二次根式全章必考題型總結分類【7個知識點13個題型】

【題型1二次根式的判斷】

【題型2根據二次根式的定義求參】

【題型3二次根式有意義的條件】

【題型4二次根式的性質與化簡】

知識點1二次根式的定義

【題型5最簡二次根式的判斷】

知識點2二次根式的性質

【題型6同類二次根式的判斷】

知識點3二次根式的乘法

【題型7二次根式的大小比較】

知識點4二次根式的除法

【題型8二次根式的混合運算】

知識點5最簡二次根式

【題型9二次根式的化簡求值】

知識點6二次根式的加減

知識點7二次根式的混合運算

【題型10復合二次根式的化簡】

【題型11裂項相消法化簡根式求和】

【題型12二次根式中新定義和規律問題】

【題型13二次根式的實際應用】

【知識點1二次根式的定義】

【二次根式的定義】

形如（定0）的式子叫做二次根式.其中叫做二次根號，〃叫做被開方數.形如根也（定。）的式子也

是二次根式，其中m叫做二次根式的系數;

注：判斷一個式子是否為二次根式,應根據以下兩個標準判斷：

①是否含有二次根號“廠'；

②被開方數是否為韭負數.

若兩個標準都符合.則是二次根式:若只符合其中一個標準,則不是二次根式.

【二次根式有意義條件】

二次根式有意義的條件是被開方數為非負數.據此可以確定字母的取值范圍:

根據二次根式有意義的條件，若二次根式與二了都有意義，則有小冬

【題型1二次根式的判斷】

【例1】在式子遙，V8,J（x+3）2,‘豆餐中，是二次根式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1】若位是二次根式，則a,b應滿足的條件是（）

A.a,6均為非負數B.a,6同號

C.a'O,b>0D.。三0,6>0或aWO,6co

【變式2】下列代數式（x>0）,V2,33,Vx2+1,V-3x（x>0）中，二次根式有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【變式3】在式子：①②，二；（3）-V^TT;@V8；⑤J（_］）］⑥久>1）中，二次根式

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2根據二次根式的定義求參】

【例1】已知化簡聞?血的結果是一個整數，則正整數。的最小值是（）

A.1B.2C.3D.5

【變式1】若風?伍的值是一個整數，則正整數0的最小值是（）

A.1B.2C.3D.6

【變式2】已知倔5*彳是整數，則正整數〃的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式3】在進行實數的化簡時，我們可以用（a20,b^O）".如，V12=V2x2X3=

V22xV3=2V3,利用這種方式可以化簡被開方數較大的二次根式.

（1）已知加為正整數，若89nl是整數,求的最小值：

（2）設〃為正整數，若夕=J等，y是大于1的整數，則y的最大值與夕的最小值的差為

【題型3二次根式有意義的條件】

【例1】要使式子手］有意義，則x的取值范圍是（）

2x—1

A.x>lB.x>-1C.x^lD.-1

1______

【變式1】使函數y=+W二育有意義的所有整數%的和是()

A.-2B.-1C.0D.1

【變式】若分式號有意義,則的取值范圍是(

2x)

A.1B.C.X<1D.xWl

【變式3】若—6)=V%,Vx-6則()

A.x26B.%20

C.0?6D.x為一切實數

【變式"答式&-2。24后兩成”的5K件5'

A.x7^2024B.%20

C.Q0且％#2024D.x>2024

【知識點2二次根式的性質】

(1)Va>0；a>0(雙重非負性).

(2)(調產=a；a>0(任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式).

(a(a>0)

(3)Va2=|a|=]0(a=0)(算術平方根的意義).

I—a(a<0)

【題型4二次根式的性質與化簡】

【例1】實數a,b,c在數軸上對應的點的位置如圖所示，則化簡值+|a+b|—J(a—c)2得()

A.-la-b-2cB.-2a-bC.bD.-2a+b

則化簡二次根式X后的結果是()

【例2】已知孫VO,

A.VyB.V-yc-VyD.—V—y

【變式1]當0<。<1時，化簡aa二i)2--=()

aJa

22

A.aB.-aC.ci——D.——a

aa

【變式2】實數Q、b在數軸上的位置如圖所示，化簡+1)2++1)2—J(Q一b)2的結果是(

??g??????A

-3-2-10123

A.0B.-2C.-2aD.2b

【變式3】化簡二次根式aJ—黨的結果是()

A.V—a—1B.—V—a—1C.Va—1D.—Va—1

【變式4】閱讀下列解題過程

例：若代數式J(a—19+J(a—3)2的值是2,求a的取值范圍.

