第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省深圳市南山實驗教育集團2024-2025學(xué)年九年級（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列四個負(fù)數(shù)中，?312，?3.14，?334，?3A.?312 B.?3.14 C.?332.如圖是小宇同學(xué)每天作息時間扇形統(tǒng)計圖，得到下列信息，錯誤的是(

)A.小宇睡眠時間占全天時間的35%

B.小宇每天體育活動時間為2.4小時

C.各項統(tǒng)計中，小宇課業(yè)學(xué)習(xí)時間最多

D.小宇每天睡眠時間為8.4小時3.如圖，在平地上種植樹木時，要求株距(相鄰兩棵樹之間的水平距離)為10m，若在坡度為1：1.25的山坡上種樹，也要求株距為10m，那么相鄰兩棵樹間的坡面距離為(

)A.41m B.C.12m D.12.5m4.如圖，公路上有一個10米高的路燈.晚上小紅站在位置A的影子和站在位置B的影子相比(

)A.在位置A的影子長些

B.一樣長

C.在位置B的影子長些

D.無法確定5.為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每盒零售價由15元降為9元，設(shè)平均每次降價的百分率是x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是(

)A.15(1?x)2=9 B.15(1?2x)2=96.下列命題是真命題的是(

)A.三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等

B.若關(guān)于x的方程kx2+2x?1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥?1且k≠0

C.若關(guān)于x的一元一次不等式組x?a≤02x?1>5無解，則a的范圍是a≤3

D.若點C7.如圖，周長為8的菱形ABCD中，∠ABC=60°，點Q為BC邊中點，點P為對角線上一動點，沿D→B的路徑行進，PD長度為x，PQ，PC的長度之和為y，設(shè)函數(shù)圖象最低點的坐標(biāo)為(m,n)，則n的值為(

)

A.22 B.3 C.28.如圖，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為(8,0)，(0,8)，點C，F(xiàn)分別是直線x=?5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E，當(dāng)△ABE面積取得最小值時，sin∠OAD的值是(

)A.817

B.1213

C.4二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.已知a+b=6，ab=2，則1a+110.若一個扇形的弧長為43π，半徑為6，則此扇形的面積為______．11.若一元二次方程x2?5x+2=0的兩個根為x1，x2，則12.如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，頂點A，B分別在反比例函數(shù)y=2x(x>0)與y=?6x(x<0)

13.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊AB上，連結(jié)EC，將EC繞點C旋轉(zhuǎn)，點E恰好落在邊AD上的點F處，且AE=DF.若CD=8，EF=7，則BE=______．三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題7分)

閱讀與理解

閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．

在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．

例：若xx2+1=14，求代數(shù)式x+1x的值．

解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4，15.(本小題9分)

為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校以“中國傳統(tǒng)節(jié)日”為主題開展活動，組織全校學(xué)生在“春節(jié)”“清明節(jié)”“端午節(jié)”“中秋節(jié)”四個傳統(tǒng)節(jié)日中選擇一個作為研學(xué)主題，了解其歷史及其傳統(tǒng)文化內(nèi)涵.現(xiàn)隨機調(diào)查了部分學(xué)生，對他們選擇主題的情況進行統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．主題人數(shù)所占百分比春節(jié)20a清明節(jié)b16%端午節(jié)c20%中秋節(jié)12d(1)表中a的值是______，本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是______；

(2)若該校共有1200名學(xué)生，請估計選擇“中秋節(jié)”的學(xué)生人數(shù)；

(3)若甲、乙兩名學(xué)生選擇上面四個傳統(tǒng)節(jié)日的可能性相同，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人選擇的主題中含有“端午節(jié)”的概率．16.(本小題7分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB<BC．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BAD的平分線交BC于點E，在DA上截取DF，使DF=CE(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)所作的圖形中，連接EF，求證：四邊形ABEF是菱形．請補全下面的證明過程．

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵DF=CE，

∴AD?DF=BC?CE，

∴______．

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AD/?/BC，

∴______．

∵AE平分∠BAF，

∴______，

∴∠BEA=∠BAE．

∴______，

∴四邊形ABEF是菱形．17.(本小題8分)

