第03講4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式

01學(xué)習目標

k

課程標準學(xué)習目標

①掌握等差數(shù)列前n項和公式及求取思路，

熟練掌握等差數(shù)列的五個量之間的關(guān)系并能掌握等差數(shù)列的通項與前n項和的相關(guān)計算公式，能

能由三求二，能用通項與和求通項。熟練處理與等差數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思

②會利用等差數(shù)列性質(zhì)簡化求和運算，會利想解決數(shù)列的最大（小）項、和的最大（小）值問題，

用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征求最值。會利用等差數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題

③能處理與等差數(shù)列相關(guān)的綜合問題。

思維導(dǎo)圖

等差數(shù)列前n項和公式

知識清單

知識點01：等差數(shù)列的前〃項和公式

1、首項為。1，末項為%的等差數(shù)列的前〃項和公式s〃=〃（%；%）

2、首項為q,公差為d的等差數(shù)列的前〃項和公式S“=〃％+勺3d

【即學(xué)即練1］（2024?江西?模擬預(yù)測）設(shè)s“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且?guī)?$5=21,則赤=（）

A.17B.34C.51D.68

【答案】c

【知識點】求等差數(shù)列前n項和

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】解：設(shè)公差為心

則Si2_§5=7%+56d=21,即q+8d=3,

則岳7=17%+1362=17（%+82）=51,

故選：C

知識點02：等差數(shù)列前〃項和公式的函數(shù)特征

等差數(shù)列前〃項和公式可變形為S“=弓/+（%—g）〃.當dwo時，它是關(guān)于〃的二次函數(shù)，表示為

2

Sn=An+BnU,5為常數(shù)）.

知識點03：等差數(shù)列前〃項和性質(zhì)

Q7

（1）若數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為-

n2

⑵設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,S“為其前〃項和，則勾，S2m-Sm,S3m-S2m,S4m—S3m，…組成公差為

m2d的等差數(shù)列

⑶在等差數(shù)列｛4｝，｛4｝中，它們的前〃項和分別記為S”7；則魯=2

，12n-l

（4）若等差數(shù)列｛。,｝的項數(shù)為In,則S2n=n（a?+a?+1）

S偶—F=子。

。奇an

S有n

⑸若等差數(shù)列｛a,J的項數(shù)為2〃-l,則S偶—S^=nan,S奇—S偶=a“，飛匚=二7

【即學(xué)即練2】（2024?河南周口?模擬預(yù)測）設(shè)S"為等差數(shù)列｛0“｝的前九項和，已知品=4,56=10,貝I]

%6+%7+=（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意可知邑，S-3,S9-S6,品-Sg,幾-席，兒-九成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列運算求

解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3,s6-s3,s9-s6,Si,凡-L，九-幾成等差數(shù)歹U,

且S3=4,S6-S3=6,可知首項為4,公差為2,

所以％6+%+%8=幾-SB=4+5x2=14.

故選：B.

2

題型精講

04L—

題型01等差數(shù)列前〃項和的基本量計算

【典例1](22-23高三上?新疆阿克蘇?階段練習)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，若的+%=20,則s,=

()

A.70B.80C.120D.140

【答案】A

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】在等差數(shù)列｛an｝中，%+%=20,貝同氏=20,%=1。，

故其=%1P2=衛(wèi)#=7%=70,

故選:A

【典例2](24-25高二上?全國?課堂例題)在等差數(shù)列｛即｝中，

⑴已知。3=16,S20=20,求Si。；

31

(2)已知的=萬，d=--,S“=-15,求〃及％2；

aa

(3)已知%+%+%+&=4。,?-3+n-2+%-i+%=80,Sn=210,求項數(shù)n.

