專題07分式方程

考情聚焦

課標要求考點考向

分式方

能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫

1.程的運考向一解分式方程

現實世界數量關系的有效模型；

考向二分式方程的解

2.能解可化為一元一次方程的分式方程：

3.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

分式方考向一列分式方程

程的應

考向二分式方程的實際應用

用

真題透視,

考點一分式方程的運算

易錯易混提醒

解分式方程過程中，易錯點有：

（1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；

（2）忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.

（3）增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根，若這個整式方程本身無

解，當然原分式方程就一定無解.

A考同一解分錢方程

1.（2024?海南?中考真題）分式方程一二=1的解是（）

x-2

A.x=3B.x=—3C.x=2D.x=—2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗即可.

【詳解】解：一\=1

x-2

去分得：l=x-2,

解得x=3,

檢驗,當x=3時，x-2^0,

，x=3是原方程的解，

故選：A.

2.（2024?山東濟寧?中考真題）解分式方程=時，去分母變形正確的是（）

5x-l2-ox

A.2—6x+2=—5B.6x—2—2=—5

C.2—6x—1=5D,6x—2+1=5

【答案】A

【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分

母.

【詳解】解：方程兩邊同乘2-6》，得2-6x-（2-6尤）x4=-7匚、（2-6外,

3x-l2-ox

整理可得：2-6x+2=-5

故選：A.

12

3.（2024?四川瀘州?中考真題）分式方程一7-3=^一的解是（）

x-22-x

7?5。

A.%=—B.x=-lC.x=-D.x=3

33

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程，根據解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數

化為1,檢驗）求解，即可解題.

12

【詳解】解：一?-3=六，

x-22-x

「一，

x—2x—2

l-3（x-2）=-2,

l-3x+6=-2,

-3x=-9,

x=3,

經檢驗X=3是該方程的解，

故選：D.

4.（2024?四川廣元?中考真題）若點。（xj）滿足工+'=上,則稱點。為“美好點”，寫出一個“美好點”的

xy

坐標.

【答案】（2,-1）（答案不唯一）

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以孫后去分母，令x代入一個數值，得到y的值，

以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以孫，得x+y=l,

令久=2,則y=-1,

；?"美好點’的坐標為（2，-1）,

故答案為（2，-1）（答案不唯一）

2

5.（2024?浙江?中考真題）若「=1，貝！］x=

x-i

【答案】3

【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解解

分式方程一定注意要驗根.分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得

到分式方程的解.

【詳解】解：去分母得：2=x-l,

移項合并得：-x=-3,

解得：x=3,

經檢驗，x=3是分式方程的解，

故答案為：3

6.（2024.北京.中考真題）方程丁［+'=0的解為.

【答案】x=-l

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關鍵.

先去分母，轉化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根.

【詳解】解：,+卜°

x+2x+3=0,

解得：x=-l,

經檢驗：尤=-1是原方程的解，

所以，原方程的解為x=-l,

故答案為：x=-l

2X

7.(2。24?陜西?中考真題)解方程：工+力=「

【答案】x=-3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程

的解進行檢驗即可.

2x

【詳解】解：E+二

去分母得：2+x(x+l)=f-1,

去括號得：2+x~+尤=x2—1,

移項，合并同類項得：》=-3,

檢驗：把x=-3代入(尤+l)(x-l)得：(一3+1)(-3-1)=8*0,

X=-3是原方程的解.

3X

8.(2024?福建?中考真題)解方程：--+1=--

%+2x-2

【答案】x=10.

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題.

3x

【詳解】解：二三

方程兩邊都乘(x+2)(x-2)，得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2).

去括號得:3x—6+x~—4=x~+2x,

解得x=10.

經檢驗，x=10是原方程的根.

A考向二分式方程的解

2m

9.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程I=17的解為正數，則加的取值范圍（）

x-1x-1

A.m>-3B.加〉一3且冽。一2

C.m<3D.加<3且冽W—2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x-1得，2=x-lr〃，

角單彳導x=〃z+3,

2m

???分式方程I=1--;的解為正數，

x-1x-1

m+3>0,

m>-3,

又.."I,

即加+3w1,

加w—2,

?*-m的取值范圍為加〉-3且冽w-2,

故選：B.

JTY3

10.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關于x的分式方程1-2=「無解，則左的值為（）

x—53—x

A.斤=2或左=-1B,k=-2c.k=2或k=lD.k=-l

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵.先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解:去分母得，、-2（x-3）=-3,

整理得，（左-2）x=-9,

當上=2時，方程無解，

當左。2時，令x=3,

解得上=-1,

所以關于x的分式方程「-2=7—無解時，左=2或左=-1.

x-33-x

故選：A.