某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x/元…121314…每天的銷售量y/件…363432…(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？

(3)該超市要使每天銷售這種文具的利潤最大，銷售單價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少元？18.(本小題8分)

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是AC上的一點，AG，DC的延長線交于一點F．

(1)求證：∠AGD=∠FGC．

(2)過A作⊙O的切線，交DG的延長線于點K，DG與AB交于點M，若tan∠FGC=43，點G是AC的中點時，CD=6，求MK19.(本小題10分)

問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，BC=10，△ABC的面積為25.在△ABC內(nèi)作一個正方形EFQR，使正方形一邊QR落在邊BC上，另外兩個頂點F，E分別落在邊AB，AC上，該正方形的面積大小為______．

問題解決

(2)某市進行綠化改造，美化生態(tài)環(huán)境.如圖②，現(xiàn)有一塊四邊形的空地ABCD計劃改造成公園，經(jīng)測量，AB=500m，BC=1000m，CD=680m，且∠B=∠C=60°.按設(shè)計要求，要在四邊形公園ABCD內(nèi)建造一個矩形活動場所PQMN，頂點M，N均在邊BC上，頂點P，Q分別在邊AB，CD上.為了滿足居民需求，計劃在矩形活動場所PQMN中種植草坪，在公園內(nèi)其他區(qū)域種植花卉.已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，則綠化改造所需費用至少為多少元？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：20.(本小題12分)

在四邊形ABCD中，點E為AB的中點，分別連接CE，DE．

(1)如圖1，若∠A=∠B，∠ADE=∠BEC．

(i)求證：AE2=AD?BC；

(ii)若DE平分∠ADC，求證：∠AED=∠DCE；

(2)如圖2，若∠DAB+∠B=90°，∠DEC=90°，AD=3，BC=1，求CD答案和解析1.【答案】D

【解析】解：|?312|=312=3.5，|?3.14|=3.14，|?334|=334=3.75，|?3|=3，

∵3<3.14<3.5<3.75，

∴?3>?3.14>?312>?3342.【答案】C

【解析】解：A、∵1?30%?10%?10%?15%=35%，

∴小宇睡眠時間占全天時間的35%，故不符合題意；

B、小宇每天體育活動時間為24×10%=2.4(小時)，故不符合題意；

C、各項統(tǒng)計中，小宇睡眠時間時間最多，故符合題意；

D、小宇每天睡眠時間為24×35%=8.4小時，故不符合題意；

故選：C．

根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的信息判斷即可．

本題考查扇形統(tǒng)計圖及相關(guān)計算．在扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．3.【答案】B

【解析】解：∵相鄰兩棵樹之間的水平距離為10m，坡度為1：1.25，

∴鉛直高度為：101.25=8(m)，

由勾股定理得：相鄰兩棵樹間的坡面距離為：102+82=241(m)，

故選：B4.【答案】C

【解析】解：，

如圖所示，AB即所在地面，燈光即C點，EA、FB即小紅的身高，連接CE并延長交地面AB于G，連接CF并延長交地面AB于H，AG即小紅站在位置A的影子，BH即小紅站在位置B的影子，

由題意得EA=FB，

∵∠EAG=∠CDG=90°，∠CGD=∠EGA，∠FBH=∠CDH=90°，∠CHD=∠FHB，

∴△CDG∽△EAG，△CDH∽△FBH，

∴CDEA=AGDG，CDFB=BHDH，

∵EA=FB，DG=AG+AD，DH=DB+BH，

∴AGAG+AD=BHDB+BH，

∵AD<BD，

∴BH>AG，即在位置B的影子長些．

故選：C5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得：15(1?x)2=9，

故選：A．

設(shè)平均每次降價的百分率是x，根據(jù)降價后的價格=降價前的價格×(1?降價的百分率)，則第一次降價后的價格是15(1?x)，第二次后的價格是15(1?x6.【答案】C

【解析】解：A.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，原命題是假命題，故此選項不符合題意；

B.當(dāng)k=0時，方程為2x?1=0，方程有一個實數(shù)根；當(dāng)k≠0時，關(guān)于x的方程kx2+2x?1=0有實數(shù)根，則Δ=22?4k×(?1)≥0，解得：k≥?1，綜上所述，k的取值范圍是k≥?1，原命題是假命題，故此選項不符合題意；

