專題28整體與完形

閱讀與思考

許多幾何問題，常因圖形復雜、不規則而給解題帶來困難，這些復雜、不規則的圖形，從整體考慮，

可看作某種圖形的一部分，如果將它們補充完整，就可得到常見的特殊圖形，那么就能利用特殊圖形的

特殊性質轉化問題，這就是解幾何問題的補形法，常見的補形方法有：

1.將原圖形補形為最能體現相關定理、推論、公理的基本圖形；

2.將原圖形補形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；

3.將原圖形補形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形：

例題與求解

【例1】如圖，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝800，∠C＝1240，則∠AFE＝

_________度.(北京市競賽試題)

解題思路：有平行的條件，不妨將六邊形補形為較為規整的平行四邊形.

aab

【例2】設a,b,c分別是△ABC的三邊長，且滿足，則它的內角∠A、∠B的關系

babc

是（）.

A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不確定

（全國初中數學競賽試題）

解題思路：從化簡已知等式入手，并補出相應的圖形.

【例3】如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別

1

為F，G，連結FG，延長AF，AG，與直線BC相交，易證FGABBCAC.

2

若（1）BD，CE分別是△ABC的內角平分線（如圖2）；（2）BD為∠ABC的內角平分線；（3）CE

為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量

關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明.

（黑龍江省中考試題）

解題思路：既有平分線又有垂線，聯想到等腰三角形性質，考慮將圖形補成等腰三角形.

00

【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，AB＝6，BC＝53，

CD＝6，求AD的長.（全國初中數學競賽試題）

解題思路：由于四邊形ABCD是一般四邊形，所以直接求AD比較困難，應設法將AD轉化為特殊

三角形的邊.

例4題圖例5題圖

【例】如圖，凸八邊形中，∠＝∠∠＝∠∠＝∠∠＝

5A1A2A3...A8A1A5，A2A6，A3A7，A4

∠試證明：該凸八邊形內任意一點到條邊的距離之和是一個定值

A8，8.

（山東省競賽試題）

解題思路：本例是一個幾何定值證明問題，關鍵是將八邊形問題轉化為三角形或四邊形問題來解決，

若連結對角線，則會破壞一些已知條件，應當考慮向外補形.

1

【例6】如圖，在△ABC中，∠ABC＝450，點D在邊BC上，∠ADC＝600，且BDCD.將△

2

ACD以直線AD為軸作軸對稱變換，得到△ACD，連結BC.

(1)證明：BC⊥BC;

(2)求∠C的大小.

（全國初中數學競賽天津賽區初賽試題）

解題思路：本題分別考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定及軸對稱的性

質，解題的關鍵是利用角平分線的性質與判定構造全等三角形，然后利用全等三角形的性質即

可解決問題.

能力訓練

0

1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90，AB＝AD，若這個四邊形的面積為12，則BC＋CD＝

_____________.（山東省競賽試題）

2.如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，則這個五邊形

的面積為_______________.

（美國AHSME試題）

3.如圖，一個凸六邊形六個內角都是1200，其中連續四條邊的長依次為1,9,9,5，則該六邊形的周長

為______________.

4.如圖，ABCDEF是正六邊形，M，N分別是邊CD，DE的中點，線段AM與BN相交于P，則

BP

＝_________.（浙江省競賽試題）

PN

5.如圖，長為2的三條線段AA,BB,CC交于O點，并且∠BOA＝∠COB＝∠AOC＝600，

則三個三角形的面積和（填“＜”，“＝”，或“＞”）

S1S2S3__________3.

（“希望杯”邀請賽試題）

00

6.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝2，CD＝3，則AB＝().

83

A.4B.5C.23D.

3

（廣西壯族自治區中考試題）

7.如圖，在△ABC中，M為BC中點，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝10，AC＝16，則MN

等于（）.

