中等職業(yè)學(xué)校規(guī)劃教材數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)第一冊第五章三角函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)二、知識結(jié)構(gòu)圖§5.1角的概念的推廣任意角的概念按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角。如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么就說它形成了一個(gè)零角。正確理解正角、負(fù)角、零角概念的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針、順時(shí)針還是沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。象限角和軸上角判斷象限角的前提是平面直角坐標(biāo)系的建立方法——角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合。所有的角都可分為象限角和終邊在坐標(biāo)軸上的角這兩類。終邊相同的角從“形”到“數(shù)”的研究

從“數(shù)”到“形”的研究終邊相同角的表示法，應(yīng)當(dāng)包括兩種基本情況：象限角和終邊落在x軸和y軸上的角。終邊相同的角注意與角終邊相同的角的集合的表示方法k是整數(shù)，是任意角；終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同；與某一個(gè)角終邊相同的角有無限多個(gè)，它們彼此相差360°的整數(shù)倍；角的集合表示形式不是惟一的。確定角所在的象限把所給的角化為+k?360°（0°≤<360°,

）的形式。由于角與角終邊相同，于是所在的象限就是角所在的象限。終邊落在第一象限的各角都可以轉(zhuǎn)化為銳角易混淆的幾個(gè)概念“銳角”指

的角；“小于90°的角”指

的角，包括

內(nèi)的角、零角和所有負(fù)角；“0°到90°的角”指

的角；“第一象限角”指集合{| }中的角?！扳g角”指

的角；“第二象限角”指集合{| }中的角?！颁J角”指

的角；“小于90°的角”指

的角，包括

內(nèi)的角、零角和所有負(fù)角；“0°到90°的角”指

的角；“第一象限角”指集合{| }中的角?！扳g角”指

的角；“第二象限角”指集合{| }中的角?！?.2弧度制

弧度制產(chǎn)生的必要性及合理性“弧度制”是用弧的長度度量角的大小(角度制是用角度來度量角的大小)。1弧度的角是長度等于半徑的圓弧所對的圓心角，所以任一圓弧的長度與圓半徑之比就是該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)。這個(gè)值不會(huì)因?yàn)閳A的大小而改變，因此弧度數(shù)也是一個(gè)與圓的半徑無關(guān)的量。弧度制產(chǎn)生的必要性及合理性從“形”上分析：兩個(gè)半徑大小不同的圓，各取等于半徑之長的弧，它們所對的圓心角的大小相等，而且都是1弧度的角。從“數(shù)”上分析：弧長公式為

，設(shè)式中

為定數(shù)，則弧長公式為

，即

。而當(dāng)

（圓周長）時(shí)，

（周角）與弧度定義相符?；《戎频膬?yōu)點(diǎn)有利于作三角函數(shù)的圖像；把圓弧長公式

化簡為角度與弧度的互化用“度”為單位表示角時(shí)，“°”（即“度”）不能省略不寫，但用弧度為單位表示角時(shí)，“弧度”或“rad”兩字可省略不寫。弧度數(shù)常?？梢詫懗啥嗌?/p>

的形式，如無特殊需要，一般不必把

寫成小數(shù)。在書寫含有角的數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)，采用單位必須一致。123§5.3任意角的三角函數(shù)任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)任意角三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)明確sin

不是sin與的乘積，而是一個(gè)比值任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)任意角三角函數(shù)的定義域如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)，那么角的終邊OP落在坐標(biāo)軸上的充要條件是點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)中有且只有一個(gè)為0確定正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域是使比值

，

，

有意義的角的范圍三角函數(shù)在各象限的符號正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號是根據(jù)這三種函數(shù)的定義和各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號確定的。判斷三角函數(shù)式的符號，需要先確定角所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)值在四個(gè)象限的符號決定函數(shù)式的符號。12求三角函數(shù)值軸上角的正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值的求法利用計(jì)算器求三角函數(shù)值的方法§5.4三角函數(shù)的基本公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的引入只適用于“同角”只適用于使式中有意義的角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用根據(jù)一個(gè)任意角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)值求其余兩個(gè)值時(shí)，注意角所在的象限。若角所在的象限已指定，則只有一組結(jié)果。如果未指定角所在的象限，要分類討論，一般有兩組結(jié)果。只有平方關(guān)系變形需要開方時(shí)才要注意角的范圍對符號選取的影響，其它情況均可直接用公式進(jìn)行變形運(yùn)算。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡三角函數(shù)式一是簡單三角函數(shù)式的要求：①三角函數(shù)的種類盡可能的少；②次數(shù)盡可能的低；③項(xiàng)數(shù)盡可能的少；④盡可能的不含分母；⑤盡可能的將根號中的因式移到根號外面來。二是求完全平方的三角函數(shù)式的算術(shù)平方根時(shí)，視其三角函數(shù)值的符號是否確定，要依據(jù)函數(shù)式的值的正負(fù)合理劃分自變量的取值區(qū)間，經(jīng)過討論，確定所求的算術(shù)平方根。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明恒等式的一般方法（1）從等式較繁的一邊出發(fā)，經(jīng)恒等變形得到較簡單的一邊；（2）還可以利用已知恒等式，通過變換推出需要證明的恒等式；（3）若左、右兩邊繁簡程度相似，也可以根據(jù)作差比較法進(jìn)行證明。誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)借助終邊相同的角的定義推導(dǎo)出公式一誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式二、三、四的推導(dǎo)研討問題:①觀察圖形，角與角的終邊有什么對稱關(guān)系？②角與角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)P和P'之間有什么關(guān)系？③角與角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值及正切函數(shù)值的關(guān)系有什么樣的關(guān)系？④由特殊到一般。角與角

