS形式：ax2+bx+c=0(a#0)

(1)如x'p(pzo)或(nx+my=p(p2o題一元二次方程可直接采用直接開平方解

一元二次方程。

(2)如果化成X、P的形式，那么可得*=±4

直接開平方

(3)如果方程能化成(nx+〃7)'=P(pA0加形式，那么nx+m=土而，進而得出方程的根

(1)把方程化成T形式，奴2+以+C=C(注意凡6C的符號)

(2)求出判別式，△=62-4ac

公式法-----般步驟」⑶在A=b24acN0(注：此處△讀“德爾塔”)的前提下，把a、b、c的值代入公式

\=上正-生虛壬進行計算，求出方程的根.

一元二次方程的解法2a2a

，①化為一般形式；

②移項，將常數項移到方程的右邊；

配方法一般步驟「③化二次項系數為1,即方程兩邊同除以二次項系數；

④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a)2=b的形式;

⑤如果b20就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果bso,則原方程無解.

(1)移項，使方程的右邊化為零；

千小翻(2)將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；

因式力解(3)令每個因式分別為零；

(4)兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。

1.b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根;

欠方程的根

的判別式與對應-2.b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

次方程根的關系13.b2-4ac<0時，方程沒有實數根；

一元二次方程的根與系數的關系

列一元二次方程的實際應用的步驟：審，設，歹力解，驗，答

一元二次方程的應用

常見類型

典例引領

【題型i：一元二次方程的解法】

【典例1】(2024?青海?中考真題)(1)解一元二次方程：X2-4X+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】⑴久=1或x=3

(2)第三邊的長是VIU或2五

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計

算即可.

【詳解】解：(1)X2-4X+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1或％=3；

(2)當兩條直角邊分別為3和1時，

根據勾股定理得，第三邊為432+12=36；

當一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據勾股定理得，第三邊為62-12=2衣.

答：第三邊的長是V56或2五.

⑤弓即時檢測

1.(2024?江蘇徐州?中考真題)(1)解方程：x2+2x-l=0；

(3無一1<8

(2)解不等式組X+1X.

I32

-

【答案】(1)x1-V2l>x2--V2-1

(2)2Vx<3

【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式組，熟練掌握解法是解題的關鍵.

(1)利用配方法解方程即可；

(2)分別解不等式①、②，然后找出它們的公共部分即可求出不等式組的解集.

【詳解】解：(1)X2+2X-1=0,

X2+2X=1,

久2+2x+1=1+1,

(X+1)2=2,

X+1=±V2-

=叁_1，X2=-V2-I；

f3x-l<8?

⑵■[亨②，

解不等式①，得x<3,

解不等式②，得x>2,

所以不等式組的解集是2<x<3.

典例引領

【題型2：一元二次方程的判別式及應用】

【典例2](2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)關于x的一元二次方程⑺-2)/+4尤+2=0有兩個實數根,

則m的取值范圍是()

A.m<4B.m>4C.m2—4且?？172D.mW4且m42

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據一元二次方程。/+欣+。=0缶。0)的根的判別式

△=Z)2-4ac的意義得到血一2W0且4>0,即4?一4x(m-2)X2>0,然后解不等式組即可得到m的取值

范圍.

【詳解】解：,??關于久的一元二次方程(租一2)/+4%+2=。有實數根，

??.m—2。0且4>0,

即4?—4x(m-2)X2>0,

解得：m<4,

zn的取值范圍是m<4且mW2.

故選：D.

即時檢測

1.(2024?山東濟南?中考真題)若關于％的方程-血=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是

()

11

A.m<--B.m>—-C.m<—4D.m>—4

44

【答案】B

2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程a/+bx+c=0(a豐0)的根與△=b-4ac

有如下關系：①A>0,方程有兩個不相等的實數根，②△=(),方程有兩個相等的實數根，③A<0,

方程沒有實數根，由題意得出△=(—1)2—4x1x(—m)>0,計算即可得出答案.

