第20頁（共20頁）2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之弧度制一．選擇題（共5小題）1．（2025?文昌校級一模）在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”．這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術可以視為將一個圓內按正n邊形等分成n個等腰三角形（如圖所示），當n越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積．運用割圓術的思想，可得到sin6°的近似值為（π取近似值3.14）（）A．0.314 B．0.157 C．0.105 D．0.0522．（2024秋?黑龍江期末）已知扇形的半徑為1cm，它的周長為6cm，那么該扇形的圓心角為（）A．2° B．4 C．4° D．23．（2024秋?河南期末）已知某扇形的周長是24，面積為36，則該扇形的圓心角（正角）的弧度數是（）A．2 B．1 C．12 D．4．（2024秋?昆明期末）將2πA．30° B．60° C．120° D．150°5．（2025?張掖模擬）在扇形AOB中，∠AOB＝2，且弦AB＝2，則扇形AOB的面積為（）A．2sin2 B．1sin21 C二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?河南模擬）下列說法中正確的有（）A．命題“?x∈R，cosx≥﹣1”的否定是“?x∈R，cosx＜﹣1” B．若α是第三象限角，則(sin(C．已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數為12D．若角α的終邊過點（a，2a）（a≠0），則sinα（多選）7．（2024秋?鹽城期末）下列說法正確的有（）A．終邊在y軸上的角的集合為{θB．正切函數f（x）＝tanx的對稱中心是（kπ，0）（k∈Z） C．若3a＝4b＝12，則1aD．已知f（x）＝|logax|，若f（m）＝f（n）（m≠n），則mn＝1（多選）8．（2024秋?常德期末）已知某扇形紙片的周長和圓心角分別為44和2，則（）A．該扇形紙片的半徑為12 B．該扇形紙片的半徑為11 C．該扇形紙片的面積為121 D．該扇形紙片的面積為125三．填空題（共4小題）9．（2025?鄧州市校級開學）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為2π3，則此弧田的面積為10．（2024秋?光明區校級期末）已知一個扇形的圓心角為30°，所對的弧長為π3，則該扇形的面積為11．（2024秋?金山區校級期末）已知扇形的弧長為2π，面積為3π，則扇形所在圓的半徑為．12．（2024秋?鹽城期末）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號．當折扇打開后所在扇形的周長為8分米，面積是4平方分米，則折扇所在扇形的圓心角為弧度．四．解答題（共3小題）13．（2025?浦東新區校級開學）如圖，有一個扇環形花圃ABCD，外圓弧的半徑是內圓弧半徑的兩倍，周長為定值2l，圓心角的絕對值為α（0＜α＜π）．（1）當α為多少弧度時，扇環面積最大，并求出最大面積；（2）當α＝2時，求：弧BC的中點E到弦BC的距離．14．（2024秋?開封期末）如圖，以x軸的非負半軸為始邊的角α，β的終邊分別交圓O（O為坐標原點）于A，B兩點，其中A點在第一象限，已知扇形AOB的弧長與面積的數值都是π2（1）求圓心角∠AOB的弧度數；（2）若點A的縱坐標為85，求點B15．（2025?章貢區校級開學）（1）已知角α＝1200°，將α改寫成β+2kπ，（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第幾象限角；（2）用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內（不包括邊界）的角的集合．

2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之弧度制參考答案與試題解析題號12345答案CBACB一．選擇題（共5小題）1．（2025?文昌校級一模）在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”．這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術可以視為將一個圓內按正n邊形等分成n個等腰三角形（如圖所示），當n越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積．運用割圓術的思想，可得到sin6°的近似值為（π取近似值3.14）（）A．0.314 B．0.157 C．0.105 D．0.052【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】C【分析】根據題意，將一個單位圓等分成60個扇形，則每個扇形的圓心角均為6°，再根據這60個扇形對應的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積列等式，計算即可．【解答】解：將一個單位圓等分成60個扇形，則每個扇形的圓心角均為6°．因為這60個扇形對應的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，又等腰三角形的面積為S=12×1×1×sin6°，圓的面積為s＝所以60×12故選：C．【點評】本題考查了扇形面積公式的應用，考查了學生的邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．2．（2024秋?黑龍江期末）已知扇形的半徑為1cm，它的周長為6cm，那么該扇形的圓心角為（）A．