C.若關(guān)于x的一元一次不等式組x?a≤02x?1>5無解，則a的范圍是a≤3，原命題是真命題，故此選項符合題意；

D.若點C是線段AB的黃金分割點且AC<BC，則AC7.【答案】B

【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴點A、點C關(guān)于BD對稱，

如圖1，連接AQ，

則AQ為PQ+PC的最小值，

結(jié)合函數(shù)圖象得，n=AQ，

在Rt△ABQ中，

∵菱形周長為8，

∴AB=2，BQ=1，

∴AQ=22?12=3．

故選：B．

連接AQ，則AQ為8.【答案】D

【解析】解：如圖，設(shè)直線x=?5交x軸于K.由題意KD=12CF=5，

∴點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，

∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，

∵AD是切線，點D是切點，

∴AD⊥KD，

∵AK=13，DK=5，

∴sin∠OAD=DKAK=513

故選：D．

如圖，設(shè)直線x=?5交x軸于K.由題意KD=12CF=5，推出點D的運動軌跡是以9.【答案】3

【解析】解：1a+1b=bab+aab=a+bab，

∵a+b=6，ab=2，

∴原式=10.【答案】4π

【解析】解：S扇形=12lR=12×43π×6=4π11.【答案】2

【解析】解：∵x1為方程x2?5x+2=0的根，

∴x12?5x1+2=0，

∴x12?5x1=?2

∴x12?5x2+2x1x2=?2+2x1x2，

∵一元二次方程x2?5x+2=0的兩個根為x1，x2，12.【答案】3【解析】解：如圖，作AF⊥x軸于點F，BE⊥x軸于E，

，

則S△BEO=3，S△AFO=1，

∴∠BEO=∠AFO=90°，

∴∠BOE+∠OBE=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOE+∠AOF=90°，

∴∠OEE=∠AOF，

∴△BEO∽△OFA，

∴S△BEOS△AFO=(OBOA)2=3，

∴OBOA=3，

∴tan∠BAO=OBOA=3，

故答案為：313.【答案】3或5

【解析】解：過點C作CM⊥AD于點M，連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC=DA，

∵∠B=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵AE=DF，

∴BE=FA，

又∵將EC繞點E旋轉(zhuǎn)，點C恰好落在邊AD上的點F處，

∴CE=CF，

∴△BCE≌△ACF(SSS)，

∴∠BCE=∠ACF，

∴∠ECF=∠ACB=60°，

又∵CE=CF，

∴△CEF為等邊三角形，

∴CF=EF=7，

∵CD=8，∠D=60°，

∴DM=12CD=4，CM=43，

∴FM=CF2?CM2=1，

∴AF=AD?FM?DM=8?4?1=3，

∴BE=3，

若點E靠近A點，則BE=5．

故答案為：3或5．

過點C作CM⊥AD于點M，連接AC，證出△ABC為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出14.【答案】解：(1)xx2?3x+1=12，

∴x2?3x+1x=2，

【解析】(1)利用分式約分化簡解題；

(2)先求出倒數(shù)的值，然后代入求值即可．

本題考查分式的有關(guān)運算，理解材料中的計算方法，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．15.【答案】40%

50人

【解析】解：(1)由題意得，a=144°360°×100%=40%．

本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是20÷40%=50(人)．

故答案為：40%；50人．

(2)1200×1250=288(人)．

∴估計選擇“中秋節(jié)”的學(xué)生人數(shù)約288人．

(3)設(shè)“春節(jié)”“清明節(jié)”“端午節(jié)”“中秋節(jié)”分別用A，BABCDA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人選擇的主題中含有“端午節(jié)”的結(jié)果有：(A,C)，(B,C)，(C,A)，(C,B)，(C,C)，(C,D)，(D,C)，共7種，

∴甲、乙兩人選擇的主題中含有“端午節(jié)”的概率為716．

(1)用扇形統(tǒng)計圖中春節(jié)部分的扇形圓心角度數(shù)除以360°再乘以100%可得a的值；用表格中春節(jié)的人數(shù)除以a的值可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．

