專題16全等三角形的核心知識點精講

O復習目標O

1.熟悉全等三角形常考5種模型

2.掌握全等三角形性質，并運用全等三角形性質解答。

O考點植理O

考點1:全等三角形的概念及性質

概念兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.

1.兩全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

2.全等三角形的對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，對應角的

平分線相等.

性質

3.全等三角形的周長、面積相等.

考點2：全等三角形的判定

模型一：平移型

模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動的方向上加（減）公

共線段，構造線段相等，或利用平行線性質找到對應角相等.

模型示例

模型二：軸對稱模型

模型分析:所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂

點，解題時要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等.

模型三：旋轉型

模型解讀：將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉

型三角形.旋轉后的圖形與原圖形存在兩種情況：

①無重疊：兩個三角形有公共頂點，無重疊部分，一般有一對隱含的等角

②有重疊：兩個三角形含有一部分公共角，運用角的和差可得到等角.

,兩個等邊

兩個寺兩個

三角形腰直角正方形

三角形

模型四：一線三垂直型

模型解讀：一線：經過直角頂點的直線；三垂直:直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用

“同角的余角相等”轉化找等角

A4/

\B

B

00

*弓典例引領

【題型i：平移型】

【典例1】(2024?江蘇鹽城?中考真題)已知：如圖，點/、B、C、。在同一條直線上，AEWBF,AE=BF.

若,貝》B=CD.

請從①CEIIDF；(2)CE=DF;③NE="這3個選項中選擇一個作為條件(寫序號)，使結論成立，

并說明理由.

【答案】①或③(答案不唯一)，證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出乙4==

再由全等三角形的判定和性質得出AC=8D,結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等

三角形的判定得出△AEC三△BFD(SAS),結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解

題關鍵.

【詳解】解：選擇①CEIIDF；

■,-AEWBF,CE||DF,

'.Z.A=Z-FBD,Z-D=Z-ECA,

'：AE—BF,

/.A^EC=ABFZ)(AAS),

.'.AC—BD,

：.AC-BC=BD-BC,^AB=CD；

選擇②CE=DF；

無法證明AAEC三ABFD,

無法得出48=CD；

選擇③NE=ZF；

-AEWBF,

=乙FBD,

\'AE=BF,Z-E—Z-F,

/.A^EC=ABFZ)(ASA),

.'.AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

即時檢淵

1.（2024?四川內江?中考真題）如圖，點4、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

⑴求證：△ABC三△DEF；

（2）若乙4=55。，NE=45。，求NF的度數.

【答案】⑴見解析

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題

的關鍵.

（1）先證明4B=DE,再結合已知條件可得結論;

（2）證明乙4=/FDE=55。，再結合三角形的內角和定理可得結論.

【詳解】（1）證明：?MD=BE

.-.AD+DB=BE+DB,即ZB=DE

--AC=DF,BC=EF

：.△ABC=△DEF(SSS)

(2)△ABC王△DEF,Z^=55°,

山=乙FDE=55°,

?"=45°,

"F=180°—NFDE-NE=80°

2.（2024?西藏?中考真題）如圖，點C是線段的中點，AD=BE,4A=4B.求證：ZD=ZF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，由點C是線段4B的中點得出4C=BC,再利用SAS證明

△ADC=△8EC即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵.

【詳解】證明：???點C是線段48的中點,

：.AC—BC,

在△ADC和△BEC中,

(AC=BC

\Z.A=AB,

VAD=BE

AADC=△BEC(SAS)?

'.Z-D=Z-E.

典例引領

【題型2：對稱型】

【典例2】（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，點。在△ABC的邊4B上，。尸經過邊4C的中點E,且

EF=DE.求證CFII2B.

【答案】見詳解

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及平行線的判定，根據題意得4E=EC,即可證明

AAED=ACEF,有=成立，根據平行線的判定即可證明結論.

【詳解】證明：???點E為邊ac的中點，

：.AE—EC,

-；EF=DE,Z-AED=Z.CEF,

△AED=△CEF(SAS)，

：.Z.DAE=Z.FCE,

：.CF||AB.

@力即時檢測

1.(2024?江蘇鎮江?中考真題)如圖，ZC=ZD=90°,"BA=ADAB.