2° B．4 C．4° D．2【考點】弧長公式．【專題】計算題；對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】根據弧長公式即可求解．【解答】解：由題意扇形的半徑為1cm，它的周長為6cm，設扇形的圓心角為α，半徑為r，由題意可得6＝2r+αr，故α＝4rad．故選：B．【點評】本題考查了扇形的弧長公式的應用，屬于基礎題．3．（2024秋?河南期末）已知某扇形的周長是24，面積為36，則該扇形的圓心角（正角）的弧度數是（）A．2 B．1 C．12 D．【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】A【分析】根據周長和面積列方程組求得扇形的半徑和弧長，代入求角公式即可得解．【解答】解：設扇形的半徑為r，所對弧長為l，扇形的周長是24，面積為36，則有2r+l=24，12即扇形的圓心角（正角）的弧度數為2．故選：A．【點評】本題主要考查扇形的面積和弧長，屬于基礎題．4．（2024秋?昆明期末）將2πA．30° B．60° C．120° D．150°【考點】弧度制．【專題】計算題；轉化思想；三角函數的求值；運算求解．【答案】C【分析】由πrad＝180°，得1rad=180°【解答】解：∵πrad＝180°，即1rad=180°∴2π3rad=故選：C．【點評】本題考查了角度與弧度的互化，是基礎的會考題型．5．（2025?張掖模擬）在扇形AOB中，∠AOB＝2，且弦AB＝2，則扇形AOB的面積為（）A．2sin2 B．1sin21 C【考點】扇形面積公式．【專題】計算題；數形結合；綜合法；三角函數的求值．【答案】B【分析】由已知可求扇形的半徑，進而利用扇形的面積公式即可計算得解．【解答】解：設扇形的圓心角大小為α（rad），半徑為r，扇形的面積為SAOB=12r2∵∠AOB＝2，且弦AB＝2，∴可得：α＝2，r=1∴扇形的面積為SAOB=12r2α故選：B．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式的應用，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關鍵，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?河南模擬）下列說法中正確的有（）A．命題“?x∈R，cosx≥﹣1”的否定是“?x∈R，cosx＜﹣1” B．若α是第三象限角，則(sin(C．已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數為12D．若角α的終邊過點（a，2a）（a≠0），則sinα【考點】扇形面積公式；任意角的三角函數的定義；求全稱量詞命題的否定．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】AC【分析】應用全稱命題的否定寫出原命題的否定判斷A；由角所在的象限判斷對應函數值符號，再應用誘導公式得點坐標為（cosα，tanα）判斷B；應用扇形弧長、面積公式求扇形圓心角判斷C；根據正弦函數的定義求sinα，注意參數的符號判斷D．【解答】解：A：由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為?x∈R，cosx＜﹣1，故A正確；B：由α是第三象限角，則sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，又sin（π2+α）＝cosα，tan（π+α）＝tanα，所以（cosα，tanαC：設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=1012當r=4l=2，則圓心角的弧度數為lr=所以扇形的圓心角（正角）的弧度數為12，故CD：角α的終邊過點（a，2a）（a≠0），則sinα=2a故選：AC．【點評】本題考查了任意角的三角函數的定義，扇形面積公式，命題的否定的應用，考查了學生的邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?鹽城期末）下列說法正確的有（）A．終邊在y軸上的角的集合為{θB．正切函數f（x）＝tanx的對稱中心是（kπ，0）（k∈Z） C．若3a＝4b＝12，則1aD．已知f（x）＝|logax|，若f（m）＝f（n）（m≠n），則mn＝1【考點】終邊相同的角（弧度制）；象限角、軸線角．【專題】計算題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據基礎知識可知A正確，B錯誤，對于C選項先把已知的指數式換成對數式，然后利用換底公式進行計算即可，對于D選項，通過把mn分別代入解析式去計算即可．【解答】解：對于A，當k為奇數時，θ的終邊在y軸的負半軸上，當k為偶數時，θ的終邊在y軸的正半軸上，所以終邊在y軸上的角的集合為{θ對于B，正切函數的對稱中心是(kπ對于C，因為3a＝12，所以a＝log312，同理b＝log412，所以1a對于D，因為f（m）＝f（n）（m≠n），所以|logam|＝|logan|，所以log所以m=1n，即mn故選：ACD．【點評】本題考查了正切函數的對稱性，對數的運算性質以及終邊相同的角的概念，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?常德期末）已知某扇形紙片的周長和圓心角分別為44和2，則（）A．該扇形紙片的半徑為12 B．該扇形紙片的半徑為11 C．該扇形紙片的面積為121 D．該扇形紙片的面積為125【考點】扇形面積公式；弧長公式．【專題】方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】BC【分析】設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，然后根據已知以及弧長公式建立方程，由此求出扇形半徑，進而求出扇形面積，由此即可判斷各個選項．