解:原式=|“-l|+|a-3|

當a<l時，原式=(1-a)+(3-a)~4-2a—2,解得a—1(舍去)；

當1WaW3時，原式=(a-1)+(3-a)=2=2,符合條件；

當a>3時，原式=(a-1)+(a-3)—2a-4—2,解得a—3(舍去)

所以，a的取值范圍是

上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據上述理解，解答下列問題

(1)當2WaW3時，化簡，J(a—2)2+J(a_5)2=.

(2)若等式J(3—a)2+J(a—7)2=4成立，則a的取值范圍是.

(3)若J(a+1)2+J(a—5下=8,求a的取值.

【知識點3二次根式的乘法】

【二次根式的乘法法則】

兩個算術平方根的積，等于它們被開方數的積的算術平方根，即逅?VF=/,(?>o,后0).

【二次根式的乘法法則的拓展】

(1)二次根式的乘法公式可以推廣到多個二次根式相乘的運算，即逅=(<z>o,b>o,

c>0).

(2)當二次根式前面有系數時，類比單項式乘法，將根號前的系數相乘，作為積的系數，

即=mnyfab,(?>0,6>0).

【積的算術平方根】

積的算術平方根等于積中各個因式算術平方根的積，即屈=逅?痂，(?>0,6>0).

【知識點4二次根式的除法】

【二次根式的除法法則】

兩個算術平方根的商，等于它們被開方數的商的算術平方根，即第=E,(?>0,6>0).

【二次根式的除法法則的拓展】

二次根式的除法公式可以推廣到多個二次根式相除的運算，即逅+VF+正=7a+b+c,

(a>0,b>Q,c>0).

【商的算術平方根】

(1)商的算術平方根等于商中各個因式算術平方根的商，即他=隼，(?>0,6>0).

(2)分母有理化就是把分母中的根號化去的過程

方法:將分子和分母都乘一個恰當的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根號.

【知識點5最簡二次根式】

1.定義：被開方數不含分母,并且被開方數中不含能開得盡方的因數(或因式),這樣的二次根式稱為最簡二

次根式.

2.化為最簡二次根式的步驟：

(1)把根號下的帶分數化為假分數，把絕對值小于1的小數化為分數，被開方數是多項式時，先因式分解；

(2)將被開方數中能開盡的因數(或因式)進行開方；

(3)利用商的算術平方根(a>0,b>0),使被開方數中不含分母；

(4)分母有理化，化去分母中的根號;

(5)約分化簡，整理成最簡二次根式。

【知識點6二次根式的加減】

二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數相同的二次根式進行合并二次

根式的加減法與整式的加減法類似，步驟可歸結如下：

（1）化成最簡二次根式；

（2）找出被開方數相同的二次根式；

（3）合并被開方數相同的二次根式一將系數相加仍作為系數，根指數與被開方數保持不變.

【知識點7二次根式的混合運算】

（1）二次根式的混合運算包括二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方運算;

（2）二次根式的混合運算實質上就是實數的混合運算和無理式的混合運算.

因此:運算順序與有理式的運算順序相同；運算律仍然適用；與多項式的乘法和因式分解類似，可以利用乘

法公式與因式分解的方法來簡化二次根式的有關運算；對于分母含有二次根式的代數式，要掌握有理化的

方法，化分母為整式.

【題型5最簡二次根式的判斷】

【例II下列二次根式：瓜一2&WJ/+y2中,是最簡二次根式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

IT、/7

【變式1】二次根式頡、E、居、小簡二次根式有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2】在后忖,V28,V3.14和，。2+爐中，最簡二次根式有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式3】下列二次根式41.2,5近+y,J—,Vx2+4,V15,聞中，是最簡二次根式的有（

A.2個B.3個C.4個D.5個

【題型6同類二次根式的判斷】

【例1】在下列各組二次根式中，不是同類二次根式的是（）

A.回和例B.1梅和^

C.娘和怖D.回和府

【變式1】在二次根式VU3、屋、Wa、V27>（a2—/?2）房中，與四是同類二次根式的有（）

73b

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式2】若最簡二次根式4行―一與—7717-2a能夠合并,那么合并后的值為.

【變式3】如果最簡二次根式同和，2b—a+2是可以合并的二次根式,則a+b=.

【題型7二次根式的大小比較】

【例1】比較大小：

11

⑴2^--------V5-V6；

(2)2—V3V5—V2.

【例2】若a=20242—2023x2024,匕=220252—4x2024,c=,2024X2022,貝U4,b,。的大小關

系是()

A.B.a〈c〈bC.b〈c〈aD.c〈b〈a

11

【變式1】比較大小：(用>，<或=填空).