【詳解】解：???關于x的方程久-m=0有兩個不相等的實數根，

2

.?.A=(-l)-4x1x(-m)>0,

1

解得：m>-

故選：B.

2.(2024?山東泰安?中考真題)關于％的一元二次方程2%2_3%+攵=0有實數根，則實數k的取值范圍是

()

A.k9B.k9C.k^.9—D./c<—9—

oooo

【答案】B

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵.

根據一元二次方程有實數根的條件是A>0,據此列不等式求解即可.

【詳解】解：,??關于x的一元二次方程2，—3*+fc=0有實數根，

.?4=(—3)2—4x2k20,解得kW,

故選B.

3.(2024?江蘇徐州?中考真題)關于x的方程/+kx+l=。有兩個相等的實數根，則k值為.

【答案】k=+2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程a/+bx+c=0(aA0),當A>0時,

一元二次方程有兩個不相等的實數根；當A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當A<0時，一

元二次方程沒有實數根.

【詳解】解：???方程/+kx+l=。有兩個相等的實數根，

.-.A=0,即/—4Xlx1=0,

解得：k=±2,

故答案為：fc=±2.

④吵典例引領

【題型3：一元二次方程根與系數的關系及應用】

【典例3】(2024?山東德州?中考真題)已知。和6是方程公+2024%-4=0的兩個解，則+2023。-6的值

為.

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數關系、代數式求值，先根據方程的解滿足方程以及根

與系數關系求得a?+2024。=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：*和b是方程久2+2024X-4=0的兩個解，

-'-a2+2024a—4=0,a+b=-2024,

.?■a2+2024cz=4,

?，.滔+2023a-b

=a?+2024a—(a+b)

=4-(-2024)

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

B即時檢測

1.（2024?四川巴中?中考真題）已知方程--2%+k=0的一個根為-2,則方程的另一個根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系.設方程的另一個根為冽，根據兩根之和等

于-2,即可得出關于加的一元一次方程，解之即可得出結論.

a

【詳解】解：設方程的另一個根為加，

??,方程式2—2%+k=0有一個根為—2,

.,-—2+m=2,

解得：m=4.

故答案為：4.

2.（2024?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2%2—4%-1=0的兩根為m,n,貝13nl?一4租+標的值為.

【答案】6

【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若修,%2是一元二次方程a/

+bx+c=0（a豐0）的兩根時，巧+%2=-3久/2=3熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關

鍵.

2

根據根與系數的關系得m+n=2,mn=2m-4m=1,再把3m2-4nl+"變形為2巾2―4nl+7n2

+n2,然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：???一元二次方程2——4x—1=0的兩個根為n,

：.m+n=2,mn=2m2—4m=1

???3m2—4m+n2

=2m2—4m+m2+n2

=m2+n2+1

=（m+n）2—2mn+1

1

=227-2X（--）+1

=6

故答案為：6.

3.（2024?山東日照?中考真題）已知，實數%1猶2。1工％2）是關于％的方程區之+2入+1=0（女/0）的兩個根，

11

若g+[=2,則左的值為（）

X1x2

A.1B.—1C."D.——

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程以2+b%+c=O（awo）,若

卬犯是該方程的兩個實數根，則％1+久2=一1據此得到％1+%2==3再由g+搟

=2得到-2/c=2,據此可得答案.

【詳解】解：,??％L%2是關于X的一元二次方程4%2+2而+1=。（々工0）的兩個根，

-1

???%]+血=_,優1%2=工.

11

???——+—=2,

X1X2

.Xi+%2_

??xrx2一，

=2

k

-2k=2,

解得k=-l,

經檢驗，k=-l是原分式方程的解，

故選：B.

典例引領

【題型4：一元二次方程的應用】

【典例4】（2024?遼寧?中考真題）某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量y（件）與每件售價”

（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：

每件售價%/元455565

日銷售量y/件554535

⑴求y與X之間的函數關系式（不要求寫出自變量》的取值范圍）；

⑵該商品日銷售額能否達到2600元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由.