1YYI

11.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關于x的分式方程-------=0的解是負數，那么實數掰的取值

XX+1

范圍是（）

A.機<1且W0B.m<\C.m>\D.加<1且機w-1

【答案】A

【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程的

解是負數得到%-1<0,并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出機的取值范圍即可，熟練掌握解

分式方程的步驟是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以+D得，x+l-mx=0,

???分式方程的解是負數,

m-1<0,

m<1,

又丁x(x+l)w0,

?二x+1w0,

---w—1

???冽w0,

?,?加<1且加w0,

故選：A.

2%+1r

-------<3

12.(2024?重慶?中考真題)若關于x的一元一次不等式組3-的解集為x<4,且關于N的分式

4%—2<3X+Q

方程a-"Q一七y二1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數”的值之和是________.

yI乙yI乙

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的

兩個不等式，再根據不等式組的解集求出。>2；解分式方程得到了=得好,再由關于>的分式方程

￡--=1的解均為負整數，推出。<10且分6且。是偶數，則2<a<10且且。是偶數，據此確

y+2y+2

定符合題意的〃的值，最后求和即可.

【詳解】解：37

4%-2<3x+a②

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x<a+2,

:不等式組的解集為4,

??〃+2>4,

a>2;

解分式方程個一吃=1得y=T,

y+2y+22

:關于的分式方程W-Tri的解均為負整數，

y+2y+2

??三一<o且方一是整數目了+2=三一+2X0,

...。<10且。片6且。是偶數,

/.2<a<10且aH6且a是偶數,

滿足題意的。的值可以為4或8,

,所有滿足條件的整數a的值之和是4+8=12.

故答案為：12.

考點二分式方程的應用

A考向一列分式方程

13.（2024?四川巴中?中考真題）某班學生乘汽車從學校出發去參加活動，目的地距學校60km,一部分學

生乘慢車先行Q5h,另一部分學生再乘快車前往，他們同時到達.已知快車的速度比慢車的速度每小時快

20km,求慢車的速度？設慢車的速度為xkm/h,則可列方程為（）

6060160601

-----...........——B.—

xx+202x-20x2

6060160601

C.—D.--------------二一

x+20x2xx-202

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的應用.設慢車的速度為xkm/h,則快車的速度是（尤+20）km/h,再根

據題意列出方程即可.

【詳解】解：設慢車的速度為xkm/h,則快車的速度為（x+20）km/h,根據題意可得：

60601

xx+202

故選：A.

14.（2024?四川廣元?中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現需要購買42兩種綠植，

已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50

株.設2種綠植單價是x元，則可列方程是（）

6750?3000.300056750

AA.---------50=-------

3xx3%x

6750~3000300066750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3%x3xx

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設2種綠植單價是x元，則/種綠植單價是3x元，根據用6750

元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可.

【詳解】解：設2種綠植單價是x元，則/種綠植單價是3x元，根據題意得：

6750“3000

------+50=-------,

3xx

故選：C.

15.（2024?甘肅臨夏?中考真題）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售.細

心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的

原價是x元，所得方程正確的是（）

240240240240

A.二10B.二10

Xx+2Xx-2

240240240240

C.=10D.=10

x—2,Xx+2X

【答案】C

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程.根據

降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程.

【詳解】解：由題意可得，

240240,八

---------二10,

x-2x

故選：C.

16.（2024?山西?中考真題）某校組織學生開展"茶韻與書畫”為主題的研學課程，已知學校用于購買扇子的

費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍，并且扇子的單

價比茶具的單價便宜3元.設購買扇子的單價為x元.則x滿足的方程為（）

400032004000_3200

A.=2xB.2x

Xx+3Xx+3

4000320040003200

C.=2xD.,2x

x-3Xx-3X

【答案】A

【分析】題目主要考查分式方程的應用，設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為（x+3）元，根據“購買

扇子的數量是購買茶具數量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關鍵.

【詳解】解：設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為卜+3）元,

根據題意得：幽。幽

xx+3

故選：A.

A考向二分式方程的實際應用

17.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器

人每小時多搬運30千克，/型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等.A,

2兩種機器人每小時分別搬運多少干克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的應用，設3型機器人每小時搬運x千克，則/型機器人每小時搬運（x+30）

千克/艮據％型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等''列分式方程求解即

可.