(2)根據(jù)用樣本估計總體，用1200乘以樣本中中秋節(jié)的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．

(3)列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲、乙兩人選擇的主題中含有“端午節(jié)”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．

16.【答案】BE=AF

∠AEB=∠EAD

∠EAB=∠EAD

BA=BE

【解析】(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵DF=CE，

∴AD?DF=BC?CE，

∴BE=AF．

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AD/?/BC，

∴∠AEB=∠EAD．

∵AE平分∠BAF，

∴∠EAB=∠EAD，

∴∠BEA=∠BAE．

∴BA=BE，

∴四邊形ABEF是菱形．

故答案為：BE=AF，∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠EAD，BA=BE．

(1)根據(jù)要求作出圖形即可；

(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

本題考查作圖?復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．17.【答案】解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)．

把(12,36)和(13,34)代入y=kx+b(k≠0)得36=12k+b,34=13k+b.

解得k=?2,b=60.

故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?2x+60；

(2)根據(jù)題意，得(x?10)(?2x+60)=192．

解得x1=18，x2=22．

∵10≤x≤19，

∴x=18．

答：銷售單價為18元；

(3)設(shè)銷售這種文具每天獲利w元，

則w=(x?10)(?2x+60)=?2x2+80x?600=?2(x?20)2+200，

∵?2<0，

∴拋物線開口向下．

∵對稱軸為直線x=20，

∴.當(dāng)10≤x≤19時，w隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=19【解析】(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)依據(jù)利潤=單件利潤×銷售量列出方程，解答即可；

(3)根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式．18.【答案】(1)證明：連接AD，如下圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴AD=AC，

∴∠ADC=∠AGD，

∵四邊形ADCG內(nèi)接于⊙O，

∴∠FGC=∠ADC，

即∠AGD=∠ADC；

(2)解：∵∠FGC=∠ADC，tan∠FGC=43，

∴tan∠ADC=43，

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6，

∴DE=12CD=3，

在Rt△ADE中，tan∠ADC=AEDE=43，

即AE3=43，

∴AE=4，

由勾股定理得：AD=AE2+DE2=5，

∵AK為⊙O的切線，

∴AK⊥AB，

∴AK//CD，

∴∠K=∠GDC，

∵點G是AC弧的中點，

∴∠ADG=∠GDC，

∴∠K=∠ADG，

∴AK=AD=5，

設(shè)AM=x，則EM=AE?AM=4?x，

∵AK//CD，

∴△AKM∽【解析】(1)連接AD，根據(jù)垂徑定理得AD弧=AC弧，則∠ADC=∠AGD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠FGC=∠ADC，據(jù)此即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)∠FGC=∠ADC得tan∠ADC=43，根據(jù)垂徑定理得DE=12CD=3，在Rt△ADE中可分別求出AE=4，AD=5，證AK=AD=5，設(shè)AM=x，則EM=AE?AM=4?x，證△AKM∽△MDE求出x=519.【答案】1009【解析】解：過點A作AD⊥BC于點D，交EF于點H，

∵BC=10，S△ABC=25，

∴S△ABC=12BC?AD=25，

∴AD=5，

設(shè)正方形的邊長為x，則AH=5?x，

∵四邊形FQER是正方形，

∴FE/?/BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴FEBC=AHAD，即x10=5?x5，

∴5x=50?10x，

15x=50，

解得：x=103，

∴正方形EFQR的面積為：103×103=1009，

故答案為：1009；

(2)如圖所示：

∵四邊形PQMN是矩形，

∴∠QMB=∠PNC=90°，PQ=MN，QM=PN，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BQM≌△CPN，

∴BM=CN，∠BQM=∠CPN=30°，

設(shè)BM=CN=x?m，則BQ=CP=2x?m，

∴QM=PN=3xm，

∵BC=1000m，

∴MN=(1000?2x)m，

∵AB=500m，

∴當(dāng)點Q與點A重合時，則BM=250m，

∴S矩形PQMN=QM?MN=3x?(1000?2x)=?23x2+10003x=?23(x?250)2+1250003