【答案】⑴110

(2)n=12,。口=-4

⑶14

【知識點】利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、

等差數(shù)列通項公式的基本量計算

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為"，根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及求和公式求得q進而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得％,d,進而可得結(jié)果；

(3)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得為+%=30,再結(jié)合等差數(shù)列求和公式運算求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d，

%q+2d=16c

31a,=20

則20(20-1),解得二°,

邑0=20%+—-----§=20[d=-2

、2

10x9x(-2)

所CC以HI&=10x20+----―^=200-90=110.

(2)因為邑="-5+---=

整理得“2-7"-60=0,解得〃=12或"=-5(舍去)，

所以％2=g+(12-1)x()=_4.

(3)因為4+電+。3+。4=40,%_3+。〃-2+%-1+。〃=80,

可得4(%+%)=40+80,即％+an=30.

又因為sU一^L=210,所以〃=-2-X-2-1-0-=14.

2%+%

【典例3](23-24高二上?貴州畢節(jié)?期末)在前"項和為S”的等差數(shù)列｛4｝中，％+為=22-2再=48.

⑴求數(shù)列｛%｝的首項和公差；

(2)當425時，求”的最大值.

【答案】⑴首項為18,公差為-2

(2)7

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計

算

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,由已知條件得到的方程組，再解方程組可得答案；

(2)由(1)知。“，令。”25,結(jié)合〃cN*可得答案.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%J的公差為d,由題意有[:+]；彳：[=2(%+")-2,

[a,=18

解得；

[a=-2

故數(shù)列｛5｝的首項為18,公差為-2；

(2)由(1)知。〃=18-2(〃-1)=20-2〃，

由*5,得20一2壯5,”噂，

又〃eN*,貝V的最大值為7.

【變式1](24-25高二上?福建龍巖?開學(xué)考試)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，若出=-3,S5=-10,

使S”最小的"的值為()

A.4B.5C.6D.4或5

【答案】D

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計

算

【分析】將。2，工分別代入等差數(shù)列的通項公式和前"項和公式中，即可得到首項和公差，根據(jù)數(shù)列得通項

公式分析出數(shù)列得變化規(guī)律，得出在"=4或〃=5時取最小值.

【詳解】設(shè)公差為d，由&=-3,&=T0,

%+d=—3解得z；所以心

所以=〃一5,

5〃]+10d——10

令a,2Q,解得〃25,則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且％=。，

所以當”=4或”=5時S,取得最小值.

故選：D

【變式2](24-25高二上?全國?課前預(yù)習)在等差數(shù)列｛%｝中,

⑴已知84=20,求￡；

(2)已知44=1°，求%*

【答案]⑴48

(2)270

【知識點】等差數(shù)列前n項和的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出公差，再由求和公式計算可得;

(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得；

4><

【詳解】(1)54=4a,+^"^d=Aa｛+6d=2+6d=2Q,

d=3.

生6x(6-1)

故§6=6axH------——-d

—6%+15<7=3+15d=48.

(2)va14=10,%+。27=2/4，

27x(見+27)

-.S27=——"=27a14=270.

【變式3】(23-24高二上?福建莆田?期中)己知Sn為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且％=11，S7=98.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2)求S"的最大值.

【答案】⑴%=-3〃+26；

(2)100.

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、利用定

義求等差數(shù)列通項公式

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式先求出知,進而求出公差d即可求出通項.

(2)由(1)的信息，判斷數(shù)列｛an｝的單調(diào)性，進而求出最大值.

【詳解】⑴在等差數(shù)列｛吟中，由$7=98,得7(%；%)=7%=98,解得知=14,

而。5=11,因此數(shù)列九｝的公差d=。5-。4=-3,

所以%=4+(〃—4)(-3)=14-3(?-4)=一3幾+26.

(2)由(1)知，數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列，由。“20,得〃

因此數(shù)列｛an｝的前8項都為正，從第9項起為負，則數(shù)列｛an｝的前8項和最大，

而％=23g=2,所以⑸濡=1=8”初=100.