【答案】⑴y=—*+100；

⑵該商品日銷售額不能達到2600元，理由見解析。

【分析】本題考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法

求出y與x之間的函數表達式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程.

(1)根據表格中的數據，利用待定系數法即可求出y與x之間的函數表達式；

(2)利用銷售額=每件售價X銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求解即

可.

【詳解】(1)解：設y與x之間的函數表達式為y=kx+6(fc*0),

將(45,55)，(55,45)代入V=kx+b得

C45fc+力=55

l55fc+6=45'

解得｛仁君，

??.y與x之間的函數表達式為y=—久+100；

(2)解：該商品日銷售額不能達到2600元，理由如下：

依題意得x(-x+100)=2600,

整理得——lOOx+2600=0,

：.△=b2-4ac=(-100)2-4X1x2600=-400<0,

???該商品日銷售額不能達到2600元.

1.(2024?山東煙臺?中考真題)每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美

好生活"，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時,

每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，

但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價X元，每天的銷售利潤為y元.

⑴求V與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

【答案】⑴>=-靠2+20%+12000,每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元

⑵這天售出了64輛輪椅

【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵：

(1)根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質求最值即可；

(2)令y=12160,得到關于％的一元二次方程，進行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：y=(200—%)(60+盤x4)=—+20x+12000；

???每輛輪椅的利潤不低于180元，

.,.200—%>180,

/.%<20,

22

vy=-|x+20%+12000=-|(x-25)+12250,

二當工<25時，y隨K的增大而增大，

.?.當x=20時，每天的利潤最大，為1X（20—25）2+12250=12240元；

答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元；

（2）當y=12160時，-1%2+20%+12000=12160,

解得：=10,%2=4。（不合題意，舍去）；

1n

.■-60+—x4=64（輛）；

答：這天售出了64輛輪椅.

2.（2024?西藏?中考真題）列方程（組）解應用題

某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動.四月份投入資金20萬元，六月份

投入資金24.2萬元，現假定每月投入資金的增長率相同.

⑴求該商場投入資金的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元？

【答案】⑴該商場投入資金的月平均增長率10%

⑵預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用、有理數的混合運算的應用，理解題意，找準等量關系，正

確列出一元二次方程是解此題的關鍵.

（1）設該商場投入資金的月平均增長率為X,根據“四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬

元"列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根據（1）中求得的增長率，即可求得七月份投入資金.

【詳解】（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為X,

由題意得：20X（1+X）2=24.2,

解得：*1=0.1=10%,比2=—2.1（不符合題意，舍去），

,該商場投入資金的月平均增長率10%;

（2）解：24.2x（1+10%）=26.62（萬元）,

,預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元.

3.（2024?山東淄博?中考真題）"我運動，我健康，我快樂！"隨著人們對身心健康的關注度越來越高.某市

參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人.

⑴求該市參加健身運動人數的年均增長率；

⑵為支持市民的健身運動，市政府決定從4公司購買某種套裝健身器材.該公司規定：若購買不超過

100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元.但最低售價不得少

于1000元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數.

【答案】（1）該市參加健身運動人數的年均增長率為25%

⑵購買的這種健身器材的套數為200套

【分析】此題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為X,根據從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人,

列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

（2）設購買的這種健身器材的套數為m套，根據市政府向該公司支付貨款24萬元，列出一元二次方程，

解之取符合題意的值即可.

【詳解】（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為刈

由題意得：32（1+%）2=50,

解得：巧=0.25=25%,*2=—2.25（不符合題意，舍去），

答：該市參加健身運動人數的年均增長率為25%；

（2）解：???1600X100=160000<240000元，

二購買的這種健身器材的套數大于100套，

設購買的這種健身器材的套數為6套，

由題意得：m（i600-x40）=240000,

整理得：m2-500m+60000=0,

解得：恤=200,^2=300,

當zn=300時，售價=1600—40=800<1000元（不符合題意，故舍去），

答：購買的這種健身器材的套數為200套.