⑴求證：△ABC三△BAD；

(2)若乙DAB=70°,貝IUC4B='

【答案】(1)答案見解析

(2)20

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理

是解題的關鍵.

(1)利用AAS即可證得三△BAD；

(2)先根據三角形內角和定理求出4DB4的度數，再根據全等三角形的性質即可得出NC4B的度數.

【詳解】(1)證明：在△ABC和△BAD中，

(/.C=z￡>=90°

{/.CBA=DAB,

IAB=BA

.??△ABC三△BAD(AAS)；

(2)解：ZDXF=70°,Z￡>=90°,

.-./.DBA=90°-70°=20°,

由(1)知△NBC三△BAD,

zC4B=NDB4=20°,

故答案為：20.

2.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，在矩形力BCD中，E是BC的中點，連接ZE,DE.求證：

(1)AABE=ADCE-,

(2)^EAD=^EDA.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊對等角.

(1)根據矩形的性質得出4B=DC/B=NC=90。，再根據中點的定義得出BE=CE,即可根據SAS求

證△ABE三△DCE；

(2)根據全等的性質得出4E=DE,根據等邊對等角即可求證.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，

MB=DC/B=NC=90°,

???E是BC的中點，

；.BE=CE,

在△ABE和△DCE中，

(AB=DC

，Z-B—Z-C,

(BE=CE

.?.△ABE=△DCE(SAS)

(2)證明：???△ABEzADCE,

：.AE=DE,

：.Z-EAD=Z.EDA.

^5MM

【題型3：旋轉型】

【典例3】（2024?湖南長沙?中考真題）如圖,點C在線段4。上，AB^AD,NB=N。，BC=DE.

⑴求證：△ABC三△4DE；

（2）若ABAC=60。，求N4CE的度數.

【答案】⑴見解析

（2）AACE=60°

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明aACE是等邊三角形是

解答的關鍵.

（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；

（2）根據全等三角形的性質得到4C=4E,^CAE=^BAC=60°,再證明△力CE是等邊三角形，利用

等邊三角形的性質求解即可.

【詳解】（1）證明：在△ABC與△4DE中，

(AB=AD

[NB=ND,

(BC=DE

所以△力BC三△4DE(SAS)；

⑵解：因為△A8C三△ADE,Z.BAC=60°,

所以4C=4E,Z_C4E=NBaC=60°,

所以aacE是等邊三角形.

所以N4CE=60。.

即時檢浦

1.（2024?云南?中考真題）如圖，在△4BC和△力ED中，AB=AE,^BAE=ACAD,AC=AD.

求證：AABC^^AED.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵.利用

"SAS"證明△48C三△4ED,即可解決問題.

【詳解】證明：???^BAE=^CAD,

.-./.BAE+AEAC=ACAD+Z.EAC,即NB2C=NE4D,

在△ABC和△AED中，

(AB=AE

\z.BAC=/-EAD,

IAC=AD

..△ABC=△AED（SAS）.

2.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在△4BC和△ADE中，延長BC交DE于F,BC=DE,AC=AE,

AACF+^AED=180°.求證：AB=AD.

【答案】證明見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

由NACF+N4ED=180°,AACF+^ACB=180°,可得NAED=N4CB,證明△力BC三△4DE(SAS)，進

而結論得證.

【詳解】證明：,.2ACF+N4ED=180。，^ACF+^ACB=180°,

■■.Z-AED=Z.ACB,

X---BC=DE,AC^AE,

△ABC=△ADE(SAS)，

-.AB=AD.

3.(2023?四川甘孜?中考真題)如圖，在Rt2\48C中，AC=8C=3五，點。在48邊上，連接CD,將CD繞點

C逆時針旋轉90。得到CE,連接BE,DE.

⑴求證：△&!￡)三△CBE；

(2)若4。=2時，求CE的長；

⑶點。在上運動時，試探究人〃+B02的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存

在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵屈

⑶存在，18

【分析】(1)由SAS即可證明△以。三aCBE；

(2)證明△C4。三△CBE(SAS),勾股定理得到DE,在RtACDE中，勾股定理即可求解；

(3)證明加+8。2=2。。2,即可求解.

【詳解】(1)解：由題意，可知N2CB=NDCE=90。，CA=CB,CD=CE.