題型02利用前〃項和公式判斷是否為等差數(shù)列

【典例1](23-24高三上?安徽?階段練習)已知數(shù)歹U｛%｝的前"項和5,=。/+/+/(。，4/為常數(shù),且

pwO,〃eN*),則"｛%｝是等差數(shù)歹！J"是。=0"的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】充要條件的證明、由前n項和判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及充分條件與必要條件定義判斷即可.

【詳解】若｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d(dwO),則邑=叫+當心"=!^+，=|^〃，

所以廠=0,

若r=0,貝IJS0=p〃2+q"(p20),

當〃=1時，ax=Sx=p+q,當時，an=Sn-Sn_｝=2pn+q-p,此時"=1也滿足，

所以4,=2川+q-0,于是有an+x-an=2p,｛an｝是等差數(shù)列，

所以"｛%｝是等差數(shù)列"是"=0"的充要條件.

故選：A

2

【典例2](23-24高一下?安徽合肥?階段練習)已知數(shù)列｛an｝的前n項和S,=3?+4?(?eN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式a“；

(2)求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【答案】⑴。“=6〃+1；(2)見解析

【知識點】由前n項和判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列、由Sn求通項公式

【分析】⑴當“22時，類比寫出王」=3(〃-1)?+4(〃+1),兩式相減整理得。，=6"+1；當〃=1時，求得卬

并驗證通項公式，從而確定數(shù)列｛（｝通項公式.

（2）根據(jù)（1）求得的通項公式，利用等差數(shù)列的定義證明即可.

22

【詳解】⑴解：當"22時，an=S?-=3n+4?-3（?-1）-4（n-1）=6?+1,

當〃=1時，4=SI=3+4=7,滿足%=6〃+1,

即數(shù)列｛??）的通項公式。“=6〃+1.

（2）證明：=+

，當〃22時，a?—a?_j=6?+l—6（?—1）—1=6為常數(shù)，

則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【點睛】本題主要考查已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“求數(shù)列的通項公式的方法，考查等差數(shù)列的判斷方法.

已知數(shù)列｛見｝的前〃項和E,求數(shù)列的通項公式，求解過程分為三步：

（1）當"22時，用”-1替換S”中的〃得到一個新的關(guān)系，利用（〃22）便可求出當〃22時4

的表達式；

（2）當〃=1時，%=S]求出％；

（3）對〃=1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合

寫；如果不符合，則應(yīng)該分”=1與〃22兩段來寫.

【典例3】（23-243高二上?上海）已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S'="2+l,求數(shù)列｛4｝的通項公式，并判斷

｛%｝是不是等差數(shù)列.

f2,n=1（、

【答案】??=?.%不是等差數(shù)列

[2n-l,n>2

【知識點】判斷等差數(shù)列、由Sn求通項公式

[Sn=l

【分析】根據(jù)可]9求出通項公式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】當〃=1時，/=岳=儼+1=2,

22

當〃22時，%=—Sn_1=H+1—（?—I）—1=2w—1,不滿足q=2,

.J2/=1

因為q=2,a2=3,a3=5,a2-ax^a3-a2,

???｛6｝不是等差數(shù)列.

【變式1]（多選）（23-24高三上?湖北武漢）無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和5"=加2+加+。，其中。，b,c

為實數(shù)，則（）

A.｛。"｝可能為等差數(shù)列

B.｛%｝可能為等比數(shù)列

C.｛6｝中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列

D.｛%｝中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列

【答案】ABC

【知識點】由前n項和判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列、由Sn求通項公式

【解析】由S,=a/+Zw+c可求得。”的表達式，利用定義判定得出答案.

[詳角軍]當〃=1時，ax=Sx=a+b+c,

2J

當〃22時,an=Sn-S“_]=an+bnt-c-a｛<n-\^-b[n-\)-c=2an-a+b.

當〃=1時，上式=a+b.

所以若｛%｝是等差數(shù)列，則4+6=“+Hc.?"=().