O好題沖關O

“弓基礎過關

1.（21-22八年級上?上海嘉定?期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2X2=5X-1B.%+|=2

C.（x-3）（x+1）=X2-5D.3x-y=5

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數2的整式方程,

叫做一元二次方程；熟練掌握該知識點是解題的關鍵.根據一元二次方程的定義判斷即可.

【詳解】解：A、是一元二次方程，故符合題意；

B、是分式方程，故不符合題意；

C、（x-3）Q+1）=/-5化簡后為2—2x=0,是一元一次方程，故不符合題意；

D、是二元一次方程，故不符合題意.

故選：A.

2.（24-25九年級上廣東廣州?期中）方程，+曜-8=0的根的情況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實數根

C.有兩個不相等的實數根D.有兩個相等的實數根

【答案】C

【分析】本題考查根的判別式，計算一元二次方程根的判別式，可以判斷該方程根的情況，即可求解.

【詳解】解："x2,+mx-Q=0

：A=m2-4x1x（-8）=m2+32>0

，方程三+mx-8=0有兩個不相等的實數根.

故選：C.

3.（23-24九年級上?江蘇南京?期中）圖①是一張長28cm,寬16cm的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部

分為4個完全相同的小矩形）并折疊成一個如圖②的底面積為80cm2的有蓋長方體盒子.設該盒子的

高為久cm,根據題意，可列方程為（）

A.(28—2x)(16—2x)=80B.(28-2X2x)(16-2x)=80

C.(|X28-2X)(16-2X)=80D.1(28-2x)(16-2x)=80

【答案】D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設該盒子的高為xcm,則紙盒底面的長為9

（28-2x）cm,寬為（16-2久）cm,根據"紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是80cm即可列出方程，找準

等量關系，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵.

___1

【詳解】解：設該盒子的身為xcm,則紙盒底面的長為式28-2x）cm,寬為（16-2x）cm,

,??紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是80cm2,

???|（28-2x）（16-2x）=80,

故選：D.

4.（24-25九年級上?四川德陽?階段練習）某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由112元降為63元.已知兩次

降價的百分率相同.要求每次降價的百分率，若設每次降價的百分率為x,則得到的方程為（）

A.112（1—無心=63B.112（1+%）2=63

C.112（1--）=63D.112（1+/）=63

【答案】A

【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，熟練的掌握由實際問題抽象出一元二次方

程是解題的關鍵.

根據題意可得等量關系"原零售價X（1-百分比）（1-百分比）=降價后的售價”列出方程即可.

【詳解】解：設每次降價的百分率為x,由題意得：112（1—久）2=63.

故答案選：A.

5.（24-25九年級上?陜西西安?期中）關于x的一元二次方程依2+3久-1=0有實數根，則k的取值范圍是

（）

9999

A.k<——B.fc>—-C.k<——D.kN—.日A豐0

【答案】D

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，根據一元二次方程有實數根,

則A20列出不等式，解不等式即可，需要注意二次項系數不能為0.

【詳解】解：由題意得匕32—4j普（-1）20.

解得kN—J且

故選D.

6.（24-25九年級上?湖北咸寧?階段練習）若當、町是方程2-+3%+1=0的兩個根，則勺+犯的值是（）

313

A.-3B.—C.-D.——

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系"設巧，亞是一元二次方程+法+c=0缶A0）

的兩個根，則有句+利=-9優。2=?，熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題關鍵.根據一

元二次方程的根與系數的關系求解即可得.

【詳解】解：??y1、牝是方程2/+3x+1=0的兩個根,

3

■'-X1+X2=—2>

故選：D.

7.（24-25九年級上?浙江臺州?階段練習）用配方法解方程/-6x-7=0,下列變形正確的是（）

A.（x+6）2=43B.（x-6）2=43C.（久+3心=16D.（%-3）2=16

【答案】D

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項，得f-6x=7,再配方，即二

-6x4-9=7+9=16,即可作答.

【詳解】解：1■-X2-6X-7=0,

移項,得%2-6%=7,

則配方，得一一6%+9=7+9=16,

即（x—3）2=16,

故選：D.

