2024-2025學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息填寫在答題卡上。2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1．若，則（

）A． B．C． D．2．已知，為共線向量，且，，則（

）A． B． C．40 D．3．已知復(fù)數(shù)，、，則（）A． B． C． D．4．在?ABC中，角的對(duì)邊分別為，已知?jiǎng)t（

）A．45°或135° B．135°C．45° D．60°或120°5．在?ABC中，角所對(duì)的邊分別為，，，則?ABC外接圓的面積是（

）A． B． C． D．6．位于處的雷達(dá)接收到在其正東方向相距海里的處的一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨的營(yíng)救信號(hào)后，即刻通知位于處雷達(dá)北偏東且與處雷達(dá)相距30海里的處的甲船前往救援，則甲船至少需要航行的海里數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知a,b是單位向量，且a,b的夾角為，若向量c滿足|A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。)9．復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C．z的虛部為2 D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限10．在?ABC中，下列說法正確的有：（

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)⊥b C．、a?b=2三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）12．若復(fù)數(shù)，則，13．在?ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若，則最大角的余弦值是.14．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)且，則可推出.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（本小題滿分13分）已知復(fù)數(shù)．(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（本小題滿分15分）已知兩個(gè)非零向量.（Ⅰ）若向量是夾角為120°的單位向量，試確定實(shí)數(shù)，使和垂直；（Ⅱ）若，，，求證：三點(diǎn)共線.17．（本小題滿分15分）在?ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的邊．已知，，．(1)求b，c的值；(2)求的值．18．（本小題滿分17分）已知向量，滿足，，．(1)求的值；(2)求向量與的夾角．19．（本小題滿分17分）已知?ABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，．(1)求角；(2)若?ABC外接圓的周長(zhǎng)為，求?ABC答案題號(hào)12345678910答案AADCBCBAACDABD題號(hào)11答案AC1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】.故選：A.2．A【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示及模的公式求解即可.【詳解】∵，為共線向量，∴，即，∴，.故選：A.3．D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求得的值.【詳解】，所以，，則，因此，.故選：D.4．C【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得：得：，因?yàn)椋裕?故選：C5．B【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼茫裕O(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.6．C【分析】由余弦定理解三角形可得.【詳解】如圖，由題意可得．在中，由余弦定理可得海里，故甲船至少需要航行的海里數(shù)為．故選：C.

7．B【分析】根據(jù)與的夾角為銳角，由且與不共線求解.【詳解】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不共線，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，與共線且同向，所以的取值范圍為，故選：B8．A【詳解】分析：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用已知條件得到，再利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解．詳解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，得，即，且，則，即，即的最大值為．點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、模的計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和邏輯思維能力．9．ACD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解A，根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解B，根據(jù)虛部的概念求解C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解D.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的虛部為2，故C正確；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故D正確.故選：ACD10．ABD【分析】利用大邊對(duì)大角定理結(jié)合正弦定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論結(jié)合二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng)的正誤；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用特殊值法可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，由正弦定理可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋矣嘞液瘮?shù)在上為減函數(shù)，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，，此時(shí)，，C錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則，D對(duì)；故選：ABD.11．AC【分析】運(yùn)用向量的垂直，模長(zhǎng)，夾角相關(guān)公式，結(jié)合數(shù)量積定義可解.【詳解】，又因?yàn)椋裕剩訟正確，D不正確；，故，所以B不正確，，所以，正確．故選：．12．0【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算與相等的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕剩瑒t.故0.13．/【分析】由正弦定理以及三角形的性質(zhì)，可得，并可判斷最大角為，再由余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫裕唇亲畲螅O(shè)，其中，所以.故答案為.14．【分析】設(shè)，根據(jù)與，利用余弦定理求出，，設(shè)出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m與n的值，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的值，進(jìn)而求出的值.【詳解】設(shè)，，則，，因?yàn)楹褪堑冗吶切危剩捎嘞叶ɡ淼茫海獾茫海剩^點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)AG=m，DG=n，則BG=2-m，由勾股定理得：，解得：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，由得：，即，解得：，則故15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，列式求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的形式求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的正負(fù)，即可求解.【詳解】（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，則，所以；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，，得.16．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）令，展開再利用向量數(shù)量積定義，即可確定實(shí)數(shù).（Ⅱ）由條件推得，再根據(jù)向量共線的條件得證結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）∵和垂直∴∴∴∴（Ⅱ）∵，∴∵有公共點(diǎn)∴三點(diǎn)共線向量共線：（1），（2）（3）若，則三點(diǎn)共線（4）三點(diǎn)共線17．(1)，(2)【分析】（1）由已知條件利用余弦定理再結(jié)合可求出b，c的值，（2），得，再由正弦定理求出，由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后利用兩角差的正弦公式可求得答案【詳解】（1）由余弦定理，得．因?yàn)椋裕獾茫?）由，得．由正弦定理得．在中，因?yàn)锽是鈍角，所以A為銳角，所以．故．18．(1)(2)【分析】（1）由條件推理求得利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得；（2）利用計(jì)算向量夾角的公式，先求和，再代入公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因，,由可得，，即于是，；（2）設(shè)向量與的夾角為，則，因，，，即與的夾角為．19．(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求的周長(zhǎng)的最大值；法二：利用正弦定理，將周長(zhǎng)化為角A的函數(shù)求出范圍即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即．