[Q=C=0

所以當c=0時，｛。"｝是等差數(shù)列，6/0時是等比數(shù)列；當cwO時，｛%｝從第二項開始是等差數(shù)列.

故選：ABC

【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前。項和工與通項公式％的關(guān)系，利用S”求通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

【變式2】(23-24高一?全國?課后作業(yè))已知數(shù)列｛叫的前n項和是5"=(”+2『+左.當后=時，｛%｝

是公差"=的等差數(shù)列.

【答案】-42

【知識點】由前n項和判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列、由Sn求通項公式

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，得到要使得S,=(“+2)2+人為等差數(shù)列，得到4+左=0旦l-l,

即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的前n項和公式，可知S,="％+，Dd=g"2+(q+|>,

要使得S"=(?+2)2+左=/+4〃+4+人為等差數(shù)列，

2

則滿足4+左=0,解得左=-4,HPSn=n+4n,

又由%=&=5,&=5-S]=7,所以公差d=出-%=2.

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中正確理解等差數(shù)列的前n項和公式,

合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【變式3](2024高三?全國?專題練習)設(shè)數(shù)列｛q,｝的前"項和為5"=/,求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

【答案】證明見解析

【知識點】判斷等差數(shù)列、由Sn求通項公式

IS].n—1,、

【分析】利用_S〃>2求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：因為數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“="2,

當〃=1時，4=S]=1,

22

當〃22時，an=Sn-Sn_x=n-（n-l）=2?-l,

%=1也滿足%=2〃-1,故對任意的“eN*,an=2n-\,

所以，對任意的7?eN*,a?+i-a?=[2（H+1）-1]-（2/7-1）=2,

因此，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

題型03等差數(shù)列片段和性質(zhì)

【典例1]（23-24高二下?廣東廣州?期末）在等差數(shù)列｛%｝中，S"為其前〃項和，若$3=1，§6=4,貝|怎=

（）

A.7B.8C.9D.12

【答案】C

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列前"和的性質(zhì)，得出馬+$9-56=2（56-邑），求解即可.

【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且$3=1，￡=4,

所以根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)可得S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列，

所以S3+S9-S6=2（S6-S3），所以l+S9-4=2（4-l）,解得Sg=9.

故選：C.

【典例2]（23-24高二下?河南?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為邑，且S3=5,S6=15,則89=

（）

A.35B.30C.20D.15

【答案】B

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為｛%｝是等差數(shù)列，所以$3,凡-SB，'-七也是等差數(shù)列，

所以2（$6-$3）=$9-$6+53，即2x（15-5）=59-15+5,解得其=30.

故選:B.

【典例3]（23-24高二上?福建福州?期末）在等差數(shù)列｛叫中，若邑=3,凡=24,則與=（）

A.100B.120C.57D.18

【答案】B

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前"項和性質(zhì)求解.

【詳解】｛%｝是等差數(shù)列,則$3，$6-$3，S9-56，&-59仍成等差數(shù)列，

又邑=3,56-53=24-3=21,所以及一品,=2a-號)一邑=39,59=39+24-63,

512-S9=2(S,-S6)-(S6-S3)-2x39-21=57,

所以幾=57+63=120,

故選：B.

【變式1](23-24高二下?云南大理?期末)已知等差數(shù)列｛風｝的前〃項和為工，若$5=11,品=24,則幾=

()

A.34B.39C.42D.45

【答案】B

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和即可求解.

【詳解】由名,幾-工，幾-九成等差數(shù)列，

則2(耳0-$5)=$5+又一%，即2(24-11)=11+1一24,故幾=39.

故選：B

【變式2】(2024?陜西咸陽二模)已知等差數(shù)列｛6｝的前〃項和為S,,若'=2,'=12,則$2。=()

A.30B.58C.60D.90

【答案】D

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計算即可得.

