一元一次方程-方案選擇類-答案版?一、方案選擇類問題的特點方案選擇類問題通常會給出幾種不同的方案，讓我們根據(jù)給定的條件，通過建立一元一次方程來比較這些方案的優(yōu)劣，從而做出最優(yōu)選擇。這類問題涉及到實際生活中的各種場景，如購物消費、生產(chǎn)決策、行程安排等，旨在考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。二、常見的方案選擇類問題類型及解題思路（一）購物消費類方案選擇1.問題描述商場為了促銷商品，推出了兩種優(yōu)惠方案。方案一：購買商品一律打八折；方案二：購物滿200元送50元購物券（購物券可在下次購物時使用，但不再送券）。若小明打算購買價值x元的商品，試比較兩種方案哪種更劃算。2.解題思路對于方案一，實際花費為商品原價的八折，即$0.8x$元。對于方案二，需要分情況討論：當(dāng)$x<200$時，實際花費就是商品原價x元。當(dāng)$x\geq200$時，先計算出送的購物券金額，送的購物券為$\lfloor\frac{x}{200}\rfloor\times50$元（$\lfloor\\rfloor$表示向下取整），那么實際花費為$x\lfloor\frac{x}{200}\rfloor\times50$元。然后通過建立方程$0.8x=x\lfloor\frac{x}{200}\rfloor\times50$來找到兩種方案花費相同的臨界值，再根據(jù)不同的x取值范圍來比較哪種方案更劃算。3.具體解答當(dāng)$x<200$時：方案一花費$0.8x$元，方案二花費x元。因為$0.8x<x$，所以此時方案一劃算。當(dāng)$x\geq200$時：設(shè)$0.8x=x\lfloor\frac{x}{200}\rfloor\times50$。當(dāng)$x=200$時，方案一花費$0.8\times200=160$元，方案二花費$20050=150$元，此時方案二劃算。當(dāng)$x=400$時，方案一花費$0.8\times400=320$元，方案二花費$4002\times50=300$元，此時方案二劃算。當(dāng)$x=500$時，方案一花費$0.8\times500=400$元，方案二花費$5002\times50=400$元，此時兩種方案花費相同。當(dāng)$x>500$時，設(shè)$x=200n+m$（$n$為大于等于2的整數(shù)，$0\leqm<200$）。方案一花費$0.8x=0.8(200n+m)=160n+0.8m$。方案二花費$xn\times50=200n+m50n=150n+m$。因為$160n+0.8m(150n+m)=10n0.2m>0$（$n\geq2$），所以此時方案二劃算。綜上，當(dāng)購買商品價值小于500元時，方案一劃算；當(dāng)購買商品價值等于500元時，兩種方案一樣；當(dāng)購買商品價值大于500元時，方案二劃算。（二）生產(chǎn)決策類方案選擇1.問題描述某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，有兩種生產(chǎn)方案。方案一：引進一條先進生產(chǎn)線，固定成本為50000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為10元；方案二：采用現(xiàn)有設(shè)備生產(chǎn)，固定成本為30000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為15元。若該產(chǎn)品的售價為每件20元，且預(yù)計生產(chǎn)x件產(chǎn)品，試比較哪種生產(chǎn)方案利潤更高。2.解題思路利潤=銷售收入總成本。對于方案一，總成本為固定成本加上可變成本，即$50000+10x$元，銷售收入為$20x$元，利潤$y_1=20x(50000+10x)=10x50000$。對于方案二，總成本為$30000+15x$元，銷售收入為$20x$元，利潤$y_2=20x(30000+15x)=5x30000$。通過建立方程$10x50000=5x30000$來找到兩種方案利潤相同的產(chǎn)量，再根據(jù)不同的x取值范圍比較利潤大小。3.具體解答解方程$10x50000=5x30000$：移項可得$10x5x=5000030000$。即$5x=20000$，解得$x=4000$。當(dāng)$x<4000$時：令$y_1>y_2$，即$10x50000>5x30000$。移項得$10x5x>5000030000$，$5x>20000$，解得$x>4000$（矛盾，舍去）。令$y_1<y_2$，即$10x50000<5x30000$。移項得$10x5x<5000030000$，$5x<20000$，解得$x<4000$。所以此時方案二利潤高。當(dāng)$x=4000$時：$y_1=10\times400050000=10000$（元），$y_2=5\times400030000=10000$（元），兩種方案利潤相同。當(dāng)$x>4000$時：令$y_1>y_2$，即$10x50000>5x30000$。移項得$10x5x>5000030000$，$5x>20000$，解得$x>4000$。所以此時方案一利潤高。