【解答】解：設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，則由已知可得2r+l＝44，且α＝2，又l＝αr，解得r＝11，l＝22，故A錯誤，B正確；扇形的面積為S=12×α×r故選：BC．【點評】本題考查了扇形面積公式以及弧長公式的應用，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2025?鄧州市校級開學）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為2π3，則此弧田的面積為4【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解；新文化類．【答案】4π【分析】根據給定條件求出三角形面積和扇形面積，結合圖形即可計算作答．【解答】解：依題意，等腰△AOB底邊AB=2(OAcosπ6)=23，高h而扇形的面積為12所以此弧田的面積為4π故答案為：4π【點評】本題考查了扇形面積公式的應用，屬于基礎題．10．（2024秋?光明區校級期末）已知一個扇形的圓心角為30°，所對的弧長為π3，則該扇形的面積為π3【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】π3【分析】根據弧長公式計算得出半徑，再根據扇形的面積公式計算即可．【解答】解：設扇形的半徑為r，圓心角為30°=π則由已知可得π3=π6×則扇形面積為S=故答案為：π3【點評】本題考查了扇形面積公式的應用，屬于基礎題．11．（2024秋?金山區校級期末）已知扇形的弧長為2π，面積為3π，則扇形所在圓的半徑為3．【考點】扇形面積公式．【專題】計算題；對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】3．【分析】由題意利用扇形的面積公式即可求解．【解答】解：因為扇形的弧長為2π，面積為3π，所以扇形的面積S=1解得r＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了扇形的面積公式的應用，屬于基礎題．12．（2024秋?鹽城期末）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號．當折扇打開后所在扇形的周長為8分米，面積是4平方分米，則折扇所在扇形的圓心角為2弧度．【考點】扇形面積公式．【專題】計算題；方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】2．【分析】設扇形的圓心角和半徑，由周長和面積建立方程組，解出圓心角．【解答】解：由題意折扇打開后所在扇形的周長為8分米，面積是4平方分米，設此扇形的圓心角為α，半徑為r，則C=2則α=2故答案為：2．【點評】本題考查了扇形的弧長公式和面積公式的應用，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2025?浦東新區校級開學）如圖，有一個扇環形花圃ABCD，外圓弧的半徑是內圓弧半徑的兩倍，周長為定值2l，圓心角的絕對值為α（0＜α＜π）．（1）當α為多少弧度時，扇環面積最大，并求出最大面積；（2）當α＝2時，求：弧BC的中點E到弦BC的距離．【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）23，l（2）l2【分析】（1）設半徑為r，由弧長公式及周長得r=2l（2）利用垂徑定理結合解直角三角形可得．【解答】解：（1）設內圓弧半徑為r，則AB＝CD＝OA＝OD＝r，rα+2rα+2r＝2l，則r=所以S扇環=6當且僅當9α=4α，即α=（2）設OE交BC于F，則由垂徑定理得OE⊥BC，∠BOE由（1）知，r=所以OF=所以EF=【點評】本題考查了扇形面積公式，涉及到基本不等式的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．14．（2024秋?開封期末）如圖，以x軸的非負半軸為始邊的角α，β的終邊分別交圓O（O為坐標原點）于A，B兩點，其中A點在第一象限，已知扇形AOB的弧長與面積的數值都是π2（1）求圓心角∠AOB的弧度數；（2）若點A的縱坐標為85，求點B【考點】扇形面積公式．【專題】轉化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】（1）π4（2）xB【分析】（1）根據扇形的弧長、面積公式進行計算．（2）利用和角公式結合三角函數的定義求解．【解答】解：如圖，以x軸的非負半軸為始邊的角α，β的終邊分別交圓O（O為坐標原點）于A，B兩點，其中A點在第一象限，已知扇形AOB的弧長與面積的數值都是π2（1）記圓O的半徑為R，扇形AOB的弧長與面積分別為l，S，則由S=12lR得由S=12R所以圓心角∠AOB的弧度數為π4（2）由點A的縱坐標為85，可得sinα=所以cosα=35，cosβ＝cos（α+π4）＝cosαcosπ所以B點橫坐標x＝Rcosβ=-【點評】本題主要考查扇形的面積求解，考查計算能力，屬于中檔題．15．（2025?章貢區校級開學）（1）已知角α＝1200°，將α改寫成β+2kπ，（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第幾象限角；（2）用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內（不包括邊界）的角的集合．【考點】終邊相同的角（弧度制）；象限角、軸線角．【專題】數形結合；綜合法；三角函數的求值；邏輯思維．【答案】（1）α=（2）{θ|2【分析】（1）整理可得α=2π（2）根據題意，利用終邊在直線上的角的表示方法，求出角θ的集合．【解答】解：（1）因為α=1200所以角α與2π3的終邊相同，且2π（2）圖①：因為75°所以陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為{θ圖②：因為30°所以陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為{θ【點評】本題主要考查終邊相同的角的表示以及象限角、軸線角，屬于基礎題．