【詳解】解：設2型機器人每小時搬運x千克，則/型機器人每小時搬運（x+30）千克,

根據題意，得好，

x+30x

解得x=60,

經檢驗，x=60是原方程的解，

x+30=90,

答：A型機器人每小時搬運90千克，B型機器人每小時搬運60千克.

故選：D.

18.（2024?黑龍江綏化?中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所

用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速-水速，設未知數

列出方程，解方程即可求出答案.

【詳解】解：設江水的流速為xkm/h,根據題意可得:

12080

40+x40-%

解得：x=8,

經檢驗：x=8是原方程的根,

答：江水的流速為8km/h.

故選：D.

19.（2024?山東?中考真題）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產

100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件數為（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

設改造后每天生產的產品件數為x,則改造前每天生產的產品件數為（尤TO。）,根據“改造后生產600件的

時間與改造前生產400件的時間相同"列出分式方程，解方程即可.

【詳解】解：設改造后每天生產的產品件數為x,則改造前每天生產的產品件數為（XT。。）,

解得：x=300,

經檢驗x=300是分式方程的解，且符合題意，

答：改造后每天生產的產品件數300.

故選：B.

20.（2024?內蒙古?中考真題）2024年春晚吉祥物"龍辰辰"，以十二生肖龍的專屬漢字"辰”為名.某廠家生

產大小兩種型號的“龍辰辰"，大號"龍辰辰"單價比小號"龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號"龍辰

辰”的數量是用2200元購進大號"龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰"的單價為________元.某網店在該

廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，目大號“龍辰辰”的個數不超過小號"龍辰辰”個數的一半，小號"龍

辰辰”售價為60元,大號“龍辰辰”的售價比小號"龍辰辰”的售價多30%.若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，

則該網店所獲最大利潤為_________元.

【答案】551260

【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數的應用，熟練掌握一次函數的

性質是解題關鍵.設大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為元，根據題意建立分式方

程，解方程即可得；設購進小號“龍辰辰”的數量為。個，則購進大號“龍辰辰”的數量為（6。-個，先求出。

的取值范圍，再設該網店所獲利潤為卬元，建立w關于。的函數關系式，利用一次函數的性質求解即可得.

【詳解】解：設大號“龍辰辰”的單價為X元，則小號“龍辰辰”的單價為（X-15）元,

2400?「2200

由題意得：-------=1.5x-------

x-15x

解得x=55,

經檢驗，尤=55是所列分式方程的解，

所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號"龍辰辰”的單價為40元.

設購進小號“龍辰辰”的數量為。個，則購進大號“龍辰辰”的數量為（60-個,

由題意得：。<60-<245”,

解得404a<60,

設該網店所獲利潤為w元，

貝（Jw=（60-40）a+[60x（l+30%）-55]（60-a）=-3a+1380,

由一次函數的性質可知，在404。<60內，w隨a的增大而減小，

則當。=40時,卬取得最大值，最大值為-3x40+1380=1260,

即該網店所獲最大利潤為1260元，

故答案為:55;1260.

21.（2024?山東東營?中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節約用水，創建文明城市，某市經論證

從今年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲原價的;?小麗家去年5月份的水費是28元，而

今年5月份的水費則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.設該市去

年居民用水價格為x元/n?,則可列分式方程為.

2824.5°

-----------3

【答案】尤5^

4

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設該市去年居民用水價格為x元/n?,則今年居民用水價格為

:x元/m，,根據小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3,列出方程即可.

【詳解】解：設該市去年居民用水價格為x元/,則今年居民用水價格為+元/n?,根據題意得：

2824.5、

-----^—二3

4

2824.5°

——-------s

故答案為：X.

4

22.（2024?江蘇常州?中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具

有民族傳統的一門特殊藝術.如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是L2mx0.8m,裝裱后，上、下、左、右邊

襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后48與ZD的比是16：10，且,c=d,c=2a，求四周邊

襯的寬度.

【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m

【分析】本題考查分式方程的應用，分別表示出/用/。的長，列出分式方程，進行求解即可.

【詳解】角牟:由題，彳導:4B=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a,AD=0.8+a+Z>=0.8+2a,

與4D的比是16:10,

.1.2+4a_16

,?0.8+2。F，

解得：a=0.1,

經檢驗a=0.1是原方程的解.

二上、下、左、右邊襯的寬度分別是0」m、0.1m、0.2m、0.2m.

