人教版高中數學必修5簡單的線性規劃問題教案?一、教學目標1.知識與技能目標了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念。能根據條件建立線性目標函數，并能在平面直角坐標系中正確畫出可行域。掌握利用線性規劃求目標函數的最大值和最小值的方法。2.過程與方法目標通過從實際問題中抽象出數學模型的過程，培養學生的數學建模能力。通過對線性規劃問題的求解，讓學生體驗運用數形結合思想解題的直觀性和有效性，提高學生分析問題和解決問題的能力。3.情感態度與價值觀目標通過實際問題的引入，激發學生學習數學的興趣，培養學生的應用意識和創新精神。在小組合作學習中，培養學生的團隊協作精神，讓學生體驗成功的喜悅。

二、教學重難點1.教學重點理解線性規劃的有關概念，能正確畫出可行域。掌握線性規劃問題中目標函數最大值和最小值的求法。2.教學難點如何將實際問題轉化為線性規劃問題，并找出目標函數。理解目標函數的最優解與可行域邊界點的關系。

三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合，采用多媒體輔助教學。

四、教學過程

（一）創設情境，引入新課展示以下實際問題：

某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？

提出問題：1.設甲、乙兩種產品每天分別生產x件、y件，那么x、y應滿足哪些條件？2.如何用數學語言來表示這些條件？

引導學生思考并回答，從而引出本節課的主題簡單的線性規劃問題。

（二）講解新課1.線性約束條件與線性目標函數結合上述實際問題，分析得出x、y滿足的條件：\[\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\4x\leq16\\4y\leq12\\x+2y\leq8\end{cases}\]指出這些不等式組就是該問題的約束條件，由于它們都是關于x、y的一次不等式，所以稱為線性約束條件。設生產甲、乙兩種產品的利潤分別為z元，已知生產一件甲產品獲利2元，生產一件乙產品獲利3元，則利潤\(z=2x+3y\)，這個式子稱為目標函數。因為它是關于x、y的一次解析式，所以稱為線性目標函數。

2.可行解、可行域與最優解對于滿足上述線性約束條件的解\((x,y)\)，稱為可行解。由所有可行解組成的集合稱為可行域。使目標函數取得最大值或最小值的可行解稱為最優解。

3.畫出可行域引導學生在平面直角坐標系中分別畫出不等式\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(4x\leq16\)（即\(x\leq4\)），\(4y\leq12\)（即\(y\leq3\)），\(x+2y\leq8\)所表示的區域。強調不等式\(x+2y\leq8\)所表示區域的畫法：先畫出直線\(x+2y=8\)，取直線上及直線下方的點滿足不等式，用陰影部分表示。讓學生觀察這些區域的公共部分，得出可行域是一個多邊形區域（包括邊界）。

4.求目標函數的最值將目標函數\(z=2x+3y\)變形為\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)，這里\(\frac{z}{3}\)是直線\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)在y軸上的截距。當z變化時，得到一組互相平行的直線。通過平移直線\(y=\frac{2}{3}x\)，觀察直線在可行域內平移時截距的變化情況。當直線經過可行域內的點\((4,2)\)時，截距\(\frac{z}{3}\)最大，此時z取得最大值。計算\(z_{max}=2×4+3×2=14\)。

總結求解線性規劃問題的一般步驟：1.分析并設出變量，找出線性約束條件和線性目標函數。2.畫出可行域。3.利用目標函數的幾何意義，通過平移目標函數對應的直線，找出最優解。4.求出目標函數的最大值或最小值。

（三）例題講解例1：營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質，0.14kg脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg？

解：設每天食用\(xkg\)食物A，\(ykg\)食物B，總成本為z元。

則線性約束條件為：\[\begin{cases}0.105x+0.105y\geq0.075\\0.07x+0.14y\geq0.06\\0.14x+0.07y\geq0.06\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\]化簡得：\[\begin{cases}x+y\geq\frac{5}{7}\\x+2y\geq\frac{6}{7}\\2x+y\geq\frac{6}{7}\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\]

目標函數為\(z=28x+21y\)。

畫出可行域（略）。

將目標函數\(z=28x+21y\)變形為\(y=\frac{4}{3}x+\frac{z}{21}\)。

通過平移直線，當直線經過可行域內的點\((\frac{1}{7},\frac{4}{7})\)時，z取得最小值。

\(z_{min}=28×\frac{1}{7}+21×\frac{4}{7}=16\)。

所以每天食用\(\frac{1}{7}kg\)食物A和\(\frac{4}{7}kg\)食物B時，花費最低為16元。

例2：已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}xy+5\geq0\\x+y\geq0\\x\leq3\end{cases}\)，求\(z=2x+4y\)的最大值和最小值。

解：先畫出可行域（略）。

將目標函數\(z=2x+4y\)變形為\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)。

當直線\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)經過可行域內的點\((3,8)\)時，z取得最大值。

\(z_{max}=2×3+4×8=38\)。

當直線\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}\)經過可行域內的點\((3,3)\)時，z取得最小值。

\(z_{min}=2×3+4×(3)=6\)。

（四）課堂練習1.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq1\\xy\leq0\\x+y4\leq0\end{cases}\)，求\(z=2xy\)的最大值和最小值。2.某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料3噸、B原料2噸；生產每噸乙產品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該工廠在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該工廠可獲得最大利潤是多少萬元？

（五）課堂小結1.請學生回顧線性規劃的相關概念，如線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等。2.總結求解線性規劃問題的一般步驟。3.強調在求解過程中，要注意正確畫出可行域，理解目標函數的幾何意義，并通過平移直線找到最優解。

（六）布置作業1.書面作業：教材P100練習第1、2、3題；習題3.3A組第1、2、3題。2.思考作業：如果目標函數變為\(z=\frac{y}{x}\)，該如何求解其最值？

五、教學反思通過本節課的教學，學生對線性規劃問題