【變式2】x=591X2021-591X2020,j/=202012-2021X2019,z=V5882+2352+22,貝Ux、八z的大小

關系是()

A.y<x<zB.xVzVyC.yVzVxD.z<y<x

［變式3］若「=J（警）2_（齊,

Q=V20252-2x2025+l,則關于P與Q的大小關系正確的是

()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.以上都不對

【題型8二次根式的混合運算】

【例11計算題

(1)V27-J|+V3

1_

3居十濠2—t

(2)(gV15)

5

2

(3)V32-4+V6x

__2

(4)(V6-3)(V6+3)+(V2-l)

【變式1】計算:

(1)V18-4J|+V24-V3：

(2)(V2-V3)Z+2x3V2；

(3)(3V2-273)(372+2V3)；

__1

(4)(—5)°—V72+|1—V2|+,

【變式2】計算:

(1)V8-V12+V18；

(2)V48-V3-xV30+V24;

H,—V20+V45

(3)

2

(4)(V5+273)(273-V5)+(V3-3).

【變式3】計算:

(1)(2V3—V5)(V3+V5)

7___

(2)(V5-3)-(2V5-V7)(2V5+V7)

(3)3V12-(3J|-2V3)

⑷審次(-1師+弟)

【題型9二次根式的化簡求值】

【例1】已知％=2+g，求代數式(7—4^③%2+Q一⑨％+1的值.

11

【例2】已知a=京后'b=回7r

(1)求a+6的值；

(2)求*-3"+62的值.

【變式1】已知。=四—1,b=42+1.

求：(1)居什^廬的值；

ba

(2)一+了的值.

ab

【變式2](1)已知x=l-后y=l+技求x2+*-xy-2x+2y的值.

/C、匚一?店l-2a+a2Va2-2a+l甘＞1

(2)先化間，后求值：-----7------;------,其中&r-.

a—1a2—a2—73

【變式3](1)先化簡，再求值：個2sxy+工筆-4y筆一)盯3,其中％=§,歹=4.

11

(2)已知刀=方不后，y=血—后求代數式/+3無尸72的值.

【題型10復合二次根式的化簡】

【例1】先閱讀下列的解答過程，然后再解答：

形如Jw±2低的化簡,只要我們找到兩個正數a、b,使什6=加，仍=〃，使得(返)2+(VF)2=機，

Va-VK=Vn,那么便有：y/m+2>/n=J(Va±Vb)2=\[a+y[bCa>b)

例如：化簡J7+4曲

解：首先把57+4g化為J7+2VIL這里%=7,〃=12,由于4+3=7,4X3=12

即(")2+(遮A=7,74X73=V12

.??V7+4V3=V7+2V12=J(V4+V3)2=2+V3

(1)填空：V4-2V3=,J9+4炳=

(2)化簡：V19-4V15.

【變式1】一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2&=(1+V2)2.

22

設a+b42=(m+nV2)2(其中Q、b、m>〃均為正整數)，則有a+by/2=m+2n+2mnV2,a=

m2+2n2,b—2mn.這樣可以把部分a+6近的式子化為平方式的方法.

請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：

(1)當。、b、m、〃均為正整數時，若a+bW=(加+小月)2,用含機、孔的式子分別表示〃、b,得：a

=，b=.

(2)利用所探索的結論，找一組正整數〃、b、m、幾填空：+a=(+V5)2；

11

(3)化向J16-6b-J11+477

【變式2】先閱讀下列的解答過程，然后再解答：

形如Jm土2傷的化簡,只要我們找到兩個數b,使q+b=冽，ab=n,使得(6/+(VF)2=m,Va,Vb

=Vn,那么便有：dm土2匹=J(Va±Vb)2=y[a±VF(a>Z?).

例如：化簡J7+4行

解：首先把，7+4仃化為，7+2反,這里加=7,幾=12,由于4+3=7,4X3=12,BP(V4)2+(V3)2

=7,V4xV3=V12,

/?V7+4A/3=V7+2V12=J(V4)2+2V4xV3+(V3)2=J(V?+V3)2=2+V3.

仿照上例，回答問題：

(1)計算：V4—2A/3；

(2)計算：73-272+V5-2V6+77-2V12+???+V19-2V90.

