幾何證明一、單選題1．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②，③若，則；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，分別交邊AB，BC于點(diǎn)D，E，且AB＝9，AC＝6，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A．10.5 B．12 C．15 D．183．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺，）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在Rt中，，，，于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．7.5 B．8 C．15 D．無(wú)法確定二、填空題7．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為3，4，則此三角形斜邊上中線長(zhǎng)為____．8．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）在中，，（1）如果，那么___________；（2）如果，那么___________；（3）如果，那么___________；（4）如果，那么___________；9．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，據(jù)此可得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于______km；10．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖．在中，，平分，于E，若，則的長(zhǎng)為________．11．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，則△ABD的周長(zhǎng)是_____．12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為_________．三、解答題13．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，有兩只猴子在一棵樹CD高6m的點(diǎn)B處，他們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹爬下去到離樹12m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線越向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，這棵樹高有多少米？14．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）在中，(1)如果，，求的長(zhǎng)度；(2)如果，，求的長(zhǎng)度．15．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）有一根長(zhǎng)的木棒，要放入長(zhǎng)、寬、高分別是、、的木箱中（如圖），能放進(jìn)去嗎？試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．16．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，，垂足為E，若．(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的長(zhǎng)度．17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖，中的垂直平分線分別交于點(diǎn)D、E．求的長(zhǎng)．18．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在中，，垂足為D，，延長(zhǎng)至E，使得，連接．(1)若，求；(2)若，求面積．19．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖，是四根長(zhǎng)度均為的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．，，求線段的長(zhǎng)度是多少？20．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．21．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？几?jìng)賽）已知：如圖，△中，，，是△的中線，點(diǎn)在上，且．求證：．22．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）隨著我國(guó)城市化水平逐漸加強(qiáng)，各大城市均出現(xiàn)了交通擁堵的情況，為了緩解交通擁堵，各地都在進(jìn)行交通道路的優(yōu)化和建設(shè)．某城市為了解決區(qū)域交通擁堵問(wèn)題，修建了一條隧道．(1)圖甲為隧道入口，圖乙為它的截面，已知米，隧道的最高點(diǎn)離路面的距離米，則該道路的路面寬_________米；在上，離地面相同高度的兩點(diǎn)，裝有兩排照明燈，若是的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是_________米．(2)隧道建成后可改善附近路段的交通狀況．一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度（千米/小時(shí)）和車流密度（輛/千米）滿足關(guān)系式（為實(shí)數(shù)）．研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是0千米/小時(shí)．（a）若車流速度不小于40千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；（b）隧道內(nèi)的車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量取得最大值時(shí)的車流密度．23．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，已知四邊形ABCD中，∠A為直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四邊形ABCD的面積．24．（2020·江西南昌·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)在圖①中，以格點(diǎn)為端點(diǎn)，畫線段MN=；(2)在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫正方形ABCD，使它的面積為10．參考答案：1．C【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得可得，然后根據(jù)平分平分，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可進(jìn)行判斷；②當(dāng)是的中線時(shí)，，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；③根據(jù)，證明為等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；④作的平分線交于點(diǎn)，可得，證明，，可得，進(jìn)而可以判斷；⑤過(guò)作于點(diǎn)，由④知，為的角平分線，可得，所以可得，根據(jù)，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷．【詳解】解：①在中，，∴，∵平分平分，∴，，∴，故①正確；②當(dāng)是的中線時(shí)，，故②錯(cuò)誤；③∵，∴為的中線，∵為的角平分線，∴，∴為等邊三角形，∴，故③正確；④如圖，作的平分線交于點(diǎn)，由①得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確；⑤過(guò)作，于點(diǎn)，由④知，為的角平分線，∴，∴，∵，∴，故⑤正確．綜上所述：正確的有①③④⑤，共4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，作輔助線，構(gòu)建三角形全等是解題關(guān)鍵．2．C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得DC=BD，再計(jì)算△ACD周長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，∴BD=DC∴AB=AD+BD=AD+DC=9∵AC=6∴△ACD的周長(zhǎng)=AD+DC+AC=9+6=15故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．3．C【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.【詳解】設(shè)水池里的水深為x尺，由題意得：解得：x=12故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理并能根據(jù)勾股定理正確的列出對(duì)應(yīng)的方程式解題的關(guān)鍵.4．A【分析】首先根據(jù)“斜中半”定理求出，然后利用三角形的外角性質(zhì)求出，從而在中，利用“30°角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半”求解即可．【詳解】∵E是Rt中斜邊AB的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∠ECD=30°在中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的基本性質(zhì)，熟記并靈活運(yùn)用與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．