Z-ACB—Z-DCB=Z-DCE—Z-DCB.

即乙4CD=MCE.

??.△CZO三△CBE(SAS).

(2)???在RtZkABC中，AC=BC=3五,

SCAB=MBA=450MB=近AC=6.

??.BD=AB-AD=6-2=4.

???△CAD=△CBE,

BE=AD=2,Z.CBE=^CAD=^SQ.

???乙ABE=/.ABC+乙CBE=90°.

???DE=dBD?+BE2=2V5.

二在RtaCDE中，CE=CD=—=V10.

(3)由(2)可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CD2.

段當CO最小時,有m+BQ2的值最小,此時CD14B.

???△ABC為等腰直角三角形，

CD=^AB=JX6=3.

AD2+BD2=2CD2>2X32=18.

即452+8標的最小值為18.

【點睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定

與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

典例引領

【題型4：一線三等角】

【典例4】（2024?甘肅?中考真題）【模型建立】

（1）如圖1,已知a/lBE和△BCD,AB1BC,AB=BC,CD1BD,AELBD.用等式寫出線段力E,

DE,CD的數量關系，并說明理由.

【模型應用】

（2）如圖2,在正方形48CD中，點E,尸分別在對角線BD和邊CD上，AE1EF,AE=EF.用等式寫

出線段BE,AD,DF的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）如圖3,在正方形4BCD中，點E在對角線BD上，點尸在邊CD的延長線上，AE1EF,

AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,DF的數量關系，并說明理由.

【答案】（］）DE+CD=AE,理由見詳解，（2）AD=42BE+DF,理由見詳解，（3）AD=42

BE-DF,理由見詳解

【分析】（1）直接證明△ABE三△BCD,即可證明；

（2）過￡點作EM12D于點過￡點作EN1CD于點N,先證明Rt△4EMmRt△FEN,可得

AM=NF,結合等腰直角三角形的性質可得：MD=DN=*DE,NF=ND-DF=MD-DF,即有

NF=AM=AD-MD=AD聾DE,NF=^-DE-DF,進而可得AD-孕）E=學）E-DF,即可證；

（3）過4點作于點打，過尸點作FG1BD,交BD的延長線于點G,先證明△/ME三△GEF,

再結合等腰直角三角形的性質，即可證明.

【詳解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

■:CD1BD,AE1BD,ABLBC,

：./.ABC=zD=4AEB=90°,

：.^ABE+乙CBD=NC+乙CBD=90°,

.'.Z-ABE=zC,

-AB=BC,

:.△ABEzABCD,

..BE=CD,AE=BD,

；.DE=BD-BE=AE-CD,

；.DE+CD=AE；

(2)AD=42BE+DF,理由如下：

過￡點作于點過E點作ENICD于點N,如圖,

?.?四邊形ABCD是正方形，BD是正方形的對角線，

.-./.ADB=/LCDB=45°,BD平分NAOC,N4DC=90。，

■■yFzAD—=BD,

即DE=BD-BE=?AD-BE,

■：EN1CD,EMLAD,

-,EM=EN,

-AE=EF,

：.RtAAEM=RtAFEN,

.'.AM=NF,

?；EM=EN,ENICD,EM1AD,乙4。。=90。,

???四邊形EMDN是正方形，

??.ED是正方形EMDN對角線，MD=ND,

：.MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

■,NF=4M=AD-MD=AD--DE,NF=—DE-DF,

22

.-.AD-^DE=^-DE-DF,即2。=五DE—DF,

■■-DE=尬AD—BE,

■-AD=五(VLW—8E)-0F，

即有4。=&BE+OF；

(3)AD=^BE-DF,理由如下，

過/點作AHIB。于點，，過尸點作FG1BD,交2。的延長線于點G,如圖,

A

-AH1BD,FG1BD,AE1EF,

；ZAHE=4G=乙AEF=90°,

：./-AEH+^HAE=^AEH+乙FEG=90°,

"HAE=乙FEG,

又???/￡?=EF,

△HAE=△GEF,

；.HE=FG,

???在正方形ABC。中，z5DC=45°,

???乙FDG=^BDC=45。,

“DFG=45。,

.?.△DFG是等腰直角三角形，

：.FG=^DF,

2

-，HE=FG=^DF,

2

???乙408=45。，AH上HD,

??.△ZDH是等腰直角三角形，

-，HD=^-AD,

2

-,DE=HD-HE=立4D-立DF,

22

：.BD-BE=DE=烏W-匈）F,

22

:BD=近AD,

:.近AD-BE=當AD聾DF,

.-.AD=42BE-DF.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分

線的性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊

之間的數量關系，是解答本題的關鍵.

