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文檔簡介
專題28整體與完形
閱讀與思考
許多幾何問題,常因圖形復雜、不規則而給解題帶來困難,這些復雜、不規則的圖形,從整體考慮,
可看作某種圖形的一部分,如果將它們補充完整,就可得到常見的特殊圖形,那么就能利用特殊圖形的
特殊性質轉化問題,這就是解幾何問題的補形法,常見的補形方法有:
1.將原圖形補形為最能體現相關定理、推論、公理的基本圖形;
2.將原圖形補形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形;
3.將原圖形補形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形:
例題與求解
【例1】如圖,已知CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠E=800,∠C=1240,則∠AFE=
_________度.(北京市競賽試題)
解題思路:有平行的條件,不妨將六邊形補形為較為規整的平行四邊形.
aab
【例2】設a,b,c分別是△ABC的三邊長,且滿足,則它的內角∠A、∠B的關系
babc
是().
A.∠B>2∠AB.∠B=2∠AC.∠B<2∠AD.不確定
(全國初中數學競賽試題)
解題思路:從化簡已知等式入手,并補出相應的圖形.
【例3】如圖1,BD,CE分別是△ABC的外角平分線,過點A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別
1
為F,G,連結FG,延長AF,AG,與直線BC相交,易證FGABBCAC.
2
若(1)BD,CE分別是△ABC的內角平分線(如圖2);(2)BD為∠ABC的內角平分線;(3)CE
為△ABC的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種情況下,線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量
關系?請寫出你的猜想,并對其中的一種情況給予證明.
(黑龍江省中考試題)
解題思路:既有平分線又有垂線,聯想到等腰三角形性質,考慮將圖形補成等腰三角形.
00
【例4】如圖,四邊形ABCD中,∠ABC=135,∠BCD=120,AB=6,BC=53,
CD=6,求AD的長.(全國初中數學競賽試題)
解題思路:由于四邊形ABCD是一般四邊形,所以直接求AD比較困難,應設法將AD轉化為特殊
三角形的邊.
例4題圖例5題圖
【例】如圖,凸八邊形中,∠=∠∠=∠∠=∠∠=
5A1A2A3...A8A1A5,A2A6,A3A7,A4
∠試證明:該凸八邊形內任意一點到條邊的距離之和是一個定值
A8,8.
(山東省競賽試題)
解題思路:本例是一個幾何定值證明問題,關鍵是將八邊形問題轉化為三角形或四邊形問題來解決,
若連結對角線,則會破壞一些已知條件,應當考慮向外補形.
1
【例6】如圖,在△ABC中,∠ABC=450,點D在邊BC上,∠ADC=600,且BDCD.將△
2
ACD以直線AD為軸作軸對稱變換,得到△ACD,連結BC.
(1)證明:BC⊥BC;
(2)求∠C的大小.
(全國初中數學競賽天津賽區初賽試題)
解題思路:本題分別考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定及軸對稱的性
質,解題的關鍵是利用角平分線的性質與判定構造全等三角形,然后利用全等三角形的性質即
可解決問題.
能力訓練
0
1.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90,AB=AD,若這個四邊形的面積為12,則BC+CD=
_____________.(山東省競賽試題)
2.如圖,凸五邊形ABCDE中,∠A=∠B=1200,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,則這個五邊形
的面積為_______________.
(美國AHSME試題)
3.如圖,一個凸六邊形六個內角都是1200,其中連續四條邊的長依次為1,9,9,5,則該六邊形的周長
為______________.
4.如圖,ABCDEF是正六邊形,M,N分別是邊CD,DE的中點,線段AM與BN相交于P,則
BP
=_________.(浙江省競賽試題)
PN
5.如圖,長為2的三條線段AA,BB,CC交于O點,并且∠BOA=∠COB=∠AOC=600,
則三個三角形的面積和(填“<”,“=”,或“>”)
S1S2S3__________3.
(“希望杯”邀請賽試題)
00
6.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=60,∠B=∠D=90,BC=2,CD=3,則AB=().
83
A.4B.5C.23D.
3
(廣西壯族自治區中考試題)
7.如圖,在△ABC中,M為BC中點,AN平分∠A,AN⊥BN于N,且AB=10,AC=16,則MN
等于().