B【分析】先用配方法對(duì)b2+c2=2b+4c-5變形配方，從而求得b，c的值，再將其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC為直角三角形，從而其面積易得．【詳解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，∴b＝1，c＝2．又∵a2＝b2+c2﹣bc，∴a2＝1+4﹣2＝3，∴或（舍）∵，∴△ABC是以1和為直角邊的直角三角形，∴△ABC的面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用配方法進(jìn)行變形，以及偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理，三角形的面積計(jì)算等基礎(chǔ)內(nèi)容，本題難度中等．6．A【詳解】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC?DE=×5×3=7.5．故選A．考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．7．2.5【分析】利用勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】解：由勾股定理得，斜邊，所以，斜邊上中線長(zhǎng)．故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．156560【分析】在中，，則，根據(jù)題目給出的中的2個(gè)邊長(zhǎng)可以求第三個(gè)邊的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，所對(duì)的邊為斜邊，∴，（1）如果，則；（2）如果，則；（3）如果，則；（4）如果，則．故答案為：15；6；5；60．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中正確的根據(jù)勾股定理求值是解題的關(guān)鍵．9．4【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【詳解】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，∴∠B=30°，∴AB=2AC=4（km）．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握“直角三角形中30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半”是解題關(guān)鍵．10．【分析】證明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．【詳解】解：由題意：平分，于,，，又為公共邊，，，在中，，由勾股定理得：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)全等找到邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得．11．12．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵直線DE垂直平分BC，∴，∴△ABD的周長(zhǎng)，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．100．【分析】三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積A=36+64=100．【詳解】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方=36，一條直角邊的平方=64，則斜邊的平方=36+64．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積公式以及勾股定理．13．樹高為9米．【分析】由題意知，設(shè)米，則米，且在中，代入數(shù)據(jù)可求x的值，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題意知，且米，米，設(shè)米，則米，在中：，即，解得，故樹高為米．答：樹高為9米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．14．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)，則，利用勾股定理求得k的值，就可求出斜邊AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，利用勾股定理就可求得x的值．【詳解】（1）解：∵，設(shè)，則．∵，，，∴，解得(負(fù)值已舍)，∴；（2）解：∵，設(shè)，則，∵，，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，利用平方根解方程等知識(shí)，若知道線段比，?？稍O(shè)一份為k，從而可將相關(guān)線段用k的代數(shù)式表示，熟練掌握勾股定理是解題的前提．15．能放得進(jìn)去；理由見解析【分析】先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：能放得進(jìn)去；理由如下：如圖所示：根據(jù)已知條件得：，，，連接、，在中，，在中，，故能放得進(jìn)去．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；（2）利用證明，推出，設(shè)，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵平分交于點(diǎn)D，，，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵平分交于點(diǎn)D，，，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．，．【分析】連接．設(shè)，則．由線段垂直平分線的性質(zhì)可知．再在中，利用勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x，即可得解．【詳解】如圖，連接．設(shè)，則．∵是線段的垂直平分線，∴．在中，,∴，解得：，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．18．(1)；(2)．【分析】（1）證明是的中垂線，推出，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）利用勾股定理計(jì)算出，進(jìn)而求出，即可求出的面積．【詳解】（1）解：∵，，∴是的中垂線，∴，∴；∵，∴，∴；（2）解：在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．19．．【分析】作，，垂足分別為G、H，利用證明得到，利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：作，，垂足分別為G、H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，證得是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．見解析【分析】先通過(guò)延長(zhǎng)CD到F使DF=CD，連接AF，構(gòu)造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性質(zhì)可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代換和等角對(duì)等邊就可推出AE=BC．【詳解】證明：延長(zhǎng)CD到F使DF=CD，連接AF，如圖∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，在△ADF與△BCD中，，∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能正確構(gòu)造出全等三角形是做出本題的重點(diǎn)．21．證明見詳解．【分析】以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑，交AB于F，連結(jié)CF，得出CD=CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDF=∠CFD，根據(jù)直角三角形斜邊中線得出AD=CF，再證△ADE≌△CFB（AAS）即可．【詳解】證明：以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑，交AB于F，連結(jié)CF，則CD=CF，∴∠CDF=∠CFD，∴∠ADE=180°-∠CDF=180°-∠CFD=∠CFB，∵是△的中線，∴CD=AD=BD，∴AD=CF，在△ADE和△CFB中，，∴△ADE≌△CFB（AAS），∴AE=CB．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．(1)；(2)（a）若車流速度不小于40千米/小時(shí)，則車流密度的取值范圍是；（b）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3250輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為87輛/千米【分析】（1）作的垂直平分線，交于，交于，則是圓心，連接，則即可得圓的半徑為5厘米，根據(jù)勾股定理得，則，連接、交于，作于，于，可得PH，PA，由是的中點(diǎn)得垂直平分，即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)AAS證明，則，即可得；（2）（a）把，代入已知式求得k，解不等式可得x的范圍，（b）由題意得，，利用函