【詳解】由數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

故$八58-S4,幾-外兒-幾、Sw-兒亦為等差數(shù)列，

由S4=2,$8=12,則$8-$4=10,

故兒-$8=18,尤-耳2=26,520-S16=34,

即有Si2=18+工=30,S16=26+S12=56,S20=34+S16=90.

故選：D.

【變式3](2024高三?全國?專題練習)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為反，若兒=288,Sg=162,則￡二

()

A.18B.36C.54D.72

【答案】D

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列中S",昆,-S"s3n-s2n成等差數(shù)列求解.

【詳解】因為差數(shù)列｛。,｝中，s3,s6-s3,s9-s6,sl2-s9成等差數(shù)列,

令S3=X,SG=y,即162288-162成等差數(shù)列，

貝!Jx+（162—y）=2（y—x）,（y—x）+（288—162）=2（162—歹），

即x+54=y,x+198=3y,解得久=歹=72,

故選：D.

題型04比值問題（含同角標和不同角標）

【典例1］（23-24高二上?湖南常德?階段練習）等差數(shù)歹!）｛%｝,也｝的前”項和分別為與工，已知

S林_2及+3則詈的值為

Tn幾+4

【答案】I

【知識點】求等差數(shù)列前n項和、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得答=雪，代入數(shù)據(jù)計算可得結(jié)果.

b6TU

［詳解］由等差數(shù)列性質(zhì)可得S”=%+&+…+為==1，

同理可得6=1收，

a,S“_2"+3

所以,由廠大可得

b6

因此青=1.

5

故答案為:

3

【典例2】（23-24高二下?安徽?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝和｛a｝的前〃項和分別為S0和（，且

S〃=〃+3，則M

()

Tn3〃+5

14431

A.——B.—C.—D.-

1717135

【答案】C

【知識點】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題、等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)特征

【分析】利用等差數(shù)列｛即｝和｛3｝的前〃項和的性質(zhì)可得：S“=初（〃+3）,北=如（3〃+5）,即可得出.

【詳解】由等差數(shù)列前〃項和公式可設(shè):

Sn=kn（n+3）fTn=kn（3n+5）,kwO,

從而a5=s5-S4=Mk—28k=12k,

b2+b6=2a4=2(T4-T3)=2(68左一42左)=52k,

a12k3

所以T~5rr=—，

b2+b652k13

故選：C

【典例3]（23-24高二上?山東泰安?期末）已知兩個等差數(shù)歹!]｛q,｝,｛〃｝的前"項和分別為S”和7；,且

S“3/2+1的

消==7,則『的值為（）

鼠-

T,,52b6

3402

A.—B.—C.—■D.—

553143

【答案】B

【知識點】等差中項的應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和、兩個等差數(shù)列的前n項和

之比問題

【分析】由等差數(shù)列前“項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)得,=芳，再由已知清—7,令

b613。Tn5?7-2

S?=（3n+l）nk,Tn=（5”一2）〃%,左w0,代入求值即可.

【詳解】由｛%｝,｛2｝都是等差數(shù)列，設(shè)公差分別為4,山，

2n

貝Sn=nax+"(:D4=^-n+(%-~)，

1=她+“(丁)&=牛〃2+色.爭"，

Sn_4〃+(2%-4)_3H+1_(3n+l)n

入

Tnd2n+(2Z)1-1/2)5〃-2(5〃-2)n'

故不妨令S“=(3n+l)nk,Tn=(5n-2)nk,k^0,

8=13(3x13+1"=13x40

」以G11(5x11-2)后11x53'

13(%+%3)

%_2%a+6Z

x13U—1.w竺

bb+翁)

.丁天i+n1311(4137;153

2

故選：B.

【變式1】（23-24高三下?天津南開?階段練習）已知等差數(shù)列｛叫和｛4｝的前"項和分別為,若

S〃=3〃+4，則tee

()

n+2

17372037

A.——B.C.D.——

1313T7

【答案】C

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】由等差數(shù)列的前"項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解結(jié)果.