A.2B.2.5C.3D.3.5
如圖,在四邊形中,=,∠=∠=0⊥于,,則
8.ABCDABBCABCCDA90,BEADES四邊形ABCD8
BE的長為()
A.2B.3C.3D.22
00
9.如圖,在四邊形ABCD中,AB=42,BC=1,CD=3,∠B=135,∠C=90,則∠D等
于()
A.600B.67.50C.750D.條件不夠,無法求出
(重慶市競賽試題)
00
10.如圖,在△ABC中,E是AC中點,D是BC邊上一點,若BC=1,∠ABC=60,∠BAC=100,
∠=0,求的值
CED80SABC2SCDE.
11.如圖,設c是RtABC的斜邊長,a,b是直角邊,求證:ab2c.
(加拿大中學生競賽試題)
12.如圖,已知八邊形ABCDEFGH所有的內角都相等,而且邊長都是整數.求證:這個八邊形的對邊
相等.
ANAM
13.如圖,設P為△ABC的中位線DE上的一點,BP交AC于N,CP交AB于M,求證:1.
NCMB
(齊齊哈爾市競賽試題)
14.一個圓內接八邊形相鄰的四條邊長是1,另四條邊長是2,求八邊形的面積.
專題28整體與完形
——補形法
bac
例1134例2B提示:由已知得
ab
1
例3(1)FGABACBC,分別延長AG、AF交BC于H,K,則AF=KF,
2
111
AB=KB,AG=HG,AC=HC.FGHKBKBHABACBC.
222
1
(2)FGBCACAB
2
例4提示:作DG⊥BC交BC延長線于Q,AM⊥CB交CB延長線于M,DN⊥MA于N,則MNDQ
為矩形,AD219.
例5延長A8A1,A3A2相交于M,延長A2A3,A5A4相交于N,延長A4A5、A7A6相交于P,延長A6A7、
A1A8相交于Q.
∵∠A1=∠A5,∠A2=∠A6,
∴∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,
∴∠M=∠P,同理可證:∠N=∠Q。
∴MNPQ為平行四邊形,即A1A8∥A4A5,A2A3∥A7A6。
同理可證:A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7
∴凸八連形內任意一點到邊A2A3和A6A7的距離的和為平行線A2A3和A6A7間的距離,是一個定值.
同樣這一點到邊和的距離的和為平行線和間的距離;這一點到邊和的距
,A4A5A8A1A8A1A4A5A1A2A5A6
離的和為平行線和間的距離;這一點到邊和的距離的和為平行線和間的
A1A2A5A6A3A4A7A8A3A4A7A8
距離,都是定值.所以,凸八邊形內任意一點到8條邊的距離的和是一個定值.
例6(1)證明略.
(2)如圖,過點A分別作BC,CD,BC的垂線,垂足分別為E,F,G.由ABC45及已證結論
BCBC,知四邊形AGBE是正方形,由ABC45,ADC60及ACD是ACD沿AD作對稱變換
得到,知點A均在GBC,GCD的平分線上,
∴AEAFAG.
于是,RtADE≌RtADF,RtACF≌RtACG.
1
故DACEAGCAD45.
2
則在ADC中,C180(ADCDAC)75.
能力訓練
1.43提示:延長CB至E,使BEDC.2.733.42
6
4.提示:延長AM,ED及AB,DC分別交于Q及R,則ARM∽QDM,ABP∽QNP.
7
如圖將沿方向平移到位置
5.<,COBBBS2RPB,
再將沿方向平移到位置則
CAOAAS3QRA,
OQP為等邊三角形,且邊長為2,
32
因SSS=SSS=23
123OQRARBOQP4
6.D7.D8.C9.B
10.提示:把ABC補成一個邊長為1的正三角形,延長BA至G,使BGBC1,連接CG,在AG上取點
3
F,使BAGF,連接CF,則ABC≌FGC,ACF~CDE,S2S.
ABCCDE8
11.提示:以AB為直角邊向三角形外作等腰RtBAD,再作DECA的延長線于E,
則BCED為直角梯形,ECBD.
證明:設八邊形的邊長分別為
12.a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,
且都是整數,因為內角都等于,
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,135
所以延長對邊與這對邊的延長線依次交出
a1,a5,a3,a7,
aaaa
四點,則為矩形。∴8264
P,Q,M,NPQMNa1a5
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