8.（24-25九年級上?河南鄭州?階段練習）方程2/-4=0的解是

【答案】±2

【分析】本題考查解一元二次方程，先移項，再系數化1,最后利用直接開平方法求解，即可解題.

【詳解】解：2X2-4=0

2X2=4

x2=2

x=±2,

故答案為：±2.

9.(24-25九年級上?四川成都?期中)已知a,6是方程7+3x-7=0的兩個實數根，則￡^-36+2024的值

是?

【答案】2040

【分析】本題考查一元二次方程的解及根與系數的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練掌握

.b_c

X1+x2=X1X2=--

將代數式同時加上和減去3a,根據一元二次方程的解及根與系數的關系直接求解即可得到答案.

【詳解】解：:a,b是方程/+3x-7=。的兩個實數根，

Q3

'-CL+3。-7=0,a+b=——=—3,

a2-3Z?+2024=a2+3a-3(a+b)+2024=7+9+2024=2040,

故答案為：2040.

10.(24-25九年級上?內蒙古烏海?期末)若均,尤2是一元二次方程%2-2%-8=0的兩個實數根，則巧句一巧一支2

的值是.

【答案】-10

【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，由根與系數的關系可得：

X1+x2=2,X1X2

=-8,再把所求的式子進行整理，代入相應的值運算即可.

【詳解】解：???乙,犯是一元二次方程/—2%-8=0的兩個實數根，

-,-x1+x2—2,X1%2=—8,

-

■■■x1x2-x1-x2-x1x2(x1+x2)=—8—2--10.

故答案為：-10.

11.(24-25九年級上?遼寧營口?階段練習)小雅經過培訓后會做某項實驗，回到班級后第一節課他教會了若

干個同學，第二節課會做的同學每人又教會了同樣多的同學，這樣全班共有36人會做這項實驗，若設

1人每次能教會x名同學，則可列方程為.

【答案】1+x+%(1+%)=36

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用.設平均每節課一人教會x人，根據題意表示出兩節課

教會的人數，進而得出答案.

【詳解】解：設平均每節課一人教會X人，根據題意可得：

1+X+X(1+x)=36,

故答案為：1+尤+x(l+x)—36.

12.(24-25九年級上?浙江臺州?階段練習)解方程：

(I)%2+2x-3=0；

(2)x(x-l)=3%.

［答案］⑴巧=-3,X2-1

(2)%i=0,x2=4

【分析】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型.

(1)根據因式分解法即可求出答案；

(2)展開并移項后，再根據因式分解法即可求出答案.

【詳解】(1)解:公+2久一3=0,

(x+3)(x-1)=0,

x+3=0或x—1=0,

???久1=-3,X2=1；

(2)解：%(%-1)=3%,

%2—x—3x=0,

X2-4X=0,

x(x-4)=0,

???x1=0,x2=4：

13.(24-25九年級上?四川內江?階段練習)超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了

擴大銷售，增加盈利該店采取了降價措施，在讓顧客得到更大實惠的前提下，經過一段時間銷售，發

現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.

⑴若降價6元，則平均每天銷售數量為多少件；

(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

【答案】⑴平均每天銷售數量為32件.

⑵當每件商品降價20元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

(1)利用平均每天的銷售量=20+2X每件商品降低的價格，即可求出結論；

(2)設每件商品降價x元，則每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，利用總利潤=每件盈

利X平均每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合在讓顧客得到

更大實惠的前提下，即可得出每件商品應降價20元.

【詳解】(1)解:根據題意得：20+2x6=20+12=32(件)，

答:平均每天銷售數量為32件.

(2)解：設每件商品降價x元，則每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，依題意得：

(40-x)(20+2x)=1200,

整理得:久2-30x+200=0,

SP(x-10)(x-20)=0

解得：%i=10,x2—20,

要讓顧客得到更大實惠，

%=20.