【詳解】因為九?；是等差數(shù)列｛0“｝和抄J的前〃項和,

12（q+42）12伍+3）2=3〃+4

〃

2—2，T.+2

%+/q+%2S]23x12+420

所以

%+41b[+b、2北212+27

故選：C.

【變式2】（23-24高二上?湖北荊州?期末）已知兩等差數(shù)列｛"｝,前〃項和分別是4，B,,且滿足

An_2/t+l

，唬=）

Bn3n+2

15R1323-253

A.——?C.—D-180

16BT729

【答案】C

【知識點】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】由等差數(shù)列前”項和的性質(zhì)，可設(shè)4=初（2〃+1）,摟0、紇=丘（3〃+2）公0,計算即可得年

【詳解】由｛an｝,｛bn｝為等差數(shù)列，故可令4=版（2〃+1）水力0、B"=kn（3〃+2）,k力0,

則占4-46左（2x6+l）-5左（2x5+1）_78-55_23

Bi5左（3x5+2）-4后（3x4+2）-85-56一磅

故選：C.

【變式3】（23-24高一下?上海?期末）等差數(shù)列｛%｝,也｝的前"項和分別是S.W，若｝=言2,則

%_

--

【答案】12/0.4

【知識點】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，不等,即可求解.

b4刀

a4_24_4+%5（%+%）$77+52

【詳解】解:

仇2b*b、+b[工仇+白）I4x7+25

2

故答案為：

題型05等差數(shù)列前〃項和的最值問題

【典例1](23-24高二下?北京懷柔?期中)已知數(shù)歹U｛6｝的前”項和為S“=2〃2-18〃

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式見

⑵判斷數(shù)列｛七｝是否是等差數(shù)列，若是，加以證明；若不是請說明理由；

⑶求S,的最小值，并求S“取最小值時"的值.

【答案】⑴氏=4〃-20

⑵是等差數(shù)列，證明見詳解；

(3)-40；〃=4或5

【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項、求等差數(shù)列前n項和的最值、二次函數(shù)法求等差數(shù)列前n項和

的最值、判斷等差數(shù)列

【分析】(1)根據(jù)S“與的關(guān)系求出通項公式巴；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷；

(3)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解,最小值及取得最小值時〃的值.

【詳解】(1)當〃=1時，可=H=-16,

當,22時，_$?_]=2〃~—18〃—12(〃—1)—18(〃—1)]=4〃—20,

X4xl-20=-16,

所以"=1時，g=4"—20也成立，

所以數(shù)列｛&J的通項公式為%=4〃-20,〃eN*.

(2)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，證明如下：

因為%+i—=4(”+1)—20—(4〃—20)=4,

所以數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.

(3)因為S“=2/-18〃=-＞，又〃eN*,

所以當"=4或5時，S”最小，最小值為$4=$5=-40.

【典例2](23-24高二上?江蘇南京?期中)設(shè)等差數(shù)列｛七｝的前"項和為S”.已知的+&=2,Sg=78.

⑴求乙;

(2)當〃為何值時，國最小？并求此最小值.

【答案】⑴4=13-3〃

(2)8,4

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)

列通項公式的基本量計算

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由%+/=2,Sg=-18求解;

<7

（2）由禺=J〃（23-3〃）|=<

，分〃47,〃28,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

；〃（3〃-23）,〃>8

【詳解】（［）解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力

3^,。2+。6=2,Sg=—18,

所以2q+6d=2,9q+36d=-18,

解得％=10,d=-3,

所以%=4+（〃-1）4=13-3〃；

；〃（23一3〃）,〃<7

（2）由⑴得|圜=；|〃（23-3"=<

；孔（3〃一23）,〃>8

；〃（〃）=_529

當〃（7時,1=23_3+-----

24

當時，7；遞增，當4<〃V7/eN時，7；遞減，又工二10,7；=7,

所以（的最小值為7；

當心8時，北=（〃（3〃-23）=|,-胃|北在［8,+功上遞增，又4=4,

所以1的最小值為4,

綜上：國|的最小值為4.

