復數的加、減運算及其幾何意義第七章復數7.2復數的四則運算整體感知[學習目標]

1．熟練掌握復數的加、減運算法則．2．理解復數加、減法的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題．[討論交流]

預習教材P75－P77的內容，思考以下問題：問題1．復數的加、減法運算法則是什么？運算律有哪些？問題2．復數的加、減法的幾何意義是什么？[自我感知]經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1復數代數形式的加、減運算法則探究問題1類比向量坐標的加、減運算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到復數

z1±z2嗎？

[新知生成]1．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則(1)z1＋z2＝_______________；(2)z1－z2＝_______________．2．對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝________；(2)(z1＋z2)＋z3＝_____________．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)【鏈接·教材例題】例1計算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．[解]

(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i．

[解]

(1)原式＝(2＋1－5)＋(－3－2＋4)i＝－2－i．

反思領悟

復數加、減運算的解題思路兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減)．復數的減法是加法的逆運算．當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減)．[學以致用]

1．復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應的點在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A

[復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應的點為(9，1)，在第一象限．]√探究2復數加、減法的幾何意義探究問題2我們知道，復數與復平面內以原點為起點的向量一一對應，復數加法的坐標運算法則是什么？復數加法的幾何意義是什么？

因此，復數的加法(減法)可以按照向量的加法(減法)來進行，這就是復數加法(減法)的幾何意義．z1＋z2z1－z2【鏈接·教材例題】例2根據復數及其運算的幾何意義，求復平面內的兩點Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之間的距離．

反思領悟

利用復數的幾何意義解題的常用技巧(1)形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形轉化成復數，幾何圖形的變換轉化成復數的運算進行解題．(2)數轉化為形：對于一些復數運算給予幾何解釋，將復數作為工具運用于幾何之中．[學以致用]

2．復數z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數．

√(1)A

[如圖，設復數－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2．問題轉化為動點Z在線段Z1Z2上移動，則求|ZZ3|的最小值．因為|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．]

反思領悟

兩個復數差的模的幾何意義(1)|z－z0|表示復數z，z0對應的點之間的距離，在應用時，要把絕對值符號內變為兩復數差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓．(3)涉及復數模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題，均可從兩點間距離公式的復數表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解．[學以致用]

3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數單位)的最小值．

【教用·備選題】

(1)若|z－1|＝|z＋1|，則復數z對應的點在(

)A．實軸上 B．虛軸上C．第一象限 D．第二象限(2)設復數z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，則|z＋1|的取值范圍是__________．(1)B

(2)[0，3]

[(1)∵|z－1|＝|z＋1|，∴點Z到(1，0)和(－1，0)的距離相等，即點Z在以(1，0)和(－1，0)為端點的線段的中垂線上，即在虛軸上．√[0，3](2)由復數的模及復數加、減運算的幾何意義可知，1≤|z|≤2表示如圖所示的圓環，而|z＋1|表示復數z的對應點A(a，b)與復數z1＝－1的對應點B(－1，0)之間的距離，即圓環內的點到點B的距離d．由圖易知當A與B重合時，dmin＝0，當點A與點C(2，0)重合時，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3．]243題號1應用遷移1．已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(

)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i√B

[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]23題號142．設z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復平面內對應的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限√D

[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，∴z1－z2在復平面內對應的點位于第四象限．]23題號41

√

243題號1

61．知識鏈：(1)復數代數形式的加、減運算法則．(2)復數加、減法的幾何意義．(3)復數模的綜合問題．2．方法鏈：類比、數形結合．3．警示牌：注意不要忽略模的幾何意義．回顧本節知識，自主完成以下問題：1．如何理解復數的加、減法？[提示]

由于復數具有數與形的多重性，因此復數加