答:當每件商品降價20元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

統能力提升

1.(24-25九年級上?浙江?期中)拋物線丫=尢2+6%+。與苫軸只有一個交點，則c的值為()

33

A.9B.-C.——D.—9

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數圖象與坐標軸交點問題、根的判別式等知識點，掌握一元二次方程

根的判別式成為解題的關鍵.

根據題意可得方程0=%2+6%+c有兩個相等的實數根，再根據根的判別式列方程計算即可.

【詳解】解：,號=/+6%+(:與工軸只有一個交點，

???方程0=%2+6x+c有兩個相等的實數根，

；.△=廬一4ac=36-4c=0,解得：c=9.

故答案為：A.

2.(24-25九年級上?河北唐山?階段練習)已知圓心/到直線加的距離為力的半徑為r,若d、r是方

程/-7x+12=0的兩個根，則直線加和。力的位置關系是()

A.相切B.相離C,相交或相離D.相切或相交

【答案】C

【分析】本題考查了圓與直線的位置關系，因式分解法解一元二次方程，理解圓與直線的位置關系，

掌握因式分解法求一元二次方程的根是解題的關鍵.

根據一元二次方程根與系數的關系得到d,r的值，再根據圓半徑r與圓心到直線的距離d的關系"d>r,

相離；d=r,相切；d<r,相交"進行判定即可求解.

【詳解】解：X2-7%+12=0,

(x-3)(x—4)0,

解得，勺=3,%2=4,

r是方程/-7x+12=。的兩個根，

當&=3/=4時，直線機和。4的位置關系是相交;

當&=4/=3時，直線m和。4的位置關系是相離;

故選：c.

3.（24-25九年級上?湖北武漢?期中）已知關于x的一元二次方程--（2爪—3產+m2=。的兩個實數根為巧,

%2>且x；+x|=41,則加的值是（）

A.-2B.-8C.-2或8D.2或一8

【答案】A

【分析】本題考查根與系數關系，根的判別式，利用根與系數關系構建方程求出機，再利用判別式的

值判斷即可.

【詳解】解：,??關于X的一元二次方程——（2nl—3）%+瓶2=0的兩個實數根為巧，不，

2

■,-x1+x2—2m—3,%tx2=m，

?話+x|=41,

???（巧+久2）2-2巧％2=4L

.?.（2m-3）2-2m2=41,

整理得一一6瓶-16=0,

解得n?=8或一2,

當m=8時，則有尤2—13X+64=0,

△<0,不符合題意舍去，

■■m的值是-2,

故選：A.

4.（24-25九年級上,湖北武漢?期中）某地區為加強校園建設，2024年投入經費1000萬元，預計2026年投

入經費4000萬元.設投入經費的年平均增長率為X,根據題意，下列所列方程正確的是（）

A.1000（1+%）2=4000

B.1000（1+x2）=4000

2

C.1000（1+x）+1000（1+%）=4000

D.1000+1000（1+x）+1000（1+久心=4000

【答案】A

【分析】本題考查了列一元二次方程，找準等量關系是解題關鍵.根據2026年投入經費=2024年投

入經費X（1+久）2列出方程即可得.

【詳解】解：由題意可列方程為1000（1+久產=4000,

故選：A.

5.（24-25九年級上嘿龍江齊齊哈爾?期末）若久=5是關于x的方程a/+6x=10的解，貝|2024-15a-3b的

值為-.

【答案】2018

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的

未知數的值，把x=5代入原方程得到5a+b=2,再根據2024—15a—3b=2024—3（5a+b）,利用整體

代入法求解即可.

【詳解】解：把％=5代入方程得25a+5b=10,即5a+b=2,

.?.2024-15a-3b=2024-3（5。+b）=2024-3X2=2018,

故答案為：2018.

6.（24-25九年級上,北京?階段練習）已知關于x的一元二次方程--2%-巾2-2爪=0.

（1）求證：方程總有兩個實數根；

⑵若方程的一個根為另一個根的3倍，求加的值.

【答案】⑴見解析

1Q

（2）m的值為一萬或一5

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方根根與系數的關系.