綜上，當(dāng)預(yù)計生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量小于4000件時，方案二利潤更高；當(dāng)預(yù)計生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量等于4000件時，兩種方案利潤相同；當(dāng)預(yù)計生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量大于4000件時，方案一利潤更高。（三）行程安排類方案選擇1.問題描述從A地到B地有兩種交通方式。方式一：乘坐火車，火車票價為100元，運行時間為5小時；方式二：乘坐長途客車，客車票價為80元，運行時間為8小時。若小明從A地到B地，他的時間成本為每小時20元，試比較哪種交通方式更經(jīng)濟實惠。2.解題思路總費用=票價+時間成本。對于方式一，總費用$y_1=100+5\times20=100+100=200$元。對于方式二，總費用$y_2=80+8\times20=80+160=240$元。直接比較$y_1$和$y_2$的大小即可。3.具體解答因為$200<240$，所以方式一的總費用更低，即乘坐火車更經(jīng)濟實惠。三、練習(xí)題及答案（一）練習(xí)題1.某電信公司推出兩種手機收費方案。方案一：每月收月租費30元，此外通話費按0.3元/分鐘計算；方案二：不收月租費，通話費按0.6元/分鐘計算。若小王每月通話x分鐘，試比較兩種方案哪種更省錢。2.某學(xué)校組織學(xué)生去春游，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿。已知45座客車日租金為每輛220元，60座客車日租金為每輛300元。問：該學(xué)校一共有多少學(xué)生？怎樣租車更合算？3.某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機。已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。若商場同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案。若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲利250元。在同時購進兩種不同型號電視機的方案中，為使銷售時獲利最多，你選擇哪種進貨方案？（二）答案1.對于方案一，費用$y_1=30+0.3x$元。對于方案二，費用$y_2=0.6x$元。令$y_1=y_2$，即$30+0.3x=0.6x$。移項可得$0.6x0.3x=30$。即$0.3x=30$，解得$x=100$。當(dāng)$x<100$時：令$y_1>y_2$，即$30+0.3x>0.6x$。移項得$0.6x0.3x<30$，$0.3x<30$，解得$x<100$。所以此時方案二省錢。當(dāng)$x=100$時：$y_1=30+0.3\times100=60$元，$y_2=0.6\times100=60$元，兩種方案費用相同。當(dāng)$x>100$時：令$y_1<y_2$，即$30+0.3x<0.6x$。移項得$0.6x0.3x>30$，$0.3x>30$，解得$x>100$。所以此時方案一省錢。綜上，當(dāng)每月通話時間小于100分鐘時，方案二省錢；當(dāng)每月通話時間等于100分鐘時，兩種方案費用相同；當(dāng)每月通話時間大于100分鐘時，方案一省錢。2.設(shè)原計劃租用45座客車x輛。根據(jù)學(xué)生人數(shù)不變可列方程：$45x+15=60(x1)$。展開括號得$45x+15=60x60$。移項得$60x45x=15+60$。即$15x=75$，解得$x=5$。那么學(xué)生人數(shù)為$45\times5+15=240$人。若全部租用45座客車，需要$6$輛，費用為$220\times6=1320$元。若全部租用60座客車，需要$4$輛，費用為$300\times4=1200$元。若租用45座客車$4$輛，60座客車$1$輛，可坐人數(shù)為$45\times4+60\times1=240$人，費用為$220\times4+300\times1=1180$元。所以租用45座客車4輛，60座客車1輛更合算。3.情況一：設(shè)購進甲種電視機x臺，則購進乙種電視機$(50x)$臺。根據(jù)題意可得$1500x+2100(50x)=90000$。展開括號得$1500x+1050002100x=90000$。移項得$2100x1500x=10500090000$。即$600x=15000$，解得$x=25$，則$50x=25$。情況二：設(shè)購進甲種電視機y臺，則購進丙種電視機$(50y)$臺。可得$1500y+2500(50y)=90000$。展開括號得$1500y+1250002500y=90000$。移項得$2500y1500y=12500090000$。即$1000y=35000$，解得$y=35$，則$50y=15$。情況三：設(shè)購進乙種電視機z臺，則購進丙種電視機$(50z)$臺。可得$2100z+2500(50z)=90000$。展開括號得$2100z+1250002500z=90000$。移項得$2500z2100z=12500090000$。即$400z=35000$，解得$z=87.5$（不合題意，舍去）。所以進貨方案有兩種：一是購進甲種電視機25臺，乙種電視機25臺；二是購進甲種電視