當即時檢滯

1.（2023?內蒙古,中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點8坐標（8,4），連接。8,將。B繞點。逆時針旋轉

90°,得到。*,則點9的坐標為.

【答案】(-4,8)

【分析】過點B作BA1%軸于點過點*作B'C1y軸于點C,易證△04B三△OCB'(AAS)，即得出

OC-OA=8,B'C=AB=4,即8'(—4,8).

【詳解】解：如圖，過點B作軸于點/,過點9作B'Cly軸于點C,

???將0B繞點。逆時針旋轉90。，得到。8',

■./.BOB,=90°,BO=B'O,

.-.ZSOC+ZCOB'=90°.

“OB+NBOC=90°,

：.Z-AOB=Z.COB'.

又;乙0AB=乙OCB'=90°,

△OAB=△OCB'(AAS)，

；.OC^OA=Q,B'C=AB=4：,

???夕(-4,8).

故答案為:(-4,8).

【點睛】本題考查坐標與圖形，三角形全等的判定和性質.正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

2.(2023?山東?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點48在反比例函數y=g(x〉O)的圖象上.點a的

坐標為(成2).連接。4OB/B.若。a=AB/04B=9O。，貝批的值為.

【答案】2V5-2/-2+2V5

【分析】過點4作CDly軸于點D,過點B作BC1CD于點C,證明△ZM。三△CB4進而根據全等三角形

的性質得出=根據點科2)，進而得出8(2+根,2-根)，根據點48在反比例函數y=?

(%>0)的圖象上.列出方程，求得加的值，進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點4作c。_Ly軸于點。，過點B作1。。于點C,

.?zC=zTDO=90。，

-OA=ABf^OAB=90°,

：./-DAO=90°-zCXB=Z.CBA

.?.△DAO=△CBA

.'.DA=CB,AC=OD

???點4的坐標為(?n,2).

：.AC=OD=2,AD=BC=m

???8(2+m,2—m)

,?AB在反比例函數y=[(%>0)的圖象上，

?,-2m=(2+m)(2—m)

解得：m=返一1或租=一返一1(舍去)

:.k=2m=2V^—2

故答案為：2V5—2.

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，全等三角形的判定和性質，求得點B的坐標是解題的關

鍵.

o好題沖關o

1.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在四邊形ZBCD中，已知NB4C=ND4C.添一個條件，使△ABC三

△2DC,則不能作為這一條件的是（

A.Z.ACB—Z-ACDB.Z-B—乙DC.AB—ADD.BC-DC

【答案】D

【分析】本題考查全等三角形的判定.根據題意，分別對每一項進行分析判斷即可.

【詳解】解：A.已知=AC=AC,添力口NACB=NACD,利用ASA可得△ABC三△4DC,此

項不符合題意;

B.已知NB4C=Z.DAC,AC=AC,添加NB=AD,利用AAS可得△ABC三△ADC,此項不符合題意;

C.已知NB4C=N￡MC,AC=AC,添加4B=4D,利用SAS可得△力BC三△4DC,此項不符合題意;

D.已知NB4C=Z.DAC,AC=AC,添加BC=DC不能得出△力BC三△4DC,此項符合題意.

故選：D.

2.（2024?山東淄博?二模）如圖所示的兩個三角形全等，貝此石的度數為（）

A.80°B.70°

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的性質和數形結合

的思想解答.根據題意和圖形，可知NE是邊DF=n的對角，由第一個三角形可以得到NE=/B的度數,

本題得以解決.

【詳解】解：???圖中的兩個三角形全等,

:.乙E=2B=180°-45°-65°=70°,

故選：B

3.（23-24八年級上?浙江溫州?期中）如圖是雨傘在開合過程中某時刻的結構圖，AB,AC是傘骨，DM,EM

是連接彈簧和傘骨的支架，已知點。，E分別是4B,47的中點，AB=AC,DM^EM.彈簧M在向上

滑動的過程中，總有△40M三△4EM,其判定依據是（）

A.ASAB.AASD.HL

【答案】C

【分析】此題主要考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.