23.（2024?黑龍江大慶?中考真題）為了健全分時電價機制，引導電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施

峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00-23:00,用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00-

次日7：00,峰時電價比谷時電價高0.2元/度.市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為

50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價.

【答案】該市谷時電價S3元/度

【分析】本題考查了分式方程的應用，設該市谷時電價為x元/度，則峰時電價（尤+02）元/度，根據題意列

出分式方程，解方程并檢驗，即可求解.

【詳解】解：設該市谷時電價為x元/度，則峰時電價（x+0.2）元/度,根據題意得，

5030

%+0.2x'

解得：x=0.3,經檢驗x=0.3是原方程的解，

答：該市谷時電價0.3元/度.

24.（2024?山東泰安?中考真題）隨著快遞行業的快速發展,全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某

農產品加工企業有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農產品，乙組每天加工2700件農產品,

已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的L2倍，求甲、乙兩組各有

多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設甲組有無名工人，則乙組有（35-x）名工人.根據題意得

等9=駟*1.2，據此即可求解.

35—xx

【詳解】解：設甲組有X名工人，則乙組有（35-x）名工人.

2700理

根據題意得：xl.2

35—1X

解答：x=20,

經檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意,

.-.35-x=35-20=15.

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.

25.（2024?廣西?中考真題）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達

到洗衣目標.

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為02%,每次擰干后校服上都殘留0?5kg水.

濃度關系式：金=黑".其中喝、金分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；

卬為單次漂洗所

0.5+w

加清水量(單位：kg)

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

⑴如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

⑵如果把4kg清水均分,進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

⑶比較(1)和(2)的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【答案】⑴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水.

⑵進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

⑶兩次漂洗的方法值得推廣學習

【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數式的值，理解題意是關鍵；

(1)把金=0.01%,"前=0.2%代入金=等SL,再解方程即可；

0.5+w

(2)分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

(3)根據(1)(2)的結果得出結論即可.

【詳解】(1)解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入%=震組

0.5+w

得0.01%=空出邑,

0.5+w

解得墳=9.5.經檢驗符合題意；

???只經過一次漂洗"吏校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水.

(2)解：第一次漂洗：

把——％代入小黑

.0.5x02%

??c/尸二--------------=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把—，代入小朋

,0.5x0.04%=0()08%

0.5+2

ffu0.008%<0.01%,

,進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，

,從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習.

26.（2024?云南?中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為

300千米，乘坐。型車比乘坐。型車少用2小時，。型車的平均速度是。型車的平均速度的3倍，求。型

車的平均速度.

【答案】。型車的平均速度為100km/h

【分析】本題考查分式方程的應用，設。型車的平均速度為xkm/h,則C型車的平均速度是3xkm/h,根

據"乘坐C型車比乘坐。型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題.

【詳解】解：設。型車的平均速度為xkm/h,則C型車的平均速度是3xkm/h,

根據題意可得，--^=2,

x3x

整理得，6尤=600,

解得x=100,

經檢驗x=100是該方程的解，

答：。型車的平均速度為100km/h.

27.（2024?重慶?中考真題）為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30

條生產線的設備進行更新換代.

⑴為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策.根據相關政策，更新1條甲類生產線

的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生產線

的設備，該企業可獲得70萬元的補貼.該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？

⑵經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬

元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得

70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？

【答案】⑴該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

⑵需要更新設備費用為1330萬元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵.

（1）設該企業甲類生產線有x條，則乙類生產線各有（30-x）條,再利用更新完這30條生產線的設備，該

企業可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；

（2）設購買更新1條甲類生產線的設備為加萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為（切-5）萬元，利用

用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，再建立分

式方程，進一步求解.

【詳解】（1）解：設該企業甲類生產線有x條，則乙類生產線各有（30-尤）條，則

3x+2（30-x）=70,

解得:x=10,

見|30_x=20;

答：該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

（2）解：設購買更新1條甲類生產線的設備為加萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為（加-5）萬元，

則

200_180

mm-5'

解得：m=50,

經檢驗：加=50是原方程的根，且符合題意；

貝加一5=45,

則還需要更新設備費用為10x50+20x45-70=1330（萬元）；

28.（2024?重慶?中考真題）某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、

乙兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據測算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價格比3種外墻漆每千克的價格多2元.

⑴求A、B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

4

⑵已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的y,乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務

所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】⑴A種外墻漆每千克的價格為26元，則3種外墻漆每千克的價格為24元.