A.2B.2.5C.3D.3.5

如圖，在四邊形中，＝，∠＝∠＝0⊥于，，則

8.ABCDABBCABCCDA90，BEADES四邊形ABCD8

BE的長為（）

A.2B.3C.3D.22

00

9.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝42，BC＝1，CD＝3，∠B＝135，∠C＝90，則∠D等

于（）

A.600B.67.50C.750D.條件不夠，無法求出

（重慶市競賽試題）

00

10.如圖，在△ABC中，E是AC中點，D是BC邊上一點，若BC＝1，∠ABC＝60，∠BAC＝100，

∠＝0，求的值

CED80SABC2SCDE.

11.如圖，設c是RtABC的斜邊長，a,b是直角邊，求證：ab2c.

（加拿大中學生競賽試題）

12.如圖，已知八邊形ABCDEFGH所有的內角都相等，而且邊長都是整數.求證：這個八邊形的對邊

相等.

ANAM

13.如圖，設P為△ABC的中位線DE上的一點，BP交AC于N，CP交AB于M，求證：1.

NCMB

（齊齊哈爾市競賽試題）

14.一個圓內接八邊形相鄰的四條邊長是1，另四條邊長是2，求八邊形的面積.

專題28整體與完形

——補形法

bac

例1134例2B提示：由已知得

ab

1

例3（1）FGABACBC，分別延長AG、AF交BC于H，K，則AF=KF，

2

111

AB=KB,AG=HG,AC=HC.FGHKBKBHABACBC.

222

1

（2）FGBCACAB

2

例4提示：作DG⊥BC交BC延長線于Q，AM⊥CB交CB延長線于M，DN⊥MA于N，則MNDQ

為矩形，AD219.

例5延長A8A1，A3A2相交于M，延長A2A3，A5A4相交于N，延長A4A5、A7A6相交于P，延長A6A7、

A1A8相交于Q.

∵∠A1=∠A5,∠A2=∠A6，

∴∠MA1A2=∠PA5A6,∠MA2A1=∠PA6A5,

∴∠M=∠P，同理可證：∠N=∠Q。

∴MNPQ為平行四邊形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A7A6。

同理可證：A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7

∴凸八連形內任意一點到邊A2A3和A6A7的距離的和為平行線A2A3和A6A7間的距離，是一個定值.

同樣這一點到邊和的距離的和為平行線和間的距離；這一點到邊和的距

,A4A5A8A1A8A1A4A5A1A2A5A6

離的和為平行線和間的距離；這一點到邊和的距離的和為平行線和間的

A1A2A5A6A3A4A7A8A3A4A7A8

距離，都是定值.所以，凸八邊形內任意一點到8條邊的距離的和是一個定值.

例6(1)證明略.

(2)如圖,過點A分別作BC,CD,BC的垂線,垂足分別為E,F,G.由ABC45及已證結論

BCBC,知四邊形AGBE是正方形,由ABC45,ADC60及ACD是ACD沿AD作對稱變換

得到,知點A均在GBC,GCD的平分線上，

∴AEAFAG.

于是，RtADE≌RtADF,RtACF≌RtACG.

1

故DACEAGCAD45.

2

則在ADC中，C180(ADCDAC)75.

能力訓練

1.43提示：延長CB至E，使BEDC.2.733.42

6

4.提示:延長AM,ED及AB,DC分別交于Q及R,則ARM∽QDM,ABP∽QNP.

7

如圖將沿方向平移到位置

5.<,COBBBS2RPB,

再將沿方向平移到位置則

CAOAAS3QRA,

OQP為等邊三角形,且邊長為2，

32

因SSS=SSS=23

123OQRARBOQP4

6.D7.D8.C9.B

10.提示：把ABC補成一個邊長為1的正三角形,延長BA至G,使BGBC1,連接CG，在AG上取點

3

F，使BAGF,連接CF，則ABC≌FGC,ACF～CDE,S2S.

ABCCDE8

11.提示：以AB為直角邊向三角形外作等腰RtBAD,再作DECA的延長線于E，

則BCED為直角梯形，ECBD.

證明：設八邊形的邊長分別為

12.a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,

且都是整數，因為內角都等于，

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,ab,135

所以延長對邊與這對邊的延長線依次交出

a1,a5,a3,a7,

aaaa

四點，則為矩形。∴8264

P,Q,M,NPQMNa1a5