【變式3】閱讀下列材料，并解決問題：

【觀察發現】

因為(遙+魚)=5+2+2V5T2=7+2V10,

所以J7+2V1U=J(V5+V2)2=V5+V2；

2

因為(迎一遍)=8+6-2V6V8=14-8V3,

所以=714-2V48=J(V8-V6)2=m一顯=2V2-瓜

【建立模型】

形如Jp士2裔的化簡(其中p、q為正整數)，只要找到兩個正整數加，n(加>〃)，使m+"=p,mn=

q,那么Jp±2百=±傷.

【問題解決】

(1)化簡：0V11+2V3O=；

0771-1677=；

(2)已知正方形的邊長為°,現有一個長為衛察+2,寬為2頻的長方形，當它們的面積相等時，求

正方形的邊長；

(3)已知工=魚一y—>/2+V3,則代數式J/+2xy+”+%—丫—4的值為.

【題型11裂項相消法化簡根式求和】

1

【例。小明在解決問題：已知。=彳后，求2片-8。+1的值.他是這樣分析與解的：

:a==(2+V3)(2-V3)=2-‘3’

CL—2=-V3>

(a-2)2=3,。2-4。+4=3.

??-4。=-1,

：.2a2-Sa+l=2(*-4。)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據小明的分析過程，解決如下問題:

1

(1)觀察上面解答過程，請寫出石耳后=；

1111

(2)化簡歷7+高后+萬二后+…+店京店行；

1

(3)若。二忌彳，請按照小明的方法求出。3—11層+9。+份的值.

4

【變式1】閱讀：在進行二次根式運算時，形如石匚的式子，我們可以將其化簡：

4=4X(V5+1)=4XCV5+1)=^

V5-1(V5-1)(V5+1)5-1

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

回答問題：

4

(1)請用上述的方法化簡星方；

4444

⑵化簡：高石+石而+不市+…京京石(加為正整數)?

2Kl

【變式2】在進行二次根式運算時，我們有時會碰到形如石，島言I的式子，其實我們還可以將其進

一步化簡：①

_g__2xV5_2V5①@—逅⑸—1x(41).012

V5-V5xV5-5：巴可-反一3；-2+1一(逅+1)(?-1)一(圾2一12-償—1；

1

對于以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，石T還可以用以下的方法化簡；

^V2+l-V2+1-V2+1~V2+172-1;

2

(1)請參照方法④化簡：萬二后；

(2)化簡：t+JI

111

⑶化簡：爾+w“+即(〃為正整數)

【變式3】小明在探究二次根式時發現了兩個有趣的變形：一些分母含有二次根式加減的式子也可以分母有

理化,如：

1____返匚____V2-1

V2+1-(V2+1)(V2-1)-2-1-V'

1_有一短有-立廠_B

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-3-2-V3-V2.

(1)請觀察上面的解題過程，直接寫出下列各式的結果.

1

①7+/=-------；

1

②行京后天(〃為正整數)=________.

v2n+14-V2n—1

1111

(2)求您+1+V3+V2+V4+V3+…+,2025+M2024的值.

【題型12二次根式中新定義和規律問題】

【例1】同學們，在二次根式一章中有一個有趣的現象：J7|=J|=/孚=2后根號里的因數2經

過適當的演變，竟“跑”到了根號的外面，我們不妨把這種現象稱為“穿墻”.具有這一性質的數還有

(2)請再寫出1個具有“穿墻”性質的數；

(3)請用只含有一個正整數"(〃22)的等式表示上述規律：.

【變式1】課本再現

(1)判斷下列各式是否成立，并從中選擇一個進行驗證:

(2)用字母〃(〃是正整數，〃22)表示這一規律是：；

類比猜想

(3)愛思考的小開同學在解決上面問題時，注意到口|=[2+|=2J|,尾=小+|=3點猜

想如果根號里的式子加法改為減法，也會有一系列有類似規律的式子.經過一番嘗試，他寫出了以下兩

個式子，請你幫助他求出x,y的值：^2^|=2JS3|=3J1.

【變式2】定義：我們將(6+VF)與(VH—VF)稱為一對"對偶式”.因為(VH+VF)(Va—VF)=

(6)2-(Vb)2=a-b,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構造“對偶式”來解決.

例如：已知V18—X—V11—X=1,求“8—x+“l—x的值,可以這樣解答：

因為(V18-x-Vll-x)X(V18-x+Vll-x)=(V18-X)2-(Vll-x)2=18-X-ll+x=7,

所以，18—x+V11—x—7.

(1)已知：V20—x+V4—%=8,求＞20—%-—4—%的值;

(2)結合已知條件和第①問的結果，解方程：同［I+V?==8；

1111

(3)計篁.-------+----------+----------4—+------------------------

3V1+V35V3+3V57V5+5V72023V2021+2021V2023'

【變式3】小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2&=