解題秘籍05圓的綜合問題（9種題型匯總+專題訓(xùn)練+模擬預(yù)測）【題型匯總】【考情分析】圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高，多考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識點以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.題型01切線的判定1）給出了直線與圓的公共點和經(jīng)過公共點的半徑時，可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當(dāng)直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E在AC上，以CE為直徑的⊙O經(jīng)過AB上的點D，與OB交于點F，且BD=BC．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AD=3，AE=1，求CF2．（2024·青海·中考真題）如圖，直線AB經(jīng)過點C，且OA=OB，CA=CB．(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若圓的半徑為4，∠B=30°，求陰影部分的面積．3．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，與BC交于點E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．4．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【模擬預(yù)測】5．（2025·遼寧撫順·一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C=60°，點D在BO的延長線上，且AB=AD．

(1)求證：DA是⊙O的切線；(2)若，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）6．（2025·湖北黃石·一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交BC于點E，且DE=DC．

(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)如果OA=23，OE=27．（22-23九年級上·江西贛州·期末）（1）課本再現(xiàn)：如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？請說明理由，（2）知識應(yīng)用：如圖，PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，且DE∥PN，連接OD、OP，延長PO交⊙O于點M，交DE于點E，過點M作MN∥OD交PN于N．①求證：MN是⊙O的切線；②當(dāng)OD=6cm，OP=8cm時，求題型02圓中求線段長度1）確定位置.確定所求線段所在的三角形.2）作輔助線.利用圓的相關(guān)定理和性質(zhì)作輔助線.3）分析計算.分析題目條件并選取合適的方法進(jìn)行計算.8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點C與點D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥OC．（請用9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，垂足為E，AB=20，CD=12，在BA的延長線上取一點F，連接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)求EF的長．10．（2024·西藏·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，連接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延長線于點E．(1)求證：CE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，sinD=3511．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．(1)當(dāng)∠BAF=30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r①求r的取值范圍；②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．【模擬預(yù)測】12．（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O的直徑，C是AD的中點，過點D作⊙O的切線分別交AB、AC的延長線于點E、(1)求證：∠ACB=∠E；(2)若AB=4,BE=1，求BC的長．13．（2025·廣東廣州·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AC上的點，弦BD和CE交于點F，且DF=DC,EH是⊙O的切線，EH∥AB，連結(jié)AC,AE,BE．(1)求證：EB=EF；(2)求證：F是△ABC的內(nèi)心；(3)若CE=72,BC=6，求直徑14．（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，點A在以BC為直徑的⊙O上，∠ABC的角平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，過點C作AB的平行線交BD于點F．

(1)求證：BD=DF；(2)連接AF，若AF與⊙O相切，BC2=-4+415．（2025·安徽·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF題型03求圓中陰影部分面積解題方法：求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．16．（2024·寧夏·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內(nèi)心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．(1)求證：BC∥EF；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=1217．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A，B兩點，點O2在⊙O1上，點C是AO2B(1)求證：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求圖中陰影部分的面積．18．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E．

(1)求證：△ACE∽△ABC；(2)求證：CE是⊙O的切線；(3)若AD=2CE，OA=219．（2024·山東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以點A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點E，以點B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點F，連接FD交EF于另一點G，連接(1)求證：CG為EF所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留π）20．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作CF∥AB，且CF=CD，連接(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．【模擬預(yù)測】21．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，AB為⊙O的弦，CD為⊙O的直徑，AB與CD相交于點E，連接AC，BC，BD，過點B作BF⊥AC于點F．(1)求證：∠ABF=∠BCD；(2)當(dāng)∠BCD=∠ACD時，求證：AB⊥CD；(3)在（2）的條件下，若AB=6，∠ABD=22.5°，求圖中陰影部分的面積．22．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為x軸上一點，以O(shè)A為半徑作⊙O交y軸于B，點C為第三象限的圓上一點，如圖1所示，已知圓心到弦AB的距離OD=5(1)求弦AB下方圓內(nèi)陰影部分的面積；(2)如圖1所示，若圓心O到弦BC的距離OE=25，求C(3)如圖2所示，C點坐標(biāo)同第（2）問，P是x軸下方的一個動點，使得∠BPC:∠BOC=1:2，四邊形OBPC的面積是否存在最大值？若存在請算出面積，并直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型04與圓有關(guān)的證明問題1）證明兩個三角形相似23．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長線相交于點(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數(shù)．24．（2024·福建·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E,BE的延長線交AD于點F．(1)求OEAE(2)求證：△AEB∽△BEC；(3)求證：AD與EF互相平分．2）求證兩個三角形全等25．（2023·山東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，26．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在⊙O中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED，并延長交⊙O于點F，連接BF交AC于點G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF3）證明線段相等27．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D為BC的中點，連接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于點E，過點D作DF∥BC交AC的延長線于點F(1)求證：DF是⊙O的切線．(2)求證：BD=ED．(3)若DE=5，CF=4，求AB的長．28．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，點D是AC的中點，DN⊥AB于點E，交AC于點F，連結(jié)DB交AC于點G．(1)求證：AF=DF；(2)延長GD至點M，使DM=DG，連接AM．①求證：AM是⊙O的切線；②若DG=6，DF=5，求⊙O的半徑．4）證明垂直/平行/角平分線29．（2024·貴州·中考真題）如圖，AB為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點C，與OF的延長線相交于點D，AC與OF相交于點E，DC=DE．(1)寫出圖中一個與∠DEC相等的角：______；(2)求證：OD⊥AB；(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的長．30．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點D，AB為⊙O的直徑，過點A作AE⊥l于點E，延長AB交直線l于點C．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半徑．31．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延長AD至點E，使AE=AC，延長BA至點F，連結(jié)EF，使∠AFE=∠ADC(1)若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．(2)求證：①EF∥BC；②5）證明角度相等32．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點A，AB是⊙O的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側(cè)，連接BC，BD，分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接(1)求證：∠BAF=∠CDB；(2)若⊙O的半徑r=6，AD=9，AC=12，求EF的長．33．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線與AC的延長線交于點D，點E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于點F．(1)求證：∠CAE=∠D；(2)過點C作CG⊥AB于點G，若OA=3，BD=32，求FG34．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點O為AC邊上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D，連接CD．(1)求證：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半徑．6）證明線段間存在的比值關(guān)系35．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上一點，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點，連接BE，BF，DF(1)求證：BC?DF=BF?CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF36．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，點D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線交⊙O于點B，連接BA，EC，EA，過點E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點F．

(1)求證：AE(2)若sin∠ABD=2537．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D，AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G，交AC于點H，延長AB，DC交于點E．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：AF?AC=AE?AH；(3)若sin∠DEA=4538．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與邊BC相交于點F，與△ABC的外接圓相交于點D．

(1)求證：S△ABF(2)求證：AB:AC=BF:CF；(3)求證：AF(4)猜想：線段DF,DE,DA三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）【模擬預(yù)測】39．（2025·陜西·一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點D．(1)求證：∠ABD=∠BCD；(2)若BD=35，CD=5，求⊙O40．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，點D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線交⊙O于點B，連接BA，EC，EA，過點E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點F．

(1)求證：AE(2)若sin∠ABD=255，41．（2025·