第頁(yè)，共頁(yè)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中試卷2025.4一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出.【詳解】，故，.故選：B2.在中，若，則是（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出角.【詳解】在中，由正弦定理得，而，所以或．故選：C3.如圖，在中，是邊BC的中點(diǎn)，是AM上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，可設(shè)，由題意知所以解得，所以，故選：A.4.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為和，體積為，則它的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用圓臺(tái)的體積公式求得高，再利用圓臺(tái)的表面積公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，解得，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的表面積為.故選：B．5.已知點(diǎn)，，．則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)公式，結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕韵蛄颗c的夾角為鈍角，因此量在上的投影向量與方向相反，而，，所以在上的投影向量為，故選：C6.若，表示兩條直線，，，表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，，則B若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，若，，，則，或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則，或與為異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，則，或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋鶕?jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選：D.7.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b、c，若，是的角平分線，點(diǎn)在上，，，則（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分線的性質(zhì)可得，由余弦定理，角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而解得的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得的值．【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫矗谥校裕裕矗驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，在中，，①在中，，②因?yàn)椋裕散佗诳傻茫獾茫裕捎嘞叶ɡ砜傻茫蔬x：A8.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先過(guò)點(diǎn)畫(huà)出與平面平行的平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】如圖，分別作的中點(diǎn)，連接，如圖，易得，又平面，平面，故平面，在正方體中，易得，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槊妫矫妫云矫妫制矫妫矫嫫矫妫詣?dòng)點(diǎn)在正方形的軌跡為線段，在三角形中，，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為等腰三角形在邊上的高為，所以線段的長(zhǎng)度范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過(guò)作出面的平行面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.如圖所示，已知P，Q，R分別是三邊的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用平面向量基本定理以三角形法則，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷求解即可.【詳解】由已知可得，故D錯(cuò)誤；因?yàn)镻，Q，R分別是三邊的AB，BC，CA的四等分點(diǎn)，由,故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確.故選：BC10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為3D.若（，），則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：令，由此即可驗(yàn)證；對(duì)于B：由模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)乘法即可驗(yàn)證；對(duì)于C：由復(fù)數(shù)的幾何意義即可驗(yàn)證；對(duì)于D：令即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A：令，所以由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式有，但這與或矛盾，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B：令，所以，所以，且，所以，故B選項(xiàng)符合題意；對(duì)于C：令，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則有（其中），所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為3，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D：令可知，但這與矛盾，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：BC．11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)不含端點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)P，Q，使得B.直線和直線異面C.存在點(diǎn)P，Q，使得平面D.周長(zhǎng)的最小值為【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，在取點(diǎn)，使，證明，和互為異面直線，可得不成立；B選項(xiàng)，由異面直線的判定可證明；C選項(xiàng)，由線面平行的性質(zhì)，若平面，則，不合題意；D選項(xiàng)，將三棱錐展開(kāi)成平面圖形，利用共線求最小值.【詳解】A選項(xiàng)，在取點(diǎn)，使，又正方體中有，則四邊形為平行四邊形，有且，又正方形中且，故且，則四邊形平行四邊形，有，平面，，平面，所以和互為異面直線，則和不可能平行，故不存在點(diǎn)P，Q，使得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上取，與A選項(xiàng)同理可得，由圖可知，點(diǎn)在平面上方，點(diǎn)在平面下方，則直線與平面相交，交點(diǎn)在線段上，則，平面，平面，，則直線和直線異面，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若平面，由平面，平面平面，則，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將三棱錐展開(kāi)成平面圖形如圖，連接分別交和于，此時(shí)周長(zhǎng)最短，即為，，，則由余弦定理得，即周長(zhǎng)的最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥裕獾?故答案為：13.已知水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出原圖，進(jìn)而求出四邊形面積即可．【詳解】如圖，運(yùn)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出原圖.在軸位置不變，，點(diǎn)在軸上，由得，則，且，．則四邊形為平行四邊形，面積為：．故答案為：．14.斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀(jì)的英國(guó)數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，點(diǎn)在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，點(diǎn)在上，且的面積與的面積之比為，則______．【答案】##【解析】【分析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦爾特定理可求得的長(zhǎng).【詳解】由及正弦定理可得，，則，所以，，則，，故，，，由余弦定理可得，，則，故，由斯特瓦爾特定理可得，因此，.故答案為：.四、簡(jiǎn)答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.本題共5小題，共77分）15.設(shè)復(fù)數(shù)（其中），．（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若是純虛數(shù)，求的虛部以及【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)即可求解，由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【小問(wèn)1詳解】∵是實(shí)數(shù)，∴，∴；.【小問(wèn)2詳解】∵是純虛數(shù)，∴且，故，故的虛部為，.16.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求得，從而可得，于是；（2）由，可得，再由夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕?由，可得，即，解得，所以，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橄蛄浚裕?則，，所以，所以與夾角的余弦值為.17.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知向量滿(mǎn)足：，，且．（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示得出邊與角的關(guān)系式，再利用正弦定理即可求出角A；（2）利用正弦定理將邊表示成角的形式，即，再根據(jù)三角形形狀和輔助角公式，即可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因，，且，于有，即，在中，由正弦定理得：，而，于是得，所以或．【小問(wèn)2詳解】是銳角三角形，由（1）知，，于是有，且，從而得，而，由正弦定理得，則，，則有，而，則，即,所以的取值范圍．18.如圖：在正方體中，棱長(zhǎng)，M為的中點(diǎn)．（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐的體積；（2）利用線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，構(gòu)造中位線，即可證明；（3）構(gòu)造面面平行，即可說(shuō)明線面平行.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楣嗜忮F的體積為．【小問(wèn)2詳解】證明：連接，設(shè)，連結(jié)，因?yàn)椋謩e是和的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；【小問(wèn)3詳解】存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，使平面，因?yàn)椋遥运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕矫妫矫妫云矫妫移矫妫遥矫妫云矫嫫矫?若，則平面，所以平面所以線段上存在中點(diǎn)，使平面.19.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形（凸四邊形是指沒(méi)有角度大于180°的四邊形）進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大.根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題，如圖，在凸四邊形中，（1）若，，，（圖1），求線段長(zhǎng)度的最大值；（2）若，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時(shí)角的大小，并求出四邊形面積的最大值；（3）在滿(mǎn)足（2）條件下，若點(diǎn)是外接圓上異于的點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）（2）時(shí)，四邊形面積取得最大值，且最大值為．（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而求出的最大值；（2）由題意可得，分別在，中，由余弦定理可得的表達(dá)式，兩式聯(lián)立可得的值，進(jìn)而求出角的大小，進(jìn)而求出此時(shí)的四邊