（1）利用一元二次方程根的判別式進行證明即可；

（2）設方程的一個根為a,則另一個根為3a,根據一元二次方程根與系數的關系可得乙七年^2小，

求解即可.

【詳解】（1）證明：由題意可得：△=（-2）2-4*1義（一機2一2機）=4機2+8爪+4=（2爪+2）220,

故方程總有兩個實數根；

（2）解：???方程的一個根為另一個根的3倍，

設方程的一個根為a,則另一個根為3a,

由題意可得：｛―K3aM2加

解得：a=,爪=_:或一|'^

■■■m的值為一/或一|.

7.（24-25九年級上?山東青島?期末）今年以來四川把家電以舊換新作為惠民生的重要舉措，截至10月24日

全省家電補貼金額15億元.某商家在“雙十一購物節"對某款冰箱實行降價促銷.經市場調研發現，該

款冰箱原銷售單價為4500元時，平均每月能售出10臺；如果售價每降價100元，那么平均每月可多

售出2臺.

⑴設每臺冰箱降價x元，那么平均每月銷售量為一（用含x的代數式表示）；

（2）已知購進這款冰箱的單價是3000元，商家決定每臺冰箱降價100M元進行銷售.根據政策，降價銷

售后，商家每銷售一臺冰箱可獲得40爪元的補貼.若商家所獲的總利潤為27000元，求加的值.

【答案】⑴（10+金

（2）m的值為10

【分析】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解答的關鍵.

（1）根據題意即可解答；

（2）根據每臺冰箱的利潤x每天售出的冰箱臺數+補貼=總利潤列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設每臺冰箱降價x元，那么平均每月銷售量為10+高X2=（1。+言）（臺）,

故答案為：（10+春）；

（2）解：由（1）可知，每臺冰箱降價100巾元，銷售量為（10+2機）臺，

由題意得：（4500-100m-3000）（10+2m）+40m（10+2m）=27000,

整理得：m2-20m+100=0,

解得：7n1=7712=1°，

答：m的值為10.

@■真題感知

1.（2024?四川涼山?中考真題）若關于x的一元二次方程（a+2）/+久+a2-4=0的一個根是久=0,則a的值

為（）

1

A.2B.-2C.2或一2D.-

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數不為0.由一元二次方程的定

義，可知a+2K0：一根是0,代入（a+2）/+K+a2—4=（H^^a2—4=0,即可求答案.

【詳解】解：（a+2）久之+久+a?—4=0是關于久的一■兀二次方程，

a+240,即aA—2①

由一個根x=0,代入（a+2）/+久+a?-4=0,

可得.2-4=0,解之得a=±2；②

由①②得a=2；

故選A

2.（2024?黑龍江綏化?中考真題）小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫

錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的

兩個根是-2和-5.則原來的方程是（）

A.x2+6%+5=0B.%2—7%+10=0

C.—5x+2=0D./—6%—10—0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意得出原方程中巧+&=7,巧犯=1°，逐

項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：?.?小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；

■'-x1+x2-6+1=7,

又???小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5.

=1。

A.久2+6久+5=0中，久1+乂2=-6，叼乂2=5,故該選項不符合題意；

B.7乂+1。=。中，巧+乂2=7，巧％2=10，故該選項符合題意；

C.久2-5久+2=0中，%1+%2=5,xlx2=2,故該選項不符合題意；

D.6x—10=0中，/+久2=6,xrx2=-10,故該選項不符合題意；

故選：B.

3.（2024?四川眉山?中考真題）眉山市東坡區永豐村是“天府糧倉”示范區，該村的"智慧春耕"讓生產更高效,

提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產量年

平均增長率為％,則可列方程為（）

A.670x（1+2x）=780B.670X（1+%）2=780

C.670x（1+^2）=780D.670X（1+久）=780

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵.

設該村水稻畝產量年平均增長率為心根據題意列出方程即可.

【詳解】解：根據題意得：670x（1+^）2=780.

故選：B.

4.（2024?山東德州?中考真題）把多項式3久+4進行配方，結果為（）

A.（X-3）2-5