根據全等三角形判定的"SSS”定理即可證得△ADM^△AEM.

【詳解】解：???4B=4C,點D,￡分別是4B,4c的中點,

：?AD-AE,

在△4DM和△4EM中,

AD=AE

AM=AM.

DM=EM

???△ADM=△AEM(SSS)，

故選：C.

4.（23-24八年級上?河北廊坊?階段練習）如圖，若△4BC三△DFE,AC=6,GE=4,貝/G的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本題考查全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵.

【詳解】解：???△4BC三△￡）?日

.,.DE=AC=6,

：.DG=DE-GE=6-4=2,

故選A.

5.(2024?江西南昌?模擬預測)如圖，乙4=4DEF,乙ACB=LF,AE=CF,A,E,C,廠四點共線，求證:

△ABCzAEDF.

【答案】見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據全等三角形的判定定理求證即可.

【詳解】VAE=CF,

AC+CE=CF+CE,

即AC=EF,

在和△EOF中，

(Z-A=Z-DEF

{AC=EF,

i^ACB=(F

△ABC=△EDF(ASA)-

6.(23-24八年級上?遼寧葫蘆島?期中)如圖，點。在4c邊上，^A=^B,AE=BE^1=^2.

⑴求證：△AECWABED；

⑵若41=45。，求NBDE的度數.

【答案】⑴見解析

(2)67.5°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟記相關定理內容是解題關鍵.

(1)根據N2+乙BDE=AADE=Z.1+NC推出NC=NBDE即可求證；

(2)根據全等三角形的性質可得EC=ED,ZC=Z.BDE,即可求解.

【詳解】(1)證明：vz2+ABDE=^ADE=Z1+ZC,N1=N2

：./.C-Z-BDE

"=4B,LC=LBDE,AE=BE

■,△AEC=△BED(AAS)

(2)解：v△AEC^△BED

；.EC—ED,

?t'Z-EDCZ-C

?.21=45°

"EDC=NC=18\0°—45°=67.5。

；/BDE=67.5°

能力提升

1.(2024?吉林長春?二模)如圖，點C為線段4B上一點，△ZMC、aECB都是等邊三角形，AE.DC交于

點M,DB、EC交于點N,DB、4E交于點P,連結MN,給出下面四個結論：?MN\\AB；②

ADPM=60°；@AAEB=90°；④△力CM三△DCN.上述結論中，一定正確的是(填所有正確結

論的序號).

【答案】①②④

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是由等邊三角形的性質推

出△4CE三△DCB(SAS)，△ACM三△DCN(ASA)，判定△MNC是等邊三角形.由SAS判定

△ACE三4DCB,推出NQ4M=NMDP,由對頂角的性質得到NPMD=由三角形內角和定理得

到N￡>PM=NT4cM=60。，由ASA判定△ACM三△DCN,推出CM=CN,而

ZMC/V=180°-60°-60°=60°,得到△MNC是等邊三角形，因此NCMN=60。，得到NCMN=NACD,

推出MN||48,N2EB在變化，々1EB不一定是90。.

【詳解】解：???△。力。、4ECB都是等邊三角形，

■.AC=CD,CE=CB,^.ACD=ABCE=60°,

???Z.ACE=Z-DCB,

??.△ACE=△DCB(SAS)，

???/.CAM=乙MDP,

???Z-PMD=Z.CMA,

Z-DPM=乙4cM=60°,

故②符合題意；

vZ.CAM=ACDN,AC=CD,/.ACM=60°=Z.DCN=180°-60°-60°=60°,

??.△ACM=△DCN(ASA)，

故④符合題意；

???△ACM=△DCN(ASA)，

???CM=CN,

■：乙MCN=180°-60°-60°=60°,

??.△MNC是等邊三角形，

???4CMN=60°,

???乙CMN=LACD,

■■.MNWAB,

故①符合題意；

。在A8上的位置在變化，

.?ZEB在變化，N2EB不一定是90。，

故③不符合題意.

,正確的是①②④.

故答案為：①②④.