【典例3］（23-24高二下?廣東韶關(guān)?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若出=8,

。4+%=2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求工的最大值及取得最大值時n的值.

【答案】（1）%=一2〃+12

⑵當〃=5或〃=6,S”取最大值，最大值為30

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用定義求等差數(shù)列通項公式

【分析】（1）由條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式列關(guān)于4和d的方程，解方程求為再求通項公式即可；

（2）方法一：求出色的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

方法二：解方程氏=0,再解不等式%>0,。，<0,由此確定使得S"最大時的"值，再由求和公式求其最

大值.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力

因為=8,&+。7=2,

伍+d=8

所以辦…

[4+34+4+64=2

^5*以〃“=〃]+(〃-1)2=10+(〃-l)x(—2)=—2+12；

(2)方法-'：因為S“="%+；”("一l)d=-〃2+11"+~^~'〃?N",

所以當〃=5或〃=6時S,取得最大值，最大值為30.

方法二：當。“=-2〃+12=0時，n=6,

當。“=-2〃+12>0時，n<6,

當a”=-2〃+12<0時，〃>6,

所以當〃=5或〃=6時S”取得最大值，

X56=6tz1+1x6x(6-l)^=6xl0+15x(-2)=30

所以S”最大值為30.

【變式1](23-24高二上?河南開封?期末)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且%-%=4=4.

⑴求｛為｝的通項公式；

(2)求S”的最大值及取得最大值時n的值.

【答案】⑴氏=12-2〃

⑵最大值為$5=取值5或6

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列通項公式的基本量計算

【分析】(1)運用基本量的計算求解通項公式即可.

(2)寫出前〃項和公式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)記｛%｝的公差為d,因為%-%=-24=4,所以"=-2,

因為e=%+3x(-2),所以為=10,

所以4=%+("-1)義(-2)=12-2”.

(2)因為S“=葭“2+(%=_"2+]]〃=_(〃_?1+111

所以，當〃取與T最接近的整數(shù)即5或6時，s“最大,

最大值為$5=S6.

【變式2】（23-24高二上?山東青島?階段練習）已知等差數(shù)列｛《｝的前"項和為S,,,S,=-90,?10=15.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵求E,的最小值，并指出〃取何時，取得最小值.

【答案】⑴=5?-35

（2）S“的最小值為-105,對應(yīng)〃=6或7

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計

算

【分析】

（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛%｝的首項和公差，從而求得耳.

（2）利用%40,求得S“取得最小值時對應(yīng)"的值，進而求得S“的最小值.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

S’一。4。］+6d=-90

依題意,解得力=—30,d=5,

aw=15%+9d=15

所以%=-30+-1)x5=5〃-35.

(2)由。“二5幾一35<0,解得1<〃<7.￡N*,

所以當〃=6或〃=7時S”取得最小值，

且S〃的最小值為S6=6^+15^=-180+75=-105.

【變式3】（23-24高二上?吉林遼源?期末）已知等差數(shù)列｛0"｝中，2=2,出+&=8

（1）求｛對｝的通項公式；

⑵求數(shù)列的｛七｝前n項和S“，并求S”的最小值

【答案】⑴%=2"-4

⑵=n2-3n,-2

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列通項公式的基本量計算

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)題意列出關(guān)于4,d的等式，聯(lián)立可得%=-2,1=2,即可