的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)還有上述的對稱關(guān)系嗎？點(diǎn)P與點(diǎn)P'是否具有對稱性，它們的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)之間存在什么樣的關(guān)系？誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟把求負(fù)角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值問題；把求非負(fù)角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求間的角的三角函數(shù)值問題；把求間的角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求間的角的三角函數(shù)值問題；查表或用計(jì)算器求間的角的三角函數(shù)值。§5.5正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)關(guān)于函數(shù)的周期性正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)設(shè)

，則有三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的一類重要模型一個(gè)函數(shù)如果是周期函數(shù)，那么它的周期有無窮多個(gè)并非任何一個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期正弦函數(shù)的圖像——兩種方法正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)描點(diǎn)法：所取各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是利用計(jì)算器或查表得到的。缺點(diǎn)是不易描出對應(yīng)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，畫出的圖像不夠準(zhǔn)確?！拔妩c(diǎn)法”：列表→畫坐標(biāo)系（注意單位長度）→描點(diǎn)→連線。幾何法：利用平移正弦函數(shù)線作正弦函數(shù)圖像。優(yōu)點(diǎn)是畫圖比較準(zhǔn)確，但學(xué)生不易掌握。本教材采用了易于學(xué)生接受的描點(diǎn)作圖法畫出正弦函數(shù)的圖像。12正弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等性質(zhì)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)已知的自變量值是在增區(qū)間或減區(qū)間內(nèi)再比較函數(shù)值的大小余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)正弦、余弦函數(shù)圖像的不同點(diǎn)：

的圖像通過原點(diǎn)，且曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇函數(shù)）；

的圖像不通過原點(diǎn)，而是通過點(diǎn)（0，1），且曲線關(guān)于縱軸對稱（偶函數(shù)）。將函數(shù)

的圖像向左平移

個(gè)單位長度，也可以得到

的圖像已知三角函數(shù)值，求指定區(qū)間內(nèi)角四個(gè)步驟①求出這個(gè)三函數(shù)值的絕對值所對應(yīng)的一個(gè)銳角②根據(jù)知三角函數(shù)值確定所求角在第幾象限或終邊落在坐標(biāo)軸上的位置③寫出0～2間的合條件的角，其中第二、三、四象限的角依次是④根據(jù)終邊相同的角的同一個(gè)三角函數(shù)值相等，寫出適合題目條件的所有角。三、補(bǔ)充資料用“度”表示的角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)法則是“1”的代換法三、補(bǔ)充資料誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”、“奇余偶同，象限定號”（1）任意角總可以表示成

，

的形式，其中把看成銳角（實(shí)際上不一定是銳角）。（2）若k是奇數(shù)，結(jié)果中取原來函數(shù)的余函數(shù)（正弦函數(shù)與余弦函數(shù)互余，正切函數(shù)與余切函數(shù)互余）；若k是偶數(shù)，結(jié)果中取原來函數(shù)的同名函數(shù)；（3）把看成銳角，確定

，

所在的象限，結(jié)果中符號（或0）由

所在的象限及原來的函數(shù)的名稱共同確定。§補(bǔ)充試題&參考答案

三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元測試題三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元測試題三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元測試題三角函數(shù)單元測試題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案教材練習(xí)、習(xí)題參考答案5.3.2三角函數(shù)在各象限的符號練一練1、橫，一或四，>，>，二或三，<，<；2、橫，縱，一或三，二或四；練一練1、二或四；2、二；3、一或三練一練(1)>,（2）<,（3）<,（4）<,（5）<,（6）>練一練-練習(xí)5.3.21、（1）<；(2)<；(3)<；(4)<；(5)>；(6)<；2、

和

有可能是負(fù)值；3、（1）第三或第四象限角；（2）第一或第三象限角；4、-教材練習(xí)、習(xí)題參考答案5.3.3求三角函數(shù)值練一練練一練1、2；2、1；練一練（1）0.7314；（2）0.1682；（3）-0.7002；（4）-0.7457；（5）-0.8090；練習(xí)5.3.31、-3；