考點卡片1．求全稱量詞命題的否定【知識點的認識】一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】全稱量詞命題否定的求解在代數和幾何中廣泛存在．例如，代數中關于實數性質的全稱命題的否定，幾何中關于圖形性質的全稱命題的否定等．這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和判斷．寫出命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因為特稱命題的否定為全稱命題，所以命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定是“?x∈Z，|x|?N”，故答案為：?x∈Z，|x|?N．2．終邊相同的角（弧度制）【知識點的認識】終邊相同的角：2kπ+α（k∈Z）它是與α角的終邊相同的角，（k＝0時，就是α本身），凡是終邊相同的兩個角，則它們之差一定是2π的整數倍，應該注意的是：兩個相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個角則不一定相等，也就是說，終邊相同是兩個角相等的必要條件，而不是充分條件．【解題方法點撥】利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判斷一個角β時，只需把這個角寫成[0，2π）范圍內的一個角α與2π的整數倍的和．﹣利用終邊相同的角的性質，設定角度θ和θ+2πk（其中﹣確定具體問題中角度的表達形式，求解相關角度值．【命題方向】常見題型包括弧度制下終邊相同的角的計算，結合具體問題求解相關角度值．在[0，2π）上與-11π6解：∵與-11π6終邊相同的角是2kπ-11π∴令k＝1，可得在[0，2π）上與-11π6故答案為：π63．象限角、軸線角【知識點的認識】在直角坐標系內討論角（1）象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認為這個角是第幾象限角．（2）若角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．【解題方法點撥】（1）注意易混概念的區別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區間角．（2）角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．【命題方向】已知α是第二象限角，那么α2A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角D．第一或第三象限角分析：用不等式表示α是第二象限角，將不等式兩邊同時除以2，即得α2的取值范圍（用不等式表示的），分別討論當k取偶數、奇數時，α解：∵α是第二象限角，∴2kπ+π2＜α＜2kπ+π，k∴kπ+π4＜α2＜kπ當k取偶數（如0）時，α2是第一象限角，當k取奇數（如1）時，α故選D．點評：本題考查象限角的表示方式，利用了不等式的性質，體現了分類討論的數學思想．4．弧度制【知識點的認識】弧度制的有關概念與公式1.1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．規定：正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0，|α|=lr，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，2．弧度制把弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，比值lr與所取的r【解題方法點撥】角度制與弧度制不可混用角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．【命題方向】將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是（）A．π3B．π6C．-π3分析：利用分針轉一周為60分鐘，轉過的角度為2π，得到10分針是一周的六分之一，進而可得答案．解：∵分針轉一周為60分鐘，轉過的角度為2π將分針撥慢是逆時針旋轉∴鐘表撥慢10分鐘，則分針所轉過的弧度數為16×2故選A．點評：本題考查弧度的定義，一周對的角是2π弧度．考查逆時針旋轉得到的角是正角．5．弧長公式【知識點的認識】弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S=12lr=12【解題方法點撥】弧長和扇形面積的計算方法（1）在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．（2）從扇形面積出發，在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S=12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長，α（0＜α＜2【命題方向】已知弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是（）A．2B．2sin1C．2sin1D分析：解直角三角形AOC，求出半徑AO，代入弧長公式求出弧長的值．解：如圖：∠AOB＝2，過點0作OC⊥AB，C為垂足，并延長OC交AB于D，∠AOD＝∠BOD＝1，AC=12AB＝Rt△AOC中，AO=AC從而弧長為α?r=2故