求解；

（2）利用等差的求和公式得到色，然后判斷。”的正負，即可求得冬的最小值

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

%+2d=24——2

因為°3=2,&+=8,所以,解得

2%+6d=8d=2

所以%=q+(?1"=2〃-4；

/、〃I〃1Io

（2）Sn=naxH-------d=n-3n,

數(shù)列｛為｝首項為負的，公差大于零，是遞增數(shù)列，

令<0即2〃-4<0,解得“<2,因為“eN*,所以"=1,

令a,=0即2〃-4=0,解得〃=2,

令a,>0即2〃-4>0,解得〃>2,

所以第1項是負數(shù)，第2項是0,從第3項起變成正數(shù)，

所以當"=1或2時，5“取得最小值，岳=邑=-2

題型06符合條件的最值問題

【典例1】（多選）（23-24高二上?福建莆田?期中）在等差數(shù)列｛%｝中生。<0,孫>0,且4>|叫，則下列

結(jié)論正確的有（）

A.Sn>SwB.S9=Sl0C.He。D.S20>0

【答案】AD

【知識點】判斷數(shù)列的增減性、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和、求等差數(shù)列前n項和的

最值

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和的性質(zhì)，可對四個選項逐一判斷其正誤,

從而得到答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4,其前"項和為S"，由%。<0,%>0,得d>0,

對于A,數(shù)列｛an｝是遞增等差數(shù)列，且前10項均為負數(shù)，從第11項起為正，則⑸）礴=%，

HP5?>S10,A正確；

對于B,Ro-Sg=%。<0,B錯誤；

19aa

對于C,5i9=（i+i9）=19ai0<0>c錯誤；

對于D,由%>11=,得即）+。”>0,邑0=20（%；°20）=10（%0+a”）〉0,D正確.

故選：AD

【典例2】（多選）（2024?山西呂梁?三模）已知等差數(shù)列｛%｝的首項為可，公差為d,前"項和為S",若

$<Ss<S9,則下列說法正確的是（）

A.當〃=8,S"最大

B.使得S〃<0成立的最小自然數(shù)”=18

C.|%+%|>|%（）+。小

D.[2]中最小項為1

【答案】BD

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列前n項和的其他性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列前n項和的基本

量計算

ftz.>0

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到二八，。9>0，即）<0,即可判斷AC,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可

$S

判斷B,再由〃K9,或時，」■>（）；9<〃<18時，口為即可判斷D,

冊an

=

Sg<J*S*9—cig>0—a。=—%—8d<0

【詳解】根據(jù)題意:Ho<$9[do-S9=60<0

“io=%+9d<0

\a.>0

兩式相加，解得：…嗎>。,“。，當"=9時，S.最大，故A錯誤

由S]o<S&,可得到的+[0<。<"9,所以"8+°H<°，

Q]0+1—（。8+。9）=4d<°,%0+%1++〃9<0，

所以|%+49|<|%0+q1|,故C錯誤；

由以上可得：%〉。13〉…〉。9〉。〉。10〉〃11>…，

'J"%）=17。9>0,而=———=9（a9+al0）<0>

當“W17時，S?>0；當時，5?<0；

所以使得。<0成立的最小自然數(shù)〃=18,故B正確.

ss

當〃49,或“218時，*>°；當9<"<18時，一^<°；

%an

由0>Ko>>…>%7，Sio>Su>S[2>…>S">0,

所以中最小項為氣，故D正確.

故選：BD.

【典例3】（多選）（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）已知等差數(shù)列｛%｝的前力項和為若S2°23<0,

Sa.〉。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.｛4｝是遞減數(shù)列B.%。[2<0，?1013>0

C.lfl10131lfl1011lD.S"NS1012

【答案】BCD

【知識點】求等差數(shù)列前n項和的最值、求等差數(shù)列前n項和、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質(zhì)得到。⑹2<0,am2+ami>0,即可判斷B、C,又

d=。1013—“1012>0判斷A,根據(jù)4012<°，。1013>°判斷D.

【詳解】丁S2023V0,52024>0，

,Q_2023（4+。2023）2023*24012

**口2023=2=2023%012<0,

2

2024（%+42024）2。24x+。1。13）

二1012（。［0］2+