2.(2024?上海寶山?一模)在直線/上放置三個正方形a,b,c,正方形a的邊長為3,正方形c的邊長為

4,則正方形6的面積是.

【答案】25

【分析】本題主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是證明

AABC=ACED.根據正方形的性質，證明△4BC三△CED(AAS)，得出8C=DE=4,根據勾股定理求

出AC?=AB2+BC2=32+42=25,即可得出正方形b的面積.

【詳解】解：如圖，

"a,b,c都是正方形，

：./LABM=ADEN=90°,AB=3,DE=4,

：.^ABC=180°-AABM=90°,乙DEC=180°—/DEN=90°,

：.Z-ABC=乙DEC,

?.26=90。，

.?.乙4CB+乙DCE=90。,

?"CB+/84C=90。,

：.Z-DCE=Z-BAC,

又MC=CD,

??.△ABC=△CED（AAS），

；.BC=DE=4,

.?.在Rt△ABC^pAC2=AB2+BC2=32+42=25,

??.正方形6的面積為25,

故答案：25.

3.（23-24八年級上?北京豐臺?期中）已知：如圖，在長方形4BCD（長方形四個內角均為直角，并且兩組對

邊分別相等）中，2B=4,40=6.延長8c到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B出發，以每秒2

個單位的速度沿BC-CD-D4向終點4運動，設點P的運動時間為t秒，當珀勺值為秒時，AABP

和△DCE全等.

【答案】1或7/7或1

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、一元一次方程的應用等知識，熟練掌握全等三角形

的判定定理是解題關鍵.分BP=CE=2和力P=CE=2兩種情況，證明aABP和△DCE全等，進而可得

關于t的一元一次方程，求解即可獲得答案.

【詳解】解：根據題意，可知CD=4B=4,AD=BC=6,^ABC=/.DCE=Z.BAD=90°,

分兩種情況討論，

①當BP=CE=2時，如下圖，

-：AB=DC,乙ABP=^DCE,BP=CE,

??.△ABP=△DCE(SAS)，

由題意得BP=2t=2,解得t=l(秒)；

②當AP=CE=2時，如下圖，

■.-AB=DC,乙BAP=LDCE,AP=CE,

..△ABP三△CDE(SAS)，

由題意得力P=16-2t=2,解得t=7(秒).

綜上所述，當t的值為1或7秒時，△4BP和△DCE全等.

故答案為：1或7.

4.(23-24七年級下?湖南長沙?階段練習)如圖，在△4。8和△C。。中，OA=OB,OC=OD,若

/.AOB=^COD=60°,連接AC、8。交于點尸；

圖1圖2

⑴求證:△40C三△BOD.

(2)求乙4PB的度數.

(3)如圖(2),△4BC是等腰直角三角形，Z4CS=90°,AC=BC,AB=14cm,點。是射線4B上的一

點，連接CD,在直線4B上方作以點。為直角頂點的等腰直角△(?￡?&連接BE,若BD=4cm,求BE的

值.

【答案】⑴見解析

(2)60°

(3)BE=10cm或18cm

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，三角形內角和定理的應用；

(1)根據題意得出N40C=NB0D,即可證明△AOC三△BOD(SAS)；

(2)根據題意可得AAOB是等邊三角形，根據(1)的結論可得N04C=N0BD,進而根據三角形的內

角和定理，即可求解；

(3)分情況討論，當。在線段上時，當。在的延長線上時，證明△CAD=△CBE(SAS)，得出4。=BE,

結合圖形，即可求解.

【詳解】(1)證明：???N4OB=NCOD=60。，

.■.Z.AOC=/.BOD,

又;OA=OB,OC=OD,

△AOC=△BOD(SAS);

(2)解：-OA=OB,AAOB=60°,

??.△AOB是等邊三角形，

：.^OAB=^OBA=60°f

?；△AOCzABOD,

：.Z.OAC=Z-OBD,

：./.APB=180°-^PAB-^PBA

=180°-^BAO-Z.CAO)-^ABO+乙OBD)

=180°-60°+AOAC-600-2LOBD

=60°；

(3)解：如圖所示，當O在線段ZB上時，

???△CDE是以點C為直角頂點的等腰直角三角形,

'.^DCE=90°fCD=CE,

又??2C8=90。，AC=BC,

：.^CAD=90°-zZ)CB=乙BCE,

△CAD=△CBE(SAS)，

.t.AD=BE,

-AB=14,BD=4,

:.BE=AD=AB-DB=10cm,

如圖所示，當。在ZB的延長線上時，

同理可得，??.△C4D三△CBE(SAS)，

.'.AD—BE,

-AB=14,BD=4,

；.BE=AD=AB+DB=18cm,

綜上所述，BE=10cm或18cm.