⑵甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意建立方程是解本題的關鍵；

（1）設A種外墻漆每千克的價格為x元,貝呼種外墻漆每千克的價格為卜-2）元，再根據總費用為15000

元列方程求解即可；

4

（2）設甲每小時粉刷外墻面積為歹平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是于平方米；利用乙完成粉刷任務

所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：設A種外墻漆每千克的價格為X元，則3種外墻漆每千克的價格為卜-2）元，

A300x+300（x-2）=15000,

解得：x=26,

：.x-2=24,

答：A種外墻漆每千克的價格為26元,3種外墻漆每千克的價格為24元.

4

（2）設甲每小時粉刷外墻面積為歹平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是^歹平方米；

5006500

?.77

5y

解得:#=25,

經檢驗：V=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

新題例I

一、單選題

1.（2024?廣西賀州三模）下列式子是分式方程的是（）

X+1514x

A.-----=一B.--------1--------

233x-l3x4-1

x313-x_x—\

C.---------F--------=ID.------+2=——

2x—I2x+143

【答案】C

【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數的有理方程是分式方程，據此進行判斷即可.

丫+15

【詳解】解：A.]是一元一次方程，故選項不符合題意；

]4X

B.不是方程,故選項不符合題意；

Y3

C.『7+丁'=1是分式方程，故選項符合題意；

2x-l2x+l

3—xx—1

D.丁+2=飛一是一元一次方程，故選項符合題意.

故選：C.

2.（2024?遼寧?模擬預測）某生鮮超市在三月份用20000元進購一批鐵皮西紅柿，四月份這種鐵皮西紅柿

每千克降價了1元，此生鮮超市用18000元進購同種鐵皮西紅柿，卻多進貨500千克.求三月份這種鐵皮

西紅柿每千克多少元？設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，可列方程得（）

20000…18000迎%500=18000

A.B.

x+1XX+1

20000…18000迎%5。。=18000

C.D.

x-lXXx-l

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅

柿每千克（xT）元，根據三月進貨量+500=四月進貨量，列出方程即可.

【詳解】解：設三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿每千克（尤-1）元，

—G-g20000218000

可列方程得-----+500=--,

xx-l

故選：D.

3.（2024?上海寶山?一模）《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為；把一

份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規定時

間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍.根據題意列方程為粵=怨，其中x表示（）

x+1x-3

A.快馬的速度B.慢馬的速度C.規定的時間D.以上都不對

【答案】C

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數學常識，根據各數量之間的關系及所列的方程，找

出X的含義是解題的關鍵.由快、慢馬速度間的關系，結合所列的方程，可得出絲表示慢馬的速度，”

表示快馬的速度，結合快、慢馬所需時間與規定時間之間的關系，可得出X表示規定的時間.

【詳解】解：：快馬的速度是慢馬的2倍，所列方程為曄X2=瞿,即怨=能,

x+1x-3x+1X-3

.900T900___

,,^表小慢馬的速度/^表小快馬的速度；

x+1x-3

??,把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比

規定時間少3天，

》表示規定的時間.

故選：C.

4k

4.（2024?廣東模擬預測）已知％=5是分式方程一7二1--的解，貝必的值為（）

x+22+x

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，據此把

x=5代入原方程求出力的值即可.

4k

【詳解】解：x=5是分式方程I=1一『的解，

x+22+x

-

5+22+5'

解得：4=3,

故選：C.

5.（2024?上海?模擬預測）野豪豬內卷會用6000元購進一批試卷，每套試卷含數理化三科，每套以比進價

高10元的優惠價格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價送給了其他同學，

最后野豪豬內卷會盈利950元，則一套試卷的進價為（）

A.50元B.100元C.120元D.240元

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的應用.設每套試卷的進價為X元，則每套試卷的售價為（尤+10）元，根據題

意列出分式方程，解之即可，注意檢驗.

【詳解】解：設每套試卷的進價為x元，則每套試卷的售價為（尤+1。）元,

根據題意得幽-5=600°+95：；5x1°,

xx+10

整理得/+190》-12000=0,

解得再=5。,%=-240（不合題意，舍去），

經檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意；

答：每套試卷的進價為50元，

故選：A.

6.（2024?安徽?模擬預測）為改善生態環境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計劃植樹20萬棵，由于工

程進度需要，實際每天植樹棵數比原計劃增加了25%,結果提前4天完成任務.若設實際每天植樹x萬棵，

則根據題意可得方程為（）

A.20(1+25%)20_420204