真題感知

1.（2024?吉林?中考真題）如圖，在口4BCD中，點。是力B的中點，連接C。并延長，交D4的延長線于點E,

求證：AE=BC.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質，先根據平行四邊形對邊平行

推出404E=/08C,乙OCB=^E,再由線段中點的定義得至1」。4=。8,據止匕可證明△AOEw△BOC

（AAS），進而可證明=

【詳解】證明：???四邊形4BCD是平行四邊形,

：.AD||BC,

..Z-OAE=Z.OBC,Z.OCB=(E,

,??點0是48的中點，

.?.。4=OB,

△AOE=△BOC(AAS)，

：.AE=BC.

2.（2023?西藏?中考真題）如圖，已知=AC=DC,CE=CB.求證：zl=z2.

【答案】見解析

【分析】先由題意可證可得=再根據等式的性質即可得出結論.

【詳解】證明：在△ABC和△DEC中，

AB=DE

AC=DC,

CB=CE

ABC=△DEC(SSS)，

???Z-ACB=Z-DCE,

Z-ACB—Z-ACE=Z-DCE-Z-ACE,

???zl=z2.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵.

3.（2023?江蘇鎮江?中考真題）如圖，8是NC的中點，點、D,E在AC同側，AE=BD,BE=CD.

E/>

A八

/1/I

/\/\

/\/\

/1/I

/_■B~C

⑴求證：AABE三ABCD.

（2）連接DE,求證：四邊形BCDE是平行四邊形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）由8是4C的中點得2B=BC,結合AE=BD,BE=CD,根據全等三角形的判定定理"SSS"

即可證明△ABE三△BCD；

（2）由（1）41△ABE^△BCD^AABE=ABCD,進一步得BE||CD,再結合BE=CD,根據一組對邊

平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明.

【詳解】（1）解：???5是4C的中點，

：.AB=BC.

在△ABE和△BCD中，

（AE=BD,

BE=CD,

UB=BC,

AABE^△BCD（SSS）.

（2）如圖所示，

/\ABE=ABCD,

乙ABE=Z_BCD,

..BE||CD.

又???BE=CD,

???四邊形BCDE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法

與性質是解題的關鍵.

4.（2023?江蘇?中考真題）已知：如圖，點D為線段BC上一點，BD=AC,Z.E=AABC,DE||AC.求證:

DE=BC.

【答案】證明見詳解;

【分析】根據DEII4C得至!JNEDB=NC,結合BD=AC,乙E=AABC,即可得至I]△BED三△4BC即可得

到證明.

【詳解】證明：「OEIMC,

■?■/-EDB=ZC,

CZ-EDB=zC

,.J乙E=Z.ABC,

IBD=AC

△BED三△ABC(AAS),

..DE=BC.

【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是根據平行線得到三角形全等判定的條件.

5.（2023?湖南?中考真題）如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為D,E.

⑴求證：AABEmAACD；

（2）若ZE=6,CD=8,求BD的長.

【答案】⑴見解析

（2）BD=4

【分析】（1）利用"AAS"可證明aABE三△4CD；

（2）先利用全等三角形的性質得到力D=4E=6,再利用勾股定理計算出AC,從而得到2B的長，然后

計算力B-AD即可.

【詳解】（1）證明：■.■CDLAB,BELAC,

：.^AEB=/.ADC=^°,

在△ABE和△"￡）中，

(Z-AEB=乙ADC

］乙BAE=￡.CAD,

(AB=AC

.-.△i45E=A^CD(AAS)；

(2)解：-AABE=AACD,

AD=AE=6,

在Rt△ACD中，AC=^AD2+CD2=162+82=10,

AB=AC=10,

：.BD=AB-AD=10-6=4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段

和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.

6.(2023?遼寧營口?中考真題)如圖.點/,B,C,。在同一條直線上，